Elementy logiki

Elementy logiki

Przykªady zda« w matematyce Zdania prawdziwe:

• ¹₃ + ¹₆ = ¹₂, 3|6, √

2 6∈ Q,

• Je±li x = 1, to x² = 1 (x oznacza dan¡ liczb¦ rzeczywist¡),

• Je±li a² + b² = c², to trójk¡t o bokach dªugo±ci a, b, c jest prostok¡tny (a, b, c oznaczaj¡ dane liczby dodatnie),

Zdania faªszywe: 2 + 2 = 5, √

Pytanie. Czy prawdziwe jest zdanie:

Je±li trójk¡t o bokach dªugo±ci a, b, c jest prostok¡tny, to a² + b² = c²?

(a, b, c  dane liczby dodatnie)

Zdanie posiadaj¡ce jedn¡ z dwóch warto±ci logicznych: prawda

lub faªsz, nazywamy zdaniem logicznym.

Zdania logiczne oznaczamy literami p, q, r, . . . .

Zªo»one zdania logiczne s¡ zbudowane z innych zda« logicz- nych za pomoc¡ spójników logicznych: jednoargumentowego

∼ i dwuargumentowych ∨, ∧, ⇒, ⇔, Y.

Negacja

∼ p  nie p, nieprawda, »e p  negacja zdania p Zdanie ∼ p jest:

 prawdziwe, gdy p jest faªszywe,

 faªszywe, gdy p jest prawdziwe.

Przykªad: 1 nie jest liczb¡ pierwsz¡,

dokªadniej: nieprawda, »e 1 jest liczb¡ pierwsz¡.

Zdanie ∼ p jest negacj¡ zdania p: 1 jest liczb¡ pierwsz¡.

Koniunkcja

p ∧ q  p i q  koniunkcja zda« p i q Zdanie p ∧ q jest:

 prawdziwe, gdy oba zdania p i q s¡ prawdziwe,

 faªszywe, gdy co najmniej jedno ze zda« p i q jest faªszywe.

Przykªad: 2 jest liczb¡ pierwsz¡ i parzyst¡,

dokªadniej: 2 jest liczb¡ pierwsz¡ i 2 jest liczb¡ parzyst¡.

Jest to koniunkcja p ∧ q, gdzie

p oznacza zdanie 2 jest liczb¡ pierwsz¡, a q oznacza zdanie 2 jest liczb¡ parzyst¡.

Alternatywa

p ∨ q  p lub q  alternatywa zda« p i q Zdanie p ∨ q jest:

 prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zda« p i q jest prawdziwe,

 faªszywe, gdy oba zdania p i q s¡ faªszywe.

Przykªad. Wybierzmy pewn¡ liczb¦ caªkowit¡ x i rozwa»my zda- nie: x < 1 lub x > −1.

Jest to alternatywa p ∨ q, gdzie p oznacza zdanie x < 1, a q oznacza zdanie x > −1.

W przypadku x = 0 oba zdania s¡ prawdziwe i alterantywa te»

jest zdaniem prawdziwym.

Alternatywa rozª¡czna

p Y q  p albo q  alternatywa rozª¡czna zda« p i q Zdanie p Y q jest:

 prawdziwe, gdy jedno ze zda« p, q jest prawdziwe, a drugie faªszywe,

 faªszywe, gdy oba zdania p i q s¡ jednocze±nie prawdziwe lub jednocze±nie faªszywe.

Przykªad. Rozwa»my dwie (ró»ne) proste na pªaszczy¹nie. Mó- wimy: Dane proste si¦ przecinaj¡ albo s¡ równolegªe. Jest to alternatywa rozª¡czna p Y q, gdzie p oznacza zdanie Dane proste si¦ przecinaj¡, a q oznacza zdanie Dane proste s¡ równolegªe.

Alternatywy rozª¡cznej (w zdaniu prawdziwym) u»ywamy, gdy chcemy podkre±li¢, »e oba zdania nie mog¡ jednocze±nie by¢

prawdziwe.

Uwaga. Je±li zdanie p Y q jest prawdziwe, to zdanie p ∨ q te» jest prawdziwe, np.: Dane proste si¦ przecinaj¡ lub s¡ równolegªe.

