Metryki niezmiennicze w grupach izometrii

ROCZNIKI POLSKIEGO T O W A R Z YS TW A MATEMATYCZNEGO Seria I: PRACE M ATEMATYCZNE III (1959)

A. G

(Wrocław)

Metryki niezmiennicze w grupach izometrii

Większość wyników tej pracy została przedstawiona na posiedzeniu Oddziału Wrocławskiego Polskiego Towarzystwa Matematycznego w dniu 23 lutego 1954 r.

Streszczenie referatu patrz [3].

Bozpatmjemy przestrzeń metryczną £ z metryką d{P, Q), spełnia­

jącą warunek d { P , Q ) ^ 1 (1), dla której-grupa wszystkich izometrii jest tranzytywna, oraz dowolną podgrupę G izometrii tej przestrzeni.

Punkty przestrzeni £ będziemy oznaczali wielkimi literami łacińskimi P, Q, elementy grupy G małymi literami łacińskimi, obraz punktu P przez izometrię x oznaczymy przez xP. Dla każdego x e G i dla każdej pary punktów P , Q e £ jest zatem

(1) d( xP, xQ) = d(P, Q).

O rozpatrywanych przestrzeniach topologicznych zakłada się wszę­

dzie, że spełniają pierwszy aksjomat przeliczalności. W przypadku prze­

strzeni topologicznych przez zwartość rozumiemy dwużwartość, -tzn. że z każdego pokrycia zbiorami otwartymi można wybrać pokrycie skoń­

czone.

1. Układ odniesienia i metryka z nim związana.

D

1. UMadem odniesienia przestrzeni £ ze względu na grupę G nazywamy każdy podzbiór ó przestrzeni £ o tej własności, że dla dowolnego ciągu [x^ C G z równości lima^P = P dla każdego P e ó

П

wynika równość limxnQ — Q dla każdego Q e£ (porównaj [5]).

П

Układ odniesienia ma w szczególności

W

(A). Jeśli dla każdego P e ó zachodzi równość xP = P, to x jest przekształceniem tożsamościowym grupy G, które oznaczymy przez e.

Jeżeli przestrzeń £ jest lokalnie zwarta, ośrodkowa i składa się ze skończonej liczby komponent, a G jest grupą wszystkich izometrii prze-

(x) Z dowolnej metryki d możemy otrzymać topologicznie równoważną metrykę

spełniającą ten warunek, przyjmując d1 { P, Q) — m in (d (P ,$ ), l), przy czym izome-

trie przestrzeni pozostają izometriami i przy nowej metryce.

strzeni £ (lub jej domkniętą podgrupą), to warunek (A) wystarcza na to, by d było układem odniesienia.

Rzeczywiście, w tym przypadku z każdego ciągu izometrii \xn\

o tej własności, że dla pewnego Q0e £ ciąg {%nQo\ jest zbieżny, można wybrać taki podciąg {ац.}, że ciąg {%nkQ\ jest zbieżny dla każdego Q e£ i Нтж%ф = x0Q, gdzie x0 jest pewną izometrią (patrz [2], twier-

к

dzenie I na str. 370).

Mech teraz [xn] będzie takim ciągiem izometrii, że lim xnP = P П

dla każdego Pe ci. Z każdego podciągu tego ciągu da się na mocy powyż­

szego wybrać taki podciąg {yn\, że dla każdego Q jest limynQ = x0Q.

n

Ponieważ w ci jest х йP = P, wynika stąd na mocy własności (A), że xQ = e. A zatem z każdego podciągu ciągu \xnQ\ można wybrać pod­

ciąg zbieżny do Q, a więc sam ciąg \xnQ} jest zbieżny do Q.

Pozostaje zagadnieniem, przy jakich najogólniejszych warunkach własność (A) jest równoważna definicji układu odniesienia.

