WYKŁAD nr 5 1. Optymalizacja kosztów dostawy wody i zrzutu ś

(1)

WYKŁAD nr 5

1. Optymalizacja kosztów dostawy wody i zrzutu ścieków w systemie wodno-gospodarczym

ZB.1

ZB.2

P2 P1

1

Az

2

Az

3

A

z

W1

W2

x11

x12

x21

x23

x31

x32

x42

x43

z13

z23

z33

[ ]

²

1km A_W

[ ]

²

2km A_W ciek nr 1.

ciek nr 2.

ciek nr 3.

z31

z11

z32

z22

Rys.1. Wyodrębniony system wodno gospodarczy

Przyjmiemy sytuacje jak na rysunku 1 , który przedstawia system zaopatrzenia w wodę trzech aglomeracji o potrzebach wodnych A_Z₁,A_Z₂,A_Z₃ [m³/s]

zaopatrywanych ze zbiorników o zasobach dyspozytorskich X₁, X₂ [m³/s] oraz ze stacji pomp głębinowych o maksymalnych wydajnościach P₁, P₂ [m³/s].

Równocześnie uwzględniona została możliwość zrzutu ścieków z aglomeracji do cieków oznaczonych kolejno nr 1,2,3 .

(2)

Zadanie optymalizacji dotyczyć będzie wyznaczenia wartości optymalnych poborów wody i zrzutów ścieków (zmienne decyzyjne) które spełnią narzucone ograniczenia przy zapewnieniu minimum wskaźnika jakości .

Ograniczenia w systemie dotyczą :

1. potrzeb wodnych systemu z uwzględnieniem zasobów dyspozytorskich zbiorników i wydajności pomp głębinowych

2. możliwości zrzutu ścieków do kolejnych cieków A.

Przyjmiemy wskaźnik jakości w postaci (1) przedstawiający koszt funkcjonowania systemu tj. koszt pozyskania wody dla aglomeracji oraz koszt zrzutów zanieczyszczeń z aglomeracji

( ( )) ( _{( )}) ( _{( )})

( ( )) ( ( )) ( ( ))^⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⋅

⋅ +

+

⋅

⋅ ⋅

=

1

* 3 3

* 1

1

* 3 3

* 1

1

* 3 3

* 1

1

* 4 4

*

5 1

,

0 z z

x x

B A

T T

F (1.1)

w której :

a.) blokowy wektor zmiennych decyzyjnych ( strumienie wody dostarczane do systemu )

[ ] [ ] [ ] [ ]

[

x₁₁ x₁₂ x₁₃ x₂₁ x₂₂ x₂₃ x₃₁ x₃₂ x₃₃ x₄₁ x₄₂ x₄₃

]

T = x

b.) dodatnio określona diagonalna macierz blokowa o wyrazach na głównej przekątnej w postaci macierzy diagonalnych zawierających elementy, które odzwierciedlają koszt pozyskania wody z zasobów systemu (zbiorniki , pompy głębinowe ) na rzecz kolejnych aglomeracji

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

43 42 41 33

32 31 23

22 21 13

12 11

0 0

0 0 0

0 0

0

0 0

0 0 0

0

0 0

0 0 0

0 0

0

0 0

a a a a

a a a

a a a a a

A

(3)

c.) wektor możliwych zmiennych decyzyjnych opisujący zrzuty zanieczyszczeń z systemu

[ ] [ ] [ ]

[

^z₁₁ ^z₁₂ ^z₁₃ ^z₂₁ ^z₂₂ ^z₂₃ ^z₃₁ ^z₃₂ ^z₃₃

]

T = z

d.) dodatnio określona diagonalna macierz blokowa o wyrazach na głównej przekątnej w postaci macierzy diagonalnych zawierających elementy będące współczynnikami kosztów zrzutu zanieczyszczeń z aglomeracji do poszczególnych cieków

