Literatuurstudie betreffende de theoretische bepaling van de viskeuze weerstand van schepen

Literatuurstudie betreffende de theotetische bepaling van de viskeuze weerstand van schepen.

J.Th. Ligtelijn Juni 1975.

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN

Inhoud

Doel van de studie

Methoden ter bepaling van de scheepsweerstand Basisbegrippen in de grenslaagtheorie

3.1 Inleiding

3.2 Schuifspanningen 3.3 Rotatie

3.4 Invloed van het Reynoldsgetal op de grenslaag Berekening van de potentiaalstrominq

4.1 De methode van Uberoi

4.2 De methode van Hess en Smith 4.3 De methode van Landweber

4.3.1 Dipoolverdeling

4.3.2 De tweede stelling van Green Berekening van de viskeuze weerstand 5.1 Inleiding

5.2 Berekcningen

5 2.1 De methode van Uberoi 5.2.2 De methode van Granville 5.2.3 De methode van Patel Omslag laminair-turbulent

Drie-dimensionale grenslagen

7.1 De methode van Hatano, Nakao, Hotta en Matsui 7.2 De methode van Larsson

Lijst van gebruikte symbolen Referentias

Figuren

Appendix: Algemene mathematische beschrijving van de viskeuze stroming

BLZ.

1 .

3_

[NEDERLANDSCH

SCHEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN

Doel van de studie

De in dit rapport besproken literatuur vormt _{een basis voor het}

np,n van cen methode Ler berekening van de viskeuze weerstand

van schepen.

Deze methode omvat in de ecrste plaats de berekening _{van de} poten-tiaalstroming rond het schip. De hieruit verkregen

snelheids-en drukverdeling kan als invoer disnelheids-ensnelheids-en voor de verdeile bereksnelheids-eningsnelheids-en en voor het vinden van de stroomlijnen.

Langs elke stroomlijn kan een grenslaagberekening uitgevoerd warden, waaruit de wandschuifsbanningen volgen. Na integratie hiervan over het natte oppeLvlak van het schip kan dan de vis-keuze weerstand verkregen worden.

De Lestudeerde literatuur geeft een goed beeld van het werk wat ten aanzien van deze probleinatiek reeds is gedaan. In een later stadium zal echter nog een meer gedetailleerde studie nodig zijn van bepaalde methoden, teneinde toepassing ervan mogelijk te maken.

Met-hoden ter bepaling van de scheepsweerstand

Sinds Froude's experimenten zijn vele methoden bedacht en beproefd om de weerstand van schepen.in water te bepalen op grond van

modelproeven.

In een al wat "oudere" publikatie (1956) bespreekt Granville /2/ enkele experimentele methudes, en vergelijkt deze met elkaar. Hij onderzoekt de methoden van Hughes,Lap-Troost, Telfer, Kempf-Karhan en Townsend, en moet concluderen dat meer meetnauwkeurigheid noodzakeliik is voordat 66n van de besproken methodes als de beste gekwalificeerd kan worden. mot op heden is hierin weinig verande-ring gekomen.

Granville /4/ geeft later (1974) een overzicht waarbij hij negen theoretische niveau's introduceert.

Op het negende (en "minsi- theoretische") niveau bevindt zich in zijn zienswijze de. traditionele Froude-methode met een vlakke plaat met hetzelfde natte oppervlak. De daarop volgende (hogere) niveau's omvatten dan de volgende methoden:Hugnes (e::perimenten

vlakke plaat), Granville (berekening vormfaktor omwentelingslichaam), Granville (berekening viskeuze weerstand uit

BUZ,

grenslaag omwentelingslichaam), en eon berekening van een grens-laag van een dubbelmodel onder water.

Tot en met dit laatste niveau moeten naast de genoemde methoden proeven gedaan warden ter bepaling van de golfmakende weerstand. Het streven in deze problematiek is ander andere gericht op onder-steuning van modelproeven.

Granville's hoogste niveau's (1 t/m 4) bevatten methoden die, gaande van het vierde naar het eerste niveau, steeds algemener worden, en helaas in daze volgorde ook minder ontwikkeld zijn.

Het hoogste niveau bestaat dan uit het oplossen van de Navier-Stokes-vergelijkingen, met de vrije-opFervlak voorwaarde, d.w.z. het volledige stromingsveld moet berekend worden voor een schip dat golven produceert op het vrije oppervlak. Op dit gebied is echter nog nauwelijks enige voortgang van betekenis Le bespeurcn.

3. Bagisbegrippen in de grenslaagtheorie 3.1 InIeiding

Indian men tracht het hydrodynamische weerstandsprobleem te bestuderen m.b.v. potentiaal-theoretische beschouwingen, zal mennt.g.v. het verwaarlozen van schuifkrachten altijd stuiten op de paradox van d'Alembert..Deze paradox houdt in-dat elk gesloten lichaam, geplaatst in een stroming, die ver weg een potentiaalstroming is, geen resulterende kracht ondervindt bij stationaire beweging. De ervaring leert dat dit in

werke-lijkheid niet het geval is.

Naast de verwaarlozing van schuifkrachten in de potentiaal-theorie, wordt ook nog. een ander belangrijk strolaingsaspekt ge.61imineerd, zijnde rotatie. Oak deze rotatie blijkt in werkelijkheid een belangrijke rol te spelen bij weerstands: problemen.

In het verdere zal nu bekeken warden co welke manieren men deze problematiek kan benaderen, en hoe eventuele oplossingen gevonden kunnen warden. Er zal steeds een starionaire, viskeuze, onsamendrukbare stroming verondersteid warden, tenzij anders vermeld.

3.1 qchnifsoanningen

Schuifspanningen worden in kwalitatieve zin eenvoudig aanaetoond

NEDERLANDSCH SCHEEPSROUWKUNDIG BLZ.

door van twee co-axiale cylinders, waartussen zich een vloeistof bevindt, er

een

te laten draaien. In de eindtoestand blijkt de aanvankelijk stilstaande cylinder met dezelfde hoeksnelheid te draaien als de eerstgencemde.

Deze spanningen treden overal op waar sprake is van een snel-heidsgradient. In het algemeen geldt voor een twee-dimensionale

stroming de volgende reologische toestandsvergelijking:

de samenhang tussen de vervorming, de spanning en de tijd. Als er geen snelheidsgradienten in de stroming zijn, is er ook

geen aanleiding tot scnifspanningen. Bij een stroming langs een wand zal.dit ver genoeg van de wand bij benadoring golden. Dichter bij de wand zal de vloeistofsnelheide naderen tot de wandsnelheid, zodat in dit gebied schuifspanningen zullen

ontstaan. Aan de wand geldt in het geval van Fig. 1 bijvoorbeeld:

du T

= n(

ny )wand' (2)

Deze laatste beschouwing rechtvaardigt mede de grote mate van aandacht die besteed iseaan potentiaalstromingen, daar ver

genoeg van de wand de stroming bij (goede) benadering beschouwd mag worden als zijndeniet-viskeus. De aandacht richt zich bij

de weerstandsproblematiek echter OD de stroming dicht bij de wand, waar viskeuze effekten niet meer te verwaarlozen zijn. Dit laatste gebied wordt grenslaag genoemd. De dikte van deze laag wordt meestal gedefinierd

als

de dikte waarover de snelheid aangroeit tot een bepaald percentage van de hoofdstroomsnelheid. Vaak zal dit neerkomen op snelheden als u = 0.99U, .0 = 0,995 U,

ed.

