Zastosowanie metody elementów skończonych do rozwiązywania zagadnień dwuwymiarowych

Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej

Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska

www.imio.polsl.pl fb.com/imiopolsl twitter.com/imiopolsl

LABORATORIUM

WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Zastosowanie metody elementów

skończonych do rozwiązywania zagadnień

dwuwymiarowych

1. CEL ĆWICZENIA

 Zapoznanie się z metodą elementów skończonych (MES) w aspekcie zastosowania do roz- wiązywania dwuwymiarowych (płaskich) zagadnień teorii sprężystości, a w szczególnoś- ci:

- wyprowadzenie podstawowych zależności metody elementów skończonych dla zagad- nień płaskich;

- budowa macierzy sztywności dla płaskich elementów trójkątnych i czworokątnych z li- niowymi funkcjami kształtu.

 Zapoznanie się z pakietem metody elementów skończonych TARCZA, PRO-MES, ABC PŁYTA, PATRAN/NASTRAN lub innym i jego obsługą w przypadku zagadnień płas- kich.

 Wyznaczenie rozkładu naprężeń i przemieszczeń w układach modelowanych dwuwymia- rowymi elementami skończonymi.

2. WPROWADZENIE

Analityczne wyznaczenie rozkładu przemieszczeń i naprężeń w konstrukcjach, w których występuje płaski stan odkształcenia lub naprężenia jest możliwe tylko w szczególnym przy- padku, gdy rozpatruje się prostą geometrię (tarcze, płyty, prostokątne lub kołowe) przy nie- skomplikowanych warunkach brzegowych (podparcia i obciążenia). W ogólnym przypadku należy skorzystać z metod numerycznych, do których należy metoda elementów skończo- nych.

Podstawy teoretyczne metody elementów skończonych dla zagadnień płaskich przedsta- wiono w literaturze zamieszczonej na końcu rozdziału. W niniejszym rozdziale przedstawiono metodę elementów skończonych wykorzystując koncepcję całki ważonej oraz tzw. sformuło- wanie słabe, które szczegółowo przedstawiono w [1]. Inne, alternatywne sformułowanie, rów- noważne niniejszemu, można wyprowadzić z warunku minimalizacji energii potencjalnej.

3. PODSTAWY TEORETYCZNE

3.1 Metoda elementów skończonych dla dwuwymiarowych zagadnień teorii sprężystości Dwuwymiarowe zagadnienia teorii sprężystości związane mogą być z płaskim stanem na- prężenia lub płaskim stanem odkształcenia. W obu przypadkach pole przemieszczeń określo- ne jest przez wektor przemieszczenia u = (u_i), i = 1,2.

W płaskim stanie naprężenia tensor stanu naprężenia określany jest następująco:

 

¹¹21 ¹²22

0 0

0 0 0

T_

 

 

 

 

  

 

 

(1)

Oznacza to, że składowe ₁₃₂₃₃₃0.

W płaskim stanie odkształcenia tensor stanu odkształcenia ma postać:

 

¹¹21 ¹²22

0 0

0 0 0

T_

 

 

 

 

  

 

 

(2)

W tym przypadku ₁₃₂₃₃₃0.

Płaski stan naprężenia występuje w cienkich tarczach obciążonych siłami leżącymi w pła- szczyźnie środkowej tarczy (rys. 1).

Rys. 1. Tarcza w płaskim stanie naprężenia

Płaski stan odkształcenia występuje w ciałach o dużej szerokości obciążonych siłami rów- nomiernie rozłożonymi wzdłuż powierzchni (rys. 2).

Warto przypomnieć, że nie można utożsamiać płaskiego stanu naprężenia z płaskim sta- nem odkształcenia, ponieważ temu ostatniemu towarzyszą naprężenia ₃₃:

    

33 11 22 0

1 1 2

E

  

 

  

  , (3)

gdzie:

E – moduł Younga;

 – liczba Poissona.