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

33 32 31 23 22 21 13 12 11

0 0

0 0 0

0

0 0

0

0 0

0 0 0

0 0

b b b b b b b b b

B

B. Równania ograniczeń

1.) do pierwszej grupy ograniczeń zaliczymy ograniczenia związane z zasobami dyspozycyjnymi zbiorników oraz wydajnością pomp tzn. ilość wody możliwą do rozdysponowania między aglomeracjami

2 1 , X

X P₁ , P₂

(4)

2 43 42 41

1 33 32 31

2 23 22 21

1 13 12 11

P x x x

X x x x

≤ + +

[ ]

^⎥^⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

≤

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

0 0 0 0

1 1 1 0 0

0

0 1 1 1 0 0

0 0

1 1 1 0

0 0

0 1 1 1

2 1 2 1

43 42 41 33 32 31 23 22 21 13 12 11

P P X X

x x x x x x x x x x x x

w formie macierzowej S₁⋅x−XP≤0 (1.2) 2./ druga grupa ograniczeń to równania bilansowe dotyczące zaopatrzenia w wodę i zrzuty zanieczyszczeń dla poszczególnych aglomeracji Dla systemu w którym wykorzystano wszystkie możliwe połączenia układ równań przedstawia się następująco :

(5)

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

^⎥^⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

+

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

0 0 0

1 1 1 0 0

0 1 1 1 0

0 0

1 1 1

1 0 0 1

0 0 1

0 0

0 1 0 0

1 0 0

1 0

0 0 1 0

0 1 0

0 1

3 2 1

33 32 31 23 22 21 13 12 11

43 42 41 33 32 31 23 22 21 13 12 11

Z Z Z

A A A

z z z z z z z z z

x x x x x x x x x x x x

oraz w postaci macierzowej S₂⋅x−S₃⋅z−A_Z =0 (1.3)

3./ trzecia grupa ograniczeń to ograniczenia dotyczące granicznych wartości zrzutów Z do cieków. Dla systemu w którym wykorzystano wszystkie możliwe zrzuty układ równań ograniczających możemy zapisać w postaci :

(6)

[ ] [ ] [ ]

^⎥^⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

≤

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

0 0 0

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1

3 2 1

33 32 31 23 22 21 13 12 11

Z Z Z

z z z z z z z z z

w postaci macierzowej S₄⋅z−Z≤0 (1.4)

4./ czwarta grupa ograniczeń dotyczy wartości koniecznych zrzutów zanieczyszczeń Z_k z aglomeracji .

[ ]

^⎥^⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

≤

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

0 0 0 1

1 1 0 0

0 1 1 1 0

0 0

1 1 1

33 32 31 23 22 21 13 12 11

3 1 2

z z z z z z z z z

Z Z Z

k k k

w formie macierzowej Z_k −S₃⋅z≤0 (1.5) 5./ w celu zapewnienia właściwych zwrotów zmiennych decyzyjnych przyjmujemy

(1.6) 0

0 ≥

≥ z

x ,

W ramach systemu określonego przez dwa zbiorniki dwie stacje pomp trzy cieki do których możliwe jest zrzucanie zanieczyszczeń struktura powiązań między elementami systemu zapisana jest w macierzach S₁ ,S₂ ,S₃ ,S₄.

Dla systemu z rys.1 macierze przybierają następującą formę :

(7)

[ ]

^⎥^⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

1 1 0 0

0 0

1 1 0 0

0 0

1 0 1 0

0 0

1 1 S1

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [

[ ]

^⎥^⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

=

1 1 1 0 0

0 1 1 0 0

0 0

1 0 1

1 0 0 0

0 0 1

0 0 0

0 0

0 1 0 0

1 0 0

0 0 0

1 0

0 0 0 0

0 1 0

0 1

3 2

S

]

[ ] [ ] [ ]

^⎥^⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

1 0 0 1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 1 S4

Inne powiązania między elementami systemu (inną strukturę systemu w ramach tego samego zbioru elementów ) możemy dowolnie tworzyć określając wartościami 0 lub 1 odpowiednie znaczące elementy macierzy S₁,S₂ ,S₃ ,S₄ . Wykorzystując równania (2) do (6) korzystając z warunków Kuhna- Tuckera wyznaczymy w ramach obowiązujących ograniczeń optymalny wektor zmiennych decyzyjnych minimalizujący wskaźnik jakości (1) .