3.3 Rotatie

(1)

De beweging van een massa-elementie in een vloeistof zal in

principe bestaan uit eon translatie-, rotatie- en een deformatie-beweging. De translatie en deformatie zijn in het voorgaande

reeds aan een beknopte kwalitatieve beschouwing onderworpen.

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG

PROEFSTATION WAGENINGEN 4.

T = +

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN

De rotatiebeweging kan voor een twee-dimensionale stroming

beschreven worden met

_een

_{komponent van de rotatievektor (7), n.l.}

av 3u

45(TX.

-In een potentiaalstrcming wordt gesteld rot -\-7. = = 0.

In een grenslaag van een twee-dimensionale gelaagd9 stroming is 3u

0, ₍₄₎

zodat daar altijd rotatie optreedt.

Elk vloeistofelementje dat vanuit de buitenstroming de _grenslaag binnenkomt krijgt rotatie. Dit elementje zal in de grenslaag meegevoerd warden met de stroming, _{zodat transport van rotatie} plaatsvindt. Deze rotatie wcrdt ook meegedeeld aan elementjes in de richting loodrecht op de wand, zodat er ook een diffusie plaatsvindt van rotatie.

Nu blijkt de transportsnelheid evenredig te zijn met de

karakteristieke snelheid U van de stroming, terwijl de diffusie-snelfteid evenredig blijkt te zijn _{met v/L, waarbij v de} kine-matische viskositeit is, en L een karakteristieke lengte. De verhouding van transport- en diffusiesnelheden, U6/v, bepaalt het algemene beeld van de _{grenslaagstroming. U(S/v wordt het} Reynoldsgetal genoemd.

3.4 Invloed van het Reynoldsaetal _{op de grensl,aag}

Het Reynoldsgetal heeft op verscheidene manieren invloed _{op de}

.-;renslaag. Bij bestudering van de _{stroming om een bol heeft men}

een goed beeld kunnen krijgen van deze invloed _{/15/. Men kan} het Reynoldsgetal ook _{op de diameter van de bol betrekken,} bijv. Rep = UD/v. Bij lage Rep-getallen _{(Rep < 1)overheerst} bij de stroming rond de bol de diffuse _{van de rotatie. Dij}

toenemende _{ReD zal de Lotatie in het veld meer en meer} gecon-centreerd worden in een dunne laag langs _{het lichaam (de}

grens-laag) door overheersing van rotatietransport. _{De juist ontstane} grenslaag in dit Proces van toenemende _{Rep zal laminair zijn,}

(3) BLZ.

d.w.z. de vloeistofelementen glijden in lagen langs elkaar heen, zodat oak de rotatie van de elementen op deze wijze getransporteerd wordt. Bij zeer hoge waarden van Rem

(ReD > 200.000 A 300.000) zal de grenslaag turbulent warden.

Fr treedt dan een sterke vermenging van de vloeistof op.

4. Berekening van de potentiaalstroming

In de potentiaaistroming geldt per definitie de

Laplace-vergelij-king:

.12T

9x ay2 (5)

Vorder kan men stellen:

= 4).9 + 4), (6)

en kunnen de volgende randvoorwaarden gelden:

0

= 0 op het oppervlak van het lichaam .(7)

0 vecr x, y, z ₍₉₎

4.1 De methode van Uberoi

Uberoi /17/ ontwikkelde een methode am de potentiaalstroming rend willekeurige drie-dimensionale lichamen te berekenen. Het daarbij gebruikte co8rdinatensysteem is weergegeven in Fig. 2. Nu is:

(Pm = -

u .

x.

(9)

Vervelgens legt Uberoi binnen het oppervlak bronnen Jic aan (7) en (3) moeten voldoen, terwijl de snelheidspotentiaal in een punt t.g.v. een bron met sterkte m op afstand R is:

-m R

Voor N bronnen wordt dit:

m. N

= -.2, (voldoet aan (5)), 1=1

ei

met R = vkx-x.)2 (y-y.)2

_(-7-7i

waaruit V enmiddellijk volgt, daar = grad 1 NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN 6. (10) . . (11) 1 (12)

(13)

0..

Als N

,

Ny

.en

N richtingscosinussen zijn van de buitennormalen

x y z

op het oppervlak, geeft de combinatie van (13) en (7): N

mi 1-(x-xi)Nx- (y-yi)N + (z-zilNz

F.

- U N = 0 (14) i=1 [(x_x ) 2 + (y. .,, ) 2

+

_(zzi)

1

3

/2

c° X

i

1 i

Met (14) hebben we nu N vergelijkingen _{voor N onbekende} bron-sterkten m.. Als deze opgelost zijn vinden we het snelheidsveld m.b.v. (13).

Via ecn 'stap-voor-stap" methode vindt Uberoi met de gevonden snelheden de stroomlijnen.

4.2 De methode van Hess en Smith

Het coordinatiesysteem waarmee bij deze methode wordt gewerkt is weeraegeven in _{.Fig. 3. Het oPpervlak S kan geschreven} worden in de vorm:

F (x, y, z) = 0. (15)

De randvoorwaarde (7) kan nu a1s volgt geschrevon _worden:

/ = n. grad

I

/F=0

=

n.v.3

S /F=0 = °.

Als het oppervlak belegd wordt met _{een bronverdeling met dichtheid} a, kan de potentiaal als volgt geschreven worden:

ff

a

(x, y, z) =

(g)s

r(P,q)

dS,

waarin het punt P de coardinaten y, z) heeft en a een punt op het oppervlak is. Deze vergelijkina voldoet aan (5) en _(A) en c(q) moet nu zo bepaald worden dat ock aan _{i6) wordt:Voldaan.}

Als

men de combinatie van (16) en (17) uitwerkt vocr een purit P = p op het oppervlak, wordt een Fredholm _{integraalvergeliiking} van de tweede soort verkregen:

"

f,

( 1 )

a(q)dr.; = -n(p)

..

27Ta(P)

\*-(p, q)

Men kan nu de vergelijking (18) in een eindiq aantal punten

op het oppervlak berekcnen, zodat een stelsel lineaire vergelij-kingen voor de onbekende bronsterkten verkregen wordt. _Deze

(16) (18) BLZ. NEDERLANDSCH SCHEF.PSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN 7.