Je±li zdanie p ∨ q jest prawdziwe, to zdanie p Y q nie musi by¢

prawdziwe, np.: 0 < 1 albo 0 > −1.

Równowa»no±¢

p ⇔ q  p wtedy i tylko wtedy, gdy q, p dokªadnie wtedy, gdy q  równowa»no±¢ zda« p i q.

Zdanie p ⇔ q jest:

 prawdziwe, gdy oba zdania p i q s¡ jednocze±nie prawdziwe lub jednocze±nie faªszywe,

 faªszywe, gdy jedno ze zda« p, q jest prawdziwe, a drugie faª- szywe.

Przykªad. Rozwa»my czworok¡t wypukªy ABCD. Zdanie: Czwo- rok¡t ABCD jest opisany na okr¦gu wtedy i tylko wtedy, gdy AB + CD = AD + BC jest równowa»no±ci¡ zda« p: Czworok¡t

Implikacja

p ⇒ q   je±li p, to q, p implikuje q  implikacja o poprzedniku p i nast¦pniku q

Jak okre±lamy warto±¢ logiczn¡ implikacji?

Przykªad. Zdanie x = 1 ⇒ x² = 1 jest prawdziwe dla ka»- dej liczby rzeczywistej x. Zwró¢my uwag¦ na warto±¢ logiczn¡

poprzednika oraz nast¦pnika tej implikacji dla poszczególnych warto±ci x.

x = 1 x² = 1 dla x = 1 prawda prawda dla x = 0 faªsz faªsz dla x = −1 faªsz prawda

Prawdziwo±¢ implikacji oznacza, »e je±li zdanie p jest prawdziwe, to zdanie q te» musi by¢ prawdziwe (a je±li p nie jest prawdziwe, to q mo»e by¢ jakiekolwiek).

Zdanie p ⇒ q jest:

 prawdziwe, gdy oba zdania s¡ prawdziwe, gdy oba zdania s¡

faªszywe oraz gdy zdanie p jest faªszywe, a zdanie q jest praw- dziwe,

 faªszywe, gdy zdanie p jest prawdziwe, a zdanie q jest faªszywe.

Przy zapisywaniu bardziej skomplikowanych zda« logicznych u»y- wamy nawiasów, np.:

∼ (∼ p), (p ∧ q) ∨ r, (p ⇒ q)∧ ∼ (q ⇒ r).

Zdania (p∨q)∨r i p∨(q∨r) maj¡ zawsze t¦ sam¡ warto±¢ logiczn¡

(dlaczego?), wi¦c nawiasy mo»emy opu±ci¢: p ∨ q ∨ r. Podobnie otrzymujemy zdanie p ∧ q ∧ r.

Zdanie p1 ∧ p₂ ∧ . . . ∧ p_n jest:

 prawdziwe, gdy ka»de ze zda« p1, p₂, . . . , p_n jest prawdziwe,

 faªszywe, gdy co najmniej jedno ze zda« p1, p₂, . . . , p_n jest faª- szywe.

Zdanie p1 ∨ p₂ ∨ . . . ∨ p_n jest:

 prawdziwe, gdy co najmniej jedno ze zda« p1, p₂, . . . , p_n jest prawdziwe,

 faªszywe, gdy ka»de ze zda« p1, p₂, . . . , p_n jest faªszywe.

Zdania (p ⇔ q) ⇔ r i p ⇔ (q ⇔ r) maj¡ t¦ sam¡ warto±¢ logiczn¡, ale warto±¢ logiczn¡ zdania p ⇔ q ⇔ r okre±lamy inaczej.

Zdanie p1 ⇔ p₂ ⇔ . . . ⇔ p_n jest:

 prawdziwe, gdy wszystkie zdania p1, p₂, . . . , p_n s¡ jednocze±nie prawdziwe lub jednocze±nie faªszywe,

 faªszywe, gdy w±ród zda« p1, p₂, . . . , p_n s¡ zdania prawdziwe i zdania faªszywe.

Pytanie. Jak mo»na okre±li¢ prawdziwo±¢ zdania p₁ ⇒ p₂ ⇒ . . . ⇒ p_n?