Rozwiązanie :

Tworzymy funkcje Lagrange’a w postaci :

( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))

[ ]

[

Z z

]

λ

Z z λ

A z x λ

XP x λ

z z

x x

⋅

−

⋅ +

+

−

⋅

⋅ +

+

−

⋅

−

⋅

⋅ +

−

⋅

⋅ +

+

⋅

⋅ +

⋅

=

3 4

4 3

3 2 2

1 1

1

* 3 3

* 1 1

* 4 4

*

1 ₁_*₃ ₃_*₃ ₃_*₁ ₁_*₃ ₃_*₃ ₃_*₁

5 , 0

S S

S S S

B A

k T T

z T

T

L T

(1.7)

W równaniu (1.7) oznaczają wektory mnożników Lagrange’a powiązanych z obowiązującymi w zadaniu ograniczeniami .

4 3 2 1, λ , λ , λ λ

Warunki Kuhna-Tuckera:

(8)

A. x^ˆ⋅∇_xL⁽x^ˆ,z^ˆ,λ^ˆ⁾ = x^ˆ⋅

[

x^ˆ^T⋅A+λ^ˆ1^T⋅S1+λ^ˆ2^T⋅S2

]

^T =⁰ następnie po przekształceniach przyjmując xˆ>0 otrzymujemy :

[

1 1 2 2

]

1 ˆ ˆ

ˆ λ λ

x=−A⁻ ⋅ S^T ⋅ +S ^T⋅ (1.8)

B. z^ˆ⋅∇_zL⁽x^ˆ,z^ˆ,λ^ˆ⁾ = z^ˆ⋅

[

z^ˆ^T⋅B−λ^ˆ2^T⋅S3+λ^ˆ3^T⋅S4−λ^ˆ4^T⋅S3

]

^T =⁰ Przyjmując

[ ]

zˆ >

[ ]

0 otrzymujemy :

( )

[

3 2 4 4 3

]

1 ˆ ˆ ˆ

ˆ λ λ λ

z=B⁻ ⋅S ^T⋅ + −S ^T⋅ (1.9)

C. λ^ˆ^⋅^∇λL

( )

x^ˆ,z^ˆ,λ^ˆ ⁼⁰ oraz przyjmując λ₁ , λ₂, λ₃, λ₄ < 0

=0

−

⋅xˆ XP

S1 (1.10)

=0

−

⋅

−

⋅xˆ ₃ zˆ A_Z

2 S

S (1.11)

=0

−

⋅zˆ Z

S4 (1.12)

=0

⋅

−S₃ zˆ

Zk (1.13)

Z układu równań (1.8) do (1.13) w pierwszej kolejności wyznaczamy wektory mnożników następnie wektory optymalnych zmiennych decyzyjnych .

4 3 2 1 , ˆ , ˆ , ˆ

ˆ λ λ λ

λ z x ˆˆ,

Podstawiając równania (1.8) i (1.9) kolejno do równań (1.10) do (1.11) otrzymuje się :

a.) z równania (1.10)

[ ]

0 0

=

−

⋅

−

⋅

−

=

−

⋅ +

⋅

−

⋅

−

XP λ

T T

T

A T

2 1 1 1 1 1 1

2 2 1 1 1 1

ˆ

ˆ ˆ

S A S S

A S

λ S S

S

po podstawieniu

T T

2 1 1 2

1 1 1 1

S A S R

⋅

−

=

⋅

−

=

−

otrzymuje się

=0

−

⋅ +

⋅λ₁ ₂ λ₂ XP

1 ˆ R ˆ

R (1.14)

b.) z równania (1.11)

