WYKŁAD 0

1

WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

(powtórzenie) 1. Funkcje liniowe

Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci

y=f(x)=ax+b,

gdzie a, b są danymi liczbami zwanymi odpowiednio: a - współczynnik kierunkowy, b - wyraz wolny.

Dziedziną funkcji jest zbiór 𝑅, wykresem - linia prosta równoległa do osi OX, gdy 0 = a, albo przecinająca oś OX , gdy . 0 ≠ a.

Współczynnik kierunkowy a prostej jest równy tangensowi kąta α - kąta nachylenia prostej do osi OX. Wyraz wolny b jest rzędną punktu przecięcia się wykresu z osią OY (rys.1)

Rys.1

Przykład 1. Naszkicować wykres funkcji: a) y = 2 , b) y = 2x -4.

Inne własności funkcji liniowej

1. Funkcja liniowa jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie: rosnąca gdy a>0, malejąca gdy a<0 i stała gdy a=0.

2. Funkcja liniowa niestała przyjmuje każdą wartość rzeczywistą.

2

3. Funkcja liniowa niestała rozpatrywana w przedziale domkniętym osiąga wartość najmniejszą na jednym, a wartość największą na drugim końcu przedziału.

4. Jeżeli funkcja jest liniowa, to przyrost wartości funkcji jest proporcjonalny do przyrostu jej argumentu. Także na odwrót: jeżeli dziedziną funkcji jest R i przyrost wartości funkcji jest proporcjonalny do przyrostu jej argumentu, to funkcja jest liniowa. Współczynnik proporcjonalności wynosi wtedy a.

2. Funkcje kwadratowe

Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję określoną wzorem

2 ,

yax bx c

gdzie a≠0,b, c są danymi liczbami. Ten wzór można zapisać w postaci

2 2 2

2

2 ,

2 4 2 4

b b b

y ax bx c a x c a x

a a a a

  

   

              

co pomaga w badaniu funkcji

Dziedziną funkcji jest zbiór R. Wykresem trójmianu kwadratowego jest

parabola, której ramiona (gałęzie) skierowane są w górę, jeżeli a>0, oraz skierowane w dół, jeżeli a<0. Osią symetrii paraboli jest prosta równoległa do osi OY i

przechodząca przez wierzchołek W , który ma współrzędne ,

w 2 x b

  a

( ) ,

w w 4

y f x

a

    gdzie  b²4ac oznacza wyróżnik trójmianu . Parabola przecina oś OY w punkcie o rzędnej c (rys.5).

3

Położenie paraboli względem osi OX , związane jest z liczbą rozwiązań równania kwadratowego ax²  bx c 0 i zależy od wyróżnika Δ :

1. Gdy Δ>0 parabola przecina oś OX w punktach o odciętych stanowiących pierwiastki tego równania: ₁ , ₂ .

2 2

b b

x x

a a

     

  Trójmian kwadratowy

można wtedy przedstawić w tzw. postaci iloczynowej: ya x( x₁)(xx₂).

2. Gdy Δ=0 parabola dotyka swoim wierzchołkiem oś w punkcie o odciętej

0 ,

2 x b

a

  stanowiącej tzw. pierwiastek podwójny równania. Postacią iloczynową trójmianu jest wtedy: ya x( x₀) .²

3. Gdy Δ<0 parabola nie przecina osi, a równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Przykład 2. Naszkicować wykresy funkcji:

a) y2x²4x6, b) y  x² 2x1, c) yx²4x5.

Przykład 3. Podać postać iloczynową trójmianów: a) y 2x²8x6, b)

3 2 6 3 y x  x .

Przykład 4. Wyznaczyć pierwiastki równania bez obliczania wyróżnika: a)

2 4 0

x x

   , b) x  ² 9 0.

Przykład 5. Rozwiązać nierówność: a) x²2x 3 0,b)   x² 4 0, c) 2x²  x 1 0.