Wa»na wªasno±¢ spójników logicznych:

Warto±¢ logiczna zdania zªo»onego zale»y jedynie od tego, w jaki sposób jest ono zbudowane i jakie warto±ci logiczne maj¡

zdania skªadowe. Warto±¢ logiczna zdania zªo»onego nie zale»y od konkretnej postaci (tre±ci) zda« skªadowych.

Dlatego mo»emy rozwa»a¢ wyra»enia utworzone poprawnie (za pomoc¡ spójników logicznych i nawiasów) z symboli p, q, r, itp.

Symbole te nazywamy zmiennymi zdaniowymi. Gdy w takim wy- ra»eniu podstawimy za zmienne zdaniowe konkretne zdania lo- giczne, to otrzymamy zªo»one zdanie logiczne.

Uwaga. Je±li to nie prowadzi do nieporozumie«, to zmienne zda- niowe i wyra»enia z nich utworzone mo»emy nazywa¢ zdaniami.

Wyra»enia logicznie równowa»ne

Wyra»enia nazywamy logicznie równowa»nymi, gdy maj¡ rów- ne warto±ci logiczne dla dowolnego warto±ciowania logicznego zmiennych zdaniowych.

Przykªady:

• Wyra»enia p i ∼ (∼ p) s¡ logicznie równowa»ne.

• Wyra»enia

p ⇒ q, ∼ q ⇒∼ p, ∼ p ∨ q i ∼ (p∧ ∼ q) s¡ logicznie równowa»ne.

Inny przykªad. Zdanie

∼ (p ∧ q)

jest faªszywe tylko w przypadku, gdy zdanie p ∧ q jest prawdziwe, czyli gdy oba zdania p i q s¡ prawdziwe. Zdanie

∼ p∨ ∼ q

jest faªszywe tylko w przypadku, gdy oba zdania ∼ p, ∼ q s¡

faªszywe, czyli gdy oba zdania p i q s¡ prawdziwe. Zatem zdania

∼ (p ∧ q) i ∼ p∨ ∼ q s¡ logicznie równowa»ne.

Analogicznie, zdania

∼ (p ∨ q) i ∼ p∧ ∼ q s¡ logicznie równowa»ne.

Tautologie

Tautologi¡ nazywamy wyra»enie, które ma warto±¢ logiczn¡ praw- da dla dowolnego warto±ciowania zda« prostych.

Przykªady tautologii:

• p ⇒ p,

• p∨ ∼ p (prawo wyª¡czonego ±rodka),

• ∼ (p∧ ∼ p) (prawo sprzeczno±ci),

• (∼ p ⇒ p) ⇒ p (prawo Claviusa),

• (p ∧ q) ⇒ p,

• p ⇒ (p ∨ q),

• ∼ p ⇒ (p ⇒ q),

• ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ⇔ q),

• (p ⇒ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ⇒ q) ⇒ (p ⇒ r)).

Wyra»enie postaci P ⇔ Q jest tautologi¡ dokªadnie wtedy, gdy wyra»enia P i Q s¡ logicznie równowa»ne.

Przykªady.

• Prawo podwójnego przeczenia:

p ⇔∼ (∼ p).

• Prawa de Morgana:

∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p∨ ∼ q),

∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p∧ ∼ q).

• Metoda dowodu nie wprost jest oparta na tautologii (p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p).

• Metoda dowodu przez sprzeczno±¢ jest oparta na tautologii (p ⇒ q) ⇔∼ (p∧ ∼ q).

Metoda zero-jedynkowa

Warto±¢ logiczn¡ faªsz oznaczamy symbolem 0, a warto±¢ lo- giczn¡ prawda symbolem 1. Je±li zdanie p jest faªszywe, to piszemy v(p) = 0, a je±li jest prawdziwe, to piszemy v(p) = 1.