[ ]

( )

[

^⋅ ⁺ ⁻ ^⋅

]

⁻ ⁼⁰

⋅

−

+

⋅ +

⋅

−

⋅

−

Z T

T T T

3 A

4 4 2 1 3

3

2 2 1 1 1 2

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

λ λ

λ λ λ

S S

B S

S S

A S

(9)

=0

−

⋅

⋅ +

+

⋅

−

⋅

−

+

⋅

−

⋅

−

Z T

T T

A λ

λ λ

λ λ₁

3 4 1 3

4 3 1 3 2 3 1 3

2 2 1 2 1

1 2

ˆ

ˆ ˆ

S B S

S B S S

B S

S A S S

A S

po podstawieniu

T T T T

4 1 3 6

3 1 3 5

1 2 2 4

1 1 2 3

S B S R

S A S R

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

⋅

−

=

−

otrzymuje się

( )

0

=

−

⋅ +

⋅ + +

⋅

=

−

⋅ +

⋅

Z Z

A λ λ

λ λ

A λ λ

λ λ

λ

4 5 3 2

1 3

3 4

2 2

1 3

ˆ ˆ

ˆ

R R

R R R

R R

R

6 5

4

6 5

5

4 (1.15)

c.) z równania (1.12)

( )

[ ]

0 0

=

−

⋅

−

⋅

⋅ +

⋅

=

−

⋅

− +

⋅

−

Z λ λ

λ

Z λ λ

λ

3 1 4

4 4 1 3

4 2 1 3

4

3 4 4 2 3 1 4

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

T T

T

T T

S B S S

B S S

B S

S S

B S

po podstawieniu

T T

1 3 4 8

1 3 4 7

S B S R

⋅

−

=

⋅

=

−

=0

−

⋅ +

⋅λ₂ ₇ λ₄ ₈ λ₃ Z

7 ˆ R ˆ R ˆ

R (1.16)

d.) z równania (1.13)

( )

[ ]

0 0

=

⋅

⋅ +

⋅

−

⋅

−

=

⋅

− +

⋅

−

3 1 4

3 4 1 3

3 1 2

3

3 4

2 3

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

λ λ

λ Z

λ λ

λ Z

T T

T k

T T

k

S B S S

B S S

B S

S S

S

3

4 1 3

B

=0

⋅ +

⋅

+ ₅ λˆ₂ ₅ λˆ₄ ₆ λˆ₃

Z_k R R R (1.17)

Z równanie (1.14) otrzymuje się:

[

2 2

]

1 1

1 ˆ

ˆ XP λ

λ =R⁻ ⋅ −R ⋅ (1.18)

Z równania (1.16) otrzymuje się :

[

8 3 7 4

]

1 7

2 ˆ ˆ

ˆ Z λ λ

λ =R ⁻ ⋅ −R ⋅ −R ⋅ (1.19)

(10)

Kolejną czynnością jest podstawienie (1.18) do (1.19) , które zezwoli na wyrażenie w funkcji :

ˆλ1 λˆ₂ i λˆ₃

( )

[

8 3 7 4

]

1 7 2 1

1

1 ˆ ˆ

ˆ XP Z λ λ

λ =R⁻ ⋅ −R ⋅R ⁻ ⋅ −R ⋅ −R ⋅

po podstawieniu:

( )

5 4 4

2 1 1 3

8 1 7 2 1 1 2

1 7 2 1

1 1

R R T

R R R R T

R R R

+

=

⋅

=

⋅

=

⋅

−

⋅

=

−

− XP Z

T

otrzymuje się

(1.20)

4 3 3 2 1

1 ˆ ˆ

ˆ T λ λ

λ = +T ⋅ +T ⋅

Równanie (1.19) i (1.20) podstawiamy do równań (1.15) i (1.17) otrzymując układ dwóch równań macierzowych liniowych z których po prostych przekształceniach otrzymuje się wektory mnożników Lagrange’a λˆ₃ , λˆ₄