4

S

(17)

(x,

oppervlakte elementen (zie Fig. 4) zijn zo klein, dat daar

G(q)

konstant verondersteld mag worden. De vergelijkingen krijgen dan de volc;ende vorm:

,

ff

D 1 ₌

27G(P) - E

"1)

_Sg

an r(Picl) dS

De geinduceerde snelheden, zoals deze gevonden worden uitgaande van een vierhoekje als getekend in Fig. 5, worden nu:

( _3(5

j

(x-F,) Vx

ax

A

r3

a)

V

= -- =

!f

(vn) ciclil Y y -A

r3

34) ,if

zdn

3

-

--Z

-

--Ti r

Uitgewerkt vormt het stelsel (20) de exacte oplossing. Hierbij is uitgegaan van het feit dat a=1 gesteld werd, en ¢ gegeven is

d.m.v.

Als we nu (24) afbreken na de twee-orde termen worden de (be-naderde) snelheden:

9¢

V = _OX = -[Aw +1/21 w +1 w +1/21

w,

x xx xxx ,xy xxy vy

xvy]

x

"a( _ --;

V

= --- ,--,

-LAw +1/21. w

+I

w +1/21 w

Y 917 Y

xx xxy

xy-xyy

yy

vyy],

(t, V --..- ..--_-

,

+1 w +1/21- w L.. 7 _Dz _

xx xmz

xy xyz

yy yyzi

(25)

¢ =

₁

dA =

if

dE,dn (21) (22). (23) (24) r A

\/(x-W

+ (Y11)

Seschouwen we echter Fig. 6, dan kunnen we ock schrijven:

ro

=VX2

+ y2 + 1 w = , ro

= Aw - (m w +m w )

yy

1/2(Y. w +21 w w )

xx xx

xy xy

yy yy

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG PLZ. PROEFSTATION WAGENINGEN 8. -n(p).V . .

-NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ.

PROEFSTATION WAGENINGEN 9.

Een tweede benadering van (20) ontstaat wanneer in (25) alleen de eerste term van elke vergelijking beschouwd wordt, en de rest

weggela ten.

In Fig. 7 is een vergelijking te zien tussen de uitkomsten die men verkrijgt uitgaande van (20) (exact formula), (25) (source quadrupole formula), en de laatste 1-)enadering (source formula).

4.3 De methode van Landweber

Landweber /8/ berekent de -,ctentiaalstroming voor een minder algemeen aeval dan Uberui en Hess en Smith, n.l. voor een lang omwentelingslichaam. Hij doet dat op twee manieren:

een benaderingsmethode met continue axiale dipoolverdeling. een exakte methode, gebaseerd op een algemer toepassing van de tweede stelling van Green.

De algemene probleemstellina wordt nu als volgt geformuleerd (voor geometric zie Fig. 8).

De vergelijking van het profiel wordt: y2 = f(X).

De Laplacevergelijking,in cylindercoardinaten wordt:

3 a(T

tyax) +

(17,7-1-) = 0

ax

ay oy .

Daar de stroming rotatiesymmetrisch is, bestaat cr een Stokes-stroomfunctie:

3T =

_3T-=vi

ax

lay-ax

De cnelheden zijn dan:

U =

-"T

3x _{Y 9Y '}

3 1

ni

V =

y "x

Voor een parallelstro.c.ing vinden we: = -Ux, T = -1/2Uy2. 2. (26) -=

-ay

(27) (30)

NEDERLANDSCI1 SCHEEPSBOUWKUNDIG PROUSTAT!0:4 WAGENINGEN De randvoorwaarden zijn: (--) ₌ -Vcos ₍₃₁₎ dn S of T (x, /±(x) ) = 0. (32) 4.3.1 Dipoo1verde1ing

Stel m(x) is de sterkte.per lengte-eenheid van _{een continue} dipoolverdeling langs de x-as tussen a en b. Dan is:

(I)

= fm(t)

--T uL ₍₃₃₎

a

/ m(t) ,

T y2 / at

a

Als we U=1 stellen wordt T voor de totale stroming nu: T = 172

+ y2

m(t) dt.

r3

a

Randvoorwaarde (32L geeft nu:

a

m(t)

at = 1/2

r'

Deze vergelijking mag gezien worden als een impliciete verge-lijking voor het lichaam als m(t) gegeven is, of als een Fred-holm integraalvergelijking van de eerste soort als het lichaam

(26) gegeven is.

Door een benadering van m1(x) te bepalen en daarna een recursie-formule toe te passen kan een benaderde dipoolven3e1ing gevon-den worgevon-den, waaruit m.b.v. (35) en (29) de snelheden u en v. volgen: = 3y

u= 1 +

fb

a 3y2 (

tx

m.(t) dt

4) m.(t)

dt

De drukverdeling p wordt gevonden door de Bernoulli-wet toe te passen: (37) BLZ. 10. b a , (.34). (35) (36).

NEDERLANDSCH SCHEE.PSSOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN

E = 1 - (u2

+ v2)

(38)

waarin g de stuwdruk is.

4.3.2 Tweede stelling van Green

Als (1) en w twee functie.s voorstellen buiten het lichaam, en

naar nul gaand voor x dan is de volgende identiteit een gevolg van de tweede stelling van Green:

11

r

_dw

-

as =

jj

I dn dn

Als:

dS - 27 yds (40)

en de volgende randvoorwaarde geldt:

-c-11 = - sin y (41)

dn

waarin y de hoek is van de raaklijn met de x-as, dan wordt vergelijking (39):

TP TP

J

4(2-) ds = - J yw sin y ds

dn

waarin 2P de omtrek van de langsdoorsnede van het licl.aam is. Kies voor w een rotatie-synmetrische potentiaalfunctie en

laat T(x, y) de corresponderende stroomfunctie

zijn:-dw= dT

'dn ds Verder is: d$ U = + cos y as Zodat (42) wordt: /P

J

UT ds = j (Tdx ywdy) -0 0 (39) (42)

-NEDERLANDSCH SCHEEPSSOUWKUNDIG-F

PROEFSTATION WAGENINGEN I

Daar

dw 9T

Y dx dy

is (Tdx - ywdy) een exakte differentiaal die een functie Q(x,y) definieert 2odanig dat:

an = T en = -yw (45) wordt nu: p 9Q U

fDc

ds = (Q

-.T)o

/ ax TK

Als we voor Q de stroomfunctie kiezen van een bron met eenheids-sterkte in een willekeurig punt op de x-as, krilgen we:

9Q2 7

= en (Q _ 4,--) /P 2 I Dx o zodat (48) wordt: ir

12-L(14±-1

ds = 1 2r

waarin U(x) de onbekende functie is, die rechtstreeks berekend kan warden. In figuur 9 wordt deze direkte sneiheidsberekening vergeleken met andere (waaronder die uit sectie 4.3.1). Hieruit blijkt dat er weinig yerschil in nauwkeurigheid is.

BLZ.

12.

