Toegepaste mechanica. Dl. 2

TOEGEPASTE MECHANICA-II

prof.dr.ir. A. Verruijt

Technische Universiteit Delft

Bibliotheek TU Delft

1111111111111111111111111111111111

C

0013114021

2414

Delftse Uitgevers Maatsch

,

432

CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag

Verruijt, A.

Toegepaste mechanica I A. Verruijt. Delft : Delfische U.M. -Uitg. van de Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft.

n

.

- m.

Met index, lito opg.

ISBN 9O-6562-OO32-x SISO 6423 UDC 531.8(075.8) Trefw.: toegepaste mechanica.

©

VSSD

Eerste druk 1977

Derde druk 1983, 1985, 1989, 1993 Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.

P.o. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Tel. 015-123725, telefax 015-143724

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

All rights reserved. No part of this pub/ication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photo-copying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the pub/isher.

VOORWOORD

Dit boek is bedoeld als handleiding bij het tweedejaarscollege Toegepaste Mechanica van de Afdeling der Civiele Techniek van de Technische Hogeschool Delft (codenummer bIl), als vervolg op de eerder verschenen handleiding Toegepaste Mechanica I bij het eerstejaarscollege.

De schrijver betuigt gaarne zijn dank aan de collega's, medewerkers en studenten die door hun opmerkingen bij vorige versies van het diktaat hebben bijgedragen aan de totstandkoming van deze handleiding. Een speciaal woord van dank verdient mej. Ellen Olsthoorn voor de verzorging van het typwerk.

Alle eventuele opmerkingen van de kant van gebruikers van dit boek zullen op hoge prijs gesteld worden.

Delft, november 1977 A. Verruijt

BU DE TWEEDE DRUK

Voor de tweede druk werd de tekst geheel opnieuw gezet door medewerkers van de VSSD, aan wie ik gaarne mijn dank betuig. Bij deze gelegenheid werd een aantal fouten verbeterd, en werd hoofdstuk 5 uitgebreid met een computer-programma voor de berekening van raamwerken.

Veel dank ben ik verschuldigd aan mw. H.E.M. van der Kley-Bassart en mw. E.M. van der Salm-Olsthoorn, voor hun hulp bij het corrigeren van de drukproeven.

INHOUDSOPGA VE

1.

VIRTUELE ARBEID

7

1.1.

Arbeid en energie

7

1.2.

Virtuele arbeid

13

1.3. Evenwicht van starre lichamen

16

1.4.

Mechanismen

19

1.5. Bepaling van oplegreacties

21

1.6.

Bepaling van normaalkrachten

25

1.7.

Bepaling van buigende momenten

26

1.8.

Bepaling van dwarskrachten

29

2.

INVLOEDSLIJNEN

31

2.1.

Liggers

31

2.2.

Vakwerken

36

2.3.

Virtuele arbeid

39

2.4.

Bijzondere constructies

46

3.

VORMVERANDERINGEN

58

3.1.

De differentiaalvergelijking voor buiging

58

3.2.

Vergeet-mij-nietjes

60

3.3.

Liggers

70

3.4.

Portalen

80

3.5.

Wringing

84

4.

STATISCH BEPAALDE RUIMTELIJKE CONSTRUCTIES

88

4.1.

Oplegreacties

88

4.2.

Staafconstructies

92

4.3.

Liggers in de ruimte

95

4.4.

Schematiseringen

97

5.

STATISCH ONBEPAALDE CONSTRUCTIES

100

5.1.

Krachtenmethode

100

5.2.

Verplaatsingenmethode

105

5.3.

Vakwerken

115

5.4.

Computerprogramma PLANE TRUSS

126

5.5

.

Vergelijking krachtenmethode en verplaatsingenmethode

133

5.6.

Hoekvervormingsvergelijkingen

136

5.7.

Methode Cross

142

5.8.

Computerprogramma PLANE FRAME

147

6.

TENSOREN

160

6.1.

Stijfheidstensor en flexibiliteitstensor

160

6.2.

Cirkel van Mohr

170

6.3.

Spanningstensor

172

6.4.

Oppervlaktemomenten

176

7.

SP ANNINGEN IN LIGGERS

₁₈₁

7.1.

Normaalspanningen bij buiging

181

7.2.

Buiging met normaalkracht

196

7.3.

Kern

198

7.4.

Schuifspanningen bij buiging

202

8. LIGGERS UIT TWEE MATERIALEN 8.1. Normaalkracht

8.2. Buiging

APPENDIX. ENIGE FORMULES VOOR PRISMATISCHE STAVEN LIJST VAN DE BELANGRIJKSTE SYMBOLEN

INDEX LITERATUUR

215

215

217

221

222

223 224

1. VIRTUELE ARBEID

Zoals bekend kan men het evenwicht van een statisch bepaalde construc-tie analyseren door het krachtenevenwicht en het momentenevenwicht in de drie coördinaat richtingen te beschouwen. Bij samengestelde constructies zoals drie-scharnierspanten, geschoorde portalen, en dergelijke, is het daarbij dan nodig het evenwicht van elk der samenstellende delen apart te beschouwen. Dat kan een vrij gecompliceerde zaak worden. In dit hoofdstuk wordt een alternatieve methode, gebaseerd op het zogenaamd principe van de virtuele arbeid, gepresen-teerd. Deze methode leidt in veel gevallen sneller en gemakkelijker tot de gewen-ste resultaten: de waarden van de oplegreacties en inwendige krachten en mo-menten. De beschouwingen in dit hoofdstuk zullen beperkt zijn tot vlakke sta-tisch bepaalde constructies.

Alvorens over te gaan tot behandeling van het principe der virtuele arbeid verdient het begrip arbeid in het algemeen enige aandacht.

1.1. arbeid en energie

Indien het aangrijpingspunt van een kracht

F

een infinitesimale verplaat-sing ds ondergaat zegt men dat de kracht een arbeid dA heeft verricht, waarvan de grootte gelijk is aan het inwendig produkt van de kracht en de verplaatsing,

dA

=

F

·ds.

Zoals bekend kan men de grootte van het inwendig produkt van twee vectoren berekenen als het produkt van drie grootheden: de grootte van de twee vectoren en de cosinus van de ingesloten hoek:

dA = F ds cos

a.

Men kan dit ook beschouwen als het produkt van de twee grootheden ds en F cos

a,

dat zijn de verplaatsingen en de component van de kracht in de richting van die verplaatsing, zie fig. l.I. Uiteraard kan men het ook beschouwen als het produkt van de grootte van de kracht (F) en de component van de verplaatsing

,

fig. 1.1.

in de richting van de kracht (ds cos a). Ct

"

_"

"

Indien het aangrijpingspunt van een kracht over een eindige afstand ver-plaatst kan men de daarbij verrichte arbeid bepalen door de bijdragen van alle infinitesimale verplaatsingen bij elkaar op te tellen. Wiskundig betekent dat in-tegratie,

A =

f

F'

ds.

en de richting van de kracht kunnen in hd algemeen nog van de plaats langs die weg afhangen.

Indien de kracht constant is, in richting en grootte, gedurende de gehele beweging, is de bepaling van de verrichte arbeid eenvoudig. Men vindt dan

... " ' " : t . . . F constant : A = F •

f

d~ = F • s.

Hierin is

s

de totale weg, zie fig. 1.2. Blijkbaar hangt de totale verrichte arbeid, als de kracht constant is, alleen af van de onderlinge positie van eindpunt en

tig. 1. 2.

beginpunt, en niet van de precieze vorm van de gevolgde weg.

Men merke op dat een kracht geen arbeid verricht als de beweging lood-recht op de richting van de kracht geschiedt. In dat geval is de hoek a gelijk aan 1(/2, en dan is cos

a

= O.

Het begrip arbeid speelt een belangrijke rol in de toegepaste mechanica, maar eigenlijk is het ontleend aan de thermodynamica. Teneinde de betekenis van het begrip arbeid te verduidelijken is het zinvol enige aandacht te besteden aan de relatie met enige andere thermodynamische grootheden.