[ ]

[

^ˆ ^ˆ

]

^ˆ ^ˆ ⁰

ˆ ˆ

4 5 3 6 4 7 3 8 1

7 4

1 4 3 3 2 3

=

−

⋅ +

⋅

−

⋅

−

⋅

⋅ +

+ +

⋅ +

⋅

−

AZ

λ λ

Z T λ λ

R R

R T

T T

R

[

8 ^ˆ3 7 ^ˆ4

]

6 ^ˆ3 5 ^ˆ4 ⁰

1 7

2⋅R ⁻ ⋅ Z−R ⋅λ −R ⋅λ +R ⋅λ +R ⋅λ +Z_k= R

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

⋅ +

⋅

= +

⋅ +

⋅

ˆ 0 ˆ

2 4 4 3 3

1 4 2 3 1

W λ λ

U U

(1.21)

w układzie równań (1.20) przyjęto :

( )

(

K

)

Z

Z Z W

A Z T

W

+

⋅

=

−

⋅

−

⋅

=

−

=

⋅

−

=

+

−

⋅

=

+

⋅

−

⋅

=

−

1 2 2

1 7 4 1 3 1

2 5 4

8 1 7 2 6 3

5 4 3 2

6 8 1 7 4 2 3 1

7 3

R R

R R R

R R U

R R R R U

R T T R U

R R R T T R U

(1.22)

Z pierwszego równania układu równań (1.21) wynika :

(

1 2 4

)

1 1

3 ˆ

ˆ W λ

λ =U⁻ ⋅ − −U ⋅ (1.23)

następnie podstawiając (1.23) do drugiego równania układu równań (1.21) otrzymujemy ostatecznie :

(11)

( ) (

1 1 2

)

1 3 1 2 1 1 3 4

ˆ4 W W

λ = U −U ⋅U⁻ ⋅U ⁻ ⋅ U ⋅U⁻ ⋅ − (1.24) powracając z (1.24) do (1.23) otrzymuje się :

( ) ( )

_⎥⎦^⎤

⎢⎣⎡− − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

⋅

= ⁻¹ ₂ ₄ ₃ ₁⁻¹ ₂⁻¹ ₃ ₁⁻¹ ₁ ₂

ˆ3 W W

λ U₁ W U U U U U U U (1.25)

oraz ˆλ₂ wg (1.19) z zastosowaniem (1.24), (1.25) (1.26) wg (1.18) z zastosowaniem (1.26)

ˆλ1

Dysponując wektorami mnożników otrzymuje się wektor

optymalnych zmiennych decyzyjnych dotyczących dostarczenia wody do systemu :

4 3 2 1 , ˆ , ˆ , ˆ

ˆ λ λ λ

λ

( )

ˆ1,ˆ2

ˆ λ λ

x= f wg (1.27)

oraz wektor zmiennych decyzyjnych dotyczących zrzutu zanieczyszczeń :

(

ˆ2 , ˆ3 , ˆ4

)

ˆ λ λ λ

z= f wg (1.28)

Wyznaczone wektory zmiennych decyzyjnych spełniają wymagane ograniczenia oraz zapewniają minimalna wartość wskaźnika jakości systemu w postaci (1.1) .

2. Wielozbiornikowe zasilanie w wodę wskazanych dzielnic aglomeracji miejskich

Zagadnienie dystrybucji wody rozgałęzioną siecią wodociągową do wskazanych dzielnic aglomeracji miejskich jest zagadnieniem bardzo złożonym wymagającym analizy wielu skomplikowanych procesów zachodzących w sieciach wodociągowych

(12)

1

2

3

5

4

AZ1 •

AZ9

•

• •

••

• •

[x1,1 x1,2 x1,3 x1,4 x1,5 x1,6 x1,7 x1,8 x1,9]

[x2,1 x2,2 x2,3 x2,4 x2,5 x2,6 x2,7 x2,8 x2,9]

