„Kwiatki”z sesji zimowej 2018/19
1. Regu÷a de L’Hospitala jest dobra na wszystko:
Z x + 1
x2 + 4dx =H Z 1
2xdx = 1
2lnjxj + C:
2. Oryginalna metoda ca÷kowania przez cz ¾e´sci:
Z
ln (x 2) dx = f (x) = ln g0(x) = x 2 f0(x) = 1=x g (x) = x2=2 2x
= ln x2
2 2x
Z 1 x
x2
2 2x dx = : : :
3. Jeden z studentów, aby przyspieszy´c obliczenia ca÷ki
Z 1
x2 xdx skorzysta÷
ze „znanego wzoru”a b p q = a
p b
q: Poni·zej jego przekszta÷cenia
Z 1
x2 xdx =
Z 2 1
x2 xdx =
Z 2
x2 1
x dx : : : dalej posz÷o ju·z ÷atwo.
4. Pomys÷owe rozwi ¾azanie zadania: obliczy´c mas ¾e cienkiej p÷ytki w kszta÷cie trójk ¾ata o wierzcho÷kach A = (0; 0) ; B = (0; 3) ; C = (4; 3) ; je·zeli g ¾esto´s´c masy w punkcie (x; y) p÷ytki ma posta´c (x; y) = xy:
Rozwi ¾azanie. Mas ¾e p÷ytki obliczymy ze wzoru
M = Z0
0
dx Z3
0
dy Z3
4
xydz:
×atwo domy´sli´c si ¾e dlaczego student wybra÷takie granice ca÷kowania.
5. Sprytne obliczenie ca÷ki:
Z
arcctg x dx = arc Z
ctg x dx = arc
Z cos x
sin xdx = arc (ln jsin xj + C) :
6. Szybkie wyznaczenie granicy: lim
x!0
ln cos x3
ln cos (x5) = ln cos 03
ln cos (05) = ln cos 0 ln cos 0 = 1:
B÷¾edy studentów zebra÷1 Zbigniew Skoczylas
1Dzi ¾ekuj ¾e dr. Jerzemu Cis÷o i dr. Marianowi Gewertowi za informacje o b÷¾edach. Jeden „kwiatek” otrzymalem od znajomego matematyka z innej uczelni.
1