(46)

)

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG

PROUSTATION WAGENINGEN

5. Berekening van de viskeuze weerstand 5.1 Inleiding

Indien men tracht de viskeuze weerstand te berekenen op basis van de grenslaagvergeIjkingen, ontmoet men altijd het zgn.

"closuren-probleem, rLw.z. dat er meer onbekenden zijn dan vergelijkingen.

Alvorens hier verder op in te gaan is het nuttig on vast te stellen dat er in principe twee oplossingsmethoden zijn, nl. de eindige differentiemethoden en de integraalmethoden.

De laatste methoden zijn mathematisch eenvoudiger te hanteren dan eindige differentiemethoden, die direkt uitgaan van de Navier-Stokesvergelijkingen. De integraalmethoden gaan uit van

een geintegreerde versie van de Navier-Stokesvergelijkingen, die dan meestal de vorm heeft van de impulsvergelijking van Gruschwitz.

Larsson /9/ bespreekt een aantal integraa1methoden die in het algemeen weliswaar betrekking hebben op het drie-dimencionale geval, doch die tevens een goed beeld geven van het twee-di-mensionale probleem. Om het vergelijkingensysteem sluitend te maken, worden de volgende empirische of semi-empirische

rela-ties aan de grenslaagvergelijkingen toegevoegd: de hulpvergelijking;

de schuifspanningsvergelijking aan de wand; het snelheidsprofiel.

De meest gebruikte combinatie bestaat uit de entrainmentmetho-de van Head /6/ (als hulpvergelijking) en een snelheidsprofiel van Thompson /16/. Voor de schuifspanning wordt dan meestal

een empirische formule gebruikt (bijv. die van Ludwieg en Till-mann). Thompson geeft snelheidsprofielen als functie van Rea

en H. Deze vormfaktor H kan men berekenen met de methode van Head. Head stelt:

4

of

udy = ur6 Udy di6 U(1 - = U(d -

e)

(51) waarin Q de entrainment is.

BLZ. 13. -1. 3. - -

-Hieruit volgt dat:

d0

=7

6*)]

d F

Hiervoor kan men oak schrijvcn:

[uks

6-d

f (Ho_o+, U,S -S*) (53)

Of, dimensieloos:

1 d

-LT dx u(6 -6

j

F (H5-6*)

Verder wordt gesteld:

H* G(H).

(55)

Als nu de functies F en G bekend zijn kan (54) gebruikt warden am H voor een gegeven 0 en U te berekenen.

In het algemeen wordt een systeem zoals gevormd door de grens-laagvergelijkingen en genoemde hulovergelijkingen e.d. oogelcst met een iteratieve methode.

5.2 Berekeningen

In de nu volgende secties warden nu een drietal methoden besproken ter berekening van de viskeuze weerstand.

5.2.1 De methode van Uberoi dx dx L

Uberoi /17/ beschouwt het laminaire en het turbulente ge-deelte van de grcnslaag afzonderlijk, en neemt daarbij aan dat omslag plaats vindt in een punt waar Ree = 320.

De imoulsstelling van Gruschwitz: dU

=

(1.1,2 ,0) 4- (5* u

0 dx --p

kan oak geschreVen warden in de vorm:

dRe Re dU e 0 T0 1 4- H) dx _{Uo dx} 11Uo (52) (54) NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ. PROEFSTATION WAGENINGEN 14. dx (56) -(5'7)

NEDF.RLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN

waarin

Re- = uoe (58)

Voor het laminaire gedeelte wordt de methode van Thwaites gebruikt. Er worden twee nieuwe variabelen gedefinieerd:

0.To 1 = Uo.p 62 dU0 en m = - --v dx

waarila m.b.v. empirische gegevens (57) nu de volgende vorm aanneemt: [e2] x=x 0,45 v fx1 u5 g [1.3l- I 0 dx 1 ojx=x1

Hieruit kan e bepaald worden, terwijl H en T0 volaen uit tabellen waarin 1 en H als functie van m worden geaeven. Voor de berekening van de turbulente arenslaag wordt de

entrainmentmethode van Head aebruikt, in de door Thompson gewijzigde vorm. Aan de wand geldt:

To OUo

= 1/2cr U2

3y o

Uit Thompson's methode volgt een hulpvergelijking die m.b.v. experimentele gegevens en Thompson's analyse opgelost kan warden, evenals (57). Oak kan men verschillende plaatselijke wrijvingscofficienten in plaats hiervan gebruiken, zoals bijv. die van Ludwieg en Tillmann:

-0

cf = 0,246 . 10-0,678H . Re 8,268

Door de ontwikkeling van de grenslaag verandert het "effek-tieve" lichaam waarmee gerekendwordt bij de potentiaaltheo-retische beschouwingen. Achter het liehaam gaat de grensiaaa over in de volgstroom, waardoor er geen achterste stuwpunt is, waardoor het "effektieve" lichaam zich voortzet tot in het oneindige.

Hierdoor ontstaat drukweerstand, die hier berekend wordt met de methode van Square en Young (zie figuur 10).

(59) BLZ. 15.

0

p -'(60)

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOLIVOWNDIG

PROEFSTATi011 WAGENiNGEN

De totale viskeuze weerstandsco6fficient die hieruit volat is: 2(.' .1 ) (U \0,5(H

+5)

Cv = t t. t) - t en R = p L.1. 00t lt waarin: Ut) ,.0,5 (H 5) (e 1 ) = to ) t t VJ

het impulsoppervlak van de volgstroom op oneindig is. Als H 2,6 of

Cf 0 wordt loslating geacht te zijn op-getreden en houdt de berekening op. Trekt men nu de .huid-wrijvingsweerstand af van de weerstand volgens (63), dan houdt men de drukweerstand over.

5.2.2 De methode van Granville

Granville /1/ beL-ekent de viskeuze weerstand vanuit de volgstroom. Voor de weerstand kan men dan de volgende uit-drukking opstellen:

D = 27-pi u(U - u) rdr

net impulsoppervlak in de volgstroom op oneindig is:

E 8ru

(1 - --) rdr c. _U zodat: D = 27p U! 2. (67) en ' 'D pU. A

waarin A een geschikt _{gekozen referentie-oppervlak is.}

(UO3,5 (Ht 5) ) BLZ. 16.

-00

(63)

65)

(66)

(63)

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN ( U 13,38 t` Q CO' e U. .waaruiL .(66) Co volgt7,,

Het gaat

er

in deze methode dus arm vinden:. Hiertoe

gaat Granville Stapsgeijs baar het einde van het lichaat

-beginhend bij het laminaire gedeelte, waarvoor.hij e'en lineaire snelheidsverdeling aanneemt. Net de gegeven eo-metrie (zie figuur LL) komt hij dan tot de volgendedif,,, ferentiaalVergelijking:

4v

(re)

2.=)(

0r

U5C1X 0

waarin.x

het omslagpunt is, Het is duidelijk, dat (69) veel

overeenkomsten vertoont. Met de forMule volgenS ThwaiteS (60), Voor het laMinaira gedeelte wordt nu op.eenvoudige wijze

ge-Vonden:'

tv,r8 (70) '

Omslagwaarden i.. experimenteel bepdald (Zie figuUr

13), waarna uitgaande van de Reynoldsvergelijkingen de. vol -gende votM van de iMpuisstelling gevonden wordtz

n, dU 1 d

dx h

± 4

dx rw pU2 ± pU dx o

aizdy

Hiervan uitgaande kan voor het turbulenta gedeelte en vet-gelijking gevonden. warden die analoog is an (57).