[x3,1 x3,2 x3,3 x3,4 x3,5 x3,6 x3,7 x3,8 x3,9]

[x4,1 x4,2 x4,3 x4,4 x4,5 x4,6 x4,7 x4,8 x4,9] [x5,1 x5,2 x5,3 x5,4 x5,5 x5,6 x5,7 x5,8 x5,9]

•

Rys. 2 Analizowany system zaopatrzenia w wodę

Dla usystematyzowania zapisu należy rozróżnić dzielnice aglomeracji aktualnie połączone ze zbiornikami które nazywać będziemy wskazanymi w odróżnieniu od wydzielonych części aglomeracji jednakże w danej sytuacji nie przyłączonych do żadnego ze zbiorników .

Upraszczając temat dostosowując go jedynie do możliwości zademonstrowania optymalizacji z wykorzystanie programowania nieliniowego , należy przyjąć słabe założenie istnienia bezpośrednich połączeń między zbiornikami a wydzielonymi i wskazanymi częściami ( dzielnicami ) aglomeracji miejskiej .

Przy takim założeniu nasuwają się dwa przykłady optymalizacyjne , które rozpatrywane oddzielnie stanowią autonomiczne zagadnienia , natomiast rozwiązywane łącznie przybierają postać zadania optymalizacji wielokryterialnej . . Przykład nr 1.

Jeżeli przyjmiemy możliwe do rozdysponowania zapasy wody w zbiornikach (rys 2) oraz określone potrzeby wodne wydzielonych i wskazanych dzielnic aglomeracji miejskiej

5 ,.., 1 ,i= V_i

9 ,.., 1 , j=

A_z_j , wówczas w przypadku gdy suma zapasów jest mniejsza od sumy potrzeb powstają straty wynikające z niedostatecznej ilości wody przekazywanej do wskazanej dzielnicy . Na

∑

= =

≤ ⁹

1 5

1 j zj

i

i A

V

(13)

potrzeby analitycznego naświetlenia i rozwiązania zadania optymalizacji straty zostały oszacowane przy pomocy funkcji kwadratowej w postaci :

(2.1) 9

5 ,.., 1 ,

5 2

1

, ⎟⎟⎠ =

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

⋅

=

∑

=

j x

A a F

i j j i

z j j

Zadaniem optymalizacji jest minimalizacja strat globalnych w systemie zapisanych w postaci wskaźnika jakości w postaci

∑

(2.2)

=

= ⁹

1 j

Fj

F

przy ograniczeniach wynikających ze struktury połączeń odpowiednich zbiorników z odpowiednimi dzielnicami (wskazanymi)

(2.3) ,..,

1 , 0 :

9 1

, = =

−

∑

=

i x

V G

j j i i

i

Funkcja Lagrange’a zapisana w postaci macierzowej przyjmuje następującą postać

(

A − ⋅x

)

⋅ ⋅

(

A − ⋅x

)

+λ ⋅

(

V− ⋅x

)

= _z S₁ ^T A _z S₁ ^T S₂

L (2.4)

w której przyjęto :

[

z1 z9

T

z = A • • A

A

]

^wektorzapotrzebowań wydzielonych

dzielnic,

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

•

×

•

=

5 , 9 4 , 9 3 , 9 2 , 9 1 , 9

5 , 8 4 , 8 3 , 8 2 , 1 8 , 8

5 , 2 4 , 2 3 , 2 2 , 2 1 , 2

5 , 1 4 , 1 3 , 1 2 , 1 1 , 1

1

1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1

S

strukturalna macierz blokowa powiązań między zbiornikami a wydzielonymi dzielnicami aglomeracji. Wektor

[

0 0 1 0 0 0 0 0 0

]

będący np. (3,4) elementem macierzy ,wskazuje na połączenie zbiornika nr 4 z dzielnicą nr 3.

