Elementy logiki
Przykªady zda« w matematyce Zdania prawdziwe:
• 13 + 16 = 12, 3|6, √
2 6∈ Q,
• Je±li x = 1, to x2 = 1 (x oznacza dan¡ liczb¦ rzeczywist¡),
• Je±li a2 + b2 = c2, to trójk¡t o bokach dªugo±ci a, b, c jest prostok¡tny (a, b, c oznaczaj¡ dane liczby dodatnie),
Zdania faªszywe: 2 + 2 = 5, √
Pytanie. Czy prawdziwe jest zdanie:
Je±li trójk¡t o bokach dªugo±ci a, b, c jest prostok¡tny, to a2 + b2 = c2?
(a, b, c dane liczby dodatnie)
Zdanie posiadaj¡ce jedn¡ z dwóch warto±ci logicznych: prawda
lub faªsz, nazywamy zdaniem logicznym.
Zdania logiczne oznaczamy literami p, q, r, . . . .
Zªo»one zdania logiczne s¡ zbudowane z innych zda« logicz- nych za pomoc¡ spójników logicznych: jednoargumentowego
∼ i dwuargumentowych ∨, ∧, ⇒, ⇔, Y.
Negacja
∼ p nie p, nieprawda, »e p negacja zdania p Zdanie ∼ p jest:
prawdziwe, gdy p jest faªszywe,
faªszywe, gdy p jest prawdziwe.
Przykªad: 1 nie jest liczb¡ pierwsz¡,
dokªadniej: nieprawda, »e 1 jest liczb¡ pierwsz¡.
Zdanie ∼ p jest negacj¡ zdania p: 1 jest liczb¡ pierwsz¡.
Koniunkcja
p ∧ q p i q koniunkcja zda« p i q Zdanie p ∧ q jest:
prawdziwe, gdy oba zdania p i q s¡ prawdziwe,
faªszywe, gdy co najmniej jedno ze zda« p i q jest faªszywe.
Przykªad: 2 jest liczb¡ pierwsz¡ i parzyst¡,
dokªadniej: 2 jest liczb¡ pierwsz¡ i 2 jest liczb¡ parzyst¡.
Jest to koniunkcja p ∧ q, gdzie
p oznacza zdanie 2 jest liczb¡ pierwsz¡, a q oznacza zdanie 2 jest liczb¡ parzyst¡.
Alternatywa
p ∨ q p lub q alternatywa zda« p i q Zdanie p ∨ q jest:
prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zda« p i q jest prawdziwe,
faªszywe, gdy oba zdania p i q s¡ faªszywe.
Przykªad. Wybierzmy pewn¡ liczb¦ caªkowit¡ x i rozwa»my zda- nie: x < 1 lub x > −1.
Jest to alternatywa p ∨ q, gdzie p oznacza zdanie x < 1, a q oznacza zdanie x > −1.
W przypadku x = 0 oba zdania s¡ prawdziwe i alterantywa te»
jest zdaniem prawdziwym.
Alternatywa rozª¡czna
p Y q p albo q alternatywa rozª¡czna zda« p i q Zdanie p Y q jest:
prawdziwe, gdy jedno ze zda« p, q jest prawdziwe, a drugie faªszywe,
faªszywe, gdy oba zdania p i q s¡ jednocze±nie prawdziwe lub jednocze±nie faªszywe.
Przykªad. Rozwa»my dwie (ró»ne) proste na pªaszczy¹nie. Mó- wimy: Dane proste si¦ przecinaj¡ albo s¡ równolegªe. Jest to alternatywa rozª¡czna p Y q, gdzie p oznacza zdanie Dane proste si¦ przecinaj¡, a q oznacza zdanie Dane proste s¡ równolegªe.
Alternatywy rozª¡cznej (w zdaniu prawdziwym) u»ywamy, gdy chcemy podkre±li¢, »e oba zdania nie mog¡ jednocze±nie by¢
prawdziwe.
Uwaga. Je±li zdanie p Y q jest prawdziwe, to zdanie p ∨ q te» jest prawdziwe, np.: Dane proste si¦ przecinaj¡ lub s¡ równolegªe.
