Funkcja f : A → R jest ciągła oraz f(−1, 0

Ćwiczenia AM II, 21.10/2016 Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych Zadanie 1. Czy funkcja

f(x, y) = sin π 1 + x²+ y² jest jednostajnie ciągła na zbiorze {(x, y) : x²+ y²<1}?

Zadanie 2. Niech

A= {(x, y) ∈ R²: k(x, y)k = 1} ∪ {(x, y) : k(x − 2, y)k¹¬ 1}.

Funkcja f : A → R jest ciągła oraz f(−1, 0) = −1, f(3, 0) = 17. Czy istnieje a ∈ A, że f(a) = 0. Czy istnieje funkcja f, że jest tylko jeden punkt a o tej włąsności?

Zadanie 3. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji (a) f(x, y) = |xy|,

(b) f(x, y) = ^{sin x}_y ,

(c) f(x, y) = e^xsin y + e^ysin(2z) + e^zsin(3x), (d) f(x, y) = arctg^x_y,

(e) f(x) = e^−kxk, x ∈ R^k.

Zadanie 4. Znajdź kierunek najszybszego wzrostu funkcji f, czyli jej gradient, w punkcie P dla (a) f(x, y) = 1 + x²+ y⁴− 2xy², P = (4, 2),

(b) e^x−y, P = (1, 1),

(c) f(x, y, z) = x + 2y + 3z, P = (1, 1, 1).

W punkach (a), (b) narysuj wykres poziomicowy funkcji f i zaznacz gradient.

Zadanie 5. (D) Wykazać, że funkcja f(x, y) =√³xynie jest różniczkowalna w (0, 0) chociaż ma obie pochodne cząst- kowe w tym punkcie.

Zadanie 6. Niech f(x, y) = √^x3+y3

x²+y², jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Wykazać, że f jest różniczkowalna w (0, 0).

Zadanie 7. Niech f(x, y) = ^x_x^32+y_+y³², jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Wykazać, że f jest ciągła, ale nie jest różniczko- walna w (0, 0).

Zadanie 8. Niech f(x, y) = ^xy(x+y)_x2+y² , jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Wykazać, że pochodna kierunkowa D^vf(0, 0) funkcji f w punkcie (0, 0) istnieje w kierunku dowolnego wektora v ∈ R², v 6= (0, 0), ale f nie jest różniczkowalna w (0, 0).

Zadanie 9. Pokazać, że funkcja f(x, y) = (x − y²)(3x − y²) po obcięciu do dowolnej prostej przechodzącej przez (0, 0) ma minimum lokalne w (0, 0). Czy f ma minimum lokalne w (0, 0) ?

Zadanie 10. Wykazać, że jeśli pochodne cząstkowe funkcji f : R² → R istnieją w każdym punkcie i są funkcjami ograniczonymi to f spełnia warunek Lipschitza.

Zadanie 11. Wyznaczyć punkty różniczkowalności funkcji f (a) f(x, y) =px^{3 3}+ y³,

(b) f(x, y) = ln(1 + |xy|^p).

Zadanie 12. Funkcję f : R^k → R nazywamy jednorodną, jeśli f(t x) = t f(x) dla dowolnego t > 0 i x ∈ R^k. Wykazać, że jeżeli funkcja f jest różniczkowalna i jednorodna, to jest liniowa.

Zadanie 13. Czy istnieje funkcja różniczkowalna +^′: R^k× R^k → R^k różna od standardowego dodawania wektorów w R^k, taka że (R^k, 0,+^′,·) spełnia wszystkie aksjomaty przestrzeni wektorowej, gdzie · : (t, v) 7→ t · v jest standardowym (t.j. po współrzędnych) mnożeniem wektorów v ∈ R^k przez liczby t ∈ R.

1