3. Wielomiany

Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję określoną wzorem

1

1 1 0

( ) _n ⁿ _n ⁿ ,

yW x a x a _ x ^  a xa

gdzie n jest daną liczbą naturalną lub zerem, a_n 0,a_n1, , ,a a_{1 0} są danymi liczbami rzeczywistymi zwanymi współczynnikami wielomianu.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór R. Każdą liczbę a, dla której W(a)=0 nazywamy pierwiastkiem wielomianu. Wielomian stopnia n może posiadać co najwyżej n

pierwiastków.

Metody wyznaczania pierwiastków wielomianu W(x) (pierwiastków równania algebraicznego W(x)=0):

4

1. Metoda sprowadzająca wielomian do postaci iloczynu czynników liniowych lub kwadratowych o Δ>0. Wykorzystuje się w niej tzw. grupowanie wyrazów i wzory skróconego mnożenia.

2. Metoda polegająca na "odgadywaniu" pierwiastków. Powołujemy się w niej na następujące twierdzenie:

Pierwiastkami całkowitymi wielomianu o współczynnikach całkowitych mogą być jedynie dzielniki wyrazu wolnego.

3. Metoda "kombinowana" łącząca obie powyższe i opierająca się na twierdzeniu Bezouta:

Jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to wielomian można przedstawić w postaci W(x)=(x-a)*P(x), gdzie P(x) jest wielomianem otrzymanym przez podzielenie W(x) przez x-a. Pozostałymi pierwiastkami wielomianu W(x) są wówczas pierwiastki wielomianu P(x).

Przykład 6. Rozwiązać równanie x³2x²  x 2 0.

Przykład 7. Rozwiązać równanie:  x³ 7x 6 0.

Przykład 8. Znaleźć pierwiastki wielomianu W x( )x³3x²4.

Uwaga. Jeżeli w rozkładzie wielomianu na czynniki liniowe lub kwadratowe o 0<Δ czynnik x – a występuje dokładnie k razy, to liczbę a nazywamy pierwiastkiem k- krotnym.

Uwaga. Kolejne kroki przy szkicowaniu wykresu wielomianu niezbędnego do znalezienia rozwiązań nierówności wielomianowych (algebraicznych):

1. Nanosimy na oś OX wszystkie pierwiastki wielomianu (zaznaczając ich krotność).

2. Przez naniesione punkty prowadzimy linię tak, aby

- przecinała ona oś w przypadku pierwiastka nieparzystej krotności,

- „dotykała” osi lecz jej nie przecinała w przypadku, gdy pierwiastek jest parzystej krotności.

- leżała w przedziale





xmax oznacza największy z pierwiastków) i poniżej w przeciwnym przypadku.

Przykład 9. Rozwiązać nierówność: x⁴2x³7x²20x 12 0.

5 4. Funkcje wymierne

Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci ^{( )}

( ) y P x

Q x , gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami.

Dziedziną funkcji jest zbiór R\{ ,x x_{1 2}, ,x_k}, gdzie x x₁, ₂, ,x_k są wszystkimi różnymi między sobą pierwiastkami wielomianu Q(x).

Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest funkcja zwana funkcją homograficzną. Jest to funkcja postaci y ^{ax b}

cx d

 

 , gdzie a, b, c, d są danymi liczbami spełniającymi warunki: c≠0 , ad−bc≠0.

Dziedziną funkcji jest zbiór \ d

R c

 

 

  , wykresem - krzywa zwana hiperbolą, której asymptotami są: asymptotą poziomą - prosta y ^a

 c (równanie to powstaje przez podzielenie współczynników stojących przy zmiennej x), asymptotą pionową - prosta

x d

 c (równanie to otrzymujemy przyrównując mianownik do zera). Hiperbola jest symetryczna względem punktu przecięcia się asymptot (rys.6.).

Rys. 6.

Przykład 10. Naszkicować wykres funkcji ^{2 2}

1 y x

x

 

 .

5. Funkcje potęgowe

6

Funkcję postaci yx^, gdzie 0 jest daną liczba rzeczywistą , nazywamy funkcją potęgową.

