Les polynômes de Faber dans les familles compactes de fonctions univalentes bornées

ANNALES SOCIETATIS MATHEMATICAE POLONAE Series I: COMMENTATIONES MATHEMATICAE X X (1977) ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO

Séria I: PRACE MATEMATYCZNE X X (1977)

J. S

(Gliwice)

Les polynômes de Faber dans les familles compactes de fonctions univalentes bornées

Soit F T1 0 < T < 1, une famille de fonctions holomorphes et uni­

valentes dans le cercle unité TJ = {z: \z\ < 1} de forme

( 1 ) . / ( « ) = M + . . . ,

remplissant les conditions

(a) |/(«)| < 1 pour 0 e TJ,

<P)

Ces familles ont été introduites par Z. Charzynski dans [1].

La famille F T, contrairement à la famille Sx de fonctions univalentes de la forme (1), remplissant uniquement la condition (a), est compacte au sens de la convergence presque uniforme. Si donc 0 ( f ) est une fonction­

nelle définie et réelle au moins pour les fonctions f e F T et continue dans F T, alors il existe au moins une fonction f TeFT telle que

0 { f T) = вирФ(/).

feFji S o i t P o s o n s

u — v

(2) M(u,v)

— — - , (u, v)eU x U f { u ) - f { v )

et

(3) .N{u, v) = - log (1-/(©)/(%)), (%,v)€Ü XTJ,

où M (u , v) et N (u, v) sont des branches de logarithmes telles que, lorsque u et v tendent vers zéro, alors M ( u , v ) tend vers — LogZq, N (u, v) tend vers zéro. M(u, v) et N( u, v) sont des fonctions holomorphes des variables u , v et u , v dans le bicylindre TJ x TJ, ayant les développements

00

M ( u , v ) = ^ amnumvn

(

)

et

■OQ

(5) N { u , v ) = £ bmnUmVn-

m,n= 1

Considérons à présent deux formes

(6)

=

m,n—l

et

N

(7) Q{x) = ^ bmnxmxn, N ^ l .

~ m,n= 1

La forme (6) est quadratique, la forme (7) est une forme d’Hérmite, parce que la matrice (amn) est symétrique et la matrice (bmn) est une matrice d’Hérmite. Considérons la fonctionnelle

N

(8) 0 { f ) = Te{P(x) + Q{x)} = re{ £ (ат Л ^ п + ^ А я п},

m,w= 1

N

où a?n . . . , æ N sont des nombres arbitraires complexes, ] ? \xk\2 > 0. Cette

k=l

fonctionnelle est évidemment continue dans 8 U alors dans chaque famille F T, 0 < T < 1.

Eeprésentons maintenant les expressions (6) et (7) sous formes (9) P ( X) = - J — f f M( u,v) p( u) p(v) — - -

J J U V

Г1 Г2 et

(

10

où

Q(x) = 1

4

f J N(Uj v)fA{u)fil{v) ri r2

du dv и v ’

/л(и)

N

У Д jj—à uj j=i et |w| = rlf 1\: |t?| = ra, 0 < < r2 < 1.

Nous constatons que la fonctionelle (8) a en chaque point f * F T la différentielle [2] de forme

(11) L{h) = re

47Г2 / / h(u) — h(v) du dv

—— — —— f*{u)n{v)--- (- f ( u ) - f ( v ) и v

+ 47Г2 / / /(^)fe(p) +f (y)h{u) 1 ~f (v )f (u)

fi{u)/i{v) du dv и

où h = h(z)eH et Я désigne la famille de toutes les fonctions h = h (z)

holomorphes dans le cercle TJ. En outre il résulte de (11) que L(h) ne

Polynômes de Faber 207

s’annulle pas identiquement en aucun point de la famille F T — par ex.

elle ne s’annulle pas pour h = f — et on voit aisément que, prise au point quelconque de la famille F T, elle s’étend à la famille linéaire G* de toutes les fonctions méromorphes dans le cercle U possédant des pôles situés tout au plus aux points de l’anneau E* = {z: r < \z\ < 1} où r — max (rx, r2). La frontière de l’ensemble E* contient la circonférence {z: \z\ = 1}

et aucun point de cette circonférence n’est pas un point d’accumulation des points essentiels [1] de l’ensemble complémentaire de E*.