W przypadku gdy £ jest przestrzenią Eiemanna i odległość punk­

tów P i Q jest określona jako kres dolny długości łuków łączących te punkty, w £ istnieje układ odniesienia złożony z n-j-1 punktów, gdzie n jest wymiarem przestrzeni £ (2).

Układem odniesienia jest w każdym razie cała przestrzeń £. Ten układ odniesienia będziemy nazywali maksymalnym.

D

2. Normą elementu x grupy G przy układzie odniesie­

nia d będziemy nazywali funkcję

(2) N^{x) = supJ(P, xP).

Peó

Jeżeli nie prowadzi to do nieporozumień, będziemy opuszczali wskaźnik przy N i niżej przy q .

Z definicji normy widać, że norma nie zmieni się, jeżeli układ odnie­

sienia d zastąpimy przez jego domknięcie d. Można więc ograniczyć się do rozpatrywania tylko domkniętych układów odniesienia. Określona w ten sposób norma spełnia następujące warunki:

(3) N(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x == e, (4) N ix y -1) < N( x ) + N( y ) ,

(5) N{x) = N i x - 1).

(2) Patrz [7]. W pracy tej rozpatruje się podobną konstrukcję metryki dla

przestrzeni Eiemanna i dla skończonego układu odniesienia. Jeśli G jest domkniętą

podgrupą grupy wszystkich izometrii przestrzeni E, to grupa ta jest grupą Liego.

M etryk i niezmiennicze w grupach izometrii

95

Warunek (3) jest oczywisty. Warunek (4) otrzymujemy przez przej­

ście do kresów górnych w nierówności

d { P , x y - xP) < d { P , xP)Ą- d{ x P, xy-'P ) — d{P, xP)Ą- d{yP, P).

Korzystamy tu z (1) poddając w drugim składniku oba punkty prze­

kształceniu yx_1. Warunek (5) wynika z (3) i (4) (porównaj na przykład [6], str. 6).

Za pomocą normy N^{x) definiujemy w G metrykę (6) qó { x , y) = N ^ y ) = Nó { y- Xx).

Z (3), (4) i (5) wynika, że metryka ta jest lewostronnie niezmiennicza, to znaczy

(7) g^(zx,zy) = Q^(x,y) dla każdego zeG.

Grupa G z metryką (6) jest przestrzenią topologiczną, nie musi być jed­

nak grupą topologiczną.

Z definicji układu odniesienia i normy wynika natychmiast

L

1. Jeśli \imN(xn) = 0, to limxnQ = Q dla każdego Qeć.

n n

Stąd wynika z kolei

T

1. Funkcja xQ jest ciągła w G x ć , jeżeli topologia w G jest określona za pomocą metryki

D ow ód . Oszacujmy odległość d(xQ, x0Q0). Mamy

d(xQ, x 0Qo) ^ d[xQ, xQoj-\-d(xQ0) X q Q q ) — d(Q, Q q )-\-d(Q0, x 1 x 0Q0).

Pierwszy składnik dąży do zera, gdy Q dąży do Q0, a drugi dąży do zera na mocy lematu 1, gdy x dąży do x 0.

2. Zwarty układ odniesienia. Eozpatrzmy teraz przypadek, gdy układ odniesienia ci jest zwarty (3).

L

2. Jeżeli układ odniesienia ó jest zwarty, a ciąg {xn} C G ma tę, własność, że limxnP — P dla każdego P e ó , to limW(a?n) = 0, czyli

lima?n = e. n n

n

D o w ó d . Wykażemy, że jeśli ciąg [xn\ nie jest zbieżny do e, to istnieje taki punkt P 0eci, że ciąg xnP 0 nie jest zbieżny do P 0.