Dziedzina tej funkcji i jej własności zależą od wykładnika α. Jeżeli jest on

liczbą naturalną (α=n), to dziedziną funkcji jest zbiór R, przy tym dla n parzystych jest to funkcja parzysta, dla nieparzystych - nieparzysta. Wykresy niektórych funkcji o wykładnikach naturalnych przedstawione zostały na rys.7.

Rys. 7.

Funkcja postaci

1 n n

yx  x, gdzie n 2 jest liczba naturalną, jest dla nieparzystych n określona w zbiorze R, dla parzystych - tylko w przedziale  0, ) - piszą też [0,). Na rys.8. przedstawione zostały dwa wykresy funkcji tego typu.

Rys. 8 6. Funkcje wykładnicze

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci ya^x, gdzie a jest daną liczbą rzeczywistą spełniającą warunek 0 a 1.

Wykresy niektórych funkcji

wykładniczych przedstawione zostały na rys.9.

7

Rys.

9.

Dziedziną każdej funkcji wykładniczej jest zbiór R , przeciwdziedziną – przedział

(0;). Funkcja jest monotoniczna: rosnąca gdy a>1, malejąca gdy a<1 (jest więc funkcją różnowartościową).

Szczególnie ważną rolę w analizie matematycznej odgrywa funkcja ye^x, gdzie

2 e 3.

Uwaga. Konsekwencją monotoniczności funkcji wykładniczych są następujące równoważności, które wykorzystujemy przy rozwiązywaniu równań i nierówności wykładniczych:

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

, 1,

1.

x x x x x x dla a

a a x x a a

x x dla a

 

       

Równania lub nierówności, w których niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi nazywamy wykładniczymi. Aby rozwiązać takie równanie albo nierówność należy (wystarczy):

1. Przedstawić wyrażenia po obu stronach równania lub nierówności jako potęgi o tej samej podstawie.

2. Uwolnić się od podstaw (zmieniając znak nierówności w przypadku podstawy z przedziału (0;1).

3. Rozwiązać otrzymane równanie lub nierówność.

Przykład 11. Rozwiązać równania lub nierówności:

8

a) 3^{1 2 x}81, b) 3^3x1 ³3, c) 2 ^{4 1} 2

x  , d)

1 4 2

3 3

 x

  

   . 7. Funkcje logarytmiczne

Logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie a, gdzie 0 a 1, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać b. Zatem przy

powyższych założeniach

log_ab c a^c b.

Przykład 12. Obliczyć wartości logarytmów: a) log 32₂ , b) log₂ 2, c) log₃¹ 9, d)

1 2

log 2 2.

Własności logarytmów

1. Każdą liczbę t można zamienić na logarytm o danej podstawie a , (0<a≠1) korzystając z zależności:

log_a ^t t a .

2. Każdą liczbę dodatnią m można przedstawić w postaci potęgi o danej podstawie a , (0<a≠1)

log_am

ma .

3. Dla dowolnych liczb dodatnich x, y i dowolnego n przy danej podstawie a, 0<a≠1 , zachodzą wzory:

) log (_a ) log_a log_a , ) log_a x log_a log_a , ) log_a ^b log_a .

a x y x y b x y c x b x

   y   

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci ylog_a x, gdzie a jest daną liczbą zwaną podstawą, spełniającą warunek 0<a≠1.

Wykresy niektórych funkcji logarytmicznych przedstawione zostały na rys.10.

9

Rys. 10.

Dziedziną każdej funkcji logarytmicznej jest przedział (0;), zbiorem wartości zbiór R. Funkcja jest monotoniczna: rosnąca gdy a>1, malejąca gdy a<1 (w obu

przypadkach jest więc różnowartościowa).

Uwaga. Konsekwencją monotoniczności funkcji logarytmicznej są następujące równoważności , zachodzące dla dodatnich argumentów, wykorzystywane przy rozwiązywaniu równań i nierówności logarytmicznych:

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

log log . log log 1,

a a a a 1.

x x dla a

x x x x x x

x x dla a

 

       

Równania lub nierówności, w których niewiadoma występuje tylko w wyrażeniach logarytmowanych nazywamy logarytmicznymi. Aby rozwiązać takie równanie lub nierówność należy (wystarczy):

1. Wyznaczyć dziedzinę równania lub nierówności zakładając, że wszystkie wyrażenia logarytmowane zawierające niewiadomą są dodatnie.