Aan het einde van het lichaam geldt niet meer dat <<r_ en

w-wordt 711 voor h konstantz

e

Vd.

(

Uh+2 r

r

ordy.U111-2x g IL)

l

w pU pU dx -o g

Vanuit deze vergelijking wordt dan de. relatie tussen

en-op 2e gevonden,:, (69)

(70

te dQ + (73) = o.a. 6 = xe = 1 (72) = Q Li.b.v. BLZ. 17.

NEDERLANDSC31 SCHEEPSBOUWKUNDIG

PROEFSTAT1ON WAGENINGEM

5.2.3 De methode van Patel

Patel /13/ heeft zeer recent

(1973).

enigwerk. sedaan

ap,het

gebied, van, het. oplossen. van. de, grenslaagvergelijkingen voor

-relatief dikke turbulente grenslagen van. bmwentelingslicha-men_ Hij beschou'olt twee, karakteristieke voorbeelden, nl. een lange cylinder en de. top van een,kegelvorMig lichaaMi In het eerste geval is de interaktie tussen

grensiaag2

en potentiaal-_

stroming zwak, in het tweede-seval is deze

.0chter

sterk., Voor de cylinder warden de volgende vergelijkingen afgeleid vanuit.de Reynoldsvergelijkingen (voor de geometrie.zie fi-.

Hierin Is aangenomen dat en V << U. In het geval van de

-kegel worden de grenslaagvergelijkingen:

Bij deze vergelijking.zijh enkele viSkeuze termen Verwaar,,, leosd. Ze kunnen opgelost warden Via een eindige differentie-methode of via een integraaldifferentie-methode. Opgetherkt dint, te War-. den dat de vergelijkingeft (76), t/m c78) in feite

oak

de

ver-gelljkingen 043 et IV5Y bevatten al's bijzonder geval

Daar-dear is het mogelijk het '!closure"-problecm voor (76) t/m te beschouwen zonder minder algemeen te warden_

Bij de differentiemethode is paast de ver'geiIikingen

170.

t/m (78)' nog een vierde vergelijking hodig oM de onbekenden U, Vi pen uv te bepalen; Patel maakt gebruik van de'methode-van.

7 guur 12)t au au 1 DU ₀ (74) 3

r

+ T ax au.

+

-By r , 0.7/7 =-1 3y L_r (uv 3 (.75) T Dx. By n 3U _,_ 1 12 1 3 I r(uv - v-11-j-) 3y (76) (77) -a-Tc 3y

av-p ax

' r ay _ 1

an

+ v

+ By a --5-)R

(or) +

7-oy

ay, = u

(Vr) =. (78). -- 0 = 0 0 U (78) = BLZ. 18.

NEDERLANDCH SCHEEPSBOUWKUNDIG FROEFSTATION WAGENINGEN

Townsend, Rotta, Bradshaw e.a., waaruit uiteindelijk de volgende vergelijking als "closure relation" te voorschijn

komt: 1

[

DT

31

3U _{1 -.3} T

\I

max U

+ V

T- +

(rG ----) + 2a 3x 3y 3y r 3x a1

J/4

p 1 + (rG T

rmax) +/1/22

= 0 r 3y

a3/2

p 1 waarin

T =

p1,2(21-j)2 3y

en L de "mixing length" is (zie o.a. /15/).

Naar een goede oblossingsmethode wordt echter nog gezocht. Uitgaande van (76) vindt men nu de volgende integraalver-gelijking:

d621 dUe

62 dro dx (26, I- 61) U dx r dx % C2 c = , Pe P- Pe 1 d r , 1 r = iU 2 ) f" uY

f

) dy Ue dx p

e0

ro Ue o ro 9x p Hierin zijn

U62

6 1 TW Re = H = en Cc = 0 e v -62 1-2Pue2

de drie onbekenden, zodat er nog twee vergelijkingen nodig

zijn.

De "closure" van de integraalvergelijkingen wordt gewoonlijk Lot stand gebracht door een formule van

de

vorm Cf = Cf(H, Re )

0 en een hulpvergelijking Le introduceren, die de verandering van H met x relateert aan de andere variabelen in de integraal-vergelijking. Beidc vergelijkingen vereisen hot gebruik van snelheidsprofielen. Voor deze snelheidsprofielen gebruikt

Patel /14/ de modellen van Coles en Thompson /16/. Als formule -(rG* 1 + Tmax (79) (81) +

voor Cf wordt gevonden:

Cf = exp (all + b) (82)

Als hulpvergelijking wordt gebruikt een gewijzigde vorm van de entrainment vergelijking van Head /6/:

0' 2.T7rUdy = 2

TrUero

-1)

+ 2coc 1 (83)

Het systeem wordt vervolgens opgelost met een prediktor-korrektormethode, welke volgens de auteur zeer snel is op de computer. In feite is de bovenbeschreven methode vrijwel identiek met die van Head /6/, als het gaat om een plat vlak en met de uitbreiding van Head's methode door Shanebrook en Summer als de grenslaag rotatie symmetrisch is, maar dun. De grote nauwekeurigheid van Head's methode is in vele gevallen reeds bewezen (zie /5/, /6/, /9/, /10/ en /17/).

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ.

PROEFSTATION WAGENINGEN

=

f

NEDERLANDSCH SC4EEPS3CUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN

6. Omslag laminair-turbulent

BLZ.

21.

De bepaling van het punt of het gebied waar de grenslaagstroming omslaat van laminair in turbulent is en blijft voorlopig een moei-lijk probleem.

Kwalitatief zijn er regelmatige beschouwingen over verschenen, soms vergezeld van experimcntehgegevens. Het exakt berekenen van de omslag is nog steeds moeilijk.

De plats van het omslagpunt is o.a. afhankelijk van de ruwheid van het oppervlak, de amplitude en de frequentie van de turbu-lentie die de vloeistof introduceert die de grenslaag binnenkomt, en van de drukgradient langs het oppervlak.

De beschouwingen van G/anville /3/ t.a.v. de omslagproblematiek zijn o.a. gebaseerd

op

een lage turbulentiegraad van de buiten-stroming (< 0,1%) en een gladde wand, zodat zgn4 natuurlijke om-slag plaats kan vinden.

Deze wordt beschouwd als zijnde het resultaat van een versterking van kleine verstoringen stroomafwaarts van het punt van neutrale stabiliteit. Dit is het punt waar alle verstoringen oncieacht fre-quentie noch versterkt, noch gedempt wordt.