Równania równowagi dla zagadnienia dwuwymiarowego teorii sprężystości mają postać:

11 12

1

1 2

21 22

2

1 2

( ) 0 ( ) 0 x x X x

X x

x x

 

 

   

 

 

  

 

dla x( ,x₁ x₂),

(4) gdzie:

X₁ i X₂ – składowe sił objętościowych.

x_ x_



x_



h



F

n_



n_



ˆn



x_ x_

 F_

n_



n_

 ˆn

dx_ 

 -dx_









Rys. 2. Ciało w płaskim stanie odkształcenia Równanie (4) w zapisie macierzowym przyjmuje postać:

^{ }_{ }^T*

   

^{  X 0 (5)}

gdzie:

 



















1 2

2

* 1

0 0

x x

x T x







 







(6)

 

 



11, 22, 12,



^T (7)

 

X 



X x1( ), X2( )x



^T (8) Zależności między odkształceniami e_ij i przemieszczeniami u_i można przedstawić następu- jąco:

₁₁ ¹ ₂₂ ² _{12 21} ^{1 2}

1 2 2 1

; ;

u u u u

x x x x

 ^   ^   ^^ ^ ^ (9) lub w zapisie macierzowym:

 

^{ }

 

^{T u}

 

_, ⁽¹⁰⁾

gdzie:

 

 



11, 22, 212



^T (11)

 

u 



u1, u2



^T (12)

 

1

2

2 1

0 0

x

T x

x x

  

 

 

  

   

   

  

 

 

(13)

x_ x_



x_

 x_

x_



n_



n_

 ˆn







h

Warto zwrócić uwagę, że między macierzami

 

^{T i  }_{ }^T* istnieje następująca zależność:

 

^T _{  }^{ T* T (14)}

Związki konstytutywne można przedstawić w postaci macierzowej:

 

^{ }

 

^c

 

^ _, ⁽¹⁵⁾

gdzie:

 

¹¹21 ¹²22 33

0 0

0 0

c c

c c c

c

 

 

  

 

 

(16)

Stałe c_ij zależą od tego, czy mamy do czynienia z płaskim stanem naprężenia, czy też płaskim stanem odkształcenia.

Dla płaskiego stanu naprężenia stałe c_ij mają następującą postać:

 

11 22 2

12 21 2

33 2

1 1 2 1 c c E

c c E

c E









 



 



 

(17)

W przypadku płaskiego stanu odkształcenia stałe c_ij przyjmują wartości:

 

 

11 22 2

12 21 2

33

1

1 2

1 2 1 c c E

c c E

c E



 



 



  

 

 

 

 

(18)

Wstawiając (15) i (10) do (5) otrzymuje się równania równowagi wyrażone w przemiesz- czeniach (równania Naviera-Lamego):

2 2 2 2

1 2 1 2

11 2 12 33 2 1

1 1 2 2 1 2

2 2 2 2

1 2 1 2

33 2 12 22 2 2

1 2 1 1 2 2

c 0

0

u u u u

c c

x x x x x x

u u u u

c c c

x x x x x x

 

          

     

     

      

 

(19)

Równania (19) należy jeszcze uzupełnić warunkami brzegowymi, które w przypadku ogól- nym mają postać warunków brzegowych mieszanych:

- dla przemieszczeń:

1 ˆ1, 2 ˆ2 na 1

u u u u  (20)

- dla sił powierzchniowych:

1 11 1 12 2 1

2

2 21 1 22 2 2

ˆ na

ˆ

p n n p

p n n p

 

 

   

 

    , (21)

gdzie:

1 2

1 2

; 0;

    

   

n_i – składowe wektora normalnego ^ˆn do brzegu .

Warunki brzegowe dla sił powierzchniowych można wyrazić przez przemieszczenia, jeśli w (21) uwzględnimy (15) i (10). Otrzymujemy wówczas:

1 2 1 2

1 11 12 1 33 2

1 2 2 1

1 2 1 2

2 33 1 12 22 2

2 1 1 2

u u u u

p c c n c n

x x x x

u u u u

p c n c c n

x x x x

      

         

      

        

(22)

Układ równań (19) wraz z warunkami brzegowymi (20) i (21) tworzy tzw. zagadnienie brzegowe teorii sprężystości.