Je±li zdanie p ∨ q jest prawdziwe, to zdanie p Y q nie musi by¢
prawdziwe, np.: 0 < 1 albo 0 > −1.
Równowa»no±¢
p ⇔ q p wtedy i tylko wtedy, gdy q, p dokªadnie wtedy, gdy q równowa»no±¢ zda« p i q.
Zdanie p ⇔ q jest:
prawdziwe, gdy oba zdania p i q s¡ jednocze±nie prawdziwe lub jednocze±nie faªszywe,
faªszywe, gdy jedno ze zda« p, q jest prawdziwe, a drugie faª- szywe.
Przykªad. Rozwa»my czworok¡t wypukªy ABCD. Zdanie: Czwo- rok¡t ABCD jest opisany na okr¦gu wtedy i tylko wtedy, gdy AB + CD = AD + BC jest równowa»no±ci¡ zda« p: Czworok¡t
Implikacja
p ⇒ q je±li p, to q, p implikuje q implikacja o poprzedniku p i nast¦pniku q
Jak okre±lamy warto±¢ logiczn¡ implikacji?
Przykªad. Zdanie x = 1 ⇒ x2 = 1 jest prawdziwe dla ka»- dej liczby rzeczywistej x. Zwró¢my uwag¦ na warto±¢ logiczn¡
poprzednika oraz nast¦pnika tej implikacji dla poszczególnych warto±ci x.
x = 1 x2 = 1 dla x = 1 prawda prawda dla x = 0 faªsz faªsz dla x = −1 faªsz prawda
Prawdziwo±¢ implikacji oznacza, »e je±li zdanie p jest prawdziwe, to zdanie q te» musi by¢ prawdziwe (a je±li p nie jest prawdziwe, to q mo»e by¢ jakiekolwiek).
Zdanie p ⇒ q jest:
prawdziwe, gdy oba zdania s¡ prawdziwe, gdy oba zdania s¡
faªszywe oraz gdy zdanie p jest faªszywe, a zdanie q jest praw- dziwe,
faªszywe, gdy zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q jest faªszywe.
Przy zapisywaniu bardziej skomplikowanych zda« logicznych u»y- wamy nawiasów, np.:
∼ (∼ p), (p ∧ q) ∨ r, (p ⇒ q)∧ ∼ (q ⇒ r).
Zdania (p∨q)∨r i p∨(q∨r) maj¡ zawsze t¦ sam¡ warto±¢ logiczn¡
(dlaczego?), wi¦c nawiasy mo»emy opu±ci¢: p ∨ q ∨ r. Podobnie otrzymujemy zdanie p ∧ q ∧ r.
Zdanie p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn jest:
prawdziwe, gdy ka»de ze zda« p1, p2, . . . , pn jest prawdziwe,
faªszywe, gdy co najmniej jedno ze zda« p1, p2, . . . , pn jest faª- szywe.
Zdanie p1 ∨ p2 ∨ . . . ∨ pn jest:
prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zda« p1, p2, . . . , pn jest prawdziwe,
faªszywe, gdy ka»de ze zda« p1, p2, . . . , pn jest faªszywe.
Zdania (p ⇔ q) ⇔ r i p ⇔ (q ⇔ r) maj¡ t¦ sam¡ warto±¢ logiczn¡, ale warto±¢ logiczn¡ zdania p ⇔ q ⇔ r okre±lamy inaczej.
Zdanie p1 ⇔ p2 ⇔ . . . ⇔ pn jest:
prawdziwe, gdy wszystkie zdania p1, p2, . . . , pn s¡ jednocze±nie prawdziwe lub jednocze±nie faªszywe,
faªszywe, gdy w±ród zda« p1, p2, . . . , pn s¡ zdania prawdziwe i zdania faªszywe.
Pytanie. Jak mo»na okre±li¢ prawdziwo±¢ zdania p1 ⇒ p2 ⇒ . . . ⇒ pn?