De thermodynamica kent een aantal hoofdwetten, waarvan de eerste de zo-genaamde wet van behoud van energie is. Indien er geen energieveranderingen zijn door elektromagnetische invloeden, nucleaire reacties, en dergelijke, stelt de eerste hoofdwet van de thermodynamica dat de som van de arbeid die door de uitwendige krachten werkend op een lichaam verricht wordt, en van de toe-gevoerde warmte, gelijk is aan de toename van de som van de zogenaamde in-wendige energie en de kinetische energie,

A + Q = fl(U + K).

Hierin is A de arbeid verricht door de uitwendige krachten, Q is de toegevoerde warmte, U is de inwendige energie, en K is de kinetische energie. De inwendige energie kan zijn de energie die als het ware is opgeborgen in een gespannen veer. Meer algemeen gesproken is het de energie die in het inwendige van een lichaam kan worden opgeslagen door de elementaire deeltjes uit hun natuurlijke even-wichtstoestand te brengen.

Hieronder zal voor een aantal gevallen het gebruik van de eerste hoofdwet van de thermodynamica geillustreerd worden.

Voorbeeld 1

Het eerste voorbeeld heeft betrekking op een star lichaam met massa m, dat zich bevindt in het veld van de zwaartekracht, zie fig. 1.3. Het lichaam be-vindt zich aanvankelijk in evenwicht onder invloed van de zwaartekracht en de spankracht in het koord waarmee het aan een onverplaatsbaar ander lichaam (bij voorbeeld een balk in het dak van een gebouw) is verbonden. Knipt men het koord nu door dan zal het lichaam gaan bewegen. De zwaartekracht verricht

daar-fig. 1.3.

bij arbeid. Als afgezien wordt van de warmteontwikkeling door wrijving (door zich voor te stellen dat het lichaam in vacuum valt) wordt de verrichte arbeid volledig omgezet in kinetische energie. Er geldt nu immers Q = 0 en voorts

I1U = 0 omdat van een star lichaam de inwendige energie niet kan veranderen. Hieruit volgt dus A = tlK. Als het lichaam over een hoogte h gevallen is heeft de zwaartekracht een arbeid verricht gelijk aan mgh. De kinetische energie is

tmv2, waarin v de grootte van de snelheid is, en deze was aanvankelijk nul. De toename van de kinetische energie is dus !mv2• Men vindt nu dus

mgh

=

!mv2

en hieruit volgt voor de snelheid

v

=

V'4Jh.

Men merke op dat men dit resultaat ook kan verkrijgen uit de wetten van New-ton. Uit de tweede wet van Newton volgt immers

F=mg=ma

en hieruit volgt dat de versnelling a, dat is de afgeleide van de snelheid v, gelijk is aan g,

Hieruit volgt door integratie, in aanmerking nemend dat voor t

=

0 de snelheid nul is,

v = gt.

Omdat v

=

dh/dt, waarin h afgelegde weg is, vindt men,

Ook hierin is de integratieconstante nul gesteld omdat voor t = 0 de afgelegde weg nog gelijk aan nul is. Eliminatie van t uit de laatste twee vergelijkingen geeft

Er kan hier nog worden opgemerkt dat men het vermogen van een kracht om arbeid te verrichten soms tot uitdrukking kan brengen door invoering van het begrip potentiële energie. In dit geval kan die potentie van de zwaartekracht voorgesteld worden door een potentiële energie

p= mgz

waarin z de verticale coördinaat van de massa m is. In plaats van te stellen dat de arbeid verricht door de zwaartekracht gelijk is aan de toename van de kine-tische energie (warmteontwikkeling en verandering van de inwendige energie waren uitgesloten), kan men nu ook stellen dat de som van potentiële en kine-tische energie constant is,

f1(P

+

K) = O.

In het voorbeeld was aanvankelijk zowel de potentiële energie als de kinetische energie nul (de oorspronkelijke positie van de massa was z = 0). Als het lichaam valt en gearriveerd is in het punt z = -h, dan is de potentiële energie -mgh, en de kinetische energie

!mv

2_{• Omdat de som nul moet blijven vindt men nu}

en dat is weer identiek aan wat hierboven is gevonden.

Het is interessant om na te gaan wat er gebeurt als het lichaam vervorm-baar is, en op een gegeven moment op de grond botst. Aangenomen wordt dat de grond volkomen star is. Er zullen twee gevallen worden onderscheiden: dat van een volkomen elastisch lichaam, en dat van een volkomen plastisch lichaam. elastisch lichaam

Het geval van een volkomen elastisch lichaam, bijvoorbeeld van een rubber bal, is geïllustreerd in fig. 1.4. Voor de botsing zal de inwendige energie nog niet of nauwelijks toenemen, zeker als er geen wrijving is. Op het moment dat de bal de grond raakt is alle verrichte arbeid in kinetische energie omgezet.

?r4///h fig. 1.4.

Vanaf dat moment neemt de snelheid, en dus de kinetische energie, af, en neemt de inwendige energie toe, net zolang totdat de snelheid nul is geworden. Dan is alle energie omgezet in inwendige energie. Vanaf dat moment gaat de bal terug-veren, waarbij de inwendige energie weer wordt omgezet in kinetische energie, nu met een omhoog gerichte snelheid. Bij het omhoog gaan van de bal neemt de kinetische energie af omdat er nu negatieve arbeid verricht wordt door de zwaar-tekracht. Als er geen enkele wrijving is, en het lichaam ideaal elastisch is zal de bal terugstuiten tot zijn oorspronkelijke hoogte.

In werkelijkheid is er altijd enige wrijving, en word t er ook altijd enige warmte geproduceerd bij de indrukking en terugvering van de bal. Vandaar dat in de werkelijkheid de bal nooit helemaal tot zijn oorspronkelijke hoogte terug-stuit.

plastisch lichaam

Het geval van een volkomen plastisch lichaam, bijvoorbeeld een bal van zachte klei, is geillustreerd in fig. 1.5. Het verschil met het vorige geval is dat nu geen omzetting in elastische energie plaats vindt, omdat de vervormingen van

fig. 1.5.

de klei onomkeerbaar zijn. Men kan die vervormingen vergelijken met die van een stel over elkaar schuivende platen die een zekere wrijving ten opzichte van elkaar bezitten. Bij de vervormingen wordt de kinetische energie in dit geval om-gezet in warmte. Deze warmte is ook een vorm van inwendige energie, in de vorm van bewegingsenergie van de moleculen. De temperatuursverhoging kan men berekenen door gelijkstelling van de verrichte arbeid (mgh) en de toename van de warmteinhoud van de bal klei, aannemende dat er geen afgifte van warmte aan de omgeving is. Als de warmtecapaciteit per eenheid van massa wordt aan-gegeven met C, vindt men

mgh = me t::.T

waarin t::.T de temperatuurstoename is. Voor klei is de grootte van C ongeveer 0,8 xI03m2/tKs2). Omdat g

=

9,8 m/s2 vindt men dus

Als de valhoogte redelijk groot is zou .dat meetbaar moeten zijn. Voorbeeld 2

In het tweede voorbeeld wordt wat uitgebreider ingegaan op de toename van de elastische energie van een lichaam als daarop arbeid wordt verricht. In dit voorbeeld wordt een elastische veer geleidelijk uitgerekt door een kracht die zo langzaam toeneemt dat de snelheden klein genoeg blijven om de kinetische energie te kunnen verwaarlozen. De veer wordt aangenomen volkomen elastisch en lineair te reageren. Het verband tussen de trekkracht F en de uitrekking u is dan lineair, zie fig. 1.7. Op elk moment is de uitrekking u van de veer gelijk aan Fik, waarin k de zogenaamde veerkonstante is (ook wel veerstijfheid genoemd). Omdat er geldt dat F

=

ku vindt men nu voor de totale arbeid verricht door de kracht F

fig. 1.6. FO

-IPo

F Fo ... _ .... -... .LW.l ...

I.I.-____

U U

o

fig. 1.7. ~ ~ ~ A

=

J

F du

=

J

ku du

=

t

ku;

=

!F _{oU o}

=

t

kO.

