WYKORZYSTANIE ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO OPTYMALIZACJI UKŁADU STEROWANIA ELIMINATOREM DRGAŃ OBRABIARKI

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, s. 119-126, Gliwice 2006

WYKORZYSTANIE ALGORYTMU GENETYCZNEGO DO OPTYMALIZACJI UKŁADU STEROWANIA

ELIMINATOREM DRGAŃ OBRABIARKI

STEFAN DOMEK

Instytut Automatyki Przemysłowej, Politechnika Szczecińska

ARKADIUSZ PARUS

Instytut Technologii Mechanicznej, Politechnika Szczecińska

Streszczenie. W wielu pracach, przeciwdziałanie drganiom samowzbudnym, a tym samym podniesienie wibrostabilności obrabiarki realizowane jest z wykorzystaniem eliminatorów drgań. W referacie dokonano optymalizacji układu sterowania semiaktywnym, elektromagnetycznym eliminatorem drgań, używając algorytmu genetycznego. Przedstawiono syntezę regulatora z suboptymalnym lokowaniem zer i biegunów oraz zaproponowano funkcję kryterialną do optymalizacji jego parametrów. Skuteczność układu regulacji oraz wyniki optymalizacji zweryfikowano na drodze symulacji komputerowych.

1. WSTĘP

Pracy obrabiarek mechanicznych bardzo często towarzyszą drgania samowzbudne, prowadzące do znacznego pogorszenia jakości powierzchni obrabianej. Dodatkowo następuje przedwczesne zużycie narzędzi skrawających, znaczny wzrost poziomu drgań obrabiarki odbijający się niekorzystnie na jej trwałości oraz zwiększona emisja hałasu. Ze względu na szkodliwy charakter tego zjawiska poszukiwane są skuteczne metody jego eliminacji lub zmniejszenia jego negatywnych skutków. Wykorzystuje się w tym celu m.in. sterowane zmiany prędkości obrotowej narzędzia skrawającego, adaptacyjne sterowanie posuwem oraz zmiany geometrii narzędzia w trakcie obróbki. Badane są również układy z eliminatorami drgań wykorzystującymi aktuatory elektromagnetyczne, piezoelektryczne, oraz elementy o zmiennym tłumieniu na bazie cieczy magneto- i elektroreologicznych. Poziom wibracji obrabianego materiału i/lub narzędzia zmniejszany jest w takim przypadku poprzez modyfikację charakterystyki układu masowo-dysypacyjno-sprężystego (MDS) (eliminatory pasywne) lub poprzez wytwarzanie dodatkowych drgań nakładających się na drgania podstawowe (eliminatory aktywne). Eliminatory semiaktywne łączą w sobie oba oddziaływania.

Skuteczność działania eliminatorów semiaktywnych i aktywnych w głównej mierze zależy od efektywności zastosowanego układu i algorytmu sterowania. W literaturze specjalistycznej opisywane są różnorodne próby regulacji eliminatorów. Najprostsze układy wykorzystują klasyczne algorytmy PID, w bardziej złożonych stosowane są nowoczesne metody sterowania, takie jak algorytmy rozmyte lub sztuczne sieci neuronowe. Skuteczne są też metody

wykorzystujące zasadę modelu wewnętrznego (IMP) oraz lokowanie biegunów i zer (PZP). W każdym przypadku problemem do rozwiązania pozostaje jednak skuteczne nastrojenie wybranego układu regulacji eliminatora, tak aby zminimalizować niekorzystne efekty drgań samowzbudnych w możliwie najszerszym zakresie pracy obrabiarki (prędkości posuwu, głębokości i prędkości skrawania).

W pracy zaproponowano sposób optymalizacji układu sterowania semiaktywnym, elektromagnetycznym eliminatorem drgań, przy użyciu algorytmu genetycznego. Opisano syntezę układu regulacji eliminatora z suboptymalnym lokowaniem biegunów i zer. W metodzie tej konieczne jest zdefiniowanie położenia zer i biegunów. Poprawę efektywności tej metody można osiągnąć wykorzystując algorytm genetyczny do poszukiwania optymalnego zestawu parametrów. W niniejszej pracy przedstawiono wyniki optymalizacji oraz porównano skuteczność metody przed oraz po optymalizacji w oparciu o wybrane kryterium jakości.