Ograniczając się ewentualnie do podciągu, można założyć, że dla każdego n zachodzi nierówność N (xn) > a, gdzie a jest pewną liczbą

(3) Założenie zwartości można zastąpić w tym paragrafie ogólniejszym zało­

żeniem, że z każdego nieskończonego podzbioru zbioru ci można wybrać ciąg fun­

damentalny. Nie dotyczy to lematu 4, ale lemat 5 pozostaje w mocy, wymaga tylko

aieco innego dowodu.

dodatnią. Wobec tego istnieje taki ciąg pnnktów P ne ci, że d(xnP n, P n) >

> i a . Dzięki zwartości ci możemy założyć (wybierając ewentualnie znów pewien podciąg), że limPn = P 0€ci. Mamy

П

d{xnP n, Pn) ^ d(xnPn, xnPo)"j” (%{хпРо, P 0) + d(P0, Рц)

= d{xnP 0, P 0)+ 2 d (P 0, P n).

Jeżeli obierzemy n dostatecznie duże, to będzie d(P0, P n) < |a, a zatem dla dostatecznie dużych n będziemy mieli

d{xnP 0, P 0) > d{x.nP n, P n) — 2d{ PotP n) > \ a — \o. = Ja, czyli a?ftP 0 nie dąży do P 0, c. b. d. o.

L

3. Jeżeli układ odniesienia ci jest zwarty, /о г \imxn = e wynika, ie limN{ y~xxny) = 0 d/a każdego yeG. n

П

D ow ód . Z Итжп = e wynika, że \imd(xnQ, Q) = 0 dla każdego

П W

Qe ć , w szczególności będzie zatem limd(a?nyP, yP) = limd(y~1xnyP , P ) =

71 72-

= 0 dla każdego Pe ci, a z tego na mocy lematu 2 wynika równość UmN(y~lxny) = 0.

W

T

2. Grupa G z metryką wyznaczoną przez zwarty układ odniesienia jest grupą topologiczną.

D ow ód . Aby wykazać ciągłość funkcji х~гу, co wystarczy do dowodu, że grupa jest grupą topologiczną, oszacujemy odległość д(х~гу , xJlyQ).

Mamy

e(£C~V> ®órVo) < Q{x~ly , x~ly Q)+ д{х~ху й1 Xvxy 0) =

= Q(y, У о ) + е

У

1оох^1у й) =

= Q{y, y 0) + N ( y ó 1xxJly 0) =

= e ( y ,y 0)+-^'(yó'1® o W laj)®ó'Vo)-

Przy ustaleniu pierwszej równości korzysta się z lewostronnej niezmien- niczości metryki. Pierwszy składnik po prawej stronie dąży do zera, gdy у dąży do y 0, drugi zaś składnik dąży do zera na mocy lematu 3, gdy x dąży do x 0, bo Q(xo1x ł e) =

a?0) -> 0.

L

4. Jeżeli funkcja f { x , y ) jest ciągła w iloczynie kartezjańskim X x Y dwóch przestrzeni topologicznych spełniających pierwszy aksjomat przeliczalności, przy czym przestrzeń Y jest zwarta, to funkcja

(8) g(x) = sup/(a?, y)

VeY

jest ciągła.

M etryki niezmiennicze w grwpaeh izometrii

97

D ow ód . Ustalmy dowolnie x 0. Ponieważ Y jest zwarte, istnieje takie y 0, że g{x0) = f { x 0, y 0). Z ciągłości funkcji / wynika istnienie takich otoczeń U punktu x 0 i V punktu y 0, że dla x e U i y e V jest

f { x , y ) > f ( x 0, y 0) - e = g{x0) - e ,

gdzie e jest dowolną, z góry zadaną liczbą dodatnią. Stąd wynika dla x e U nierówność

g{x) > g{x0) — e.

Pozostaje jeszcze do wykazania istnienie takiego otoczenia Ux punktu x 0, że dla x e U x jest

g(x) < g(x0) + e.

Przypuśćmy, że jest przeciwnie, tzn. istnieje liczba a > 0 i taki ciąg [x^ zbieżny do x 0, że

g{xn) > д{ х0) + а .

Dobierając ciąg \yn) w ten sposób, by było g(xn) = f ( xn, y n), i wybie­

rając z niego podciąg zbieżny do wartości y^, otrzymalibyśmy w granicy nierówność

/(#0, 2/oo) > д Ы + а , wbrew (8).