Przybliżone rozwiązanie zagadnienia brzegowego teorii sprężystości otrzymać można przy użyciu metody elementów skończonych. W tym celu płaski obszar  dzieli się na elementy skończone ^e, e = 1, 2,..., E w postaci trójkątów lub czworokątów (rys. 3).

a) b)

Rys. 3. Elementy skończone ^e: a) trójkątne; b) czworokątne

Objętość elementu skończonego ^e określona jest przez V^e = ^e 



2¹h,¹2h



, gdzie h jest grubością elementu.

Na każdym elemencie skończonym ^e przemieszczenia u_i, (i = 1, 2) aproksymowane są za pomocą wielomianu U x x_i^e( ,_{1 2}):

1 2 1 2 1 2

1

( , ) ( , ) ( ) ( , )

m

e e e

i i j j

j

u x x U x x u N x x



 



, (23)

gdzie:

( )u_i ^e_j – wartości wstępne przemieszczeń;

1 2

( , )

e

Nj x x – funkcje kształtu (funkcje interpolacyjne);

m – rząd aproksymacji.

x_ x_



1 1 1

( ) ,u ^e F ^e

2 1 2

(u ) ,^e F ^e

2 3 6

(u ) ,^e F ^e

1 3 5

( ) ,u ^e F ^e

2 2 4

(u ) ,^e F ^e

1 2 3

( ) ,u ^e F ^e

x_ x_



1 1 1

( ) ,u ^e F ^e

2 1 2

(u ) ,^e F ^e

2 3 6

(u ) ,^e F ^e

1 3 5

( ) ,u ^e F ^e

2 2 4

(u ) ,^e F ^e

1 2 3

( ) ,u ^e F ^e

2 4 8

(u ) ,^e F ^e

1 4 7

( ) ,u ^e F ^e

Stosując zapis macierzowy aproksymację przemieszczeń na elemencie skończonym można przedstawić następująco:

 

1 1

1 2

1

1 1 2

1 1

2 1 2 2 1

2

1 2 2

2

1 2

1 2

( ) ( ) ( )

... 0 0...0 ( )

( )

0 0...0 ...

( )

( ) ( )

0 0 ... 0

0 0 ... 0

e e

m

e e

j j e e e e

j m m

m e e e e

e e

j j m e

j

e m

e e e

m

e e e

m

u u

u N

N N N

u u

u u u N N N N u

u

u

N N N

N N N





 

 

 

 

 

 

   

      

      

 

      

   

   

 

 

 



 







 

1 1

2 1

1 2

2 2

1

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

e e e

e e

e

e m e m

u u u u N

u u

 

 

 

 

 

     

  

   

 

 

 

(24)

gdzie:

[N ^e] – macierz funkcji kształtu;

{^e } – macierz kolumnowa przemieszczeń węzłowych.

Odkształcenia i naprężenia w elemencie ^e określone są następująco:

 

^{e  }_{ }^Be

 

^{e (25)}

 

^{e    }_{   }^{Ce Be}

 

^{e , (26)}

gdzie:

_{ }^{ Be }

 

^T _^Ne_ ⁽²⁷⁾

Z uwagi na przybliżenie rozwiązania zadania brzegowego wielomianem (23) równanie (19) nie jest spełnione dokładnie, tzn.:

2 2 2 2

1 2 1 2

1 11 2 12 33 2 1

1 1 2 2 1 2

2 2 2 2

1 2 1 2

2 33 2 12 22 2 2

1 2 1 1 2 2

0

0

u u u u

R c c c X

x x x x x x

u u u u

R c c c X

x x x x x x

 

   

           

     

           

dla u_i U x x^e( ,_{1 2}) (28)

W celu wyznaczenia nieznanych wartości węzłowych przemieszczeń żąda się, aby równa- nia (19) były spełnione na elemencie skończonym ^e o objętości V^e w sensie całki ważonej:









e e

V V

dV w R

dV w R

0 0

2 2

1 1

,

(29)

gdzie w₁ i w₂ – funkcje ważone.

