ZASTOSOWANIE ALGORYTMU SZARYCH WILKÓW DO ROZWIĄZANIA ZADAŃ OPTYMALIZACJI URZĄDZEŃ ELEKTROMAGNETYCZNYCH

P O Z NA N UN I V E R S ITY O F TE C H N O LO GY A C A D E M IC J O U R N AL S

No 100 Electrical Engineering 2019

DOI 10.21008/j.1897-0737.2019.100.0012

___________________________________________________

* Politechnika Poznańska

Łukasz KNYPIŃSKI^*, Lech NOWAK^*

ZASTOSOWANIE ALGORYTMU SZARYCH WILKÓW DO ROZWIĄZANIA ZADAŃ OPTYMALIZACJI URZĄDZEŃ

ELEKTROMAGNETYCZNYCH

W artykule przedstawiono algorytm i oprogramowanie do optymalizacji urządzeń elektromagnetycznych. Procedury optymalizacyjne opracowano w środowisku progra- mistycznym Borland Deplhi. Zastosowano algorytm szarych wilków. Poprawność opra- cowanego algorytmu badano rozwiązując dwa testowe zadania optymalizacji. Porówna- no wyniki uzyskane dla metod: (a) algorytmu szarych wilków i (b) metody roju cząstek.

Wykazano, że algorytm szarych wilków jest bardziej uniwersalny i odporny na zakłóce- nia w zachowaniu lidera niż metoda roju cząstek. Przeprowadzono optymalizację układu wzbudzenia sześciobiegunowego silnika synchronicznego o rozruchu własnym.

SŁOWA KLUCZOWE: optymalizacja, algorytm szarych wilków, metoda roju cząstek, urządzenia elektromagnetyczne.

1. WPROWADZENIE

Współczesny proces projektowania obiektów technicznych jest silnie powią- zany z zagadnieniami optymalizacji. Poszukuje się rozwiązań spełniających narzucone wymagania, najczęściej dotyczące parametrów funkcjonalnych i jed- nocześnie optymalnych pod względem wybranej grupy kryteriów. Kryteria optymalności mają najczęściej charakter ekonomiczny lub są powiązane z pro- blemami ochrony środowiska. Dotyczą np. ograniczenia poboru energii przez urządzenie, a więc minimalizacji strat mocy.

W literaturze ostatnich lat obserwowany jest intensywny rozwój nowych algo- rytmów optymalizacji, szczególnie efektywnych do rozwiązania zadań syntezy przetworników elektromagnetycznych. Obecnie najbardziej dynamicznie rozwija- ne są algorytmy probabilistyczne (niedeterministyczne) [1, 2, 3, 4]. Algorytmy tego typu mają zdecydowanie większe prawdopodobieństwo znalezienia optimum globalnego w porównaniu z algorytmami deterministycznymi. Algorytmy deter- ministyczne często „utykają” w pobliżu ekstremum lokalnego lub w pobliżu „sio- dła” funkcji kryterialnej. Pod tym względem algorytmy niedeterministyczne są zdecydowanie bardziej skuteczne i odporne na „utknięcia”.

134 Łukasz Knypiński, Lech Nowak

We współczesnym procesie projektowania najczęściej wykorzystywane są dyskretne polowe modele zjawisk elektromagnetycznych w projektowanych urządzeniach [5]. Modele te są złożone obliczeniowo, procesy optymalizacji wykorzystujące te modele są bardzo czasochłonne. Dlatego naukowcy poszukują nowych algorytmów optymalizacji, efektywnych w procesie rozwiązywania zadań syntezy przetworników elektromagnetycznych.