Wyniki uzyskane zostały na drodze symulacji komputerowych z wykorzystaniem mechanistycznego modelu procesu skrawania [2]. Przeprowadzono również wstępne badania laboratoryjne eliminatora zamontowanego na obrabiarce FWD 32-J, sterowanego systemem szybkiego prototypowania dSpace 1104.

2. MODEL MATEMATYCZNY

Na rys. 1 przedstawiony jest schematycznie przedmiot obrabiany o masie m1 i współczynniku tłumienia h1 i sprężystości k1 wraz z dołączonym eliminatorem drgań, który składa się z elektromagnesu o odpowiednio dobranej masie m2 zawieszonego na płaskich sprężynach o parametrach k2 i h2. Szczegóły dotyczące modelu można znaleźć w pracy [2].

m₁ m₂

k₁

h₁

h₂ k₂ F_skr

F_el

y₁ y₂

Rys.1. Model obiektu: m1– przedmiot obrabiany, m2 – eliminator drgań

Przy projektowaniu układu sterowania posłużono się modelem opisanym w [1]

zlinearyzowanym w punkcie pracy i0=300 mA, yG0=1 mm.

x = Ax + Bu y = Cx

&

(1)

Rozpatrywany w pracy obiekt ma jedno wejście sterujące – napięcie elektromagnesu u, oraz jedno wejście zakłócające – niemierzalną siłę skrawania Fskr tworzące wektor wejściowy u:

[

]

=

u (2)

Stan obiektu określa wektor x:

[

]

=

x & & (3)

gdzie y y₁, ₂, y y i& &₁, ₂, to odpowiednio położenia i prędkości obrabianego przedmiotu i eliminatora oraz prąd elektromagnesu. Macierze A, B, C zdefiniowane są następująco:

1 2 2 1 2 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2 2

0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

2 2 2

0 0

s s i

s s i

i i

k k k k k h h h k

m m m m m

k k k k h h k

m m m m m

k k R

L L L

 

 

 

− − + − − − 

 

 

= − − + − − 

 

 

 − − 

 

 

A (4)

1

0

0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

, 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

T

m

L

   

   

 

=   

B C = (5)

0 0 0

2

0 0

3 2 0

2 2 2

, ,

s i

G G G

Ki Ki K

k k L

y y y

= = = (6)

przy czym K jest stałą elektromagnesu,

0 1 2

yG = −y y szczeliną powietrzną oraz R rezystancją cewki.

Rys 2 przedstawia charakterystykę amplitudową analizowanego układu wykazującą dwie częstości własne przy ω1=2π89 i ω2=2π137 rad/s.

10 -160

-140 -120

2 10³

dB

rad/s ω1 ω2

Rys.2. Charakterystyka amplitudowa układu wraz z dołączonym eliminatorem

3. STEROWANIE ELIMINATOREM DRGAŃ

Na rysunku 3 przedstawiony jest blokowy schemat rozpatrywanego układu sterowania wraz z układem MDS obrabiarki i procesem skrawania.

Rys.3. Sterowany eliminator drgań z układem MDS obrabiarki oraz procesem skrawania

W pracy [1] został zaproponowany algorytm sterowania eliminatorem drgań bazujący na lokowaniu zer i biegunów. Pozwala on tak ukształtować charakterystykę amplitudową układu, aby zwiększyć tłumienie w zakresie niższej częstości rezonansowej ω1 przy jednoczesnym zwiększeniu wyższej częstości ω2. W tym celu z (1) została wyznaczona transmitancja F_skr/y₁

przy czym jej licznik można przedstawić w postaci (7)

2 2

1 2 2

( )( )

NFskr = +s ω s +sω d+ω (7)

Istotną rolę odgrywają sprzężone zera zespolone, które dla układu z rys. 2 odpowiadają ω2ο=2π107. Aby zwiększyć tłumienie w otoczeniu niższej częstotliwości, zera zostały przesunięte tak, aby stanowiły filtr dla ω2=2π86. Niestety, w układzie (1) nie można dokonać niezależnego rozmieszczenia zer i biegunów. Zmiana położenia zer jednocześnie pociąga za sobą zmianę położenia biegunów. Macierz transmitancji operatorowych dla układu regulacji ze sprzężeniem od stanu K, opisuje wzór:

s ⁻1

= − +

G C[ I A BK] B (8)

Równanie (8) można przedstawić w postaci:

1 , D det[s ]

=D _{1 m} = − +

G [N ....N ] I A BK (9)

gdzieN ....N –macierze kolumnowe liczników transmitancji G. _{1 m} Dla układów liniowych spełniona jest zależność [4]:

[s ]_ad [s ]_ad

= − + = − +

i i i i

N C I A BK b C I A BK b (10)

gdzie: ^K=

[

]

[

]

[

]

Oznacza to, że wykorzystując sprzężenie od stanu Ki, można nadać licznikom transmitancji Ni

z góry zadaną postać, ponieważ i-ty wiersz macierzy wzmocnień K nie ma wpływu na położenie zer i-tej kolumny macierzy liczników transmitancji Ni. Niech:

1

T

i li

n n

+ =  + +

Ni L (12)

będzie pożądaną macierzą liczników transmitancji zapewniającą układowi określone właściwości, natomiast Ni macierzą liczników transmitancji układu ze sprzężeniem Ki:

1_{i li} ^T [ ]_ad

n n s

 

=  = − +

i i i

N L C I A BK b (13)

Szukane elementy macierzy Ki można wyznaczyć, przyjmując liczniki transmitancji w ogólnej postaci:

1 1

1 1

1 2 0

1 2 0

ji

j i

n s s s

n s s s

η η

η η

η η η

η η η

α α α

β β β

− −

− −

+ − −

− −

= + + + +

= + + + +

K

K (14)

i rozwiązując równanie:

ji j i

n⁺ =n (15) Położenie biegunów również ulegnie zmianie, gdyż:

1 1

1 2 0

det[ ]

D⁺ = sI− +A BK_i =s^λ+δ_λ−s^λ− +δ_λ− s^λ− + +K δ (16) Jeśli w rozpatrywanym układzie zachodzi relacja

-λ η ν= >0 (17) z (17) można wyznaczyć η elementów Ki. Pozostałe ν elementów Ki można wykorzystać do celowej korekty położenia biegunów układu ze sprzężeniem Ki. Dla badanego układu:

1[N_Fskr N_u]

= D

G (18)

W układzie sterowania wykorzystuje się możliwość uzyskania pożądanej postaci licznika transmitancji dla wejścia Fskr za pomocą sprzężenia od stanu działającego na wejście u.

W celu uzyskania zamierzonego efektu przyjęto licznik NFskr w postaci:

3 2 6 5

1416 744 10 2716 10

NFskr = +s s + ⋅ s+ ⋅ (19)

co odpowiada ulokowaniu zer odpowiednio dla częstotliwości równych 86 [Hz] i 148 [Hz].

Synteza układu sterowania sprowadza się do wyznaczenia na podstawie zależności (10)-(15) wektora sprzężenia od stanu w ogólnej postaci:

1 2 3 4 5

[k k k k k_{B B B B B} ]

=

k (20)

W rozpatrywanym przypadku eliminatora semiaktywnego, biorąc pod uwagę model (1)-(6), uzyskuje się zależności:

(

)

D B B B B B

D⁺ = f k k k k k (21)

(

)

Fskr N B B B

N = f k k k (22) co odpowiada ν=2 w zależności (17). Można zatem elementy kB1 oraz kB3 wykorzystać do korekty położenia biegunów. Dobierając wektor k w postaci [1]:

3 3

10 [15 10 1757 3.5 3.3 10]

= ⋅ ⋅ −

k (23)

uzyskuje się charakterystykę amplitudowo-fazową przedstawioną na rys. 4.

-160 -140 -120

2 3

dB

10 10 rad/s

Rys.4. Charakterystyka amplitudowa dla układu ze sterowanym eliminatorem

3. OPTYMALIZACJA Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO (GA) Ze względu na brak możliwości niezależnego od siebie lokowania zer i biegunów, prawidłowe wybranie ich położenia jest trudne. Z tego powodu zastosowany został algorytm genetyczny do znalezienia optymalnej postaci równania (7). Poszukiwane parametry oraz ich zakres zmienności znajdują się w tabeli 1. Algorytmy genetyczne wykazują kilka istotnych cech: stosunkowo prosty aparat matematyczny, brak ograniczeń nakładanych na optymalizowaną funkcję oraz zdolność do wyszukiwania ekstremum globalnego. Decydują one o wyborze GA jako metody optymalizacji. Podstawą działania GA są operacje na populacji osobników zbudowanych z chromosomów (ciągów kodowych) reprezentujących przestrzeń poszukiwań. Dzięki operacjom reprodukcji (selekcji), mutacji i krzyżowania powstają nowe populacje składające się z osobników lepiej przystosowanych do środowiska tzn. w większym stopniu podobne do poszukiwanego optymalnego rozwiązania [3]. Rysunek 5 przedstawia schemat blokowy działania klasycznego algorytmu genetycznego.