Wa»na wªasno±¢ spójników logicznych:
Warto±¢ logiczna zdania zªo»onego zale»y jedynie od tego, w jaki sposób jest ono zbudowane i jakie warto±ci logiczne maj¡
zdania skªadowe. Warto±¢ logiczna zdania zªo»onego nie zale»y od konkretnej postaci (tre±ci) zda« skªadowych.
Dlatego mo»emy rozwa»a¢ wyra»enia utworzone poprawnie (za pomoc¡ spójników logicznych i nawiasów) z symboli p, q, r, itp.
Symbole te nazywamy zmiennymi zdaniowymi. Gdy w takim wy- ra»eniu podstawimy za zmienne zdaniowe konkretne zdania lo- giczne, to otrzymamy zªo»one zdanie logiczne.
Uwaga. Je±li to nie prowadzi do nieporozumie«, to zmienne zda- niowe i wyra»enia z nich utworzone mo»emy nazywa¢ zdaniami.
Wyra»enia logicznie równowa»ne
Wyra»enia nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj¡ rów- ne warto±ci logiczne dla dowolnego warto±ciowania logicznego zmiennych zdaniowych.
Przykªady:
• Wyra»enia p i ∼ (∼ p) s¡ logicznie równowa»ne.
• Wyra»enia
p ⇒ q, ∼ q ⇒∼ p, ∼ p ∨ q i ∼ (p∧ ∼ q) s¡ logicznie równowa»ne.
Inny przykªad. Zdanie
∼ (p ∧ q)
jest faªszywe tylko w przypadku, gdy zdanie p ∧ q jest prawdziwe, czyli gdy oba zdania p i q s¡ prawdziwe. Zdanie
∼ p∨ ∼ q
jest faªszywe tylko w przypadku, gdy oba zdania ∼ p, ∼ q s¡
faªszywe, czyli gdy oba zdania p i q s¡ prawdziwe. Zatem zdania
∼ (p ∧ q) i ∼ p∨ ∼ q s¡ logicznie równowa»ne.
Analogicznie, zdania
∼ (p ∨ q) i ∼ p∧ ∼ q s¡ logicznie równowa»ne.
Tautologie
Tautologi¡ nazywamy wyra»enie, które ma warto±¢ logiczn¡ praw- da dla dowolnego warto±ciowania zda« prostych.
Przykªady tautologii:
• p ⇒ p,
• p∨ ∼ p (prawo wyª¡czonego ±rodka),
• ∼ (p∧ ∼ p) (prawo sprzeczno±ci),
• (∼ p ⇒ p) ⇒ p (prawo Claviusa),
• (p ∧ q) ⇒ p,
• p ⇒ (p ∨ q),
• ∼ p ⇒ (p ⇒ q),
• ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ⇔ q),
• (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)).
Wyra»enie postaci P ⇔ Q jest tautologi¡ dokªadnie wtedy, gdy wyra»enia P i Q s¡ logicznie równowa»ne.
Przykªady.
• Prawo podwójnego przeczenia:
p ⇔∼ (∼ p).
• Prawa de Morgana:
∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p∨ ∼ q),
∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q).
• Metoda dowodu nie wprost jest oparta na tautologii (p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p).
• Metoda dowodu przez sprzeczno±¢ jest oparta na tautologii (p ⇒ q) ⇔∼ (p∧ ∼ q).
Metoda zero-jedynkowa
Warto±¢ logiczn¡ faªsz oznaczamy symbolem 0, a warto±¢ lo- giczn¡ prawda symbolem 1. Je±li zdanie p jest faªszywe, to piszemy v(p) = 0, a je±li jest prawdziwe, to piszemy v(p) = 1.