W ostatnim dziesięcioleciu bardzo intensywnie rozwijane są algorytmu pro- babilistyczne wzorowane na obserwacji środowiska naturalnego (ang. nature inspired algorithm). Naukowcy na podstawie obserwacji zachowań organizmów żywych (naśladowanie zachowań społecznych w stadach oraz metod polowania) i zjawisk występujących w środowisku naturalnym proponują wciąż nowe algo- rytmy optymalizacji. Do tej grupy metod należy zaliczyć miedzy innymi: algo- rytm kukułki (Cuckoo Serach Algorithm) [6] opracowany w 2009 roku, algo- rytm nietoperzy (Bat Algorithm) [7] opracowany w 2010 roku, algorytm szarych wilków (Grey Wolf Optimizer – GWO) [8] opracowany w 2014 roku, algorytm optymalizacji wielorybów (Whale Optimization Algorithm) [9] opracowany w 2016 roku, jak również algorytm wody deszczowej (Rain Water Algorithm) opracowany w 2017 roku.

W stosunku do algorytmów genetycznych i metody roju cząstek stosowanych bardzo często do rozwiązania zadań optymalnej syntezy przetworników elektro- magnetycznych metoda szarych wilków (GWO) jest jeszcze rzadko stosowana.

Dopiero zaczynają pojawiać się prace dotyczące zastosowania metody GWO do rozwiązania problemów optymalizacji bez ograniczeń, zdecydowanie rzadziej publikowane są prace dotyczące zastosowania algorytmu szarych wilków do roz- wiązania zadań optymalizacji z ograniczeniami [10]. W dostępnej literaturze brak jest opracowań ujmujących kompleksowo zagadnienia dotyczące rozwiązania zadań optymalizacji z ograniczeniami, w szczególności opracowań prezentujących zastosowanie algorytmów (wykorzystujące metodę szarych wilków) na tyle efek- tywnych by można je było zastosować w procedurach rekursywnego projektowa- nia i optymalizacji.

Celem pracy jest opracowanie efektywnych i uniwersalnych procedur wyko- rzystujących metodę szarych wilków do rozwiązania zadań optymalnej syntezy przetworników elektromagnetycznych.

2. ORGANIZACJAIHIERARCHIAWSTADACHWILKÓW Wilki reprezentują rząd drapieżnych i zaliczane są do rodziny psowatych [11]. Wilki są zwierzętami stadnymi, organizujące się w grupy nazywane wata- hami. W stadach wilków obserwowany jest rozbudowany system rang społecz- nych (hierarchia), które decydują o pozycji każdego osobnika w grupie.

Każda wataha zajmuje określone terytorium, na terenie którego mieszka, po- luje oraz broni przed innymi wilkami. Podobnie jak każda grupa społeczna, wa- taha musi być zarządzana przez lidera – osobnika, który będzie stał na straży

Zastosowanie algorytmu szarych wilków do rozwiązania … 135 porządku. Liderem watahy jest osobnik alfa, nazywany basiorem [12]. Basior (osobnik o najlepszym przystosowaniu) zawsze przewodzi wędrującej grupie, rozpoczyna ataki na obce wilki naruszające terytorium kontrolowane przez wa- tahę, inicjuje polowania oraz wszystkie akcje podejmowane przez watahę [13].

Hierarchia panująca w stadzie wilków jest podobna do zależności liniowej, lide- rem grupy zostaje samiec, który wygrał bezpośrednie pojedynki z pozostałymi członkami stada [11]. O ustaleniu zasad hierarchii w stadzie mogą również de- cydować koligacje rodzinne. Bardzo ważną rolę w funkcjonowaniu watahy pełni samiec beta. Jest to osobnik, który ustępuję tylko samcowi alfa, ale jest silniej- szy od pozostałych osobników w grupie. W stadach żyjących na wolności osob- nikiem beta jest najczęściej osobnik najsilniejszy, którego lider przerasta spry- tem i inteligencją. Osobniki alfa i beta stanowią uzupełniającą się parę. Osobnik beta jest silny, odważny, pewny siebie jednak wykazuję uległość w stosunku do osobnika alfa. Osobnik beta przejmuje przywództwo w stadzie w przypadku, kiedy lider opuści watahę, zestarzeje się lub zginie.