°

°

Hierin is U_{o de uiteindelijke indrukking van de veer (u o} = Folk). Deze arbeid, waarvan de grootte wordt aangegeven door het in fig. 1.7 gearceerde oppervlak,

is nu volledig omgezet in inwendige elastische energie, als het proces tenminste zo langzaam verloopt dat de kinetische energie verwaarloosbaar is, en als er geen wrijving is. De elastische energie van de veer is dus gelijk aan

u

=!

ku~.

Deze elastische energie, ook wel vormveranderingsenergie genoemd, kan men als het ware bewaren door de veer in gespannen toestand vast te zetten. De kracht kan dan worden weggenomen. De elastische energie van de veer kan dan later weer worden gebruikt om bijvoorbeeld een kogel weg te schieten. De elastische energie wordt dan omgezet in kinetische energie.

Na de uiteenzetting over de arbeid verricht door een kracht worden de beschouwingen van deze paragraaf voortgezet met de behandeling van de arbeid verricht door een koppel of een draaimoment.

Stel dat er op een staaf, die zonder wrijving kan draaien om een centrale as, zie fig. 1.8, een koppel werkt ter grootte van FI, dat gevormd wordt door twee tegengesteld gerichte krachten, elk ter grootte F, elk aangrijpend op een afstand

11

van het vaste punt. De staaf zal in dit geval om zijn as gaan draaien. Beschouwt men nu alleen wat er in een oneindig klein tijdsinterval dt gebeurt,

fig. 1.8.

en stelt men dat de verplaatsing van de aangrijpingspunten van de krachten in dat tijdsinterval gelijk is aan du, dan is de arbeid die in dat tijdsinterval ver-richt wordt

omdat beide krachten een arbeid Fdu verrichten. Voor de infinitesimale ver-plaatsing du geldt, zie fig. 1.8,

du

=

ti

de

waarin de de infinitesimale rotatie van de staaf is. Men kan dus schrijven dA

=

FI de.

Omdat FI juist de grootte T van het koppel is kan men nu dus stellen dat de arbeid verricht door een koppel ter grootte T gedurende een infinitesimale rota-tie de, in dezelfde zin als het koppel, gelijk is aan het produkt van T en de,

dA

=

T de.

De hier gegeven uitdrukking heeft betrekking op een koppel in een be-paald vlak en een rotatie in datzelfde vlak. In het meer algemene geval van een draaimoment

t

in de driedimensionale ruimte, en een infinitesimale rotatie

dll

(met componenten de_{x '} dey, dO_{z )} is de door dat moment verrichte arbeid gelijk aan

dA =

t·

dB.

Hierin zijn

T

en dB beide voorgesteld als vectoren. De componenten Ix, Iy en Iz stellen momenten om de coördinaatassen voor, met de positieve zin gedefi-nieerd door de kurketrekkerregel, zie hoofdstuk 3 van het collegedictaat blO. De componenten de_{x '} dey en de_z van de rotatie zijn op analoge wijze gedefini-eerd. In het geval getekend in fig. 1.9, waarin een lichaam in het x,y-vlak alleen draait om de z-as, heeft alleen de_z een van nul verschillende, positieve waarde.

z

J---,.",c..--- Y

fig. 1.9. x

In de volgende paragraaf zal een toepassing van het begrip arbeid in de toegepaste mechanica behandeld worden.

1.

2.

virtuele arbeid

Bij wijze van inleiding tot de volgende paragraaf, waarin het evenwicht van starre lichamen ter sprake komt, wordt in deze paragraaf het evenwicht van een puntdeeltje in de ruimte besproken. Zoals bekend zijn de evenwichtsvoor-waarden voor een dergelijk deeltje

x fig. 1.10.

ofwel

waarin de sommatie moet geschieden over alle op het deeltje werkende krach-ten.

Stel dat men het deeltje nu een denkbeeldige infinitesimaal kleine verplaat-sing óü laat ondergaan. Men noemt dat een virtuele verplaatsing. De arbeid ver-richt door de op het deeltje werkende krachten bij de virtuele verplaatsing noemt men de virtuele arbeid. Voor deze virtuele arbeid vindt men

~

....

uA = L(F • ou).

Omdat

0

u

een constante is kan men ook schrijven

óA = (LF) • óü.

De term tussen haken is nul omdat het deeltje in evenwicht is. Hieruit volgt

oA

=

O.

Er blijkt dus:

Als een puntdeeltje in evenwicht is, dan is de virtuele arbeid ve"icht door de krachten werkend op dat puntdeeltje bij elke virtuele verplaatsing ge-lijk aan nul.

Het omgekeerde is ook waar. Als bij een willekeurige virtuele verplaatsing de virtuele arbeid nul is, dan is het deeltje in evenwicht. Om dat te bewijzen kan men uitgaan van een deeltje waarvan nog niet bekend is of het in evenwicht is. De virtuele arbeid bij een virtuele verplaatsing

ou

is

oA

= L(F •

óu)

= (LF) •

ou

ofwel

Gesteld is dat dit nul is voor een willekeurige virtuele verplaatsing. Die wil-lekeurige virtuele verplaatsing kan bijvoorbeeld zodanig zijn dat óU_y

=

0 en

óU_z = O. Dan vindt men

ou_x

=

oU_z

=

0 of ou_x

=

_{oU y}

=

0 vindt men ook 'EFy = 0

'EFz = O.

Het deeltje is dus in evenwicht, en er blijkt te gelden:

Als de virtuele arbeid verricht door de krachten werkend op een puntdeel-tje bij elke willekeurige virtuele verplaatsing nul is, dan is dat puntdeelpuntdeel-tje in evenwicht.

Tezamen met de hierboven reeds gegeven stelling voor het omgekeerde noemt men dit het principe van de virtuele arbeid.

Opgemerkt wordt nog dat in de bewijsvoering de beperking tot oneindig kleine verplaatsingen niet nodig is. Wat dat betreft zou de verplaatsing willekeu-rig groot mogen zijn, als de krachten op het deeltje maar constant zijn. De be-perking tot oneindig kleine verplaatsingen is echter wel toelaatbaar, en om rede-nen die later duidelijk zullen worden, is het gebruikelijk het oneindig klein zijn van de verplaatsingen te veronderstellen.

In verband met latere toepassingen is het zinvol ook enige aandacht te besteden aan een deeltje dat niet vrij door de ruimte kan bewegen maar dat in zijn beweging beperkt is, bijvoorbeeld in die zin dat het alleen over een plat vlak kan bewegen, zie fig. 1.11. In dit geval heeft het alleen maar zin om

virtu-fig. 1.11.

ele verplaatsingen te beschouwen in het vlak waarin het deeltje kan bewegen. Men noemt dat kinematisch toelaatbare virtuele verplaatsingen. Als op het deel-tje getekend in fig. 1. 11 alleen de zwaartekracht en een onbekende horizontale kracht F werken (en mogelijk nog krachten loodrecht op het vlak van beweging, benodigd om de beweging in dat vlak te houden), dan is de virtuele arbeid bij een virtuele verplaatsing du in het vlak van beweging (de eventuele krachten loodrecht op het vlak leveren geen bijdrage):

oA = F cos a ou - mg sin a ou.

Het nul zijn hiervan is equivalent aan de venwichtsvoorwaarde

F cos

a

-

mg sin

a

= O. Concluderend kan gesteld worden:

Een puntdeeltje is dan en alleen dan in evenwicht als bij elke willekeurige kinematisch toelaatbare verplaatsing de virtuele arbeid verricht door de krachten werkend op dat deeltje gelijk is aan nul.

Dit betekent dat de evenwichtsvoorwaarden en het nul zijn van de virtuele ar-beid volkomen gelijkwaardig zijn.

1.3. evenwicht van starre lichamen

In deze paragraaf zal worden aangetoond dat ook voor starre lichamen het nul zijn van de virtuele arbeid equivalent is met de evenwichtsvoorwaarden.

Beschouwd wordt een star lichaam, dat zich in evenwicht bevindt onder een stelsel van uitwendige krachten, zie fig. 1.12.

fig. 1.12.

Het lichaam kan zich in principe vrij door de ruimte bewegen, en bevindt zich op een zeker tijdstip in rust in de positie geschetst in fig. 1.12. Een kinematisch toelaatbare virtuele verplaatsing is nu bijvoorbeeld een gelijkmatige verplaatsing van het gehele lichaaam, aan te geven met

oû.