Warto±ci logiczne zda« zªo»onych okre±lili±my nast¦puj¡co:
v(p) v(∼ p)
0 1
1 0
v(p) v(q) v(p ∨ q) v(p ∧ q) v(p ⇒ q) v(p ⇔ q)
0 0 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 0
Przykªad. Warto±¢ logiczn¡ zdania zªo»onego ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q)
dla poszczególnych warto±ciowa« zda« prostych mo»emy obliczy¢
nast¦puj¡co:
v(p) v(q) v(p ⇒ q) v(q ⇒ p) v(p ∧ q)
0 0 1 1 0
0 1 1 0 0
1 0 0 1 0
1 1 1 1 1
v((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) v(((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q))
1 0
0 1
0 1
Szybszy sposób polega na tym, »e nie wypisujemy poszczegól- nych zda« skªadowych w oddzielnych kolumnach (np. p ⇒ q, q ⇒ p i p ∧ q); piszemy tylko caªe zdanie zªo»one, a warto±ci logiczne poszczególnych zda« skªadowych wypisujemy pod tymi zdaniami (dokªadniej: pod ich spójnikami logicznymi). Gdy wy- piszemy np. warto±ci logiczne zda« p ⇒ q i q ⇒ p, to warto±ci logiczne zdania (p ⇒ q)∧(q ⇒ p) wypisujemy pod spójnikiem ∧.
v(p) v(q) ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q)
0 0 1 1 1 0 0
0 1 1 0 0 1 0
1 0 0 0 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1
Przykªad. Zdania
(p ∨ q) ∧ r i (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) s¡ logicznie równowa»ne.
v(p) v(q) v(r) (p ∨ q) ∧ r (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0 0 0
1 0 1 1 1 1 1 0
1 1 0 1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
Przykªad. Zdanie
(p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p) jest tautologi¡.
v(p) v(q) (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)
0 0 1 1 1
0 1 1 1 0
1 0 0 1 1
1 1 1 1 1
Formy zdaniowe
Forma zdaniowa ϕ(x) okre±lona w zbiorze X to wyra»enie, które jest zdaniem, je±li za x wstawimy dowolny element zbioru X.
Zbiór X nazywamy zakresem formy zdaniowej ϕ(x).
Przykªady.
• ϕ(x) = x2 < 1, gdzie x ∈ R, ϕ(x) jest zdaniem:
prawdziwym dla x ∈ (−1, 1),
faªszywym dla x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞);
• ϕ(x) = x2 > 0, gdzie x ∈ R,
ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ R;
• ϕ(n) = n | 6 (n dzieli 6), gdzie n ∈ N1, ϕ(n) jest zdaniem:
prawdziwym dla n = 1, 2, 3, 6
faªszywym dla pozostaªych n;
• ϕ(n) = n = n + 1, gdzie n ∈ Z,
ϕ(n) jest zdaniem faªszywym dla ka»dego n ∈ Z.
Uwaga. Forma zdaniowa okre±lona w zbiorze X pozwala ka»- demu elementowi tego zbioru przyporz¡dkowa¢ zdanie. Mo»emy wi¦c j¡ nazwa¢ funkcj¡ zdaniow¡.
Pytanie. Co jest dziedzin¡, a co zbiorem warto±ci tej funkcji?
Kwantykatory
Je±li ϕ(x) jest form¡ zdaniow¡ okre±lon¡ w zbiorze X, to mo»emy rozwa»y¢ nast¦puj¡ce dwa zdania.
1. Zdanie
Dla ka»dego x ∈ X (zachodzi) ϕ(x), które zapisujemy symbolicznie
∀x∈X ϕ(x).
2. Zdanie
Istnieje x ∈ X takie, »e ϕ(x), które zapisujemy
∃x∈X ϕ(x).
Zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdziwe dokªadnie wtedy, gdy ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla co najmniej jednego x ∈ X.
Przykªady:
• ∀x∈R x2 < 1 zdanie faªszywe,
∃x∈R x2 < 1 zdanie prawdziwe,
• ∀x∈R x2 > 0 zdanie prawdziwe,
∃x∈R x2 > 0 zdanie prawdziwe,
• ∀n∈N1 n | 6 zdanie faªszywe,
∃n∈N1 n | 6 zdanie prawdziwe,
• ∀n∈Z n = n + 1 zdanie faªszywe,
∃n∈Z n = n + 1 zdanie faªszywe.