Trzeci poziom w hierarchii watahy tworzą osobniki  [14], które są słabsze od osobników  i  ale silniejsze od osobników . Osobniki omega znajdują się najniżej w hierarchii stada [12]. Wykazują one podporządkowanie w stosunku do wszystkich osobników watahy; do pożywienia są dopuszczane ostatnie, czę- sto pełnią rolę „kozła ofiarnego”. Najczęściej osobnikami omega są osobniki najstarsze lub o wątłej budowie ciała. Osobniki omega mogą odejść swobodnie ze stada. Takie zachowania są jednak bardzo rzadko obserwowane, ponieważ takie osobniki nie są w stanie same przetrwać, nie są również na tyle silne, by założyć własną grupę.

3. MODEL MATEMATYCZNY TECHNIKI POLOWANIA Model matematyczny algorytmu szarych wilków został opracowany na pod- stawie obserwacji watah polujących na większe ssaki. Wilki mogą polować samo- dzielnie, w parach lub całymi stadami. W przypadku polowania całą watahą wilki stosują różnorodne taktyki w celu zdezorientowania swojej ofiary [11].

Przed rozpoczęciem polowania wilki dokonują rozpoznania stad potencjal- nych ofiar [15] – jest to etap obserwacji swojej ofiary. Po dokonaniu wyboru swojej ofiary zbliżają się do niej. Jeżeli ofiara nie wystraszy się drapieżnika lub zacznie zbliżać się w jego kierunku to wilk wycofuje się. Jeżeli zwierzę zacznie uciekać, wilki natychmiast ruszają w pościg – to etap pościgu. W trakcie pościgu często stosowana jest taktyka watahy polegająca na zmianie osobnika prowadzą- cego pościg. Drapieżniki mogą również zmuszać zwierzę do zmiany kierunku biegu. W tym etapie polowania często obserwowany jest podział watahy na gru- pę goniącą i czatującą. Po zatrzymaniu ofiary, drapieżniki natychmiast okrążają i atakują ze wszystkich stron.

W numerycznym odwzorowaniu zachowania watahy wilków wyznaczane są dyskretne położenia wszystkich osobników w kolejnych krokach czasowych.

136 Łukasz Knypiński, Lech Nowak

Położenie i-tego wilka w k-tym kroku czasowym jest w algorytmie wyznaczane według zależności:

1 1 1

i p p i

k  k_ A Ck k k_  k_

X X X X (1)

w której: k – numer kroku czasowego, X_k^p₁ – położenie ofiary (punktu opty- malnego) w poprzedniej chwili czasowej, A, C – parametry algorytmu.

W każdym kroku czasowym parametry A i C są obliczane następująco:

2 2

k k

A  a r , C_k a r_k1 (2)

przy czym: r1, r2 – liczby losowe z przedziału (0, 1), a – współczynnik określa- jący możliwość migracji wilków w obszarze rozwiązywanego zadania optymali- zacji. W przypadku dużej wartości parametru a osobniki mogą swobodnie prze- mieszczać się w obszarze rozpatrywanego zadania, algorytm jest wówczas algo- rytmem poszukiwań globalnych. Mała wartość parametru a sprawia, że opty- malny punkt poszukiwany jest w najbliższym otoczeniu osobnika.

W klasycznej metodzie GWO wartość parametru a zmienia się w zakresie [0, 2]. W zaproponowanym przez autorów algorytmie wartość współczynnika a zmniejsza się w kolejnych iteracjach według zależności:

 

1 0

0 max

1 1

k

a a

a a k

k

   

 (3)

przy czym: a₀, a₁ – początkowa i końcowa wartość parametru a, k_max – maksy- malna liczba kroków czasowych. Zmiany wartości współczynników decydują- cych o położeniu osobnika (np. współczynnik inercji) w kolejnych krokach cza- sowych stosowane są w innych niedeterministycznych metodach optymalizacji, tj. w metodzie roju cząstek [16].