Stosując ten lemat do funkcji d ( x , x P) ciągłej w G x ó otrzymujemy następujący

L

5. Jeżeli w O jest określona, jakakolwiek topologia, taka że funkcja xQ jest ciągła w Q x ć , a ci jest zwartym układem odniesienia, to Nr $ (x) jest funkcją ciągłą w O według danej topologii.

3. Maksymalny układ odniesienia. Przyjmijmy teraz za układ od­

niesienia całą przestrzeń ć , ó = ć.

W tym przypadku metryka jest obustronnie niezmiennicza, tzn. oprócz (7) zachodzi też warunek

(9) Qj(xz,yz) = Q^(x,y) dla każdego zeG lub, co jest z tym równoważne,

(10) Ж^{у~гху) — Nrf(x) dla każdego yeG.

Z wzoru (10) widać od razu, że w przypadku maksymalnego układu odniesienia prawdziwa jest teza lematu 3 (chociaż lemat 2 może nie być słuszny), a zatem można powtórzyć w tym przypadku cały dowód twier­

dzenia 2. Otrzymujemy w ten sposób

Roczniki PTM - Prace Matematyczne III 7

T

3. Grupa G z metryką wyznaczoną przez maksymalny układ odniesienia jest grupą topologiczną.

Określmy funkcję

(11) T>(P, Q) = m£N(x), gdzie Z = J?{%P — $}.

XeZ

x

Funkcja ta jest metryką niezmienniczą w ć i przestrzeń ć z tą metryką jest łiomeomorficzna z przestrzenią jednorodną G/H, gdzie H oznacza podgrupę zachowującą pewien ustalony punkt Q0e ć (patrz [4]). Me­

tryka D( P, Q) może nie być topologicznie równoważna d(P, Q), lecz spełnia nierówność

(12) D( P , Q) > d ( P , Q ) .

4. Porównanie różnych topologii w G. Topologie wprowadzone w zbiorze Z będziemy charakteryzowali przez ich klasy wszystkich zbio­

rów otwartych.

Mówimy, że topologia T jest mocniejsza od topologii T* określonej w tym samym zbiorze Z, jeżeli klasa wszystkich zbiorów otwartych dla topologii T jest zawarta w klasie wszystkich zbiorów otwartych dla topologii T*. Będziemy wtedy pisali T С T* (4).

Dwie topologie są równoważne, jeżeli T С T* i T* С T.

Najsłabszą topologią jest topologia dyskretna, tzn. taka, w której każdy punkt ma otoczenie złożone z niego samego.

Inaczej można tę definicję sformułować w sposób następujący:

Topologia T jest mocniejsza od topologii T*, jeżeli w każdym otocze­

niu w sensie T dowolnego punktu jest zawarte otoczenie tego punktu w sen­

sie topologii T*.

Przytoczymy kilka właściwości różnych topologii w tym samym zbiorze Z.

I. Jeżeli odwzorowanie f(z) zbioru Z w przestrzeń topologiczną Y jest ciągłe w sensie pewnej topologii w Z, to jest także ciągłe w sensie każdej topologii słabszej.

II. Jeżeli odwzorowanie f(z) jest otwarte w sensie pewnej topo­

logii w Z, to jest także otwarte w sensie każdej topologii mocniejszej.

III. Zbiór zwarty w sensie pewnej topologii jest zwarty w sensie każdej topologii mocniejszej. (Własność ta nie dotyczy lokalnej zwar­

tości).

Każda metryka określona wzorem (6) wprowadza w G pewną topologię. Będziemy ją oznaczali przez

(4) W [3] termin „mocniejszy” jest użyty w przeciwnym znaczeniu.