Warto±ci logiczne zda« zªo»onych okre±lili±my nast¦puj¡co:

v(p) v(∼ p)

0 1

1 0

v(p) v(q) v(p ∨ q) v(p ∧ q) v(p ⇒ q) v(p ⇔ q)

0 0 0 0 1 1

0 1 1 0 1 0

1 0 1 0 0 0

Przykªad. Warto±¢ logiczn¡ zdania zªo»onego ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q)

dla poszczególnych warto±ciowa« zda« prostych mo»emy obliczy¢

nast¦puj¡co:

v(p) v(q) v(p ⇒ q) v(q ⇒ p) v(p ∧ q)

0 0 1 1 0

0 1 1 0 0

1 0 0 1 0

1 1 1 1 1

v((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) v(((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q))

1 0

0 1

0 1

Szybszy sposób polega na tym, »e nie wypisujemy poszczegól- nych zda« skªadowych w oddzielnych kolumnach (np. p ⇒ q, q ⇒ p i p ∧ q); piszemy tylko caªe zdanie zªo»one, a warto±ci logiczne poszczególnych zda« skªadowych wypisujemy pod tymi zdaniami (dokªadniej: pod ich spójnikami logicznymi). Gdy wy- piszemy np. warto±ci logiczne zda« p ⇒ q i q ⇒ p, to warto±ci logiczne zdania (p ⇒ q)∧(q ⇒ p) wypisujemy pod spójnikiem ∧.

v(p) v(q) ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇒ (p ∧ q)

0 0 1 1 1 0 0

0 1 1 0 0 1 0

1 0 0 0 1 1 0

1 1 1 1 1 1 1

Przykªad. Zdania

(p ∨ q) ∧ r i (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) s¡ logicznie równowa»ne.

v(p) v(q) v(r) (p ∨ q) ∧ r (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0 0 0

1 0 1 1 1 1 1 0

1 1 0 1 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

Przykªad. Zdanie

(p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p) jest tautologi¡.

v(p) v(q) (p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)

0 0 1 1 1

0 1 1 1 0

1 0 0 1 1

1 1 1 1 1

Formy zdaniowe

Forma zdaniowa ϕ(x) okre±lona w zbiorze X to wyra»enie, które jest zdaniem, je±li za x wstawimy dowolny element zbioru X.

Zbiór X nazywamy zakresem formy zdaniowej ϕ(x).

Przykªady.

• ϕ(x) = x² < 1, gdzie x ∈ R, ϕ(x) jest zdaniem:

 prawdziwym dla x ∈ (−1, 1),

 faªszywym dla x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, +∞);

• ϕ(x) = x² > 0, gdzie x ∈ R,

ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ R;

• ϕ(n) = n | 6 (n dzieli 6), gdzie n ∈ N1, ϕ(n) jest zdaniem:

 prawdziwym dla n = 1, 2, 3, 6

 faªszywym dla pozostaªych n;

• ϕ(n) = n = n + 1, gdzie n ∈ Z,

ϕ(n) jest zdaniem faªszywym dla ka»dego n ∈ Z.

Uwaga. Forma zdaniowa okre±lona w zbiorze X pozwala ka»- demu elementowi tego zbioru przyporz¡dkowa¢ zdanie. Mo»emy wi¦c j¡ nazwa¢ funkcj¡ zdaniow¡.

Pytanie. Co jest dziedzin¡, a co zbiorem warto±ci tej funkcji?

Kwantykatory

Je±li ϕ(x) jest form¡ zdaniow¡ okre±lon¡ w zbiorze X, to mo»emy rozwa»y¢ nast¦puj¡ce dwa zdania.

1. Zdanie

Dla ka»dego x ∈ X (zachodzi) ϕ(x), które zapisujemy symbolicznie

∀_x∈X ϕ(x).

2. Zdanie

Istnieje x ∈ X takie, »e ϕ(x), które zapisujemy

∃_x∈X ϕ(x).

Zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdziwe dokªadnie wtedy, gdy ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla co najmniej jednego x ∈ X.

Przykªady:

• ∀_x∈R x² < 1  zdanie faªszywe,

∃_x∈R x² < 1  zdanie prawdziwe,

• ∀_x∈R x² > 0  zdanie prawdziwe,

∃_x∈R x² > 0  zdanie prawdziwe,

• ∀_n∈N1 n | 6  zdanie faªszywe,

∃_n∈N1 n | 6  zdanie prawdziwe,

• ∀_n∈Z n = n + 1  zdanie faªszywe,

∃_n∈Z n = n + 1  zdanie faªszywe.