Na podstawie technik polowania stosowanych przez wilki (etap otaczania po- tencjalnej ofiary) przyjmuje się, że punkt optymalny znajduje się pomiędzy naj- lepiej przystosowanymi osobnikami w stadzie (osobniki ,  oraz ). Dlatego dla wyznaczenia kolejnego położenia i-tego osobnika konieczne jest wyznacze- nie odległości tego osobnika od najlepszych osobników w stadzie:

1 1 i 1

k k

D^  C

X

^_

 X

_ ,D^  C₁

X

_k^_1

 X

_kⁱ_1 , D C_{3 k}^ ₁ i_{k 1}

 



X  X

(4)

Ostatecznie położenie i-tego osobnika w k-tej chwili czasowej wyznaczane jest następująco:

1 2 3

3

ik

 

X X X

X (5)

przy czym: X₁X^_k1A D^_k ^, X₂ X_k^_1A D_k^{ }, X₃X^_k1A D_k^{ }. Schemat blokowy algorytmu szarych wilków przedstawiono na rys. 1.

Zastosowanie algorytmu szarych wilków do rozwiązania … 137

Rys. 1. Schemat blokowy algorytmu szarych wilków

4. TEST POPRAWNOŚCI ALGORYTMU

Opracowano procedurę optymalizacyjną z wykorzystaniem algorytmu sza- rych wilków. Poprawność procedury sprawdzano rozwiązując dwa testowe za- dania. W pierwszym przypadku poszukiwano minimum globalnego funkcji:

  

^{2 2}



^{2 2 2}

1 1, 2 3 1 2 2 1 2

f x x  x  x x  x (6)

przy czym: –2  x₁ 2, -2  x₂  2.

Minimum globalne funkcji f₁(x₁,x₂) znajduje się w punkcie (0,0). Obliczenia optymalizacyjne wykonano dla następujących parametrów algorytmu GWO:

liczba osobników N = 40, współczynniki a₀ = 2, a₁ = 0,3 oraz maksymalna liczbę iteracji k_max = 30. Procedurę powtarzano dziesięciokrotnie, w tabeli 1 przedsta- wiono wyniki obliczeń symulacyjnych dla najbardziej efektywnego procesu pod względem czasu trwania obliczeń. W kolejnych wierszach tabeli wyszczegól- niono położenia osobnika , osobnika , wartości funkcji celu dla osobnika  oraz średnią wartość funkcji celu dla całego stada osobników.

138 Łukasz Knypiński, Lech Nowak Tabela 1. Przebieg procesu optymalizacji dla funkcji f1(x1,x2).

k (x1)^ (x2)^ (x1)^ (x2)^ f^(x1,x2) fav

1 0,87775 –0,57005 0,06542 –1,87120 3,107033153 29,978440321 2 1,61953 1,35551 –1,42305 –0,53198 0,712064271 1,517177238 3 –0,04208 0,32658 0,13741 0,35754 0,058638166 0,095957975 4 –0,07587 0,21678 –0,06248 0,21909 0,001563936 0,001856433 5 –0,01692 0,03381 –0,02184 0,03296 0,000046999 0,000072058 6 –0,00162 0,00655 0,00013 0,00685 0,000003670 0,000005150 7 –0,00089 0,00130 –0,00133 0,00132 0,000000110 0,000000258 9 –0,00009 0,00007 –0,00010 0,00010 0,000000001 0,000000002 12 0,00000 0,00000 0,00000 0,00000 0,000000000 0,000000000

W celu oceny efektywności algorytmu GWO wykonano obliczenia optymali- zacyjne przy wykorzystaniu procedury klasycznego algorytmu roju cząstek (PSO). Obliczenia wykonano dla roju o liczebności N = 40 cząstek. Przyjęto ten sam wektor położeń początkowych jak dla metody szarych wilków. Wartości współczynników metody roju cząstek przyjęto na podstawie pracy [16]. Obli- czenia zostały powtórzone również dziesięciokrotnie. Wyniki obliczeń procesu optymalizacji w kolejnych krokach czasowych zestawiono w tabeli 2.