Rys.5. Schemat blokowy działania algorytmu genetycznego

Wybór populacji początkowej, w prostym algorytmie genetycznym sprowadza się do wygenerowania odpowiedniej liczby n osobników. Zazwyczaj generuje się ją losowo, dbając o to, aby była możliwie różnorodna. Zapewnia to szeroki zakres przeszukiwanych rozwiązań, znacznie zwiększając szanse na szybkie znalezienie rozwiązania bliskiego optymalnemu. Do losowo wygenerowanej populacji można także wprowadzić określoną ilość osobników o zadanych właściwościach zgodnie z (24)

0

,1 , ,

0.1 , 1

[ ,..., ], , (min, max)

l

l l j l j

l X l n k

X X X n k l n X rand

⋅ ⋅ ≤ ≤ −

=  − < ≤ = (24)

gdzie X0 jest rozwiązaniem wyznaczonym w rozdziale 2, funkcja rand(min,max) generuje liczbę losowo z zakresu min,max. Dzięki temu populacja początkowa zawiera sprawdzone rozwiązanie o wysokim stopniu przystosowania. Rozmiar populacji został ustalony na n=20.

Zakres min-max jest zależny od zakresu zmienności konkretnego parametru i został przedstawiony w tabeli 1.

Tabela 1. Zakres zmienności poszukiwanych parametrów

ω1 ω2 d k1 k3

10-1500 10-1500 0-10 -10⁶-10⁶ -10⁶-10⁶

Do przedstawienia poszukiwanych współczynników w populacji zastosowano kodowanie binarne. Ocena stopnia przystosowania osobnika dokonywana jest na podstawie porównawczego kryterium jakości regulacji J:

( ^R )

J = −α^δ +βI+γU (25)

gdzie składowe wskaźnika J zdefiniowane są następująco:

[

]

0 0 0

1 1

( ) , ,

T T T

RMS y t dt I i dt U u dt

T T

=

∫

∫

∫

Im większa jest wartość J, tym lepiej dany osobnik spełnia postawione przed nim zadanie [3]. Dominującym czynnikiem jest wartość skuteczna drgań przedmiotu liczona dla czasu pracy pojedynczego ostrza T, obrazująca poziom drgań przedmiotu obrabianego. Stabilność obróbki jest zależna od prędkości obrotowej wrzeciona i może się zdarzyć sytuacja, gdy algorytm genetyczny wypracuje rozwiązanie, które cechuje się wysoką wartością funkcji celu dla przyjętej prędkości obrotowej, a układ traci stabilność w przypadku jej zmiany. Aby zapobiec takiej sytuacji, składowa R uwzględnia wartości RMS (27) dla trzech różnych wartości obrotów wrzeciona (90,180,450). Dla tych prędkości w pracy [1] stwierdzono najszybszą utratę stabilności.

3

1

( _{k min})

k

R RMS RMS

=

=

∑

Wskaźnik jakości dodatkowo uwzględnia parametry sygnału sterującego i korzystne jest, aby był on jak najmniejszy zarówno co do wartości amplitudy napięcia u jak i wartości średniej prądu i. Zapewniają to człony U oraz I.

Stałe a=1.7, b= 4.5 10⁵, g=100, d=3 10^-6 użyte zostały w celu odpowiedniego przeskalowania poszczególnych składowych, zapewniając pożądany ich udział w całkowitym kryterium jakości.

Algorytm genetyczny działa dzięki operacjom genetycznym - selekcji, krzyżowania i mutacji. Pierwsza z nich określa, jakie osobniki będą miały największy wpływ na przyszłą populację. Wykorzystana została metoda selekcji rankingowej. Krzyżowanie jest procedurą wymiany materiału genetycznego między dwoma osobnikami. Dzięki niej powstają nowe osobniki, które mają szansę uzyskać wartość funkcji przystosowania większą niż najlepszy

osobnik z bieżącej populacji. Bardzo istotną rolę pełni również mutacja. To dzięki niej algorytmy genetyczne wykazują odporność na ekstrema lokalne i przeszukując bardzo szeroki zakres rozwiązań, znajdują ekstremum globalne. Mutacja zapewnia również utrzymanie różnorodność osobników na właściwym poziomie w końcowej pracy algorytmu. Jednocześnie zbyt duża jej wartość przekształca algorytm w niemal losowe poszukiwanie rozwiązań.