On peut donc appliquer à la fonctionnelle (8) le théorème fonda­

mental (corollaire II) [2] de Z . Chaizynski et W. Janowski. Il résulte de ce théorème que si

(12) w = f = f { z )

appartenant à la famille F T est une fonction pour laquelle la fonctionnelle (8) atteint sa valeur la plus grande, alors

I. Il existe sur la circonférence {z:.\z\ = 1} un arc ouvert C tel que la fonction (12) reste analytique sur cet arc et le transforme en arc D de la circonférence {w: \w\ = 1 } .

II. On a pour chaque point zeC l’équation

<*> © 2® ( / ( ' ) ) “ ^ ï l ( ' ) ’ où

аз» ®t(w) = # Ь ( / ( а ^ ) ] + я [ и ж ) > ® ) ] - 2 $ ,

1 -f wl

(15) _ * ( " - * )

(16) E(h) = L (h) — iL (ih),

(17) JD (h) = L(7i) + iL(ib), h = h(z) = ьЩ, L(li) est la différentielle (11) au point (12),

(18) U = Min i |D [ y , { m , e - ‘“)} + i> [y (/(0 ,« "')]).

0^y<2n

C désigne ici la variable apparante de l’opération, tandis que w et z jouent dans (13) et (14) le rôle des paramétres.

III. Les fonctions (13) et (14) prennent sur {w: \w\ = l } e t {

: \z\ = 1}

respectivement les valeurs réelles non négatives.

IV. / ' ( 0) = T.

Y. L’équation (*) a lieu pour chaque zeE*. D ’après (16) et (17)

(19) D(h) + D(nh) = 2L(h).

j + £ [ v (C, *)/' (£)]- 2 $ ,

(14) З Д = D | y ( t , - ) / ' ( £ )

Vu (13), (14), (15), (19) et (11) les fonctions 5R(w) et 51 (s) pour \w\ = 1 et \z\ = 1 respectivement prendront la forme

(20)*

et

(

21

99l(w) = 2re L L .

I 4

2 f f /---y r w l---7T\F f* ( w - f ( u ) ) ( w - f ( v ) ) ^2w2 — --- b ^{du dv} и v 4us _{A r0} f f w - f ( u ) ) ( l - w f ( v ) ) ^2wf(u)f(v)

< --- du dv ) ju(u)p(v) — 2^}

и v

A A

u f {u) z + u f { u ) - f { v ) e - u

+ vf'(v) z-\-v

f ( v ) - f ( u ) z - v

du dv U V

1

Г I

i n 2 1 1 h - m m г - *

f(v)uf'(u) z-\-u 1 ---du dv I --- = ---U (ад)/

(

) ---—

1 - f( v) f( u) z - u ] U V \ -2<p.

Soit à présent F m(t) le polynôme de Faber de degré m pour la fonction 1 lf(z), c’est-à-dire un polynôme de degré m tel que dans un certain entourage du point

= 0 nous avons le développement

(

22

1

0

m

oo

\ ^ s>

n = l

On sait que dans un entourage suffisamment petit du p oin t.£ = 0 oo

(23)

-</(£)) = -

rnam0)Cn

d ’où

O O

/

\

(24) Fm\f(z)J ~ Z ^ 2

mamnZ ’ m >

et

(25) F m( M ) = ^ ^ К п ^ п- ш а т0,

îl= 1

m >

De (22) et (24) il découle en particulier que

cmn = mamn, m , n ^ 1.

Polynômes de Faber 209

D ’autre part, en calculant ensuite la dérivée (23) par rapport à t, nous obtenons

(26) 1 - t m

O O

=

+ V — с и г .

j

L

m

Mettant dans (26) successivement t = 1/w, Ç — u, Ç = v et t — w, C = v, nous avons

(27)

(28)

(29) et (30)

w 1 1 , / 1 \

--- 7ГТ = 1 + A w — f(u) m w --- Ч \wj - » >

_ y ü y ( I L m

w —f(u) m w m\w) ’

m = l

w w - f { v )

wf{v)

OO

= i + У — - к Z -/ m w \wJ

l - w f ( v )

w

V — ^wF'm(w)vm.

m

En trouvant la dérivée par rapport à и et v et и et v, pour (4) et (6) de la même façon et en tenant compte de \u\ — r1 < r 2 = l'y], nous obtenons