De arbeid verricht bij die virtuele verplaatsing noemt men de virtuele arbeid. Voor deze virtuele arbeid vindt men in dit geval

oA

= ~(F

.

ou)

Omdat de virtuele verplaatsing gelijkmatig is, ondergaan de aangrijpingspunten van alle krachten dezelfde verplaatsing oû. Daarom kan men schrijven

De term tussen haken is nul omdat het lichaam in evenwicht is. Hieruit volgt

oA

=

O.

De virtuele arbeid verricht door de krachten werkend op een star lichaam dat in evenwicht verkeert is dus nul.

Een andere kinematisch toelaatbare virtuele verplaatsing is een gelijkmatige rotatie. Dat de virtuele arbeid daarbij ook nul is, is iets moeilijker te bewijzen. Het bewijS gaat als volgt.

Stel een star lichaam in evenwicht is onder invloed van een aantal krach-ten. Eventuele geconcentreerde draaimomenten kunnen daarbij vervangen ge-dacht worden door statisch equivalente koppels van twee krachten. Stel voorts dat het lichaam een virtuele rotatie

oë

ondergaat om een zekere as, zie fig. 1.13, en stel dat men een punt van die as als oorsprong van het assenstelsel heeft ge-kozen. De verplaatsing ou van een punt met plaatsvector

r (de componenten van

r

zijn x, y en z) is het vectorprodukt van de rotatie

08

en de plaatsvector

r,

Ou =

08

x

r.

x fig. 1. 13.

,

-+ 00

<J

I I

,

I / - - - -_ _ _ ?I

In componenten uitgeschreven is dit (jU

x = z88y - y(j8z (ju

y = x(j8z - z(j8x (ju z = _y88x - _{x88y .}

De juistheid van deze formules kan men het eenvoudigst verifiëren door een bij-zonder geval na te gaan, bijvoorbeeld een rotatie om de z-as. Dan is

(j8x = _(j8y = 0, en men vindt dan _{(ju x} = - _{y(j8z' (ju y} = _{x(j8z' Uz} = O. Dat klopt met een beschouwing van de beweging in een plat vlak.

De totale virtuele arbeid, verricht bij een virtuele rotatie (j8, is nu

In het algemeen geldt voor het inwendig produkt van een vector a

_..

_..

met het vec-torprodukt van twee andere vectoren b en c de volgende stelling

a .

(b

x ê) =

(a

x

b) .

ë

zoals men eenvoudig kan nagaan door beide uitdrukkingen in componenten uit te schrijven. Omdat voorts

(j8

x

r

= -

r x

(j8

kan men de uitdrukking voor de virtuele arbeid ook schrijven als

(jA = -

1:«F

x

n .

(j8).

De rotatie (j8 is voor alle krachten gelijk, en kan dus buiten de sommatie ge-bracht worden,

(jA = -(L(F x T)) •

(j8.

De term tussen haken is gelijk aan nul vanwege het momentenevenwicht, en dus (jA = O.

Hiermee is bewezen dat ook in het geval van een virtuele rotatie van een star lichaam dat in evenwicht verkeert de virtuele árbeid nul is.

Omdat elke beweging van een star lichaam, mits infinitesimaal klein, be-schouwd kan worden als een gelijkmatige translatie plus een gelijkmatige rotatie, kan dus nu gesteld worden dat bij elke mogelijke virtuele beweging van een star

lichaam dat in evenwicht verkeert, de totale virtuele arbeid van alle er op wer-kende krachten juist gelijk is aan nul. De evenwichtsvoorwaarden zijn equivalent met het nul zijn van de virtuele arbeid.

Er is dus nu bewezen dat:

een star lichaam is dan en alleen dan in evenwicht als bij alle kinematisch toelaatbare virtuele verplaatsingen de virtuele arbeid nul is.

Dit is het principe van de virtuele arbeid voor een star lichaam. Toepassingen

Het principe van de virtuele arbeid kan worden gebruikt om bij een star lichaam een onbekende kracht die het lichaam in evenwicht houdt te bepa-len. Bij wijze van voorbeeld kan men het geval getekend in fig. 1.14 beschouwen.

y

10 kN

10 kN

I m fig. 1.14.

Stel dat het lichaam in evenwicht gehouden moet worden door een kracht en een moment in punt A. Geeft men het lichaam een virtuele verplaatsing ou in x-rich-ting, dan vindt men uit de eis dat de virtuele arbeid daarbij nul moet zijn

- 10 kN x óu + Fxou = O.

Hieruit volgt Fx

=

10 kNo Met behulp van een virtuele translatie in y-richting

vindt men Fy = 10 kN, en met behulp van een virtuele rotatie om punt A vindt men T_z = - 20 kNm.

Het tweede voorbeeld heeft betrekking op een hefboom die in rust is on-der invloed van een bekende en een onbekende kracht, zie fig. 1.15. De groot-te van de onbekende kracht F₂ kan men bepalen door de hefboom een virtuele rotatie óB om het vaste punt te laten ondergaan. Het principe van de virtuele

?

fig. 1.15. arbeid stelt dan

Hieruit volgt F₂ = 10 kNo

In deze twee voorbeelden had men de antwoorden net zo eenvoudig uit een normale evenwichtsbeschouwing kunnen verkrijgen. De methode der virtu-ele arbeid heeft in dergelijke gevallen, van een enkel star lichaam, geen voorde-len. Dat wordt iets anders in het geval van een lichaam opgebouwd uit verschil-lende starre onderdelen. Een voorbeeld is getekend in fig. 1.16. De getekende

fig. 1.16.

ligger is kinematisch onbepaald, omdat er nog één vrijheidsgraad is. De kracht

F_{3 ,} die de constructie in evenwicht moet houden, kan men bepalen door een virtuele verplaatsing

ow

aan het aangrijpingspunt F3 te geven. De last van 20 kN gaat dan over een afstand

ow

omhoog, en die van 10 kN gaat o-ver een afstand ~

ow

omlaag, zie fig. 1.16. Met behulp van het principe der virtuele arbeid vindt men nu:

10 kN x ~ow

-

20 kN x

ow

+ F3 X

ow

=

o.

Hieruit volgt

F3 = 15 kNo

Uiteraard kan men dit resultaat ook vinden uit een beschouwing van het even-wicht van de drie onderdelen van de constructie, maar dat is, omdat daarin de onbekende oplegreacties in de drie opleggingen een rol spelen, ingewikkelder.

In het begin van deze paragraaf is het principe der virtuele arbeid bewe-zen voor enkel star lichaam. De toepasbaarheid van dit principe voor samen -gestelde constructies, zoals die van fig. 1.16 berust op het feit dat het gebruik-te virtuele verplaatsingen voor elk der onderdelen bestaan uit een gelijkmatige translatie en een gelijkmatige rotatie. Men kan het principe van de virtuele ar-beid op elk der onderdelen toepassen. Omdat elk onderdeel in evenwicht is, is de virtuele arbeid verricht door alle krachten op elk der onderdelen nul, en dus is de totale virtuele arbeid nul. De krachten in de scharnieren zouden wel een rol spelen als elk onderdeel geheel apart beschouwd zou worden. Door al-leen kinematisch toelaatbare virtuele verplaatsingen te beschouwen, waarbij de onderdelen hun onderlinge samenhang behouden, ontbreken de interactie-krachten in de scharnierverbindingen in de virtuele arbeidsvergelijking.

1.4. mechanismen

In de vorige paragraaf is gebleken dat het principe der virtuele arbeid met succes gebruikt kan worden om bij een star lichaam waarvan bekend is dat het in evenwicht verkeert, een nog onbekende kracht te bepalen. Het succes van de methode is erop gebaseerd dat slechts één onbekende kracht bij de virtuele ver-plaatsing arbeid verricht, en dat het starre lichaam, of het samengestelde stelsel

van starre lichamen, de virtuele verplaatsing zonder inwendige weerstand kan on-dergaan. In deze paragraaf wordt gedemonstreerd hoe men deze methode kan gebruiken om de krachtswerking in statisch bepaalde constructies te bepalen. Daartoe wordt eerst een eenvoudig voorbeeld beschouwd, en daarna zal worden ingegaan op de algemene aspecten van de methode.