Tabela 2. Przebieg procesu optymalizacji dla metody roju cząstek.

k x1 x2 f^(x1, x2) fav

1 0,87775 –0,57005 3,107033153 29,978440321 2 0,87775 –0,57005 3,107033153 29,978440321 3 0,83561 –0,94776 1,68546058 32,27827039

5 –0,31294 0,03059 0,18409129 2,10860291

7 –0,04431 –0,12927 0,01943341 0,62227643 10 –0,02241 –0,03348 0,00162374 1,81394694

15 0,00950 –0,00367 0,00003233 0,01756053

20 0,00023 0,00045 0,00000026 0,00011495

26 –0,00009 –0,00001 0,00000001 0,00000222 Na podstawie wyników przedstawionych w powyższych tabelach można stwierdzić, że oba badane algorytmy wyznaczyły poprawnie minimum lokalne.

Rozwiązanie zbliżone do optymalnego dla algorytmu GWO zostało osiągnięte po około 5-6 krokach czasowych, zaś w przypadku algorytmu PSO rozwiązanie zbliżone do optymalnego uzyskano po około 13-15 krokach czasowych.

Przepr gorytmów nia wykon rytmu GW

a) k

c) k

Rys. 2. Ro

W dru posiadając

 

2 1, 2

f x x Ekstre Obliczeni a₀ = 1, a₁ bę iteracji wilków pr

Zastosow rowadzono o w GWO i PS nano dla N = WO przedstaw

k=1

k=5

ozmieszczenie o

ugim teście p cej cztery ek



 3 [0,1x1²

mum global ia wykonano

= 0,1. Jako k i k_max = 30. W rzedstawiono

wanie algorytm obserwacje z SO w początk

= 20 osobnik wiono na rys

osobników stad

oszukiwano kstrema:



x1 1,2



²

 

lne funkcji f o dla następuj

kryterium za Wyniki oblic o w tabeli 3.

mu szarych wil zmian położe kowych krok ków. Wyniki

s. 2, zaś dla m

da w kolejnych

globalnego

 

2 2

1 2,8 ] x  f₂(x₁, x₂) wy ujących param

akończenia o czeń dla wyb

lków do rozw enia wszystk kach czasow i obliczeń sy metody PSO

b) k=2

d) k=8

krokach czasow

maksimum f



22

[0,04x

 

stępuje w pu metrów algor obliczeń przy branych itera

wiązania … kich osobnik wych procesu ymulacyjnych

– na rys. 3.

wych dla algory

funkcji multi



x22,3 (



² x unkcie (1,15 rytmu GWO yjęto maksym

acji algorytm

139 ów dla al- u. Oblicze- h dla algo-

ytmu GWO

imodalnej,

2 3,7) ]2

x  (7) 57, 2.257).

O: N = 100, malną licz- mu szarych

140 a) k

c) k

Rys.

Tabela 3. P

k (

1 1,26 2 1,04 3 1,1 4 1,26 5 1,16 10 1,16 20 1,16 30 1,16 W tabe algorytmu Na po stwierdzić pięciu iter

k=2

k=6

3. Rozmieszcz

Przebieg proce (x1)^ (x 63699 2,47 40594 2,28 17957 2,14 66845 2,25 607295 2,227 62582 2,25 62582 2,25 62582 2,25 eli 4 przedsta u roku cząste odstawie wy ć, że wynik

racjach czas

Łukasz K

zenie cząstek w

esu optymaliz x2)^ (x1

1876 1,043 2112 1,152 3188 1,117 4575 1,152 79449 1,058 9655 1,000 9655 1,045 9655 1,128 awiono wyn ek.