(31)

(32)

(33) et (34)

uf'(u)

f . , ,, . = - J V ® j - V m ( y a mnvn)um, / ( * ) - / ( * ) f=i £ i i ' â '

, r i \ o o OO OO

- и Щ г т = Z

uf'{u)f{v)

j*=

О

1 771— 0

OO oo

1 / (®)f (u) m=l n—l

U

v f ' W W 1 - f ( v ) f ( u )

oo m

= £ n ( J £ b mnunl)vn.

n = l m—l

Mettant ensuite (27)-(30) à (20) et (31)-(33) à (21), nous avons après simples calculs

(35) 9W(w) =

/ V ( — i — F'm(— — ^ ^ (м > )]\ - Щ

\ m ,w \w m JJ

m = l ' '

14 — Roczniki PTM — Prace Matematyczne X X

pour \w\ = 1 et

W = 1 TO= 1

V

+ re J > : ^ H- ^niïi ) 1 ~)~

m , n = * l V - l N N - k

“b I ~Ь ЬтпЯ'т+к'*'п)^ ^ ~b

A=l w=l m=l

N - l N N - k

Y V Y

" Ù I ^ ( ^ m n ^ m + k ‘^ n ~ ^ ~ ^ m n ^ m + k '^ n ) j % ! ^ >

k= 1 n= 1 m = l '

pour |г| = 1 et

V

(37) «p = Min I У /Ж ^ , / , - ie~iyF'm(e~iv) - ieiy F'm{e~iy) 0«£у<2я \ ' У \ W fïl

= Min 4

0<2/<2rc

4 2 ( m e - ^ ( e - ^ ) I J I > 0 . m=l m

Prenons en considération la fonction

N

f(y) = У - ? , И

_{\ m} + - _m ^Fnie-*) • _/

TO= 1 ' '

C’est une fonction réelle, continue et périodique au période 2тг ; sa dérivée

Ф (y) =

N /

2 — i e - ivF'm{e~iv) --- ieiyF m(e~iy)

m m

doit être égale à zéro pour un у0е[0, 2-л:). D ’où et de (37) nous déduisons que

(38) ф = 0 .

De plus, comme on le constate d’après (36), la fonction 9t(«) est une fonction rationnelle, ayant des pôles de degré tout au plus 2N uni­

quement aux points

= 0 et

=

. Elle est, vu III, non négative sur {z: \z\ = 1}.

En tenant compte II, (3Ô), (36) et (38) nous constatons en difinitive

que :

Polynômes de Faber 211

La fonction (12) pour laquelle la fonctionnelle (8) atteint la valeur la plus grande dans F T remplit dans l’ensemble E* и G la relation

(39) 1 xm

m i f( z) Frm(f(z) où 91(2) est la fonction décrite par la formule (37).

Comme 0 < гг < r2 < 1 sont des nombres arbitraires, alors r = m a x ^ r a ) est de même un nombre arbitraire de l’intervalle (0,1) et, par conséquent, la fonction (12) remplit l’équation (39) dans l’anneau {z: 0 < \ z \ < 1}.

Il est évident par (39) que la fonction 91(2) a dans le cercle U unique­

ment les racines de degré paire et, vu sa symétrie par rapport à la circon­

férence {

: \z\ = 1}, il en est de même pour les racines situées à l’exterieur du cercle TJ. Enfin les racines situées sur la circonférence {

: \z\ = 1}

sont paires également, car 91(2) > 0 pour \z\ = 1. Extrayant les racines des deux membres de (39), nous obtenons

(40) m 1

'

/(*) ^ l » /М , “ \/(*), — */(*) K i m ) = — з а д ,

m ' 4 zr

où

x(

) =

/

(

) est une fonction rationnelle, ayant des pôles de degré tout au plus N uniquement aux points

= 0 et

o. De plus, i m ^ i (

)} = 0 pour \z\ = 1, alors est de forme

= E

JV + ~t~ E0 + ... + EN' v2V

où E 0 est réelle. En comparant les coefficients à

1 de deux membres de (40), vu (24) et (25), nous déduisons que E 0 = 0.

En calculant ensuite l’intégrale de (40), nous avons

N

(41) V — F m

\ m \f(z)

— iEN 1

~ ~ N ²

* + • • • +

N zN + C.