Omslagkriteria worden meestal- gegeven in een of andere vorm van het Reynoldsgetal.

Granville noemt zeer kort een aantal bestaande methoden ter bepa-ling van het omslagpunt, welke alien tweedimensionale of rotatie-symmetrische problemen behandelen.

Een belangrijk gegeven is de positie van het punt van neutrale sta-biliteit als functie van de drukgradient volgens Mangler (fig, 13). Alle door Granville genoemde methoden geven wel een of ander qmslag-kriterium, doch hij merkt zelf op aan het eind van zijn publikatie dat zij alien onbevredigend zijn en dat zeer veel experimenteel werk nodig is.

Slechts voor enkele betrekkelijk eenvoudige geometrieen kunnen met enige zekerheid bepaalde dingen over de omslag gezegd worden, doch voor scheepsvormen is men nog niet in staat voldoende nauwkeurige voorspellingen te doen, zodat men met aannamen moet gaan werken zoals bijvoorbeeld Uberoi /17/ deed.

INEDMLANDSCH

SCPEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN

7. Drie-dimensionale grenslagen

Hoewel deze studie hoofdzakelijk is gericht op twee-dimensionale verschijnselen, kan het slechts verruiming van het inzicht

be-tekenen als ook drie-dimensionale methcden bekeken worden.

Hieronder worden twee recente voorbeelden in het kort beschreven.

7.1 De methode van Hatano, Nakato, Hotta en Matsui

In deze methode (zie /5/) worden kromlijnige coordinaten ge-bruikt en wel E en n op het oppervlak en C in de richting van

de buitennormaal. Hiermee worden de impulsvergelijkingen:

161

) + BU.iL(U29 + 9

(u2e

) + U 2h s 1 U

sh1

U-h s 12

Uh2

s 1

s2

s V , * V * 1<2 (e12 + 21 --) -(011 - 922 - U- 62 ) = "2 Us 1 1 pUs * * 1 ,0 -61 ;V 1 62 9V

(u2e

) +

_{U hr,}

+

(u2e

) + U2h T-1 s 22 Ush2 Dr 1

Us2h ..:1E s 21 Sis i s 2

V

*

Tp K1 (812 -I-21 Us 0

+2) - K2 (022 -

0 - == 6 ) = 11 Us 1 pUs waarin: 31-1 1 2 1 1 en K2 -h1h2 1 h ;E "1 2

u2 = u2

v2 w2 en verder: h \i/(-L--<> 2 + (--a2L 2 1- (2-z) 2 1 h = 1/9x 2 BZ + (1)2 "1" 2 fl dn fc°

Us2

=

if

(V -

v)dc

s = (Ur BLZ. 22. -2 . 2 -1 (84) u)dF,, (85) (86) ur87i - (88)

7- 2 kl e2 H.

Verder

is: * (U u)dci U(5,2* =

f

vc% o co ) dc , U.2e v201-1 _(U

_uu

_'uVdc 21 n (-"=) 6

'r

Tn pU2 (11) ( U U

U;611s

(U- u)udc, U2e21 (V 7 v)ud

,

fc,: -cc,

u2e

=

i

(u q.)17-(%,

02022s

j(v

-.v)vdc

o

0

Als men. nu C evenwlidig

neett

met de. .stroomlijne'n Van de

po-tentiaalstroming, dan is. U = U

en

V = W G, en lijnen van

s

-konstante.0

ook lijnen Van konStante zodat

d4) Usds Us hi dC (91,)

Hierdoot kan. men Voot-(84) t/m (90 ook schrijven

ae"a

'()

_ei

_au 11 1 12 + (H + 2y U k 11 22 (92)

as

.h2 Dr1

as

pU-021 1

0222021

. 'DU 1 au (9 - 6 h an u

as

h2 an 11 22 2 waarin: 'all2

as

.u2e

= f

u)vdc, U2 12 822 - ) .tg . 1 v2dc . 6

A18 snelheidsprofiel

wordt

dat van Mager gebruikt:

(90) (93), , (`94) (95') (96). (97) NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG BLZ. PROEFSTATION WAGENINGEN 23. = -zijn =

-1 1 = en

k1

= 811 = - -= -- = = =

-Tevens wordt Head's entrainmentvergelijking gebruikt: 3(S D (° 61 i 2 - F (H6

- 6

-

(6 - 61

*)(-1-

± -1-3U) (98) 11,

u as

waarin: 6 _{- 61} H6-6 * = 011 1

Er zijn nu drie onbekenden: H en 5 (dit is de hoek tussen de stroomlijnrichting en het oppervlak = 0). De impulsverge-lijkingen en de entrinmentvergelijking kunnen na enige manipu-laties nu als volgt geschreven warden:

3011 a + b 2E

+ c

21

= d

as

as

as

3811 , aH 3(3 1 as = a

+o

c

dI

1

as

1 Ds De

11DH

a2 as

+b +c

23s

2Ds

- d2

waaruit de onbekenden opgelost kunnen warden, waarna

Tn en T

bepaald kunnen warden.

De methode is toegepast op een INUID S-401 vorm en een tanker-vorm, en vergeleken met Bun's methode, de entrainmentmethode

en hat gebruik van de impulsvergelijking met Spence's vergelij-king (dit zijn alle twee-dimensionale methoden).

Hieruit blijkt dan dat de twee-dimensionale entrainmentmethode het beste overeenkomt met deze drie-dimensionale methode.

7.2 De methode van Larsson

(99)

(100)

Larsson /12/ gaat uit van een potentiaalstroming die berekend is volgens de methode van Hess en. Smith /7/. Vervolgens stelt hij de twee impulsvergelijkingen, en een entrainmentvergelijking

(volgens Michel; zie ook /9/) op.

Tesamen met een formule voor de schuifspanning aan de wand een cross flow-relatie is nu een stelsel gevormd van gewone differen-tiaalvergelijkingen die geschikt zijn voor een Runge-Kutta

NEDERLANDSCI SCHEEPSBOLNIKUNDIG BLZ.

PROEFSTATION WAGENINGEN 24.

-. 1

-2

01

..NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUINKUNDIG PROEFSTATION WAGENINC.;EN

6plossingsmethode.

Berekeningen hebben aangetoond dat de methode goede resultaten geeft Vergeleken met metingen, tot aan een bepaald punt bij het.

achterschip, waar sterke, cross-flow-effekten optreden4, eh de. berekeningsmethode afbreekt. Teneinde te proberen hierin vet-. betering te brengen, is aan het model de verdrinqingsdikte toegevbegd, waarna de grenslaag opnieuw berekend werd.

bit leverde jets betere ecultaten op, doch de moeili)kheden bij het achterSchip bieven aanwezig-,

a It If -B Li. 25.

NEDERLANDSCH 'SCHEEPSBOLIWKIINDIG PROEFSTATION WAGENINGEN

BLZ.

26.