Zauwa»my, »e:
je±li ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ X, to zdania ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) s¡ prawdziwe,
je±li ϕ(x) jest zdaniem faªszywym dla wszystkich x ∈ X, to zdania ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) s¡ faªszywe,
je±li ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla pewnych elementów zbioru X, a faªszywym dla innych elementów tego zbioru, to zdanie ∀x∈X ϕ(x) jest faªszywe, a zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdzi- we.
Symbol ∀ nazywamy kwantykatorem ogólnym, a symbol ∃
nazywamy kwantykatorem szczegóªowym.
∀
forA
ll∃
E
xistsJe±li zakres formy zdaniowej (zbiór X) jest jasno okre±lony, to zamiast ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) mo»emy pisa¢: ∀x ϕ(x), ∃x ϕ(x).
W matematyce elementarnej popularne s¡ polskie symbole kwan- tykatorów:
V kwantykator ogólny (zamiast ∀),
W kwantykator szczegóªowy (zamiast ∃).
Kwantykatory te s¡ uogólnieniami spójników logicznych, gdy»
w przypadku zbioru sko«czonego X mamy:
^
x∈{x1,...,xn}
ϕ(x) ⇔ ϕ(x1) ∧ · · · ∧ ϕ(xn),
_
x∈{x1,...,xn}
ϕ(x) ⇔ ϕ(x1) ∨ · · · ∨ ϕ(xn).
Formy zdaniowe wielu zmiennych
Mo»emy rozwa»a¢ formy zdaniowe wi¦kszej liczby zmiennych, np.
ϕ(x, y, z), gdzie x ∈ X, y ∈ Y , z ∈ Z lub ϕ(x, y), gdzie x, y ∈ X.
Przykªady:
• x < y, gdzie x, y ∈ N;
• x · y = 0, gdzie x ∈ Z, y ∈ R;
• A ∈ k, gdzie A ∈ zbiór punktów, k ∈ zbiór prostych;
• Punkt A le»y mi¦dzy punktami B i C.
Rozwa»my form¦ zdaniow¡ ϕ(x, y) zmiennych x, y ∈ X.
Zdanie
∀x∈X ∀y∈X ϕ(x, y)
oznacza, »e dla ka»dego x ∈ X zachodzi to, »e dla ka»dego y ∈ X zachodzi ϕ(x, y). Pro±ciej:
dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi ϕ(x, y),
co zapisujemy u»ywaj¡c jednego symbolu kwantykatora:
∀x,y∈X ϕ(x, y).
Zdanie
∃x∈X ∃y∈X ϕ(x, y)
oznacza, »e istnieje x ∈ X, dla którego istnieje y ∈ X taki, »e zachodzi ϕ(x, y). Pro±ciej:
istniej¡ x, y ∈ X takie, »e ϕ(x, y),
co te» zapisujemy u»ywaj¡c jednego symbolu kwantykatora:
∃x,y∈X ϕ(x, y).
Niech teraz ϕ(x1, . . . , xn) b¦dzie form¡ zdaniow¡ zmiennych x1, . . ., xn, gdzie x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn.
Zdanie
Dla dowolnych x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn (zachodzi) ϕ(x1, . . . , xn) zapisujemy
∀x1∈X1,...,xn∈Xn ϕ(x1, . . . , xn).
Zdanie
Istniej¡ x1 ∈ X1, . . . , xn ∈ Xn takie, »e ϕ(x1, . . . , xn), zapisujemy
∃x1∈X1,...,xn∈Xn ϕ(x1, . . . , xn).
Przykªad. Które z nast¦puj¡cych zda« s¡ prawdziwe, a które faªszywe:
∀x,y∈Z x < y, ∀x,y∈R x · y = y · x, ∃x∈N ∃y∈Z x < y?
Niech ϕ(x, y) b¦dzie form¡ zdaniow¡ zmiennych x ∈ X, y ∈ Y . Zdanie
∃x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y)
oznacza, »e istnieje x ∈ X takie, »e ϕ(x, y) zachodzi dla ka»dego y ∈ Y .