Ponieważ przemieszczenia u_i(x₁, x₂) nie zależą od współrzędnej x₃, więc całki ważone (29) przybierają postać:













e e

dx dx w R h

dx dx w R h

e e

0 0

2 1 2 2

2 1 1 1

(30)

gdzie:

h_e – grubość elementu ^e.

Całkując (30) przez części otrzymuje się:

1 1 2 1 1 2

11 12 33 1 1 1 2

1 1 2 2 2 1

1 1

2 1 2 2 1 2

33 12 22 2 2 1 2

1 2 1 2 1 2

2 2

0,

0

e

e

e

e

e

e

e

e

w u u w u u

h c c c w X dx dx

x x x x x x

h w p dS

w u u w u u

h c c c w X dx dx

x x x x x x

h w p dS

     

     

     

     









     

    

     

   

 

 

     

    

     

   

 

 









(31)

gdzie ^e – krawędź elementu skończonego ^e.

W metodzie elementów skończonych w ujęciu Ritza przyjmuje się, że funkcje wagowe przyjmują postać funkcji kształtu, tzn. w₁ N₁^e i w₂  N₂^e. Wówczas równania (31) można przedstawić w następującej postaci macierzowej:

   

     

    ^{ }

K K

K K

u u

F F

11 12

21 22

1 2

1 2



 

















, (32)

gdzie:

dS p N h dx dx X N h F

dS p N h dx dx X N h F

dx x dx N x c N x N x c N h K K

dx x dx N x c N x N x c N h K

e e

e e

e e

e i e e

i e i

e i e e

i e i

e j e i e

j e i e

ji ij

e j e i e

j e i e

ij

2 2

1 2 2

1 2

1 1 1

2 1 2 2 22 1 1 33 21

12

2 1 2 2 33 1 1 11 11











































 















 



































(33)

Równanie (32) zapisać można także w bardziej zwartej postaci:

    

^Ke ^e  ^Fe , (34) gdzie:

_e ^{1 2}

e e T e e

K he B C B dx dx



       

 



      ⁽³⁵⁾

1 1

1 2

2 2

e e

T T

e e e

e e

X p

F h N dx dx h N dS

X p

 

   

   





    



     ⁽³⁶⁾

Macierz [K^e] jest macierzą symetryczną sztywności elementu skończonego o wymiarach 2m2m, natomiast {F^e} jest macierzą kolumnową sił o wymiarach 2m1m.

Elementy trójkątne

W przypadku elementów trójkątnych (rys. 4) należy w zależności (23) przyjąć, że m = 3, zaś funkcje kształtu N mają postać wielomianów liniowych: _i^e

^{( ,1 2) 1}



^{1 2}



^{; 1, 2,3}

2

e e e e

i i i i

e

N x x x x i

A   

    , (37)

gdzie:

, ) ( ) (

; ) ( ) (

; ) ( ) ( ) ( ) (

2 1

2 2

2 1 2

1

k j

i

k j

i

j k k

j i

x x

x x

x x x

x





















dla i  j  k oraz wskaźniki i, j oraz k podlegają permutacji.

Funkcje kształtu N mają następującą własność: _i^e

N_i^e( ) ,(x₁ ^e_j x₂)^e_j  _ij; ,i j1, 2,3 (38)

Rys. 4. a) Trójkątny element skończony i b) funkcje kształtu N _i^e Elementy czworokątne

W przypadku czworokątnych elementów skończonych (rys. 5) należy w zależności (23) przyjąć m = 4. Wówczas w lokalnym układzie współrzędnych x x funkcje kształtu _{1, 2} N _i^e mają postać:

1 2 1 2

1 2

1 2 1 2

3 4

1 1 , 1 ,

, 1

e e

e e

x x x x

N N

a b a b

x x x x

N N

ab a b

    

        

 

   

(39)

Graficzną interpretację funkcji kształtu dla elementu czworokątnego przedstawiono na rys. 5b.

x_ x_



1

2 3

2 1 3

1

1

N e 3 N ₂^e

2 2

3 2

3

N e

a)_



b)_



Rys. 5. a) Czworokątny element skończony i b) funkcje kształtu N _i^e

Szczegółowy opis metody elementów skończonych dla zagadnień brzegowych teorii sprę- żystości znajdzie czytelnik w podręczniku [2]. Edukacyjne programy MES do zagadnień dwuwymiarowych, osiowo-symetrycznych i przestrzennych (odpowiednio TARCZA, OS- SYM i MES3D) znajdują się na stronach internetowych:

http://dydaktyka.polsl.pl/mes.