Wektor w miejscu (6,5) macierzy wskazuje na

połączenie zbiornika nr.5 z dzielnicą nr 6 , oraz wektor na miejscu np. (9,4) macierzy wskazuje na połączenie zbiornika nr 4 z dzielnicą nr 9 itp. .

S1

[

⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ⁰ ¹ ⁰ ⁰ ⁰

]

S1

[

0 0 0 0 0 0 0 0 1

]

S₁

Zastąpienie jedynek zerami w tych wektorach eliminuje opisane połączenia powodując odłączenie danej dzielnicy od danego zbiornika .W ten sposób

(14)

wypełniając odpowiednio macierz , można w dowolny sposób formułować strukturę połączeń między zbiornikami a wydzielonymi dzielnicami.

S1

[ ] [ ]

[

x1,1 x1,9 1,1 1,2 1,3 1,4 x5,1 x5,9

]

T = • • • • • • •

x ,

wektor sterowanych odpływów ze zbiorników do dzielnic,

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

•

= •

9 , 9 1

, 1

0 0 0

0 0

0

0 0 0

a a

A dodatnio określona macierz współczynników wag

powiązanych z zasilaniem wydzielonych dzielnic aglomeracji. Zmieniając współczynniki macierzy nadajemy większy lub mniejszy priorytet w zasilaniu wydzielonych dzielnic.

A

Funkcja Lagrange’a zawiera również formę liniową λ^T⋅

(

V−S₂⋅x

)

której odpowiednie macierze i wektory oznaczają :

[

₁ ^• ^• ^• ^λ₅

= λ

λT

]

wektor mnożników Lagrange’a,

[

^V₁ ^V₅

T = • • •

V wektor zapasów wody w zbiornikach,

[ ]

^⎥^⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

•

=

5 , 5 4

, 4 3 , 3 2 , 2 1 , 1

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0

0 0

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

S

strukturalna macierz konieczna do zapisu równania ograniczeń , Rozwiązanie warunki Kuhna-Tuckera:

A. x^ˆ⋅∇_xL

( )

x^ˆ,λ^ˆ = x^ˆ⋅

[

−

⁽

A_z−S1⋅x^ˆ

⁾

^T⋅A⋅S1−λ^T⋅S2

]

=⁰ następnie po przekształceniach oraz przyjmując otrzymujemy : xˆ>0

(2.5) λ

D

xˆ= ₁+D₂ ⋅ˆ

gdzie: D₁=

(

S₁T⋅A⋅S₁

)

⁻¹⋅S₁T⋅A⋅Az

(

^T

)

2^T

1 1 1

2 S A S S

D = ⋅ ⋅ ⁻ ⋅

B. λ^ˆ^⋅^∇λL

( )

x^ˆ,λ^ˆ ⁼⁰ oraz przyjmując λˆ<0

(15)

a po podstawieniu (3.165)

=0

⋅

− x

V S₂ ˆ

(

₂ ₂

) (

¹ ₂ ₁

)

ˆ V D

λ= S ⋅D ⁻ ⋅ −S ⋅ (2.6)

C. Podstawiając (2.6) do (2.5) otrzymujemy wzór określający wektor odpływów ze zbiorników do wskazanych dzielnic analizowanej aglomeracji Odpływy są optymalne w sensie wskaźnika (2.2) tzn. zapewniają minimalną jego wartość .

(

₂ ₂

) (

¹ ₂ ₁

)

2

ˆ D1 V D

x= +D ⋅ S ⋅D ⁻ ⋅ −S ⋅ (2.7)

D. Jeżeli na elementy wektora nałożone są ograniczenia np. xˆ x₁_,₁≤x₁_,₁₍_max)₎ oraz zachodzi sytuacja ,iż element wówczas należy przyjąć

oraz

(max 1 , 1 1 ,

ˆ1 x x > ₎ )

(max 1 , 1 1 ,

ˆ1 x

x = ponownie rozwiązać zadanie optymalizacji eliminując w macierzy połączenie zbiornik nr 1 aglomeracja nr 1 (wektor

przybiera postać S1

[

1 0 0 0 0 0 0 0 0

] [

0 0 0 0 0 0 0 0 0

]