yników oblic

„optymalny”

owych algor

Knypiński, Lec

kolejnych krok

zacji dla funkc

1)^ (x2) 3642 2,0949 2653 2,1195 7818 2,1421 2343 2,0968 0516 2,0343 0000 2,0000 5719 2,0388 8460 2,1934

iki obliczeń czeń dla po

” metodą GW rytmu. W ko

ch Nowak b) k=4

d) k=8

kach czasowych

cji f2(x1, x2).

 f^(x1, 905 2,54176 564 2,60409 131 2,61264 831 2,62137 3312 2,65132 000 2,65346 840 2,65346 474 2,65346

dla wybrany owyższej fun WO został o olejnych kro

h dla algorytmu

x2) f

661 2,319 9374 2,605 4498 2,618 7181 2,590 2642 2,624 679 2,487 679 2,545 679 2,645

ych kroków c nkcji testow siągnięty już kach czasow

u PSO

fav

9144492 92947 84009 06386 45285 77575 55629 51128

czasowych wej można ż po około wych poło-

Zastosowanie algorytmu szarych wilków do rozwiązania … 141 żenie osobnika alfa nie ulega zmianom, zaś położenie osobnika beta zmienia się nieznacznie. Algorytm szarych wilków znalazł punkt „optymalny” bliżej mak- simum globalnego niż algorytm roju cząstek.

Rozpatrywane przykłady testowe pokazują przewagę algorytmu szarych wil- ków nad algorytmem roju cząstek, szczególnie w przypadku funkcji multimo- dalnej, tj. funkcji zawierającej więcej niż jedno ekstremum. Algorytm GWO jest bardziej efektywny i bardziej odporny na „utknięcia” w ekstremach lokalnych.

Wynika to zapewne z faktu, że w metodzie PSO uwzględnia się tylko informację o położeniu własnym osobników i położeniu lidera (punkt najlepszy). Natomiast w procedurze GWO, w kolejnych iteracjach pamiętane są położenia alternatyw- nych liderów, a więc informację zarówno o położeniu samca  jak i samca .

Istotne jest również rozróżnienie pomiędzy osobnikami niższych rzędów – osobników  i osobników .

Tabela 4. Przebieg procesu optymalizacji dla algorytmu roju cząstek.

k x1 x2 f(x1, x2) fav

1 1,263699 2,471876 2,54176610 2,31840090 2 1,192958 2,123887 2,60007376 0,57205640 3 1,154928 2,360054 2,63184695 0,57433755 4 1,154928 2,360054 2,63184695 0,57433755 5 1,192974 2,258361 2,64994257 0,58757500 6 1,192974 2,258361 2,64994257 0,98757500 7 1,192974 2,258361 2,64994257 1,38757500 8 1,167744 2,233639 2,65183055 1,58790253 30 1,167744 2,233639 2,65183055 2,28190653

5. OPTYMALIZACJA SILNIKA SYNCHRONICZNEGO O ROZRUCHU WŁASNYM

Wykorzystując procedurę optymalizacyjną opracowaną w środowisku pro- gramistycznym Borland Delphi przeprowadzono proces optymalizacji silnika synchronicznego o rozruchu własnym. Obliczenia optymalizacyjne wykonano przy wykorzystaniu oprogramowania składającego się z dwóch niezależnych modułów: (a) modułu optymalizacyjnego, zawierającego procedurę szarych wilków oraz (b) modelu matematycznego silnika synchronicznego o rozruchu własnym, opracowanym w środowisku Ansys Maxwell.

Zadanie optymalizacji polegało na zaprojektowaniu układu wzbudzenia sil- nika przy zadanych wymiarach obwodu magnetycznego stojana seryjnie produ- kowanego sześciobiegunowego silnika indukcyjnego. Stojan silnika indukcyjne- go ma następujące parametry strukturalne stojana: długość pakietu Ls = 115 mm,

142 Łukasz Knypiński, Lech Nowak

średnica zewnętrzna Dz = 240 mm, średnica wewnętrzna Dw = 165 mm, liczba żłobków ns = 54. Wymiary prętów uzwojenia wirnika wyznaczono na podstawie wymaganego momentu rozruchowego. Przyjęto następujące wymiary uzwojenia klatkowego: średnica pręta dp = 6,3 mm i pole powierzchni pierścienia sp = 150 mm². Układ wzbudzenia wykonano z materiału NdFeB N33 o właściwo- ściach: Hc = 836 kA/m, Br = 1,15 T [17]. Struktura obwodu magnetycznego roz- patrywanego silnika została przedstawiona na rysunku 4.