Het voorbeeld betreft een samengestelde ligger, zie fig. 1.17, met vier op-leggingen en twee inwendige scharnieren. Stel dat wordt gevraagd de oplegreac-tie in D (Dz) te bepalen. Dat kan men doen door de roloplegging in punt D

l

t

_{l . l .}

--

--~i·

2-

0

--

k

-

N--~~~

j

---- :6---' x

c -

D _

I

B _ fig. 1.17.

weg te denken, en in dat punt een nog onbekende virtuele kracht ter grootte D z te laten aangrijpen, zie fig. 1.18.

1

10 koN

1

20 kN

A-A-r--~~--~----~B-:a:~---t>---~C~:EL"---~l

D

?

fig. 1.18.

Daarmee is juist de situatie van fig. 1.16 ontstaan, en er volgt nu dus direct uit het principe der virtuele arbeid, met een verticale verplaatsing van punt D dat

Dz = 15 kNo

Hiermee is de gevraagde oplegreactie gevonden.

principe van de methode der virtu

e

le verplaatsingen

In het voorbeeld hierboven was sprake van de bepaling van één enkele op-legreactie van een statisch bepaalde constructie belast door een aantal bekende krachten. Het principe van de methode der virtuele verplaatsingen is de construc-tie kinematisch onbepaald te maken, door invoering van één vrijheidgraad, en te-gelijkertijd de gezochte grootheid als onbekende kracht in te voeren. De vrij-heidsgraad moet zodanig zijn dat de ingevoerde kracht arbeid verricht bij een verplaatsing volgens die vrijheidsgraad. Een kinematisch onbepaalde constructie als hierboven omschreven noemt men wel een mechanisme.

Een mechanisme is in het algemeen een samenstel van onderdelen, met een zeke-re samenhang, dat nog tenminste één vrijheidsgraad heeft. Bij vervormingen vol-gens de vrijheidsgraden kunnen de onderdelen als star worden beschouwd. In .fig. 1.19 is een aantal mechanismen met één vrijheidsgraad getekend. Dat ze één

vrijheidsgraad hebben, betekent dat de positie van elk van deze constructies vol-ledig bepaald wordt door één meetkundige grootheid, bijvoorbeeld de horizonta-le verplaatsing van een rol, of de verticahorizonta-le verplaatsing van een enkel punt. In fig. 1.20 is een tweetal mechanismen met elk twee vrijheidsgraden getekend.

o fig. 1.19.

c

B f) o o B D E E fig. 1.20.

In het eerste geval kunnen de twee vrijheidsgraden de rotaties van de verticale staven bij de opleggingen zijn (daarmee liggen de punten B en D immers vast en daarmee ook het punt C), of bij wijze van alternatief de horizontale verplaatsin-gen van de punten B en D. In het tweede geval is een voor de hand ligverplaatsin-gende vrij-heidsgraad de verticale verplaatsing van punt B. Daarmee ligt de positie van alle punten links van punt D vast, maar het deel rechts van D bevat nog een extra vrijheidsgraad. Ook dit mechanisme heeft dus twee vrijheidsgraden.

In de hierna volgende paragrafen van dit hoofdstuk zal een aantal toepas-singen van het principe van de virtuele arbeid voor de bepaling van diverse groot-heden bij statisch bepaalde constructies behandeld worden.

1.5. bepaling van oplegreacties

In deze paragraaf wordt een drietal voorbeelden van toepassing van het principe van de virtuele arbeid voor de bepaling van oplegreacties gegeven. Voorbeeld 1.

Het eerste voorbeeld betreft een samengestelde ligger op drie steunpunten, en met één scharnier, zie fig. l.2l. De constructie is, omdat er vier oplegreac-ties zijn en vier evenwichtsvoorwaarden, statisch bepaald. Stel dat alleen de op-legrectie in B gevraagd wordt. Daartoe wordt van de constructie een mechanisme gemaakt door de rol bij B weg te denken, en zijn werking te vervangen door een nog onbekende kracht Bz. Met een virtuele verplaatsing van punt B ter grootte

ow

vindt men nu, uit de eis dat de virtuele arbeid nul is,

fig. 1.21.

Hieruit volgt

Bz = - 20 kNo

Het principe van de virtuele arbeid is, zoals gezien, algemeen geldig voor construc-ties opgebouwd uit starre onderdelen, en kan dus gebruikt worden bij elke wijze van belasten. Zo kan men ook oplegreacties ten gevolge van een verdeelde belas-ting bepalen. In dergelijke gevallen moet de virtuele arbeid verricht door de ver-deelde belasting bepaald worden door integratie. In het geval getekend in fig. 1.22 is de bijdrage van de belasting

f

dx op een afstand x van het linkersteunpunt aan de virtuele arbeid gelijk aan

f

dxX

y

X2ow.

Integratie hiervan over x, van x

=

0 tot x

=

I geeft flow, en dit moet tesamen met de bijdrage van de kracht Bz (dat is Bzow) gelijk zijn aan nul. Hieruit volgt

Bz

=

-fT.

.

Opgemerkt moge worden dat het mogelijk is de virtuele arbeid verricht door een verdeelde belasting op een starre constructie, of op een star onderdeel van een samengestelde constructie, te bepalen door de belasting op dat starre deel te vervangen door zijn resultante. Voor het evenwicht van elk star deel van een constructie mag men immers elk stelsel van krachten vervangen door een statisch equivalent stelsel van krachten. Essentieel hierbij is wel dat de belastin-gen op verschillende starre delen apart beschouwd worden. In het geval getekend in figuur 1.23 mag men de verdeelde belastingen op de twee starre delen van de

f

: l .

!

o

!

....IS....

constructie elk vervangen door hun resultante (men vindt dan Bz = - ~j7), maar men mag niet de volledige belasting vervangen door één gezamenlijke resultante (dan zou men vinden Bz = - 4j7, en dat is fout). Voor het evenwicht van de constructie als geheel mag men wel alle belastingen samenstellen tot één resul-tante, maar het gaat er in dit geval niet alleen om dat de constructie als geheel in evenwicht is, maar ook dat elk der onderdelen in evenwicht is.

Voorbeeld 2.

Als tweede voorbeeld wordt het in fig. 1.24 getekende driescharnierspant beschouwd. Stel dat bij de gegeven belasting gevraagd wordt de verticale compo-nent van de oplegreactie in A (Az) te bepalen. Men maakt daartoe van de sta-tisch bepaalde constructie een mechanisme door in punt A een verticale vrijheids-graad toe te staan, met de kracht Az als onbekende. Vervolgens geeft men aan

20 k~ --~)--~---<~~---QE Z 2Z B fig. 1.24.

L

het mechanisme in punt A een virtuele verplaatsing

ow,

en bepaalt de bijbeho-rende verplaatsingen van de overige punten van het mechanisme, zie fig. 1.25.

fig. 1.25. Er ... :.::. B

.

.

' : ....

D

f

·

..

cl

... ":::::

..

A

Deze verplaatsingen kan men het eenvoudigst bepalen met behulp van een Williot-diagram. Men vindt dan het aangrijpingspunt van de belasting (punt C) over een afstand

i

ow

naar links verplaatst. Uit het nul stellen van de totale virtuele ar-beid vindt men dan

Az=15kN.

Ax

=

- 10 kN

Bx = - 10 kN Bz=-ISkN.

Uiteraard kan men deze oplegreacties zowel uit een evenwichtsbeschouwing bepa-len, als met behulp van een virtuele verplaatsing.

Voorbeeld 3.

In het derde en laatste voorbeeld, zie fig. 1.26, wordt nog een nieuw ele-ment aan de mogelijkheden toegevoegd, namelijk de bepaling van een inklem-mingsmoment.

fig. 1.26.

it:

1~

_ _

..{~-=-F

_ .. x

:

J

r

Voor de bepaling van dat inklemmingsmoment moet men van de statisch bepaal-de constructie een mechanisme maken door invoering van bepaal-de met dat moment overeenkomende vrijheidsgraad. Dat is een rotatie van het oplegpunt. De inklem-ming wordt dan vervangen door een scharnier, met een uitwendig moment als nog onbekende grootheid daarop aangrijpend. Geeft men aan het mechanisme nu een virtuele rotatie

00,

dan verricht het moment

T

een virtuele arbeid

TOO,

en de puntlast verricht een virtuele arbeid groot - FZoO, omdat het aangrijpings-punt van die kracht over een bedrag ZoO omhoog gaat. Aangezien de totale vir-tuele arbeid nul moet zijn vindt men nu

T=Fl.

