• Nie Znaleziono Wyników

Funkcja f : A → R jest ciągła oraz f(−1, 0

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Funkcja f : A → R jest ciągła oraz f(−1, 0"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Ćwiczenia AM II, 21.10/2016 Różniczkowanie funkcji wielu zmiennych Zadanie 1. Czy funkcja

f(x, y) = sin π 1 + x2+ y2 jest jednostajnie ciągła na zbiorze {(x, y) : x2+ y2<1}?

Zadanie 2. Niech

A= {(x, y) ∈ R2: k(x, y)k = 1} ∪ {(x, y) : k(x − 2, y)k1¬ 1}.

Funkcja f : A → R jest ciągła oraz f(−1, 0) = −1, f(3, 0) = 17. Czy istnieje a ∈ A, że f(a) = 0. Czy istnieje funkcja f, że jest tylko jeden punkt a o tej włąsności?

Zadanie 3. Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji (a) f(x, y) = |xy|,

(b) f(x, y) = sin xy ,

(c) f(x, y) = exsin y + eysin(2z) + ezsin(3x), (d) f(x, y) = arctgxy,

(e) f(x) = e−kxk, x ∈ Rk.

Zadanie 4. Znajdź kierunek najszybszego wzrostu funkcji f, czyli jej gradient, w punkcie P dla (a) f(x, y) = 1 + x2+ y4− 2xy2, P = (4, 2),

(b) ex−y, P = (1, 1),

(c) f(x, y, z) = x + 2y + 3z, P = (1, 1, 1).

W punkach (a), (b) narysuj wykres poziomicowy funkcji f i zaznacz gradient.

Zadanie 5. (D) Wykazać, że funkcja f(x, y) =√3xynie jest różniczkowalna w (0, 0) chociaż ma obie pochodne cząst- kowe w tym punkcie.

Zadanie 6. Niech f(x, y) = x3+y3

x2+y2, jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Wykazać, że f jest różniczkowalna w (0, 0).

Zadanie 7. Niech f(x, y) = xx32+y+y32, jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Wykazać, że f jest ciągła, ale nie jest różniczko- walna w (0, 0).

Zadanie 8. Niech f(x, y) = xy(x+y)x2+y2 , jeżeli (x, y) 6= (0, 0) i f(0, 0) = 0. Wykazać, że pochodna kierunkowa Dvf(0, 0) funkcji f w punkcie (0, 0) istnieje w kierunku dowolnego wektora v ∈ R2, v 6= (0, 0), ale f nie jest różniczkowalna w (0, 0).

Zadanie 9. Pokazać, że funkcja f(x, y) = (x − y2)(3x − y2) po obcięciu do dowolnej prostej przechodzącej przez (0, 0) ma minimum lokalne w (0, 0). Czy f ma minimum lokalne w (0, 0) ?

Zadanie 10. Wykazać, że jeśli pochodne cząstkowe funkcji f : R2 → R istnieją w każdym punkcie i są funkcjami ograniczonymi to f spełnia warunek Lipschitza.

Zadanie 11. Wyznaczyć punkty różniczkowalności funkcji f (a) f(x, y) =px3 3+ y3,

(b) f(x, y) = ln(1 + |xy|p).

Zadanie 12. Funkcję f : Rk → R nazywamy jednorodną, jeśli f(t x) = t f(x) dla dowolnego t > 0 i x ∈ Rk. Wykazać, że jeżeli funkcja f jest różniczkowalna i jednorodna, to jest liniowa.

Zadanie 13. Czy istnieje funkcja różniczkowalna +: Rk× Rk → Rk różna od standardowego dodawania wektorów w Rk, taka że (Rk, 0,+,·) spełnia wszystkie aksjomaty przestrzeni wektorowej, gdzie · : (t, v) 7→ t · v jest standardowym (t.j. po współrzędnych) mnożeniem wektorów v ∈ Rk przez liczby t ∈ R.

1

Cytaty

Powiązane dokumenty

Przypomnij dowód równoważności definicji ciągłości Cauchy’ego i Heinego i zaadaptuj go do przypadku jednostajnej

Czy każdą funkcję ciągłą na odcinku domkniętym można przedłużyć do funkcji ciągłej na całej

Aby się w nich nie pogubić, sporządzimy teraz ich listę, do której można będzie zawsze w razie wątpliwości

Udowodnij, że granica jest funkcją holomorficzną i że ciąg pochodnych jest zbieżny niemal jednostajnie do pochodnej granicy.. W tym celu skorzystaj ze wzorów

Poka», »e ka»da funkcja wypukªa na przedziale (a, b)

Niech G będzie

Rozwiązania proszę starannie zredagować w zeszycie zadań domowych.. Punktacja według reguł Klubu

Zmodyfikuj ten przykład i podaj funkcję, której zbiorem punktów nieciągłości jest Q..