D ’autre part, comme la partie singulière du premier membre de (41)

est de forme

alors le second membre de (41) est de forme

(42) >' + — zm\ + C .

N

y / &m ^ Я'т ^ Z

\ m zm m m—1

De pins nous constatons que imO = 0 . C’est la conséquence évidente de la condition I. Enfin nous voyons par (42), (41), (24) et (25) que

N

Bécapitulant ce qui précède, nous avons l’équation (43)

* /

2 - m Tm\f(z)

1 \ xn, _ + — F

m

N

= Y ( ^ z ~ m + - ^ - z m\ + C

m m

pour 0 < \z\ < 1.

Calculons à présent la valeur de la fonctionnelle (8) pour la fonction (12).

Posant à cet effet (24) et (25) dans (43) et comparant les coefficients de zn de deux membres de l’équation ainsi obtenue, nous avons

N

r i _ — X„

Z

( ® m V + » m U = ---- pour 1 < П < N

,£ i П

(44) et (45)

N

X (æmamn + Xmbmn) = 0 Р0Ш> n > N -

Multipliant (44) par xn et sommant les relations ainsi obtenues pour n — 1, N, nous avons

N N .

(4 b) 0 ( f ) r e j { ^mn^m^n ~"b

П

m ,n = l n —l

Ainsi nous avons prouvé le

Th é o r è m e

1. Dans la famille F T il existe des fonctions extrémales f — f i z) pour les quelles la fonctionnelle (8) atteint sa valeur la plus grande.

1° Chacune de ces extrémales satisfait à V équation

2 ^{( m F Xm „-m | m X™ m 1}

^{®m0 5}

où F m(t) est le polynôme de Faber de degré m pour la fonction

m

N

amo z log

m

et im j l 1 amoxm\ = 0,

Polynômes de Faber 213

2 °

Four ces fonctions

N

<Hf) = > ,

\xrt n

3° Le coefficient bx du développement de toute fonction extrêmale est égal à T.

En outre, de l’égalité (46) nous pouvons déduire l’inégalité de Grunsky- Nehari-Singh [3], [4] pour la classe F T pour tout T e(0, 1) et de cette façon pour toute classe Sx. Ainsi nous avons le

Th é o r è m e 2 .

Soient x x, . .. , xN des nombres complexes arbitraires et f une fonction arbitraire de la classe Sx. Soit (amn) et {bmn) les matrices définies par les formules (4) et (6). Alors

N N

f

_ ) V

\x J 2

(47) “b ^mrfi'mAn)j ^ ~ •

m,n — 1 n = l

L ’estimation (47) est exacte et, de plus, il existe pour tout T e ( 0 , l ) dans la famille Sx une fonction f dont le premier coefficient bx est égal à T, pour laquelle l’inégalité (47) devient l’égalité. Cette fonction remplit l’équation (43).

E en résulte, vu (47), (46) et Sx = U que chaque fonction

0<ЗГ<1

f e F T pour laquelle la fonctionnelle (8) atteint sa valeur maximale dans la famille F T est en même temps la fonction pour laquelle cette fonction­

nelle atteint sa valeur maximale dans la famille Sx.

Inversement, comme on le sait [6], si f(z) = bxz + holomorphe dans U, satisfait dans TJ à l’équation de forme (43), on im C = 0 et F m(t) est le m-ième polynôme de Faber pour la fonction 1 //(«), alors f e S x et pour cette fonction la fonctionnelle (8) atteint sa valeur maximale.

En résumant ce qui précède on trouve le résultat suivant :

Th é o r è m e

3. Dans la famille Sx il existe pour tout T e (0 , 1) des fonctions extrémales de forme f(z) — Tz + . .. , pour lesquelles la fonction­

nelle (8) atteint la valeur la plus grande. Afin que f soit une fonction extrê­

male par rapport à la fonctionnelle (8) dans la famille Sx il faut et il suffit qu’elle remplisse l’ équation (43), où im<7 = 0 et F m (t) est un m-ième polynôme de Faber pour la fonction 1 lf(z).

Bibliographie

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INSTITUTE OF MATHEMATICS, SILESIAN TECHNICAL UNIVERSITY AT GLIWICE