Zauwa»my, »e:

 je±li ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla wszystkich x ∈ X, to zdania ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) s¡ prawdziwe,

 je±li ϕ(x) jest zdaniem faªszywym dla wszystkich x ∈ X, to zdania ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) s¡ faªszywe,

 je±li ϕ(x) jest zdaniem prawdziwym dla pewnych elementów zbioru X, a faªszywym dla innych elementów tego zbioru, to zdanie ∀x∈X ϕ(x) jest faªszywe, a zdanie ∃x∈X ϕ(x) jest prawdzi- we.

Symbol ∀ nazywamy kwantykatorem ogólnym, a symbol ∃

nazywamy kwantykatorem szczegóªowym.

∀

A

∃

E

Je±li zakres formy zdaniowej (zbiór X) jest jasno okre±lony, to zamiast ∀x∈X ϕ(x) i ∃x∈X ϕ(x) mo»emy pisa¢: ∀^x ϕ(x), ∃^x ϕ(x).

W matematyce elementarnej popularne s¡ polskie symbole kwan- tykatorów:

V  kwantykator ogólny (zamiast ∀),

W  kwantykator szczegóªowy (zamiast ∃).

Kwantykatory te s¡ uogólnieniami spójników logicznych, gdy»

w przypadku zbioru sko«czonego X mamy:

^

x∈{x₁,...,x_n}

ϕ(x) ⇔ ϕ(x₁) ∧ · · · ∧ ϕ(x_n),

_

x∈{x₁,...,xn}

ϕ(x) ⇔ ϕ(x₁) ∨ · · · ∨ ϕ(x_n).

Formy zdaniowe wielu zmiennych

Mo»emy rozwa»a¢ formy zdaniowe wi¦kszej liczby zmiennych, np.

ϕ(x, y, z), gdzie x ∈ X, y ∈ Y , z ∈ Z lub ϕ(x, y), gdzie x, y ∈ X.

Przykªady:

• x < y, gdzie x, y ∈ N;

• x · y = 0, gdzie x ∈ Z, y ∈ R;

• A ∈ k, gdzie A ∈ zbiór punktów, k ∈ zbiór prostych;

• Punkt A le»y mi¦dzy punktami B i C.

Rozwa»my form¦ zdaniow¡ ϕ(x, y) zmiennych x, y ∈ X.

Zdanie

∀_x∈X ∀_y∈X ϕ(x, y)

oznacza, »e dla ka»dego x ∈ X zachodzi to, »e dla ka»dego y ∈ X zachodzi ϕ(x, y). Pro±ciej:

dla dowolnych x, y ∈ X zachodzi ϕ(x, y),

co zapisujemy u»ywaj¡c jednego symbolu kwantykatora:

∀_x,y∈X ϕ(x, y).

Zdanie

∃_x∈X ∃_y∈X ϕ(x, y)

oznacza, »e istnieje x ∈ X, dla którego istnieje y ∈ X taki, »e zachodzi ϕ(x, y). Pro±ciej:

istniej¡ x, y ∈ X takie, »e ϕ(x, y),

co te» zapisujemy u»ywaj¡c jednego symbolu kwantykatora:

∃_x,y∈X ϕ(x, y).

Niech teraz ϕ(x1, . . . , x_n) b¦dzie form¡ zdaniow¡ zmiennych x1, . . ., xⁿ, gdzie x1 ∈ X₁, . . . , xⁿ ∈ X_n.

Zdanie

Dla dowolnych x1 ∈ X₁, . . . , xⁿ ∈ X_n (zachodzi) ϕ(x1, . . . , x_n) zapisujemy

∀_{x1∈X1,...,xn∈Xn} ϕ(x₁, . . . , x_n).

Zdanie

Istniej¡ x1 ∈ X₁, . . . , xⁿ ∈ X_n takie, »e ϕ(x1, . . . , x_n), zapisujemy

∃_{x1∈X1,...,xn∈Xn} ϕ(x₁, . . . , x_n).

Przykªad. Które z nast¦puj¡cych zda« s¡ prawdziwe, a które faªszywe:

∀_x,y∈Z x < y, ∀_x,y∈R x · y = y · x, ∃_x∈N ∃_y∈Z x < y?

Niech ϕ(x, y) b¦dzie form¡ zdaniow¡ zmiennych x ∈ X, y ∈ Y . Zdanie

∃_x∈X ∀_y∈Y ϕ(x, y)

oznacza, »e istnieje x ∈ X takie, »e ϕ(x, y) zachodzi dla ka»dego y ∈ Y .