Przyjęte wartości prawdopodobieństwa krzyżowania, mutacji oraz rozmiaru populacji wynoszą odpowiednio: pk=0.6, pm=0.05.

4. WYNIKI SYMULACJI

Poniżej przedstawiony został wynik optymalizacji algorytmu sterowania eliminatorem drgań z wykorzystaniem GA dla prędkości obrotowej n=90obr/min oraz szerokości skrawania w=3,8mm. Na rys. 6a przedstawiony jest wykres przemieszczeń przedmiotu obrabianego (linia ciągła). Widać wyraźną poprawę w stosunku do algorytmu bez optymalizacji. Porównanie charakterystyki amplitudowej dla obu układów oraz układu bez sterowania eliminatorem jest przedstawione na rys 6b. Rys. 7a i 7b przedstawiają przebieg prądu oraz napięcia sterującego elektromagnesem. Średnia wartość prądu jest mniejsza, co jest istotne, ponieważ do syntezy regulatora posłużono się zlinearyzowanym modelem i duża wartość średnia powoduje znaczące przesunięcie przyjętego punktu pracy. Na rys 7b można zaobserwować ograniczenie amplitudy napięcia, co również jest korzystne. Przebieg funkcji celu w trakcie optymalizacji przedstawiony jest na rys. 8a. Rys. 8b ukazuje położenie biegunów dla układu po oraz przed optymalizacją.

a) ^{0 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1}

1 2 3 4 x10

m-5

b) ^{10 10 rad/s}

-160 -140 -120

2 3

dB

Rys. 6 a) Przebieg drgań przedmiotu obrabianego dla układu po (ciągła) i przed optymalizacją (przerywana), b) charakterystyka amplitudowa dla układu po optymalizacji (ciągła czarna),

przed (ciągła szara) oraz bez sterowania (przerywana)

a) ^{0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1}

-30 -20 -10 0 mA

b) ^{-100 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1}

-50 0 50 100 150 V

Rys. 7 a) Przebieg prądu b) napięcia dla układu po (ciągła) i przed optymalizacją (przerywana)

a) ^{-50500 50 100 150 200 250 300}

-4950 -4850 -4750

b) ^{-850 -800 -350 -300 -250Re -200 -150 -100 -50}

-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 Im

Rys. 8 a) przebieg funkcji celu b) przesunięcie zer i biegunów dla układu po (przerywana) oraz przed (ciągła) optymalizacją

5. PODSUMOWANIE

Zastosowanie algorytmu genetycznego do optymalizacji parametrów metody prezentowanej w [1] pozwoliło na zwiększenie efektywności tłumienia drgań samowzbudnych. Efekty są widoczne zarówno w charakterystyce amplitudowej jak i przebiegach czasowych przemieszczenia przedmiotu obrabianego. Swoboda w kształtowaniu kryterium optymalizacji pozwala na dostosowanie układu do przewidywanych ograniczeń sygnału sterującego. Dla badanych trzech prędkości obrotowych stosunek wartości RMS/RMSGA wynosił odpowiednio:

1.02, 3.5 10⁵, 1.5 10¹¹. Tak duże rozbieżności wynikają z faktu, że dla prędkości obrotowej 180 i 450 układ przed optymalizacją tracił stabilność, co nie występuje w układzie po optymalizacji .

LITERATURA

1. Domek S., Marchelek K., Chodźko M., Parus A.: Methods of Semi-Active Vibration Absorber Control in Machine Tools. 10^th IEEE International Conference MMAR, Międzyzdroje, Vol. 1, 2004, s. 485-490.

2. Domek S., Marchelek K., Chodźko M., Parus A.: Badanie układu sterowania aktywnego eliminatora drgań układu O-PS. Zesz. Nauk. Katedry Mechaniki Stosowanej, Wisła, 2004 3. Goldberg D.E.: Algorytmy genetyczne i ich zastosowania, WNT 1998

4. Kaczorek T: Teoria wielowymiarowych układów dynamicznych liniowych. Warszawa:

WNT, 1993

GENETIC ALGORITHM IN OPTIMIZATION

OF THE VIBRATION CONTROL SYSTEM IN MACHINING

Summary. In this paper optimization of the control system with semi-active vibration absorber using a genetic algorithm, is proposed. The controller based on suboptimal pole and zero placement is described and further optimization with proposed criterion function is performed. The efficiency of the control system and the introduced optimization method was examined through computer simulations with a cutting process model.