Het spreekt vanzelf dat men dit resultaat ook uit een evenwichtsbeschouwing kan verkrijgen.

Bij de toepassing van het principe van de virtuele arbeid is tot nu toe steeds gesteld dat de onderdelen van het mechanisme als star kunnen worden beschouwd. In werkelijkheid is de constructie vervormbaar. De grootheden die onderzocht worden zijn krachten en momenten in de vervormde constructie. Voor de toepassing van het principe van de virtuele arbeid wordt de constructie in de vervormde stand als volkomen star (onvervormbaar) beschouwd, en wordt er een mechanisme van gemaakt. Omdat in het algemeen wordt verondersteld dat de in werkelijkheid optredende verplaatsingen klein zijn ten opzichte van de afmetingen van de constructie mag het beginsel van de virtuele arbeid eenvoudig-heidshalve ook worden toegepast op de onvervormde constructie. De verplaat-singen komen, als ze maar klein zijn, niet voor in de evenwichtsvoorwaarden, en dus ook niet in het principe van de virtuele arbeid.

1.6. bepaling van normaalkrachten

In de vorige paragraaf is het principe van de virtuele arbeid gebruikt voor de bepaling van oplegreacties bij statisch bepaalde constructies. Dit principe kan ook gebruikt worden voor de bepaling van inwendige krachten en momenten in een constructie. In deze paragraaf wordt daarvan een aantal voorbeelden gegeven, en wel voor de bepaling van de normaalkrachten in een onderdeel van een sta-tisch bepaalde vlakke constructie.

De algemene procedure is ook in dit geval dat men van de statisch bepaal-de constructie een mechanisme maakt door invoering van bepaal-de vrijheidsgraad die met de gevraagde grootheid, in dit geval een normaalkracht, overeenkomt, met gelijktijdige invoering van een krachtenpaar van nog onbekende grootte, dat de werking van de normaalkracht representeert. De gang van zaken kan het best wor-den toegelicht aan de hand van een aantal voorbeelwor-den.

Voorbeeld 1.

Het eerste voorbeeld heeft betrekking op een geschoord portaal, zie fig. l.27. Men kan de normaalkracht in de trekstang CG bepalen door deze weg te

F D F E 3 m 2 m 2 m 2 m 2 m C G 3 m A B F D,r A ~---;;----..:r. .1 B

...

..

.

..

... J ...

N N E fig. 1.27.

denken, en te vervangen door zijn werking op de rest van de constructie: dat zijn twee gelijke, maar tegengesteld gerichte, krachten C en G. De statisch be-paalde constructie wordt daardoor een mechanisme. Een virtuele vervorming van dit mechanisme kan het eenvoudigst worden gerealiseerd door de roloplegging bij B over een afstand

ou

te verplaatsen, bijvoorbeeld naar rechts. Uit het Williot-diagram volgen dan de verplaatsingen van de overige punten, zie fig. l.27. Zo blijkt het punt E bijvoorbeeld over een afstand

i8u

naar rechts te verplaatsen, en over een afstand

!8u

naar beneden. De aangrijpingspunten van de krachten ter grootte F zakken dan over een afstand i8u, en de daarbij verrichte virtuele arbeid is dus

!Fou.

Punt C gaat over een afstand

iou

naar rechts, en punt G o-ver een afstand ~8u. De daarbij verrichte virtuele arbeid is

-tNou.

Omdat er verder geen arbeid verricht wordt bij deze virtuele vervorming vindt men nu uit

de voorwaarde dat de totale virtuele arbeid nul is

N=jF.

Hiermee is de gevraagde normaalkracht gevonden. De lezer ga zelf na dat met deze waarde van de normaalkracht in de trekstang, en met de waarden van de oplegreacties (die eenvoudig te bepalen zijn) precies voldaan is aan de voorwaar-de dat in punt E het buigend moment nul is.

Voorbeeld 2.

Het tweede voorbeeld betreft een eenvoudig vakwerk, zie fig. 1.28. Ge-vraagd wordt bij de aangegeven belasting de normaalkracht in staaf 4 te bepalen. Daartoe denkt men zich deze staaf vervangen door twee gelijke, maar tegenge-steld gerichte, krachten ter grootte N 4 in de punten C en E.

z

z

z

Z : : ~

...

_'r -: :

.

c:

:

4 ~E

VS!ZSIJ

I

F A,B

E.::::·....

···.·.>c

" ,. ,,-... " D fig. 1.28.

Vervolgens laat men het ontstane mechanisme een virtuele vervorming onder-gaan, zie fig. 1.28. Als het punt D bij die virtuele verplaatsing over een afstand liw zakt, dan verplaatsen de punten C en E in horizontale richting elk over een afstand !liw. Uit de voorwaarde dat de totale virtuele arbeid nul is volgt nu dat

Fliw

+

N₄liw = 0 en dus

Hiermee is de gevraagde staafkracht gevonden. De lezer bepale zelf met de me-thode van de virtuele arbeid de normaalknlcht in staaf 2 (N₂ = !F).

1.

7.

bepaling van buigende momenten

Het principe van de virtuele arbeid kan ook gebruikt worden om het bui-gend moment in een zekere doorsnede van een statisch bepaalde ligger te

bepa-len. Ook nu is de procedure dat men de met het buigend moment corresponde-rende vrijheidsgraad toelaat, onder gelijktijdige invoering van twee nog onbekende momenten die de werking van het buigend moment representeren. Vervolgens moet men dan het onstane mechanisme een virtuele vervorming laten ondergaan, en de daarbij verrichte virtuele arbeid nul stellen. De aan te brengen vrijheids-graad is een rotatiemogelijkheid, zoals die kan optreden bij een scharnier. Een voorbeeld moge de gang van zaken toelichten.

Voorbeeld.

Bij wijze van voorbeeld wordt beschouwd het geval van de in fig. 1.29 ge-tekende samengestelde ligger, die belast wordt door twee puntlasten. Gevraagd wordt de grootte van het buigend moment te bepalen in het midden van het linkerveld.

fig. 1.29.

Men maakt nu van de constructie een mechanisme door in het midden van het linkerveld een scharnier aan te brengen, en tegelijkertijd op de delen links en rechts van dat scharnier de werking van een positief buigend moment aan te brengen, zie fig. 1.30. Vervolgens wordt aan het mechanisme een virtuele vervor-ming gegeven, bijvoorbeeld door het punt E over een afstand 8w naar beneden

M

A..JL

~

+

c

t

fig. 1.30.

te verplaatsen, zie fig. 1.31. De beide momenten verrichten daarbij negatieve arbeid, elk gelijk aan M(8wd-Z), in totaal is dat -4M8w/Z. De kracht Fl ver-richt een arbeid gelijk aan -Fl(~8w), en de kracht F₂ verricht geen arbeid. Uit

fig. 1.31.

Hiermee is het gevraagde buigend moment gevonden. Blijkbaar heeft de kracht F₂ geen invloed op het buigend moment in E. De lezer ga zelf na dat men de hierboven gevonden waarde ook vindt met behulp van de in het eerste jaar be-handelde methode met behulp van evenwichtsbeschouwingen.