Zdanie
∀x∈X ∃y∈Y ϕ(x, y)
oznacza, »e dla ka»dego x ∈ X istnieje takie y ∈ Y , »e zachodzi ϕ(x, y).
To nie jest to samo!
Przykªad. Które z nast¦puj¡cych zda« s¡ prawdziwe, a które faªszywe:
∀x∈Z ∃y∈Z x < y, ∃x∈Z ∀y∈Z x < y, ∃x∈Z ∀y∈Z x · y = 0?
wiczenie. Utwórz kilka ciekawych zda« z u»yciem kwantyka- torów ∀, ∃ i form zdaniowych:
x < y, x 6 y, x · y = 0, x · y = 1, gdzie x, y przebiegaj¡ zbiory: N, N1, Z, Q, R.
Okre±l prawdziwo±¢ utworzonych zda«.
Przykªady u»ycia kwantykatorów
• a ∈ Z, a jest liczb¡ parzyst¡:
∃k∈Z a = 2k.
• a, b ∈ Z, a jest podzielne przez b:
∃k∈Z a = k · b.
• p ∈ N1, p jest liczb¡ pierwsz¡:
(p 6= 1) ∧ ∀a∈N1 (a | p ⇒ a = 1 ∨ a = p).
• b ∈ R, A ⊂ R, b jest ograniczeniem z góry zbioru A:
∀a∈A a 6 b.
• Mi¦dzy dowolnymi dwiema ró»nymi liczbami rzeczywistymi istnieje liczba wymierna:
∀x∈R ∀y∈R (x 6= y ⇒ ∃w∈Q ((x < w ∧ w < y) ∨ (y < w ∧ w < x))).
• Od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ci¡gu (xn) s¡ dodat- nie:
∃N∀n>N xn > 0.
• Zasada indukcji matematycznej:
(T (0) ∧ ∀n∈N (T (n) ⇒ T (n + 1))) ⇒ ∀n∈N T (n).
Prawa rachunku kwantykatorów
Prawo rachunku kwantykatorów to wyra»enie utworzone po- prawnie z symboli kwantykatorów, funkcji zdaniowych i spój- ników logicznych, które jest zdaniem prawdziwym dla dowolnej funkcji zdaniowej i dowolnych warto±ci zmiennych.
Prawa de Morgana dla kwantykatorów:
∼ (∀x∈X ϕ(x)) ⇔ ∃x∈X (∼ ϕ(x)),
∼ (∃x∈X ϕ(x)) ⇔ ∀x∈X (∼ ϕ(x)).
Przykªad. Liczba b nie jest ograniczeniem z góry zbioru A:
∼ (∀a∈A a 6 b) ⇔ ∃a∈A ∼ (a 6 b) ⇔ ∃a∈A a > b.
Inne prawa rachunku kwantykatorów:
(∀x∈X ϕ(x)) ⇒ (∃x∈X ϕ(x)),
(∃x∈X ∀y∈Y ϕ(x, y)) ⇒ (∀y∈Y ∃x∈X ϕ(x, y)).
Metody dowodzenia twierdze«
Metoda dowodu nie wprost jest oparta na tautologii (p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p).
Zadanie. Dane s¡ liczby caªkowite a i b. Wyka», »e je±li a · b jest liczb¡ parzyst¡, to a jest parzyste lub b jest parzyste.
Metoda dowodu przez sprzeczno±¢ jest oparta na tautologii (p ⇒ q) ⇔∼ (p∧ ∼ q).
Zadanie. Dane s¡ liczby rzeczywiste x, y. Wyka», »e je»eli x2 + y2 < 1, to x + y < √
2.
Metoda indukcji matematycznej
Przykªad. Obliczy¢ 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1), gdzie n jest liczb¡
naturaln¡.
Dyskusja. Wprowad¹my oznaczenie:
Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1).
Mamy: S1 = 1, S2 = 1 + 3 = 4, S3 = 1 + 3 + 5 = 9, S4 = 16, S5 = 25, S6 = 36.