3.2 Przygotowanie zadania do rozwiązania metodą elementów skończonych

Wcelu rozwiązania konkretnego zadania brzegowego należy utworzyć model numeryczny rozpatrywanego układu. W rzeczywistym układzie mechanicznym wyodrębniamy części skła- dowe, które modelujemy jako pręty (belki) lub elementy płaskie dwuwymiarowe (płytowe, tarczowe, powłokowe). Niektóre fragmenty konstrukcji mogą być modelowane elementami przestrzennymi (trójwymiarowymi). W przypadku występowania w konstrukcji osiowej sy- metrii ze względu na geometrię i warunki brzegowe (podparcia i obciążenia) zagadnienie mo- deluje się elementami osiowo-symetrycznymi opisywanymi w przekroju osiowym konstruk- cji. Elementy osiowo-symetryczne opisuje się tak jak elementy płaskie, przy czym kontur przekroju osiowego (a w zasadzie jego połowa) jest brzegiem opisywanego obszaru. W ni- niejszych rozważaniach ograniczono się do elementów dwuwymiarowych (płyty, tarcze).

Płyty i tarcze modeluje się płaskimi dwuwymiarowymi elementami trójkątnymi lub czwo- rokątnymi. Ze względu na większą dokładność zaleca się stosować elementy czworokątne prostokątne lub zbliżone do prostokątów.

W każdym elemencie zadaje się grubość i rodzaj materiału. W przypadku elementów tar- czowych obciążenia i podparcia mogą występować tylko w płaszczyźnie elementu w kierun-

x_ x_



2 1

4 3

b

a x2



x1



a)



2

N e

1

3

2

1

N e

1

4

3

2 b)



3 2

1 3

2 4

1

3

N e N ₄^e

4 4

kach osi x i y globalnego układu współrzędnych. W przypadku elementów płytowych obcią- żenia ipodparciawystępujątylkowkierunkuprostopadłymdopłaszczyzny elementu (w osi z).

Podział układu na węzły i elementy musi uwzględniać rzeczywiste własności układu.

Podczas tworzenia modelu numerycznego należy przestrzegać następujących zasad:

1. Elementy mogą łączyć się tylko w węzłach.

2. Siły skupione i momenty skupione mogą być zadawane tylko w węzłach.

3. Podpory mogą być umieszczane tylko w węzłach.

4. Obciążenia ciągłe należy zadać zgodnie z wytycznymi programu komputerowego lub zas- tąpić obciążeniami skupionymi.

5. Momenty ciągłe rozłożone należy zadać zgodnie z wytycznymi programu komputerowe- go lub zastąpić momentami skupionymi.

6. Podparcie ciągłe należy zastąpić podporami w węzłach.

7. Odległości pomiędzy węzłami (długości elementów) powinny być w miarę równomierne.

8. Różnica pomiędzy numerami węzłów w elemencie powinna być jak najmniejsza (pasmo minimalne).

9. Układ musi mieć tak narzucone więzy (punkty podparcia), aby nie tworzył mechanizmu.

Dodatkowo przy opisie elementów dwuwymiarowych numery węzłów należy podawać zawsze w tym samym kierunku, najlepiej w odwrotnym do ruchu wskazówek zegara. Zwrot normalnej do elementu musi być we wszystkich elementach jednakowy.

4. PRZEBIEG ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest przeprowadzenie analizy wytrzymałościowej układu zamodelowane- go dwuwymiarowymi elementami skończonymi. Jako przykład może posłużyć dowolny obiekt spełniający warunki płaskiego stanu naprężenia lub odkształcenia. Poniżej przedsta- wiono przykład ustroju w płaskim stanie naprężenia.