Het is wellicht zinvol nog even in te gaan op de zin van de aangebrachte momenten, en op het teken van de arbeid die ze verrichten. Men bedenke daar-toe dat een positief buigend moment zodanig gedefinieerd is (zie collegedictaat blO, paragraaf 5.2) dat er in het in fig. 1.32 getekende geval sprake is van een positief buigend moment. De volledige definitie hield in dat positieve bijdragen tot het buigend moment geleverd worden door positieve normaalkrachten a xxdA

op een afstand z van de neutrale lijn (M

=

faxxz dA). Daarbij dient men dan nog te bedenken dat de tekenafspraak voor spanningen is dat op een vlakje met de uitwendige normaalvector in positieve coördinaatrichting een kracht je werkt in positieve coördinaatrichting (of op een vlakje met de uitwendige normaalvec-tor in negatieve coördinaatrichting een kracht je werkt in negatieve coördinaat-richting) in het geval van een positieve spanning. Voor normaalspanningen bete-kent dit dat trek positief is. Beschouwt men nu een snede in de ligger getekend in fig. 1.32, dan betekent de tekenafspraak dat een positief buigend moment werkt op de delen links en rechts van de snede zoals aangegeven in fig. 1.33. In fig. 1.30 is het moment ook op deze manier ingevoerd.

fig. 1.33. z

Voor een nadere beschouwing van het teken van de arbeid verricht in het geval getekend in fig. 1.31 is het nuttig na te gaan wat er gebeurt met een van de delen, bijvoorbeeld het deel rechts van E, zie fig. 1.34. In deze figuur is het

moment vervangen door een statisch equivalent koppel van twee krachten. Bij vervorming zoals die in fig. 1.31 geschetst is verrichten beide krachten negatieve arbeid. Vandaar dat de virtuele arbeid verricht door de momenten in het hierbo-ven behandelde voorbeeld negatief is.

1.8.

bepaling van dwarskrachten

Tot besluit van dit hoofdstuk zal gedemonstreerd worden dat men het principe van de virtuele arbeid ook goed kan gebruiken voor de bepaling van de grootte van de dwarskracht in een zekere doorsnede van een ligger. De hierbij in te voeren vrijheidsgraad is dat de delen links en rechts van de beschouwde doorsnede ten opzichte van elkaar verschuiven, loodrecht op de as van de ligger, zonder verlenging, en zonder rotatie. Dat is nogal moeilijk te realiseren, maar dat is niet zo erg omdat het toch maar om denkbeeldige (virtuele) vervormingen gaat. Een mogelijke wijze van uitvoering is geschetst in fig. 1.35. Ook in dit

ge-fig. 1.35.

val kan een voorbeeld de toepassing van de methode het beste duidelijk maken. Voorbeeld.

Stel dat gevraagd wordt de dwarskracht te bepalen in het midden van het linkerveld van de in fig. 1.36 getekende constructie, bij de aangegeven belasting (dit is dezelfde constructie, en dezelfde belasting, als in fig. 1.29). Men brengt

lFl

!

F2

•

x

Cl x

nu in het betreffende punt een fictieve schuifverbinding aan, onder gelijktijdige invoering van een krachtenpaar dat de werking van een positieve dwarskracht re-presenteert ter grootte van

Q.

Op het deel links van E is dat een kracht naar be-neden (in positieve z-richting op een vlak met de normaal in positieve x-rich-ting). Vervolgens moet een virtuele verplaatsing aangebracht worden. Dat kan geschieden door in punt E de twee delen ten opzichte van elkaar te laten schui-ven, loodrecht op de staafas, over een afstand öw,. zie fig. 1.37. Deze twee de-len blijven daarbij evenwijdig. Dat betekent dat de zakking van de ligger juist

Q

Q

fig. 1.37.

links van E gelijk is a~n tOk! , en dat het punt juist rechts van E over een afstand

tow

omhoog verplaatst. De twee krachten Q verrichten nu tezamen een virtuele arbeid gelijk aan Qow, en de kracht FI verricht een virtuele arbeid gelijk aan FI (!öw), omdat het aangrijpingspunt van die kracht zakt over een afstand

k

ów.

De kracht Ft verricht bij deze virtuele vervorming geen arbeid. Omdat de totale virtuele arbeid nul moet zijn vindt men nu

Uiteraard had men dit resultaat ook kunnen verkrijgen uit een

2. INVLOEDSLIJNEN

Tot nu toe is er bij de behandeling van de mechanica van constructies steeds van uitgegaan dat de grootte en de plaats van de belasting waarbij men oplegreacties, normaalkrachten, buigende momenten en dwarskrachten moet be-palen, gegeven zijn. In veel gevallen is dat ook zo, met name bij gebouwen, waar de belangrijkste belasting bestaat uit een gewichtsbelasting op de vloeren, die overgedragen wordt van de vloeren naar balken, naar moerbalken, naar kolommen en tenslotte via de fundering naar de ondergrond. Het aangrijpingspunt van de be-lasting op b.V. een balk of een kolom is dan vastgelegd door het ontwerp van de constructie. In veel andere gevallen is het aangrijpingspunt van de belasting niet vast, maar variabel. Dat is met name het geval bij bruggen, waarbij een belangrijk deel van de belasting (de verkeersbelasting) zich op verschillende plaatsen kan be-vinden. Uiteraard is het voor de berekening van de spanningen en vervormingen, die binnen zekere grenzen moeten blijven, noodzakelijk de ongunstigste situatie te bekijken. Een belangrijk hulpmiddel daarbij zijn de zogenaamde invloedslijnen. Een invloedslijn is een grafische weergave van de grootte van een bepaalde groot-heid (b.v. een oplegreactie, een normaalkracht, een buigend moment, of een dwarskracht) in een vast punt, bij variabele positie van een enkele puntlast, gere-kend ten opzichte van de grootte van die puntlast. In dit hoofdstuk wordt uit-eengezet hoe men dergelijke invloedslijnen kan bepalen, en wat men er mee kan doen.

Er zijn twee methoden om invloedslijnen te bepalen: met behulp van even-wichtsbeschouwingen of met behulp van virtuele arbeid. In de paragrafen 2.1 en 2.2 wordt de eerstgenoemde methode behandeld, en in paragraaf 2.3 de laatst-genoemde. Daarna worden nog enkele bijzondere voorbeelden en toepassingen besproken.

2.1.

liggers

In deze paragraaf zal worden behandeld hoe men met behulp van even-wichtsbeschouwingen invloedslijnen voor grootheden in liggers kan bepalen.

Het principe van een invloedslijn kan het best worden besproken aan de hand van een eenvoudig voorbeeld. Daartoe wordt de ligger van fig. 2.1 be-schouwd. Als deze ligger belast wordt door een puntlast ter grootte F op een

af-xo

I

_Z-xo

A~~

:

____

~_F

________

~.

i

_B

________ ••

x

fig. 2.1.

t

stand Xo van het linkersteunpunt is de verticale component Az van de oplegra-actie in het punt A gelijk aan

A = -F 1- Xo

Beschouwt men nu de plaats van de puntlast _{(x o)} als variabele, dan kan men Az/F grafisch weergegeven als in figuur 2.2.

-}

fig. 2.2. A z lP

Men noemt dit de invloedslijn voor de oplegreactie Az. De invloedslijn voor de oplegreactie Ez is weergegeven in fig. 2.3.

fig. 2.3.

B

z

I

F

l

-}

Xo

Met behulp van deze invloedslijnen kan men bijvoorbeeld eenvoudig nagaan wat de oplegreacties zijn indien de ligger belast wordt door een zeker laststelsel. In het geval getekend in fig. 2.4 vindt men voor de oplegreacties:

fig. 2.4.

Az = 20 kN x (-i) ~ 40 kN x (-i)

+

40 kN x (-i) = - 50 kN Ez

=

20 kN x (-t) + 40 kN x (-!) + 40 kN x (- %)

=

- 50 kNo Het nut van een invloedslijn is dat men ermee voor verschillende belastingen op betrekkelijk eenvoudige wijze de waarde van de betreffende grootheid (in dit ge-val oplegreacties) kan bepalen.

Ook voor andere grootheden kan men invloedslijnen tekenen, bijvoorbeeld voor het buigend moment in het midden van een ligger. In dit geval, zie fig. 2.5,

moet men bedenken dat het verschil uitmaakt voor de evenwichtsbeschouwing of de last links of rechts van de beschouwde doorsnede staat. Indien de last links van punt C staat (d.w.z.alsxo<tl) is het buigend moment in C gelijk aan

Xo

Me

=

- Ez x

<!Z)

=

-

(-FT) x !l

=

_{!Fx o}'

Als de last rechts van C staat (d.w.z. als Xo

>

i

l) is het buigend moment in C ge-lijk aan

Al;

I

Xo

i

.. x

1

c

z fig. 2.5. I - x Mc

=

- Az x (!l)

= -

( F -I-O) x !I := !F(l - x o)'

Het verloop van Mc/F als funktie van _{x o} is weergegeven in fig. 2.5. Men noemt dat de invloedslijn voor het buigend moment in C.