2. Obie strony zapisać w postaci logarytmów o identycznych podstawach (wykorzystując własność 1.).

3. Uwolnić się od logarytmów zmieniając ewentualnie znak w przypadku nierówności i podstawy z przedziału (0;1).

4. Rozwiązać otrzymane równanie lub nierówność, a następnie odrzucić rozwiązania nie należące do dziedziny.

Przykład 13. Rozwiązać równania lub nierówności: a) log (₂ x 2)3, b).

10

Przykład 14. Wyznaczyć w postaci y f^1( )x funkcję odwrotną do y f x( ). Naszkicować wykresy obu funkcji: a) f x( )3^x2, b) f x( )log (₂ x2).

8. Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne

Niech x oznacza miarę kąta skierowanego ∠TOM na płaszczyźnie TOY (rys.11.).

Rys. 11.

Funkcje trygonometryczne określamy wtedy następująco:

sin y, cos t, y, t .

x x tg x ctg x

r r t y

   

Wykresy funkcji trygonometrycznych przedstawione zostały na rys.12.

Rys. 12.

Dziedziną funkcji sinus i cosinus jest zbiór R. Funkcje te są ograniczone, bowiem dla każdego xR mamy:  1 sinx1 oraz 1 cosx1.

Funkcja tangens określona jest na przedziałach ^{2 1} ;^{2 1}

2 2

k^  k^ 

 

 

 , funkcja cotangens - na przedziałach





11

Funkcje trygonometryczne są okresowe. Okresem podstawowym funkcji sinus i cosinus jest liczba 2π, co oznacza, że dla każdego xR zachodzą warunki:

sin(x2 ) sin , cos(x x2 ) cos .x

Okresem podstawowym funkcji tangens i cotangens jest liczba π. Oznacza to, że dla x pochodzących z odpowiedniego zbioru mamy: tg x( )tg x ctg x, ( )ctg x.

Funkcja cosinus jest parzysta, tzn. cos( x) cosx dla każdego xR. Pozostałe funkcje trygonometryczne są nieparzyste, tzn. dla odpowiednich x zachodzą wzory:

sin(  x) sinx, tg(  x) tg x, ctg(  x) ctg x.

Funkcje trygonometryczne

sin , cos( ), ( ), . y x y x ytg x yctg x

nie są funkcjami różnowartościowymi w swoich naturalnych dziedzinach. Są jednak różnowartościowe odpowiednio na zbiorach:

; , [0; ], ; , (0; )

2 2 2 2

     

   

 

   

a ich przeciwdziedzinami są odpowiednio:



 



Dla tak zawężonych funkcji trygonometrycznych istnieją więc funkcje odwrotne.

Funkcje te nazywamy funkcjami cyklometrycznymi odpowiednio: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens, arcus cotangens. Mamy zatem

arcsin sin , arccos cos , , .

y x x y y x x y yarctg x x tg y yarcctg x x ctg y

Przykład 15. Obliczyć: a) arcsin ³

2 , b) arcsin( 1) c) ^arccos1

2, d) arctg 3. Wykresy funkcji cyklometrycznych przedstawione zostały na rys.13.

12

2) Rys. 13.

Złożeniem funkcji

y  g u ( )

u  f x ( )

y  g f x ( ( )).

Na przykład, yg u( ) u u,  f x( )x² i ( ( )) ^{2 , 0,} , 0.

y g f x x x x x

x x

 

     

Uwaga. Funkcje, które można otrzymać z funkcji stałych, wielomianów, funkcji potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych, trygonometrycznych i

cyklometrycznych wykonując skończoną liczbę działań typu: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie oraz operacji złożenia funkcji nazywamy funkcjami elementarnymi.

Funkcja błędu Gaussa — funkcja nieelementarna, która występuje w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce oraz w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Jest zdefiniowana jako

13