M etryki niezmiennicze w grupach izometrii

99

L

5. Jeżeli i ó z są układami odniesienia w £ wzglądem grupy G i Ą C d 2, to topologia jest mocniejsza od topologii T^2.

D ow ód. Rzeczywiście, wówczas Ж(^1(х) ^ Ж$2(х), a zatem Q^{ x, y) < g^2{ x, y) i wobec tego w każdej kuli w sensie metryki tzn. w zbiorze К^г(х0, e) = E {^ (^ o ? ж) < £} Jes^ zawarta kula w sen-

X

sie metryki q Ó2: K ó%{xQ, e) = Ё { ^ 2(я?0, x) < e).

* X

W

. Spośród wszystkich topologii generowanych przez układy odniesienia najsłabszą jest topologia T£ generowana przez maksymalny układ odniesienia.

Topologię w G nazywamy lewostronnie niezmienniczą, jeżeli dla każdego otwartego podzbioru V C G i każdego xe G zbiór xV jest otwarty.

Topologie generowane przez układy odniesienia są wszystkie lewostron­

nie niezmiennicze.

T

4. Topologia określona w G za pomocą metryki (6) dla zwartego układu odniesienia ó jest mocniejsza od każdej lewostronnie niezmienniczej topologii w G, według której funkcja xP jest ciągła w G x £ . W szczególności topologia ta jest mocniejsza od każdej topologii genero­

wanej przez jakiś układ odniesienia.

Metryki wprowadzone przez dwa różne zwarte układy odniesienia są zatem topologicznie równoważne.

D ow ód. Należy wykazać, że w każdym otoczeniu w sensie metryki punktu x leży otoczenie tego punktu w sensie danej topologii. Dzięki lewostronnej niezmienniczości topologii i metryki p^ wystarczy ogra­

niczyć się do otoczeń jedności e grupy, ale w tym przypadku wynika to z ciągłości funkcji N^(x), dla każdego bowiem £ > 0 istnieje takie otoczenie U jedności e, że jeżeli xe U, to N^(x) < e, a N^{x) = Q^(e;x).

Ciągłość funkcji N^(x) ustala lemat 5.

T

5. Topologia określona w G za pomocą metryki (6) dla maksymalnego układu odniesienia £ jest mocniejsza od każdej lewo­

stronnie (lub prawostronnie) niezmienniczej topologii w G, dla której funkcja xP jest jednostajnie ciągła w G x £ , tzn. taka, że dla każdego e > 0 istnieje takie otoczenie U jedności e grupy G i takie ó

że jeśli х~гу

U i d (P , Q) < ó , to d(xP, yQ) < e. (TT przypadku prawostronnej niezmienniczości: x y ^e U) .

D ow ód. Rzeczywiście, w tym przypadku w każdej kuli o środku e K(e, e) = ]Т{Ж(х) < г}, leży otoczenie V, to mianowicie, które w defi-

X

nicji jednostajnej ciągłości odpowiada danemu e. Z lewostronnej (pra­

wostronnej) niezmienniczości metryki i topologii wynika to samo dla każdej kuli.

W przypadku gdy przestrzeń £ jest zwarta, wszystkie topologie

wprowadzone przez układy odniesienia są równoważne. W tym przy­

padku rozpatrywana przez nas metryzacja grupy izometrii jest dobrze znana (zob. np. pracę [8], str. 156, przykład 45).

5. Przykład. Rozpatrzmy przestrzeń euklidesową trójwymiarową E 3 i grupę G ruchów euklidesowych. Jako zwarty układ odniesienia cij można obrad dowolną czwórkę punktów nie leżących w jednej płasz­

czyźnie. Daje to w grupie G metrykę q ±, która generuje w G zwykłą topo-' logię tej grupy.

Jeżeli za układ odniesienia <ń2 przyjmiemy wszystkie punkty usta­

lonej prostej p i dwa punkty nie leżące na wspólnej płaszczyźnie z tą prostą, to grupa z metryką q 2 otrzymaną za pomocą ci2 przestaje byd spójna. Topologia generowana w podgrupie ruchów zachowujących kie­

runek prostej p i w jej poszczególnych warstwach jest taka sama, jak topologia generowana przez ale poszczególne warstwy są dalekie od siebie w sensie metryki g2. W szczególności norma JV2 każdego obrotu dokoła osi nie równoległej do p jest równa 3.