4.1 Przykładowe zadanie

Przykładem zagadnienia dwuwymiarowego jest tarcza w płaskim stanie naprężenia. Jako zadanie można zamodelować tarczę prostokątną, utwierdzoną na jednym boku, z półkolistym wycięciem na boku przeciwległym (rys. 6).

Jako obciążenie można przyjąć siły P1, P2 i P3 działające w płaszczyźnie tarczy. Dane do- tyczące geometrii, obciążenia i materiału zaleca się przyjąć następująco:

5

1

2

3

0.5 m 5 mm 2 10 MPa

0.15 m 1 kN 0.3

0.15 m 5 kN 150 MPa

0.1 m 2 kN

dop

a g E

b P

c P

d P





   

  

  

 

Należy wyznaczyć przemieszczenia układu (wypadkowe i składowe), rozkłady naprężeń redukowanych, głównych i składowe oraz rozkłady odkształceń. Następnie zmieniając gru-

bość elementów należy dobrać wymiary tarczy, dla których maksymalne naprężenia będą równe naprężeniom dopuszczalnym dop = 150 MPa.

Rys. 6. Tarcza z wycięciem

5. OPRACOWANIE WYNIKÓW I WYTYCZNE DO SPRAWOZDANIA

Obliczenia należy przeprowadzić korzystając z pakietu programów do metody elementów skończonych wskazanego przez prowadzącego ćwiczenia. Wyniki należy przedstawić w for- mie wydruków sporządzonych na drukarce.

Sprawozdanie powinno zawierać:

I. Cel ćwiczenia

II. Krótkie omówienie podstaw MES-u i zasad modelowania w MES-ie III. Opis rozwiązywanego zagadnienia i modelu numerycznego (z rysunkami) IV. Wyniki obliczeń w formie wydruków sporządzonych na drukarce. Wyniki mają

zawierać:

1. Rysunki ugięć dla różnych wariantów obciążenia 2. Rysunki naprężeń składowych _xi _y

3. Rysunki naprężeń redukowanych V. Analizę wyników

VI. Wnioski

P₁ P2

P3 P3

P₁

a

d

c

b

g

6. PRZYKŁADOWE PYTANIA KONTROLNE

1. Do czego służy metoda elementów skończonych?

2. Co to jest macierz sztywności i w jakim wzorze występuje?

3. Co to są funkcje kształtu?

4. Co to są elementy skończone i jakie wielkości je opisują?

5. Jakich zasad należy przestrzegać w przypadku rozwiązywania zagadnienia metodą ele- mentów skończonych?

6. Podaj prawo Hooke’a dla płaskiego stanu odkształcenia (lub płaskiego stanu naprężenia).

7. LITERATURA

1. Beluch W., Burczyński T., Fedeliński P., John A., Kokot G., Kuś W.: Laboratorium z wytrzymałości materiałów. Wyd. Politechniki Śląskiej, Skrypt nr 2285, Gliwice, 2002.

2. Bąk R., Burczyński T.: Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego, WNT, Warszawa 2001.

3. Jaworski A.: Metoda elementów skończonych w wytrzymałości konstrukcji, Wyd. Poli- techniki Warszawskiej, Warszawa 1981.

4. Kruszewski J.: Metoda elementów skończonych w dynamice konstrukcji, PWN, Warsza- wa 1981.

5. Pietrzak J., Rakowski G., Wrześniowski K.: Macierzowa analiza konstrukcji, PWN, War- szawa-Poznań 1979.

6. Szmelter J.: Metoda elementów skończonych w mechanice, PWN, Warszawa 1980.

7. Szmelter J.: Metoda elementów skończonych w statyce konstrukcji, Arkady, Warszawa 1979.

8. Szmelter J.: Metody komputerowe w mechanice, PWN, Warszawa 1980.

9. Zienkiewicz O.C.: Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa 1972.

Czy wiesz,

że…

Większość samolotów Boeing została zaprojektowana z wykorzystaniem programu MES MSC.Nastran.

Z programem tym oraz innymi programami MES możesz zapoznać się wybierając specjalność na II stopniu studiów w Instytucie Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej: www.imio.polsl.pl/specjalnosci.aspx (Obraz: www.mscsoftware.com/industry/aerospace)