Lijst van gebruikte sytbolen

a versneIlLn ; in 7,1 konstante

al,

A2 konstanten. )), _{131, b2} konstanten cl, c2 kOnstanten ,D -weerstand d1' d2 - -konstanten V .kracht 14 'vormfaktor t/m I konatanten xx _YY lengtemaat M , M

_y

.konstanten in maSsa 'P, p spanningen

Q hoeveelheid vloeistof per tijdseenheid. weerstand , Re ,Reynoldsy-etal T, t tijd t/m W konstanten xxx _YYz 6 grenslaagdikte 6 verdringingsdikte fl dynamische Viskositelt i.mpulsverliesdikte. dynatische .Viskositelt

A.) kinematisohe Viskositeit

'P dichthei .0 normaa15parmainq T. Schuifspanning potentialen atrOotfunctie -= I x 0

rNEDERLANDSCH SCHEEPSBOLIWKUNDIG

FROEFSTATION WAGENINGEN

Referenties:

Granville, P.S.: "The calculation of the viscous drag of bodies of revolution". Report 849 David W. Taylor Model Basin, Washington, juli 1953.

Granville, P.S.: "The viscous resistance of surface vessels and the skin friction of flat plates".

Paper no.1, Annual Meeting SNAME, New York, november 1056.

Granville, P.S.: "The prediction of transition from laminar to turbulent flow in boundary layers on bodies of revolution".

Granville, P.S.: "Progress in the analysis if the viscous re-sistance of surface ships". 17th ATTC, California Institute of Technology, Pasadena, juni 1974.

Hatano, S., Nakato, M., Hotta, T., Matsui, S.., "Calculation of ship frictional resstance by three - dimensional boundary layer theory". JSNAJ, Vol. 11, 1973.

Head, M.R.: "Entrainment in the turbulent boundary layer". ARC, R. and M. No. 3152, september 1958.

Hess, J.L.,Smith, A.M.O.: "Calculation of non-lifting potential flow about arbitrary three-dimensional bodies".

Report No. E.S. 40622, Doulas Aircraft Division, Long Beach California, maart 1962.

Landweber, L.: "The axially symmetric potential flow about elongated bodies of revolution". Report 761, David W. Taylor

Model

Basin, Washington, augustus 1951.

Larsson, L.: "Boundary layers of ships. Part I. A literature sur-vey on investigations of three-dimensional turbulent boundary

layers". SSPA, No. 44, G6teborg, September 1974.

10. Larsson, L.: "Boundary layers of ships. Part II. A literature

sur-vey on investigations of ship and model boudary layers". SSPA No. 45, Goteborg, september 1974.

BLZ.

27.

6.

i---NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUND1G PROEFSTA7ION WAGENiNGEN

11. Larsson, L.: "Boundary layers of ships, Part III: An experi-mental investigation of the turbulent boundary layer on a

ship model". SSPA, No. 46, Goteborg, september 1974.

22. Larsson, L.: "Boundary layers of ships, Part IV: Calculations of the turbulent boundary layer on a ship model". SSPA, No. 47, GotebOrg, december 1974.

Li.

Patel, V.C.: "On the equations of a thick axisymmetric turbulent boundary layer". IIHR, Report 143, Iowa City, januari 1973.

Patel, V.C.: "A simiqc integral method for the calculation of thick axisymmetric turbulent boundary layers".

IIHR, Report No.

150, Iowa City, september 1973.

Schlichting, H.: "Grenzschicht-Theorie". Verlag G. Braun, Karls-ruhe, 1950.

Thompson, B.G.J.: "A new two-carameter family of mean velocity profiles for imcompressible turbulent boundary layers on smooth walls". ARC, R. and M. No. 3463, april 1965.

-Liberal, S.B.S.: "Viscous resistance of ships and ship models". HyA, Report No. Hy-13, Lyngby, september 1969.

BIZ.

28.

.

16..

0'

NETHERLANDS SHIP MODEL, BASIN WAGENINGEN A . , ;4; -C

-, , nn"--m., 1 cr 41. = . A4.0 A -4 4'n euire-Ar £rR.orviNq ., " OVERVINg SLaftc. A

-,

CA ; G2. -'!YI; 44, WAND,

-r

it , 4r. 1 -a

Fiq.

I PAGE 2 9 .

Fig. 2_

COiiik ID i N ATEN 5 y 5re-Ervl celSiZtl i KT ZooR Ur5ER o I. [171

NETHERLANDS SHIP MODEL BASIN PAGE

Co ii Ats I' N Fi-r EN/ sy sreem

qemRvi'ler

DooR

WESS E 1,1

smiTH

c7a

NETHERLANDS SHIP MODEL BASIN PAGE

WAGENINGEN _31.

rnt

NETHERLANDS SHIP MODEL BASIN WAGENINGEN

5

De (NA '0 ER:06-

kgrive-

VAN

voLce"/

WessElJ

re,i H

e r I ' 1-it-HAff

Fiq.

PAGE 32.

I ,

tkt,

= kRait 0.atP,

PAGE NETHERLANDS SHIP MODEL BASIN

'- - WAGENINGEN.

47,

.edillIONNOMME:MO"

,rm

3;.

NETHERLANDS SHIP MODEL BASIN WAGENINGEN

(4,it4)

-9V , k 11' M.1-3 e PAGE. 34. F

Fi

.

0.7 06 05 04 1 1 03-02- \ I Dl 0 0 1.0 20 30 40 ro 06 03 0.2 0.1 00 10 20 30 4.0 rop

Fiq

. 07-06 0.5 04 0.3 0.2 0.1 00 06 05 04 V 03 0.2 10 20 30 4.0

rye

b)

NETHERLANDS SHIP MODEL BASIN PAGE

WAGENINGEN 35.

VELOCITY MAGNITUDE FROM EXACT FORMULA

ERROR(x i0) IN VELOCITY MAGNITUDE USING SOURCE QUADRUPOLE FORMULA ERROR(x 10)IN VELOCITY MAGNITUDE USING SOURCE FORMULA

IN PRACTICE, EXACT FORMULA USED FOR r0 /t < 2.45,

SOURCE QUADRUPOLE FORMULA FOR 245 s ro/t < 40,

SOURCE FORMULA FOR roit 40

10 20 rO/t (a.) 30 40 05 04 2 (C) (a-)

NETHERLANDS SHIP MODEL BASIN PAGE

36.

'41

Li

IP.' ti17'41,c 171(

.Co6AbiNATEN Sy S Teem 4s6ituiAT /wog

i

.

8

P.v

L

'

NETHERLANDS SHIP MODEL BASIN .