Maksymalny układ odniesienia daje jeszcze inną metrykę p3, w któ­

rej poszczególne warstwy ze względu na podgrupę translacji są od sie­

bie dalekie.

Łatwo spostrzec, że w przypadku metryk g2 i g3 nie zachodzi lemat 2.

Rzeczywiście, ciąg obrotów xn o coraz mniejsze kąty dokoła osi nie równoległej do prostej p (a w przypadku @3 nawet bez tego założenia) nie jest zbieżny do przekształcenia tożsamościowego e, chociaż limxnQ = Q

dla każdego Qe E3. n

Grupa G z metryką q 2 nie jest grupą topologiczną. Żeby to stwierdzić, wprowadźmy w E 3 ortonormalny układ współrzędnych £, rj, £, obiera­

jąc za oś | prostą p. Oznaczmy przez x& obrót o kąt # dokoła osi £, a przez г obrót o kąt | tc dokoła osi £. Przekształceniom x», z i z~lx&z odpowia­

dają odpowiednio macierze:

Przekształcenie z~*x&z jest przeto obrotem o kąt — # dokoła osi rj, ma więc dla każdego $ (0 < § < к) normę 1. Jeżeli więc wybierzemy ciąg liczb dodatnich dążących do 0, to ciąg będzie dążył do e w sen­

sie metryki p2, a ciąg {z~xx&nz} nie dąży do e = z~xez, a więc grupa nie jest grupą topologiczną (5).

(5) W cytowanym streszczeniu referatu [3] twierdzi się błędnie, że wszystkie metryki otrzymane za pomocą układów odniesienia czynią z G grupę topologiczną.

Jest to natomiast prawdą dla układów zwartego i maksymalnego.

M etryki niezmiennicze w grupach izometrii 101

6. Zestawienie wyników i zagadnienia. Jeżeli w grupie G izometrii przestrzeni metrycznej £ wprowadzimy metrykę generowaną przez jakikolwiek układ odniesienia (według wzorów (2) i (6)), to otrzymana metryka jest lewostronnie niezmiennicza i funkcja xQ jest ciągła w G x £ .

Jeżeli układ odniesienia ci jest zwarty, to topologia przezeń wyzna­

czona jest najmocniejsza ze wszystkich lewostronnie niezmienniczych topologii, dla których funkcja xP jest ciągła w G x ć . Metryki genero­

wane przfez różne zwarte układy odniesienia są wszystkie topologicznie równoważne.

W przypadku zwartego układu odniesienia i maksymalnego układu odniesienia grupa G z metryką generowaną przez taki układ odniesie­

nia jest grupą topologiczną. Dla innych układów odniesienia może tak nie być.

Metryki generowane przez zwarty układ odniesienia wyróżniają się także tym, że dla nich zachodzi lemat 2. W przypadku przestrzeni lokal­

nie zwartych topologia generowana przez zwarty układ odniesienia (o ile taki istnieje) pokrywa się z fc-topologią i (/-topologią (które w przypadku istnienia zwartego układu odniesienia są identyczne) rozpatrywanymi przez Arensa w pracy [1].

W związku z tym powstają następujące zagadnienia:

1. Kiedy istnieją zwarte układy odniesienia?

2. Przy jakich metryzacjaeh grupy izometrii i dla jakich przestrzeni £ przestrzeń jednorodna G/H, gdzie H oznacza podgrupę, zachowującą ustalony punkt P 0eć', jest homeomorficzna z £ albo kiedy odwzorowanie x -> xP 0 grupy G w przestrzeń £ jest otwarte (tzn. przeprowadza zbiory otwarte w otwarte)?

