Logika A
2. SYSTEM DOWODZENIA LOGIKI ZDA ´N
2.1. Aksjomaty
(ni˙zej φ, ψ i θ s¸a dowolnymi formu lami logiki zda´n).
(A1) φ → (ψ → φ) ;
(A2) (φ → (ψ → θ)) → ((φ → ψ) → (φ → θ));
(A3) (¬φ → ¬ψ) → (ψ → φ) . 2.2. Regu la dowodzenia.
( Modus Ponens )φ , (φ → ψ) ψ
Niech Γ b¸edzie zbiorem formu l, w kt´orych nie wyst¸epuj¸a ∧, ∨, 0, 1. Niech φ b¸edzie pewn¸a formu l¸a (tego samego typu). Dowodem formu ly φ ze zbioru Γ nazywamy taki ci¸ag formu l φ1, ..., φk, ˙ze φk = φ i ka˙zda φi albo jest aksjomatem, albo nale˙zy do Γ, albo te˙z zosta la otrzymana z formu l wyst¸epuj¸acych przed φi w wyniku zastosowania regu ly (MP).
W tym przypadku m´owimy, ˙ze φ jest wyprowadzalna (lub posiada dow´od) z Γ, co oznaczamy
Γ ` φ ( gdy Γ jest zbiorem pustym piszemy ` φ ) . 2.3. Uwaga. Sp´ojniki logiczne ∧ i ∨ s¸a rozwa˙zane jako skr´oty:
φ ∨ ψ = ¬φ → ψ i φ ∧ ψ = ¬(φ → ¬ψ).
Sta la logiczna 1 b¸edzie zast¸epowa la φ → φ, a sta la 0 jest ¬1.
2.4. W lasno´sci dowodzenia.
(a) Γ ∪ {φ} ` φ;
(b) Je´sli Γ ` φ, to Γ ∪ {ψ} ` φ;
(c) Je´sli Γ ` φ i Γ ∪ {φ} ` ψ, to Γ ` ψ;
(d) Je´sli Γ ` φ1, ..., Γ ` φn i {φ1, ..., φn} ` φ, to Γ ` φ.
2.5. Twierdzenie o dedukcji. Je´sli Γ ∪ {φ} ` ψ, to Γ ` (φ → ψ).
2.6. Twierdzenie o zupe lno´sci logiki zdaniowej. Formu la φ jest tautologi¸a wtedy i tylko wtedy gdy ` φ.
2.7. Zadania. (bez wykorzystania Twierdze´n 2.5 i 2.6) (a) Udowodni´c: ` φ → φ;
(b) Udowodni´c, ˙ze je´sli ` φ, to ` ψ → φ;
(c) Udowodni´c: ` ¬¬φ → (¬φ → ψ);
(d) Udowodni´c: ` ¬¬φ → (¬¬φ → φ);
(e) Udowodni´c: ` ¬¬φ → φ;
1
(f) Udowodni´c: ` φ → ¬¬φ.
2.8. Stosuj¸ac Twierdzenie 2.5 wyprowadzi´c:
(a) {φ → ψ, ψ → θ} ` φ → θ ; (b) ` (φ → ψ) → (¬ψ → ¬φ) ;
(c) je´sli Γ ∪ {φ} ` ψ, to Γ ∪ {¬ψ} ` ¬φ.
2.9. Stosuj¸ac skr´oty 2.3 udowodni´c : (a) φ ∧ ψ ` φ;
(b) φ ∧ ψ ` ψ;
(c) {φ, ψ} ` φ ∧ ψ;
(d) φ ` φ ∨ ψ;
(e) φ ` ψ ∨ φ;
(f) je´sli φ ` θ i ψ ` θ, to φ ∨ ψ ` θ;
(g) je´sli φ ` ψ i φ ` ¬ψ, to ` ¬φ
2