Zdanie

∀_x∈X ∃_y∈Y ϕ(x, y)

oznacza, »e dla ka»dego x ∈ X istnieje takie y ∈ Y , »e zachodzi ϕ(x, y).

To nie jest to samo!

Przykªad. Które z nast¦puj¡cych zda« s¡ prawdziwe, a które faªszywe:

∀_x∈Z ∃_y∈Z x < y, ∃_x∈Z ∀_y∈Z x < y, ∃_x∈Z ∀_y∈Z x · y = 0?

‚wiczenie. Utwórz kilka ciekawych zda« z u»yciem kwantyka- torów ∀, ∃ i form zdaniowych:

x < y, x 6 y, x · y = 0, x · y = 1, gdzie x, y przebiegaj¡ zbiory: N, N1, Z, Q, R.

Okre±l prawdziwo±¢ utworzonych zda«.

Przykªady u»ycia kwantykatorów

• a ∈ Z, a jest liczb¡ parzyst¡:

∃_k∈Z a = 2k.

• a, b ∈ Z, a jest podzielne przez b:

∃_k∈Z a = k · b.

• p ∈ N1, p jest liczb¡ pierwsz¡:

(p 6= 1) ∧ ∀_a∈N1 (a | p ⇒ a = 1 ∨ a = p).

• b ∈ R, A ⊂ R, b jest ograniczeniem z góry zbioru A:

∀_a∈A a 6 b.

• Mi¦dzy dowolnymi dwiema ró»nymi liczbami rzeczywistymi istnieje liczba wymierna:

∀_x∈R ∀_y∈R (x 6= y ⇒ ∃_w∈Q ((x < w ∧ w < y) ∨ (y < w ∧ w < x))).

• Od pewnego miejsca wszystkie wyrazy ci¡gu (xⁿ) s¡ dodat- nie:

∃_N∀_n>N x_n > 0.

• Zasada indukcji matematycznej:

(T (0) ∧ ∀_n∈N (T (n) ⇒ T (n + 1))) ⇒ ∀_n∈N T (n).

Prawa rachunku kwantykatorów

Prawo rachunku kwantykatorów to wyra»enie utworzone po- prawnie z symboli kwantykatorów, funkcji zdaniowych i spój- ników logicznych, które jest zdaniem prawdziwym dla dowolnej funkcji zdaniowej i dowolnych warto±ci zmiennych.

Prawa de Morgana dla kwantykatorów:

∼ (∀_x∈X ϕ(x)) ⇔ ∃_x∈X (∼ ϕ(x)),

∼ (∃_x∈X ϕ(x)) ⇔ ∀_x∈X (∼ ϕ(x)).

Przykªad. Liczba b nie jest ograniczeniem z góry zbioru A:

∼ (∀_a∈A a 6 b) ⇔ ∃a∈A ∼ (a 6 b) ⇔ ∃a∈A a > b.

Inne prawa rachunku kwantykatorów:

(∀_x∈X ϕ(x)) ⇒ (∃_x∈X ϕ(x)),

(∃_x∈X ∀_y∈Y ϕ(x, y)) ⇒ (∀_y∈Y ∃_x∈X ϕ(x, y)).

Metody dowodzenia twierdze«

Metoda dowodu nie wprost jest oparta na tautologii (p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒∼ p).

Zadanie. Dane s¡ liczby caªkowite a i b. Wyka», »e je±li a · b jest liczb¡ parzyst¡, to a jest parzyste lub b jest parzyste.

Metoda dowodu przez sprzeczno±¢ jest oparta na tautologii (p ⇒ q) ⇔∼ (p∧ ∼ q).

Zadanie. Dane s¡ liczby rzeczywiste x, y. Wyka», »e je»eli x² + y² < 1, to x + y < √

2.

Metoda indukcji matematycznej

Przykªad. Obliczy¢ 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1), gdzie n jest liczb¡

naturaln¡.

Dyskusja. Wprowad¹my oznaczenie:

S_n = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1).

Mamy: S1 = 1, S2 = 1 + 3 = 4, S3 = 1 + 3 + 5 = 9, S4 = 16, S₅ = 25, S6 = 36.