Układ wzbudzenia silnika opisano przy pomocy trzech zmiennych decyzyj- nych (rys. 4): s₁ = l_m – długość magnesu, s₂ = g_m – grubość magnesu oraz s₃ = r_m – odległość pomiędzy magnesami. Przyjęto przedziały zmienności zmiennych decyzyjnych: lm(170) mm, gm(110) mm oraz rm(112) mm.

Rys. 4. Struktura obwodu magnetycznego silnika synchronicznego o rozruchu własnym

Jako kryterium optymalności przyjęto funkcję multiplikatywną składającą się z trzech składników powiązanych z poborem energii przez urządzenie. Funkcje celu dla l-tego osobnika przyjęto:

     

80

 

0 0

0

cos cos

l l l

l T

f T

 

 

   

 

   

s s

s

s

(8)

przy czym: s = [s₁, s₂, s₃]^T – wektor złożony ze zmiennych decyzyjnych, η^l(s), cos^lφ(s), T80l

 

s – sprawność, współczynnik mocy oraz wartość momentu elektro- magnetycznego przy prędkości n = 0,8ns dla l-tego punktu (wilka w stadzie), η0, cosφ0,T0 – średnie wartości sprawności, współczynnika mocy i momentu elektro- magnetycznego uzyskane w procesie inicjacji początkowego stada wilków.

Wykonano obliczenia optymalizacyjne dla następujących parametrów proce- dury optymalizacyjnej: N = 45 osobników, współczynników a₀ = 2, a₁ = 0,1 oraz dla maksymalnej liczby kroków czasowych k_max = 40. W tabeli 5 przedstawiono

Zastosowanie algorytmu szarych wilków do rozwiązania … 143 wynik procesu optymalizacji: wartości zmiennych decyzyjnych, parametrów funkcjonalnych silnika dla najlepszego osobnika w stadzie.

Tabela 5. Wynik procesu optymalizacji silnika synchronicznego.

lm gm rm (s) cosφ(s) T80(s) mm f(s)

[mm] [mm] [mm] [%] [-] [Nm] [kg] [-]

65,248 4,819 6,380 91,81 0,942 122,406 1,605 2,5842

6. PODSUMOWANIE

W artykule przedstawiono nową niedeterministyczną metodę optymalizacji bezwarunkowej. Model matematyczny, algorytm i oprogramowanie metody zostały opracowane na podstawie zachowań i technik polowania obserwowa- nych w watahach szarych wilków.

Poprawność algorytmu analizowano rozwiązując dwa testowe zadania opty- malizacji z analitycznymi funkcjami celu. Wykazano, że algorytm GWO jest bardziej uniwersalny i odporny na zakłócenia w zachowaniu lidera niż algorytm roju cząstek. Zatem w procesie optymalnego projektowania urządzeń elektroma- gnetycznych może być lepszy nie tylko od PSO, ale też od algorytmów gene- tycznych.

Badano możliwość zastosowania algorytmu szarych wilków do rozwiązania zadań optymalizacji zadań projektowania przetworników elektromagnetycznych bez ograniczeń. Wykonano optymalizację układu wzbudzenia sześciobieguno- wego silnika synchronicznego o rozruchu własnym.

LITERATURA

[1] Di Barba P., Mognaschi M. E., Venini P., Wiak S., Biogeography-inspired multiobjective optimization for helping MEMS synthesis, Archives of Electrical Engineering, vol. 66, no. 3, pp. 607–623, 2017.

