Lista nr 1 zadań z rachunku lambda 26 lutego 2019
Zad. 1. Oblicz (w algebrze kombinatoryjnej)
S(S(KS)(S(KK)K))(K(SKK)) x y.
Zad. 2. Znajdź w algebrze kombinatoryjnej termy stałe A spełniające następujące prawa:
Af x = f (f (f x)) oraz Axxy = xyy.
Zad. 3. Znajdź w algebrze kombinatoryjnej termy stałe B i C spełniające prawa Bxyz = x(yz) oraz Cxyz = xzy.
Zad. 4. Trochę modyfikujemy definicję algebry kombinatoryjnej (nie zmieniając nazwy). Jest to teraz algebra z czterema stałymi S, I, B, C spełniającymi prawa
Sxyz = xz(yz), Ix = x, Bxyz = x(yz) oraz Cxyz = xzy.
Pokaż, że dla każdego termu t(x1, . . . , xn), w którym występują zmienne x1, . . . , xn, istnieje wyrażenie stałe F takie, że w tej algebrze zachodzi równość F x1 . . . xn= t(x1, . . . , xn).
Zad. 5. Pokaż, że z każdej z następujących równości
1) K = KI, 2) K = I, 3) S = K, 4) I = S,
5) aa = ab, gdzie a i b są zmiennymi,
wynika równość x = y. Mówiąc w innym języku, jeżeli w pewnej algebrze kom- binatoryjnej zachodzi przynajmniej jedna z podanych równości, to jest to algebra jednoelementowa.
Zad. 6. Pokaż, że jeżeli w algebrze kombinatoryjnej działanie jest przemienne, to jest to algebra jednoelementowa. Może to samo da się wykazać o łączności?
Zad. 7. Przyjmijmy, że napis [M, N ] oznacza wyrażenie S(SI(K(N )))(K(M )) (cza- sem zamiast (M ) można napisać M , podobnie dla N ). Oblicz [M, N ]K oraz [M, N ](KI).
Zad. 8. Operację [M, N ] można zinterpretować na dwa sposoby. Można uważąć ją za operację pary. Wtedy poprzednie zadanie podaje, jak mając parę odczytać jej współrzędne. Można też przyjąć, że elementy K i KI reprezentują odpowiednio prawdę i fałsz. Wtedy dla dowolnego wyrażenia W o wartościach logicznych, wy- rażenie [M, N ](W ) można interpretować jako definicję warunkową (stwierdzenie warunkowe) „ jeżeli W , to M , a w przeciwnym razie – N ”. Zaproponuj wyrażenia, które będzie można zinterpretować jako spójniki logiczne.
Zad. 9. Udowodnij, że każda algebra kombinatoryjna, która ma przynajmniej dwa elementy, ma ich nieskończenie wiele. Wskazówka: posłuż się operacją pary.