Widzimy, »e powinno by¢ Sⁿ = n². Czy mo»na to jako± uzasad- ni¢?

Trzeba si¦ przyjrze¢, w jaki sposób otrzymujemy kolejne Sⁿ. Na przykªad, je±li mamy ju» obliczone

S₆ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36, to

S₇ = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

nie b¦dziemy liczyli od pocz¡tku, tylko wykorzystamy zale»no±¢

S₇ = S₆ + 13 = 36 + 13 = 49.

Podobnie

S₈ = S₇ + 15 = 49 + 15 = 64

i tak dalej. Zwró¢my uwag¦ na to, co nale»y doda¢ do Sⁿ, »eby otrzyma¢ Sn+1. Je±li Sⁿ = n², to

S_n+1 = S_n + (2 · (n + 1) − 1) = n² + 2n + 1 = (n + 1)².

Zadanie. Dowie±¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n > 1 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + . . . + n · (n + 1) = n · (n + 1) · (n + 2)

3 .

Rozwi¡zanie.

I. Baza indukcji.

Dla n = 1 równo±¢ jest oczywista:

1 · 2 = 1 · 2 · 3 3 . II. Krok indukcyjny.

Niech k b¦dzie dowoln¡ liczb¡ naturaln¡. Zaªó»my, »e dana w zadaniu równo±¢ zachodzi dla n = k:

1 · 2 + . . . + k · (k + 1) = k · (k + 1) · (k + 2)

3 .

Wówczas dla n = k + 1 mamy:

1·2+. . .+k·(k+1)+(k+1)·(k+2) = k · (k + 1) · (k + 2)

3 +(k+1)·(k+2) =

= (k + 1) · (k + 2) · (k

3 + 1) = (k + 1) · (k + 2) · (k + 3)

3 ,

czyli dla n = k + 1 równo±¢ jest speªniona.

Na mocy zasady indukcji matematycznej równo±¢

1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n · (n + 1) = n · (n + 1) · (n + 2) 3

zachodzi dla dowolnego naturalnego n.

Zadanie. Dowie±¢, »e dla dowolnego n ≥ 0 liczba 2²ⁿ⁺¹+ 3n + 7 jest podzielna przez 9.

Zasada indukcji:

(T (0) ∧ ∀_n∈N (T (n) ⇒ T (n + 1))) ⇒ ∀_n∈N T (n)

(T (1) ∧ ∀_n∈N1 (T (n) ⇒ T (n + 1))) ⇒ ∀_n∈N1 T (n)

Dowie±¢, »e dowoln¡ liczb¦ naturaln¡ wi¦ksz¡ od 1 mo»na przed- stawi¢ w postaci iloczynu liczb pierwszych. (Je±li n jest liczb¡

pierwsz¡, to iloczyn ten skªada si¦ tylko z jednego czynnika.) Rozwi¡zanie.

Liczba n = 2 jest liczb¡ pierwsz¡, czyli iloczynem jednej liczby pierwszej  samej siebie.

Niech n b¦dzie dowoln¡ liczb¡ naturaln¡ wi¦ksz¡ od 2. Zaªó»my,

»e ka»d¡ liczb¦ naturaln¡ mniejsz¡ od n mo»na przedstawi¢ w postaci iloczynu liczb pierwszych. Poka»emy, »e n te» mo»na przedstawi¢ w postaci iloczynu liczb pierwszych.

Je±li n jest liczb¡ pierwsz¡, to teza dla n zachodzi. Je±li n jest licz- b¡ zªo»on¡, to mo»na j¡ przedstawi¢ w postaci iloczynu dwóch liczb od niej mniejszych: n = k · l, k, l < n. Na mocy zaªo»enia zarówno k, jak i l, jest iloczynem liczb pierwszych: k = p1 · . . . · p_i, l = q₁· . . . · q_j, zatem n = k · l te», oczywi±cie mo»na tak przedsta- wi¢: n = p1·. . .·p_i·q₁·. . .·q_j, co ko«czy dowód kroku indukcyjnego.

Schemat powy»szego dowodu:

I) Baza: T (2).

II) Krok: T (2) ∧ . . . ∧ T (n − 1) ⇒ T (n) dla ka»dego n > 2.