)

oraz zmniejszyć w zadaniu optymalizacji zapas wody w zbiorniku nr 1 i zapotrzebowanie wskazanej dzielnicy

(max 1 , 1 1

1 V ˆx

V = − ₎ A_z₁=A_z₁− ˆx₁_,₁₍_max₎ . W

analogiczny sposób należy postępować przy ewentualnych przekroczeniach ograniczeń nałożonych na następne elementy wektora . xˆ

Przykład nr 2

Dotyczyć może kosztów dystrybucji wody ze zbiorników do wskazanych dzielnic aglomeracji miejskiej. Wówczas koszty dystrybucji ze zbiornika i do dzielnicy oszacowane są funkcją kwadratową

j 9

,.., 1 , 5 ,..,

2 1

, ,

, =a x i= j=

F_i _j _i _j _i _j

Zadaniem optymalizacji jest minimalizacja kosztów dystrybucji wody w systemie

zapisana w postaci:

∑∑

(2.8)

= =

= ⁵

1 9

1 ,

i j

j

Fi

F przy ograniczeniach :

1.) wynikających z konieczności zapewnienia odpowiedniej ilości wody wskazanym dzielnicom i struktury połączeń między zbiornikami a dzielnicami,

≤0

⋅

− x

A_z S₁ (2.9)

2.) wynikających z możliwości alimentacyjnych zbiorników,

≤0

−

⋅x V

S2 (2.10)

Funkcja Lagrange’a zapisana w postaci macierzowej przyjmuje następującą postać

(16)

(

^A ^x

)

^λ

(

^V ^x

)

λ x

x ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

= ^T Α₁ ₁^T _z S₁ ₂^T S₂

L (2.11)

Nowymi elementami funkcji (2.11) w odniesieniu do postaci (2.4) są

a.) dodatnio określona macierz współczynników wag powiązanych z kosztem dystrybucji wody z danego zbiornika do wskazanej dzielnicy .Zmieniając współczynniki macierzy przyporządkowujemy większy lub mniejszy koszt zasilania wydzielonych dzielnic z odpowiednich zbiorników

A1

[ ] [ ]

[ ]

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

•

×

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

•

=

9 , 5 1

, 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 , 9 1 , 1 1

, 1

1

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0

0

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

a a

A

b.) λ₁^T wektor mnożników Lagrange’a powiązanych z równaniem (2.9) c.) λ₂^T wektor mnożników Lagrange’a powiązanych z równaniem (2.10)

Rozwiązanie (warunki Kuhna-Tuckera)

A. x^ˆ⋅∇_xL

( )

x^ˆ,λ^ˆ = x^ˆ⋅

(

x^ˆ^T⋅A1−λ^ˆ1^T⋅S1+λ^ˆ2^T⋅S2

)

=⁰

następnie po przekształceniach oraz przyjmując xˆ >0 otrzymujemy :

2 2 1 1

1⋅xˆ=S^T⋅λˆ −S ^T⋅λˆ A 1

(

1 1 2 2

)

1 ˆ ˆ

ˆ λ λ

x=A ⁻ ⋅ S^T⋅ −S ^T⋅

(2.12)

( ) ( )

[

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⋅⎡

⋅

= ⁻ ⁻

2 2 1 1 1 1 1

1 ˆ

ˆ ˆ

λ x A S^T A S ^T

]

λ

B. λ^ˆ1⋅∇_λ₁L

( )

x^ˆ,λ^ˆ =⁰ oraz przyjmując λ₁<0

=0

⋅

− x

A_z S₁ ˆ (2.13)

C. λ^ˆ₂^⋅^∇λ₂L

( )

x^ˆ,λ^ˆ ⁼⁰ oraz przyjmując λ₂<0

=0

⋅

− x

V S₂ ˆ (2.14)