[2] McCall J., Genetic Algorithms for modeling and optimization, Journal of Computa- tional Applied Mathematics, vol. 184, no. 1, pp. 205–222, 2005.

[3] Haibin D., Li S., Shi Y., Predator–prey brain storm optimization for DC brushless motor, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 49, no. 10, 5336–5340, 2013.

[4] Knypiński Ł., Zastosowanie metody wzorowanej na echolokacyjnym zachowaniu nietoperzy w optymalnym projektowaniu przetworników elektromagnetycznych, Poznań University Academic Journals, Electrical Engineering, No. 91, s. 365–374, 2017.

[5] Jędryczka C., Knypiński Ł., Demenko A., Sykulski J. K., Methodology for cage shape optimization of permanent magnet synchronous motor under line start condi- tion, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 54, no. 3, 8102304, 2018.

144 Łukasz Knypiński, Lech Nowak

[6] Cvetovski G., Petkowska L., Optimal design of axial flux permanent magnet motor using Cuckoo search, Przegląd Elektrotechniczny, no. 12, pp. 25–28, 2016.

[7] Yang X. S., Gandomi A. H., Bat algorithm: a novel approach for global engineer- ing optimization, Engineering Computations: International Journal for Computer–

Aided Engineering and Software, vol. 29, no. 5, pp. 464–483, 2012.

[8] Mirjalili S., Mirjalili S. M., Lewis A., Grey wolf optimizer, Advances in Electical Engineering, vol. 69, pp. 46–61, 2014.

[9] Mirjalili S., Lewis A., The whale optimization algorithm, Advances in Engineer- ing Software, vol. 95, pp. 51–67, 2016.

[10] Karnavas Y. L., Chasiotis I. D., Peponakis E. L., Permanent magnet synchronous motor design using grey wolf optimizer algorithm, International Journal of Elec- trical and Computer Engineering, vol. 6, no. 3, pp. 1353–1362, 2016.

[11] Wierzbowska I., Wilk, Wydawnictwo Fundacji Wspierania Incjatyw Ekologicz- nych, Kraków 2010.

[12] Bernacka H., Nowacka M., Zawiślak J., Zachowanie wilka szarego w niewoli, Przegląd hodowlany, nr 5, s. 41–45, 2014.

[13] Lewis M., A., Murray J. D., Modelling territorliality and wolf-deer interactions, Nature, vol. 366, pp. 738–740, 1993.

[14] Madadi A., Mohseni Motlagh M., Optimal control of DC motor using Grey Wolf optimizer algorithm, Technical Journal of Engineering and Applied Sciences, vol.

4, no. 4, pp. 373–379, 2014.

[15] Mech L. D., Extinguishing a learning response in a free-ranging gray wolf, The Canadian Field-Naturalist, vol. 131, pp. 23–25, 2017.

[16] Knypiński Ł., Nowak L., Sujka P., Radziuk K., Application of a PSO algorithm for identification of the parameters of Jiles-Atherton hysteresis model, Archives of Electrical Engineering, vol. 30, no. 2, pp. 139–148, 2012.

[17] https://www.arnoldmagnetics.com/products/neodymium-iron-boron-magnets/.

APPLICATION OF THE GRAY WOLF OPTIMIZER FOR OPTIMIZATION OF ELECTROMAGNETIC DEVICES

The article presents an algorithm and computer software for optimization of electro- magnetic devices. The gray wolf optimizer was applied as an optimization algorithm.

Optimization procedure was developed in the Borland Delphi environment. The correct- ness of the algorithm was tested by solving two test optimization tasks. The course of the optimization process for two non-deterministic methods: gray wolf optimizer and parti- cle swarm optimization have been compared. It has been pointed out that the gray wolf algorithm is more universal and resistant to disturbances in the behavior of the leader than the particle swarm algorithm.The optimization of the rotor of the six-poles line- start permanent magnet synchronous motor has been carried out.

(Received: 29.01.2019, revised: 05.03.2019)