Teoria miary i całki 2012/2013

(1)

Teoria miary i całki 2012/2013

Seria I, 4 III 2013 r.

Javier de Lucas

Zadanie 1. Bądź (E

_n

: n ∈ N) i (F

n

: n ∈ N) będą ciągami podzbiorów zbioru X. Wykaż, że

• a)

lim inf

_n→∞

E

_n

∪ lim inf

_n→∞

F

_n

⊂ lim inf

_n→∞

(E

_n

∪ F

_n

) ⊂ lim inf

_n→∞

E

_n

∪ lim sup

_n→∞

F

_n

⊂ lim sup

_n→∞

(E

n

∪ F

_n

) ⊂ lim sup

_n→∞

E

_n

∪ lim sup

_n→∞

F

_n

.

• b)

lim inf

_n→∞

E

_n

∩ lim inf

_n→∞

F

_n

⊂ lim inf

_n→∞

(E

_n

∩ F

_n

) ⊂ lim inf

_n→∞

E

_n

∩ lim sup

_n→∞

F

_n

⊂ lim sup

_n→∞

(E

_n

∩ F

_n

) ⊂ lim sup

_n→∞

E

_n

∩ lim sup

_n→∞

F

_n

.

• c) Wykaż, że jeżeli istnieją lim

_n→∞

E

_n

i lim

n→∞

F

_n

, to istnieją lim

n→∞

E

_n

∪F

_n

i lim

n→∞

E

_n

∩F

_n

. Zadanie 2. Bądź (A

_n

: n ∈ N) będzie ciągiem podzbiorów zbioru X. Usuwając skończoną liczbę wyrażeń tego ciągu, możemy zdefiniować drugi ciąg (B

_n

: n ∈ N) podzbiorów zbioru X. Wykaż, że

lim inf

_n→∞

B

_n

= lim inf

_n∈∞

A

_n

, lim sup

_n→∞

B

_n

= lim sup

_n∈∞

A

_n

.

Wykaż, że lim

_n→∞

B

_n

istnieje wtedy i tylko wtedy istnieje lim

_n→∞

A

_n

. Gdy istnieją, lim

_n→∞

A

_n

= lim

n→∞

B

n

. Wykaż, że dane ciągi podzbiorów (A

n

: n ∈ N) i (B

ⁿ

: n ∈ N) takie, że A

ⁿ

6= B

n

tylko dla n należących do pewnego skończonego podzioru zbioru N, to

lim inf

n→∞

B

n

= lim inf

n→∞

A

n

, lim sup

_n→∞

B

n

= lim sup

_n→∞

A

n

, ∃ lim

n→∞

B

n

↔ ∃ lim

n→∞

A

n

, i jeżeli istnieją lim

n→∞

A i lim

_n→∞

B

_n

to są równe.

Zadanie 3. Dane punkt a ∈ R i ciąg punktów (x

n

: n ∈ N) takie, że x

n

6= a i lim

_n→∞

x

_n

= a, wykaż, że lim

n→∞

{x

n

} 6= {a}. Dane E ⊂ R i t ∈ R zdefiniujemy E + t = {x + t : x ∈ E}. Dany ciąg (t

_n

: n ∈ N) ⊂ R taki, że lim

n→∞

t

_n

= 0 i E

_n

= E + t

_n

dla n ∈ N, szukaj E ⊂ R takie, że lim

_n→∞

E

_n

6= E.

Zadanie 4. Funkcja charakterystyczna 1

_A

podzbioru A ⊂ X, to funkcja na X postaci 1

_A

(x) =

( 1, x ∈ A, 0, x / ∈ A.

Dany ciąg (A

_n

: n ∈ N) podzbiorów X, wykaż, że jeżeli lim

n→∞

A

_n

= A, to lim

_n→∞

1

_A_n

= 1

_A

. Wykaż, że jeżeli lim

_n→∞

1

_A_n

= 1

_A

, to lim

_n→∞

A

_n

= A.

Zadanie 5. Bądź A będzie σ-ciałem podzbiorów danego zbioru X i Y ⊂ X. Wykaż, że B = {A∩Y : A ∈ A} to σ-ciało podzbiorów Y .

Zadanie 6. Dana rodzina A podzbiorów danego zbioru X taka, że:

• X ∈ A,

• A, B ∈ A ⇒ A\B = A ∩ B

^c

∈ A,

1

(2)

wykaż, że A to algebra podzbiorów zbioru X.

Zadanie 7. Dana algebra A podzbiorów zbioru X. Załóź, że A spełnia, że dla każdego rosnącego ciągu (A

_n

: n ∈ N) ⊂ A mamy, że ∪

n∈N

A

_n

∈ A. Wykaż, że A jest σ-algebrą, tj. σ-ciałem.

Zadanie 8. Wykaż, że dany rosnący ciąg algebr (A

_n

: n ∈ N) podzbiorów X, to ∪

n∈N

A

_n

to algebra podzbiorów X. Podaj przykład pokazujący, że nawet kiedy A

_n

jest σ-algebrą dla każdego n ∈ N, to suma nie musi być koniecznie σ -algebrą.

Zadanie 9. Bądź (X, A) będzie mierzalną przestrzenią i (E

_n

: n ∈ N) rosnący ciąg zawarty w A taki, że ∪

_n∈N

E

_n

= X. Bądź A

_n

= A ∩ E

_n

. Wykaż, że A to σ-ciało podzbiorów E

_n

dla każdej n ∈ N.

Czy spełnia się, że ∪

_n∈N

A

_n

= A?

Zadanie 10. Dany skończony zbiór X. Mówi się, że A ⊂ X jest ko-skończony, gdy A

^c

jest skończonym zbiorem. Bądź A będzie złożony ze skończonych i ko-skończonych podziorów X. (a) Wykaż, że A to algebra podzbiorów X. (b) Wykaż, że A to σ-algebra wtedy i tylko wtedy X jest skończonym zbiorem.