Prace cytowane 1 2 3 4 5 6

[1] R. A r e n s , Topologies for homeomorphism groups, American Journal of Mathematics 68 (1946), str. 593-610.

[2] D. v a n D a n t z i g u n d B . L. v a n der W a e r d e n , Uber metrisch homogene

versitat 6 (1928), str. 367-37 6.

[3] A . G o e t z , O metryzacji grupy izometrii, Prace Matematyczne 1 (1955), str. 438, lub Colloquium Mathematicum 4 (1956), str. 142.

[4] — Tiber eine hinreichende Bedingung fiir die Existenz einer invarianten M e-

3 (1955), str. 467-469.

[5] — S. H a r t m a n i H. S t e in h a u s , Miary niezmiennicze w przestrzeniach

[6] M. И. Г р а е в , Теория топологических групп 1, Успехи Математических

Наук 5 (1950), вып. 2, str. 3 -5 6 .

[7] S. B. M y e r s and N. E. S te e n r o d , The group of isometries of a Bieman-

[8] Л. С. П о н т р я г и н , Непрерывные группы, издание 2, Москва 1954.

INSTYTU T M ATEM ATYCZNY POLSKIEJ A K AD EM II N A U K

А . Ге т ц ( В р о ц л а в )

И Н В А Р И А Н Т Н Ы Е М Е ТР И К И В Г Р У П П А Х ИЗОМЕТРИЙ

РЕЗЮМЕ

Рассматривается группа G изометрий метрического пространства Ć с метри­

кой d ( P , Q ) ^ 1. Системой отсчета пространства Ć относительно группы G называется такое подпространство ó, что для любой последовательности {жп}

элементов группы G из отношения lim xnB — В для всех В е б следует отношение

П

lim xnQ = Q для всех QeC.

п

С помощью системы отсчета определяется норма элемента группы

Ре ó

а затем лево-инвариантное расстояние

е ^ (* . У) = = N ó \y~lx).

После введения в G метрики для некоторой системы отсчета ó функция

Если система отсчета с5 компактна, то топология, определенная метрикой

самая сильная из всех лево-инвариантных топологий с первой аксиомой четности, для которых xQ — непрерывная функция в G x ć . Метрики, соответ­

ствующие разным компактным системам отсчета, топологически эквивалентны.

Если система отсчета d компактна, или максимальна (т. е. 6 — С), то группа G с метрикой является топологической группой. В общем случае это неверно (в работе приведен пример).

Большая часть результатов этой работы изложена 23 февраля 1954 г. на заседании Вроцлавского Отделения Польского Математического Общества.

Резюме доклада см. [3].

A . Go e t z (W r o c ła w )

IN V A R IA N T M ETRICS IN GROUPS OF ISO M ETRIES

SUMMARY

The author considers the group G of isometries of a metric space ć with

a metric d ( B , Q ) s^ 1. Under the reference system of the space Ć with respect

to the group G we shall mean such a subspace ó' that for an arbitrary

M etryki niezmiennicze w grupach izometrii 103

sequence {xn\ of elements of group G the relation \imxnP = P for every

n

P e

ci implies the relation lim xnQ = Q for every Qe ć .

n

By means of the reference system we define the norm of an element of the group

Nę$(x) = sup d ( P , x P ) ,

Peó

and then the left-invariant metric

= N ó { x~ ly) = N 0 { y ~ 1x).

After the introduction of the metric

^ to G for a certain reference system ci the function xQ is continuous in G x ć .

If the reference system c$ is compact, then the topology determined by the metric

first axiom of denumerability for which the function xQ is continuous in (

X £ . The metrics corresponding to various reference systems are topologically equivalent.

If the system of reference 6 is compact or maximal (i. e., c5 = Ć), then the group G with the metric

is a topological group. In the general case this does not hold (the paper contains an example).

Most of the results of this paper were presented at the meeting of the Wroclaw Branch of the Polish Mathematical Society on 23rd February 1954.

For the summary of the paper see [3].