Widzimy, »e powinno by¢ Sn = n2. Czy mo»na to jako± uzasad- ni¢?
Trzeba si¦ przyjrze¢, w jaki sposób otrzymujemy kolejne Sn. Na przykªad, je±li mamy ju» obliczone
S6 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36, to
S7 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
nie b¦dziemy liczyli od pocz¡tku, tylko wykorzystamy zale»no±¢
S7 = S6 + 13 = 36 + 13 = 49.
Podobnie
S8 = S7 + 15 = 49 + 15 = 64
i tak dalej. Zwró¢my uwag¦ na to, co nale»y doda¢ do Sn, »eby otrzyma¢ Sn+1. Je±li Sn = n2, to
Sn+1 = Sn + (2 · (n + 1) − 1) = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2.
Zadanie. Dowie±¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n > 1 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n · (n + 1) = n · (n + 1) · (n + 2)
3 .
Rozwi¡zanie.
I. Baza indukcji.
Dla n = 1 równo±¢ jest oczywista:
1 · 2 = 1 · 2 · 3 3 . II. Krok indukcyjny.
Niech k b¦dzie dowoln¡ liczb¡ naturaln¡. Zaªó»my, »e dana w zadaniu równo±¢ zachodzi dla n = k:
1 · 2 + . . . + k · (k + 1) = k · (k + 1) · (k + 2)
3 .
Wówczas dla n = k + 1 mamy:
1·2+. . .+k·(k+1)+(k+1)·(k+2) = k · (k + 1) · (k + 2)
3 +(k+1)·(k+2) =
= (k + 1) · (k + 2) · (k
3 + 1) = (k + 1) · (k + 2) · (k + 3)
3 ,
czyli dla n = k + 1 równo±¢ jest speªniona.
Na mocy zasady indukcji matematycznej równo±¢
1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n · (n + 1) = n · (n + 1) · (n + 2) 3
zachodzi dla dowolnego naturalnego n.
Zadanie. Dowie±¢, »e dla dowolnego n ≥ 0 liczba 22n+1+ 3n + 7 jest podzielna przez 9.
Zasada indukcji:
(T (0) ∧ ∀n∈N (T (n) ⇒ T (n + 1))) ⇒ ∀n∈N T (n)
(T (1) ∧ ∀n∈N1 (T (n) ⇒ T (n + 1))) ⇒ ∀n∈N1 T (n)
Dowie±¢, »e dowoln¡ liczb¦ naturaln¡ wi¦ksz¡ od 1 mo»na przed- stawi¢ w postaci iloczynu liczb pierwszych. (Je±li n jest liczb¡
pierwsz¡, to iloczyn ten skªada si¦ tylko z jednego czynnika.) Rozwi¡zanie.
Liczba n = 2 jest liczb¡ pierwsz¡, czyli iloczynem jednej liczby pierwszej samej siebie.
Niech n b¦dzie dowoln¡ liczb¡ naturaln¡ wi¦ksz¡ od 2. Zaªó»my,
»e ka»d¡ liczb¦ naturaln¡ mniejsz¡ od n mo»na przedstawi¢ w postaci iloczynu liczb pierwszych. Poka»emy, »e n te» mo»na przedstawi¢ w postaci iloczynu liczb pierwszych.
Je±li n jest liczb¡ pierwsz¡, to teza dla n zachodzi. Je±li n jest licz- b¡ zªo»on¡, to mo»na j¡ przedstawi¢ w postaci iloczynu dwóch liczb od niej mniejszych: n = k · l, k, l < n. Na mocy zaªo»enia zarówno k, jak i l, jest iloczynem liczb pierwszych: k = p1 · . . . · pi, l = q1· . . . · qj, zatem n = k · l te», oczywi±cie mo»na tak przedsta- wi¢: n = p1·. . .·pi·q1·. . .·qj, co ko«czy dowód kroku indukcyjnego.
Schemat powy»szego dowodu:
I) Baza: T (2).
II) Krok: T (2) ∧ . . . ∧ T (n − 1) ⇒ T (n) dla ka»dego n > 2.