Het gebruik van een dergelijke invloedslijn kan nog geillustreerd worden door eruit af te leiden wat het buigend moment in C is bij een gelijkmatige be-lasting (groot f) over de gehele ligger, zie fig. 2.6. De bijdrage van de belasting

: :

fig. 2.6.

11

[ ! = 7 " "'-4-/F-,.;".: ...

r-

:.

-

..

_ _

---:: ....

l _ _ _ _ • Xo

C

over een stukje _{dx o} tot het moment in Cis fdxo' vermenigvuldigd met de bijbe-horende waarde van de invloedslijn. Het buigend moment in C bij volbelasting (hier aan te geven met Mc·) vindt men nu door sommatie van alle bijdragen, dat is een integratie

Omdat f in dit geval constant is kan men dit ook schrijven als

De integraal stelt juist het oppervlak van de invloedslijn voor. Dat is in dit geval gelijk aan! x I x !I

=

-l/2 , en dus

r--Dit is een bekende formule.

De invloedslijn voor de dwarskracht in punt C is getekend in fig. 2.7.

XO

fig. 2.7.

Als de last F links van C staat is die dwarskracht gelijk aan de oplegreactie Bz' dat wil zeggen Qc = -Fxo/l. Als de last rechts van C staat is de dwarskracht in C, op het teken na, gelijk aan de oplegreactie Az, dat wil zeggen Qc = F(l - xo)/l.

Hiermee ligt de invloedslijn voor de dwarskracht in C vast.

In fig. 2.8 is een aantal invloedslijnen getekend voor een samengestelde ligger. Op de bepaling van elk van deze invloedslijnen wordt hier niet in detail ingegaan. Men kan ze vinden door, voor verschillende posities van de puntlast, na te gaan, met behulp van een evenwichtsbeschouwing, hoe groot de oplegreac-ties zijn, en daaruit dan eventueel de waarde van het gezochte buigend moment of de gezochte dwarskracht af te leiden. Dat is. in dit geval vrij veel werk, omdat er zoveel verschillende mogelijke plaatsen van de last moeten worden nagegaan. Het handigste is het een aantal karakteristieke plaatsen van de last (bijvoorbeeld . juist boven de steunpunten, of ter plaatse van een van de scharnieren) te onder-zoeken, en te bedenken dat de invloedslijn tussen bepaalde punten rechtlijnig moet verlopen. In paragraaf 2.3 zal een andere methode, gebaseerd op vutuele arbeid, worden gepresenteerd, die vooral voor samengestelde liggers zoals in fig. 2.8 getekend sneller tot een resultaat leidt.

Indirecte belasting

In veel gevallen werkt de mobiele belasting van een ligger niet rechtstreeks op die ligger, maar door middel van een systeem van langsliggers en dwarsdra-gers, zie fig. 2.9. In een dergelijk geval zegt men dat de ligger indirect belast wordt. Voor de berekening van zo'n stelsel stelt men veelal dat de bovenste lig-gers (de zogenaamde langsliglig-gers) alleen dienen om de belasting op de dwarsdra-gers (in fig. 2.9 in zijaanzicht getekend) over te brengen. Hoewel de langsligdwarsdra-gers vaak over meerdere dwarsdragers doorlopen, en dus eigenlijk statisch onbepaald zijn ondersteund, schematiseert men de constructie in de praktijk vaak in die zin dat de langsliggers worden beschouwd als vrij te zijn opgelegd op twee

dwars-A E ..JE

t

2Z B _z

IF

F B

:a::

l

_.

• -I F C D

::x:

:n:

-

,

-3l l 2Z Xo ~~mmmm~ ______________________________________ ~.~ Xo

c;

fig. 2.8. fig. 2.9.

dragers. Dat betekent voor het geval getekend in fig. 2.9 dat men dat schemati-seert tot de situatie getekend in fig. 2.10.

Voor de hoofdligger betekent dit dat de belasting verdeeld wordt over de twee dwarsdragers aan de uiteinden van de langsligger. Omdat de langsligger deze be-lasting lineair verdeelt over zijn twee opleggingen op de dwarsdragers, (de invloedslijnen voor de krachten overgebracht door de twee dwarsdragers zijn rechte lijnen, verlopend van 0 tot 1), volgt er nu dat alle grootheden in de hoofd-ligger tussen twee oplegpunten van dwarsdragers lineair verlopen. Bij wijze van voorbeeld zijn in fig. 2.11 de invloedslijnen voor de dwarskracht en het buigend moment in het midden van het tweede veld van een indirect belaste hoofdligger met vier velden getekend.

~c

1_B _____

x

-

---~~§ê

~

~~mmrrmmmmmrrmmmmm~---

xo

fig. 2.11. M _C IF

---Al deze invloedslijnen bestaan uit rechte takken tussen de punten waarin de be-lasting via de dwarsdragers aangrijpt. In die punten vallen de invloedswaarden samen met die voor een direct belaste ligger. Het komt er op neer dat men eerst de invloedslijn tekent voor een direct belaste ligger, en die dan afsnuit over de verschillende velden.

2.2. vakwerken

Oak voor staafkrachten in vakwerken kan men invloedslijnen bepalen met behulp van evenwichtsbeschouwingen. Bij wijze van voorbeeld zal dat hier ge-schieden voor een aantal staven van het vakwerk getekend in fig. 2.12, namelijk de staven genummerd 6, 7 en 8. De invloedslijnen worden gevraagd voor een last die zich kan bewegen over de onderregel. Men spreekt wel van een vakwerk-brug met laaggelegen rijvloer. Dit in tegenstelling tot een vakwerkbrug met hoog-gelegen rijvloer, waarbij de last zich over de bovenregel beweegt.

C 6 fig. 2.12.

A_

···

~I~

l

________

.

x

j

D fi x t

T

-.

,

.

Z

Voor de bepaling van de invloedslijnen met behulp van een evenwichts-beschouwing is het verstandig dat men zich realiseert hoe de grootte van een staafkracht in het algemeen bepaald wordt. Voor de staven 6, 7 en 8 kan men zich een snede door die staven denken, en dan het evenwicht van het deel links of rechts van een snede beschouwen. De grootte van de staafkracht N₆ volgt dan het gemakkelijkst uit het momentenevenwicht om punt E. Als de last rechts van E staat kan men dan het beste het deel links van de snede beschouwen. De evenwichtsvoorwaarde (voor het moment t.o.v. punt E) is dan

Az x 21 - N₆ x I

=

O.

Hieruit volgt N 6 = 2A z' en dit betekent dat de invloedslijn voor N 6 gelijkvormig is aan die voor Az, met een vermenigvuldigingsfactor 2, als de last rechts van E staat. Als de last links van D staat kan kan men de staafkracht N₆ het best be-palen door het momentenevenwicht ten opzichte van E te beschouwen van het deel rechts van de snede. Men vindt dan N₆ = 4Bz. Als de last tussen Den E staat moet men deze eerste verdelen over de knooppunten D en E. Op het deel rechts van de snede werkt dan ook nog een deel van de belasting, zie fig. 2.13. Die kracht gaat echter ook door punt E en speelt dus geen rol in het momenten-evenwicht om dat punt. Daarom is de evenredigheid van N₆ en Bz niet alleen geldig links van D, maar ook tussen D en E.

~--fig. 2.13.

SJSJZV0

E

1

De uiteindelijke invloedslijn voor N₆ is getekend in fig. 2.14. In dezelfde figuur is ook de invloedslijn van N 8 getekend. Deze kan men op soort gelijke wijze be-palen, uit het momentenevenwicht ten opzichte van C.

Het maakt dan verschil of de last links of rechts van D staat.

De staafkracht N₇ kan men het handigst bepalen door een beschouwing van het verticaal evenwicht van het deel links of rechts van de snede door de staven 6, 7 en 8. Als de last links van D staat is de staafkracht N 7' op een