Teoria miary i całki 2012/2013

Teoria miary i całki 2012/2013

Seria V, 7 IV 2013 r.

Javier de Lucas

Zadanie 1. Dany podzbiór E ∈ M

taki, że µ

(E) < ∞, zdefiniuje się funkcja ciągła ϕ

: R → R postaci

ϕ

(x) = µ

(E ∩ (−∞, x]), ∀x ∈ R.

Wykaż, że (a) ϕ

jest funkcją rosnącą, (b) lim

ϕ

(x) = 0 i lim

ϕ

(x) = µ

(E), (c) ϕ

(x) spełnia właściwość Lipschitz’a, tj.

|ϕ

(x

) − ϕ

(x

)| ¬ |x

− x

|, ∀x, x

∈ R.

(d) ϕ

jest jednostajnie ciągła.

Zadanie 2. Niech E ∈ M

, gdzie µ

(E) = ∞, pokaż, że dla każdego λ ∈ [0, ∞) istnieje podzbiór E

zbioru E taki, że E

∈ M

i µ

(E

) = λ.

Zadanie 3. Niech E ⊂ R i µ

(E) = 0. Wykaż, że E

jest gęstym podzbiorem R.

Zadanie 4. Dla E ⊂ R, zdefiniujemy −E, tzw refleksję E ze względu na źródło, postaci −E = {y ∈ R : y = −x dla pewnego x ∈ E}. (a) Wykaż, że µ

(−E) = µ

(E). (b) Wyznaczyć, że jeżeli E ∈ M

, to −E ∈ M

i µ

(−E) = µ

(E).

Zadanie 5. Dla E ⊂ R i α ∈ R, zdefiniujemy αE, tzw dylatację E przez α, postaci αE = {y ∈ R : y = αx, dla pewnego x ∈ E}. (a) Wykaż, że µ

(αE) = |α|µ

(E). (b) Wykaż, że E ∈ M

, to αE ∈ M

i µ

(αE) = |α|µ

(E).

Zadanie 6. Dana mierzalna przestrzeń (R, B

, µ

), wykaż, że jeżeli E ∈ B

i t ∈ R, to E + t ∈ B

i µ

(E + t) = µ

(E) i αE ∈ B

i µ

(αE) = |α|µ

(E).

Zadanie 7. Dana funkcja f : (a, b) → R taka, że |f

(x)| < M dla x ∈ (a, b) dla M ­ 0. Wykaż, że dla każdego E ⊂ (a, b) mamy, że µ

(E) ¬ M µ

(E).

1