WAGENINGEN LOO. 0.90 0.90 .70, .10 .20 . 30

VERcELCSKINg VRIV IAJR-oR.Cext V119141

VERKReqew ve,R C.441tEP.JOE meTWo BEN

-Lvir ike.E81

, .75 PAGE

37.

c. 9

, o Direct b Axial 0 Axial Velocity Method

Doublet Distribution Method, Gauss ,I1, Ordinate Ouadrature Doublet Distribution Method, Gauss 7 Ordinate Quodrature

Method Method x Kaplan +K6rrrain 1 -x

'

,

I

, ' ,

I

i , I , , , 11111:

ANIIIIIII

1111 , 1 1 ' I --02 -01 0 .60 .50 .40 30 .20 10

p

-04 -0.3

Uco

Fig

.

,io

6CRE'KEA1isvc ToTALE

vis ice° ze wee-R s 7-4,4Z

(iiir REP. C.I'n)

--

-C Ucc

A

NETHERLANDS SHIP MODEL BASIN PAGE

WAGENINGEN

_38.

D

B

-Ig.

if

CO35 R

/Are-iv 5/S TEEM geaRuiler

" c)c

fttir1/4"1:11E C

NETHERLANDS SHIP MODEL BASIN PAGE

WAGENINGEN

L /mit

°onciarly

Ma.

-.aft` taa.

,Co.:51Zi)iNticrrew s

srEer;1

cetsituilcr' r. 90Tel E

,

A A

NETHERLANDS SHIP MODEL BASIN

PAGE

WAGENINGEN - 4 0 .

=

Sam.. _{311melo 011,}

esomm 4.1.1m ..mom OMNI.

Fic.

4

*4NETHERLANDS SHIP MODEL BASIN

WAGENINGEN 7 4 p 3 '8 la. _ 1.5 0 -0 31 9 0.) 8 .7 6 E 5 4 " . 0 CD , 0 C 3 11,1.5 m -iV-L Ma 8 7 6 : ; , '

e d U _{Pressure Gradient Parameter}

x

Fig. 13

PUNT- "vAN 146%,friatilLE fiLS :PuNCTIE

'wog- ue DRuKci2Froiev

vLcNt. nusiLeR

3

0.07 006 0.05 004 003 002-

0.01 0 0.0F 002 003 0 04 , PAGE 41. op 006: ' rr. -I 2 0 2 cr 5 4

6 z 9 .A _ DG; ,

Fig.

14 tt.r 4. "

,

. , 5 4 sel TX 4- 1:)(2" Dx. !A. . 77.212t1 9 t -' r 7 PAGE - 42.

NETHERLANDS SHIP ,MODEL BASIN

- WAGENINGEN,

dx

dy

dz

z

d

Z

NEDERLANDSCH SCI4EEP59OUWKIJNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN

APPPENDIX

Algemene mathcmatischc heschrtjving van cie vi.keuze

De vier onbekenden in ons probleem zijn V en p. Deze onbekenden kunnen opgelost worden m.1-!.v. de continuTteitsvergelijking (wet

behoud van massa) en de drie bewegingsvergelijkingen (wet van, behoud van impuls).

De continulteitsvergelijking luidt:

ctiV V

(A.1)

De bewegingsvergelijkingen worden gevonden uitgaande van:

F=fl1

_(A.2)

stellen we

DY

_4-(v-V)Y.

DE.

d.w.z. materile fiuxie = lokale fluXie + konvektieve fluxie, dan moet gelden (traagheidskrachten buiten beschouwing gelaten):

p

()DE

-I

met

zijnde inwendige spanningen, welke tezamen een spanningstoestand bepalen.

Het volgende probleem is nu de samenhang te vinden tussen de span-ningen en de vervormingen. Bij el.astische vaste Stoffen wordt dit

verband beschreven door de wet van Hooke, terwiji bij veel vloei-stoffen en gassen de (wrijvings-)wet van Stokes geldt. Het prin-cipile versehtl wetten is dat de krachten volgens de wet van Hooke

evenredig

zijn met de (3rootte van de vormveran-dering, terwijl zij bij de meeste vloeistoffen en gassen evenredig

(A.3) (A.4) (A.5) LZ. 43. -a.

P

tuc.sen

pis

PX

PY

=

ryx+-4--1.1

onz

De resaterende oppervlaktekrachten warden nu;

DR -:,dx dyciz

Y

" .clx.dyciz

y

,d.xdydz

D.z .

zodat per volume-Teenheld

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG

PROEFSTATIONI WAGENINGEN

zijn met de vormveranderingssnelheld.

teschouwen wij nu de. algemene spanningtoestand van een vervorm-aar lidhaam, in d'itgeval een kubus vet volume'dV =.dxdydz. Op

de vlakken werken-spanningen als aangegeven in figuur 14: Nu is.: P +

y

z

met wordt C 3C; )"-cy -C-xz ) 4_ ;

(Dtxy

GT/ -by

Z/

Dr,Thy

Dx

Ingevuld in. de bewegingsvergelijkingen

_

0

Da

I _DE. : -64 ''' Y '' z. 1-1

Dv

4_ I*-1 D,L

px

. D '1---x-z. 4- -1---yz '. GI

E`

=. Dx - 7 . Dz_ qt. BLZ. 44. (A.6) (A.7) (A.8) (A- 10) (4.11) = geldt: ) dit:

P

4-Dy (A.9)

NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN

De vervormingstoestand kan beschreven worden m.b.v. een verschui-vingsvektor

die zodanig gedefinieerd is dat als een punt Q v6Or de vervorming de coordinaten (x, y, z) heeft, dit na de vervorming (x+F,,

y+n,

z+r,) geworden is, terwijl = (x, y, z), n = n(x,

y,

7) en r, =

C(x, y, z). De relatieve rekken.c ,

enz,

en de

hoekverande-ringeny , y , y worden nu:

xv yz zx

De wet van Hooke kan men m.b.v. de vektor X schrijven als:

=

4-F

-EY

Dy

' Dal

y

Yzx +. Dx De relatieve volumeverandering is S,

JLv

2- cr:_Cv X 2_-LI cblv X 3 (A. 12) (A.15) (A.16)

waarin

a

= 1/3(G u +) en G de glijdingsmodulus is. In matrix-vorm krijgen wij nu:

Or-x 7-7.xy ±-xz I 0-

0

o

(

7z)

I

0

dz.' 0 tx _yz. 0

0

6'7

BLZ. 45.

V

= +

(A.13)

(A. 14)

/D'i

DV Di \

/

DA Dy DZ

,

r

1 o't. Do? Dqt_

-a

' Dx ay -02. 11- 7/

Dx `by Dz.

Uit deze vergelijking kan men voor stromende vloeistoffen en sen onmiddellijk de wrijvingswet van Stokes aflejoen als verschuiving X vervangt door

-c-cLE \,.< NA)

In plaats van G met de dimensie met dimensie kgs/m2 op:

met: txy

I Du,

DI

Dx DX 41` N/ Dy Dtk

Dv

Dz

i*

ax

Dy 'Dz

(_p

0

01

o

p

0

o

0

-P

-

o

dcvA

0

I c \

c)

c

cENX ) (A-17) de verschuivingssnelheid: (A.18)

/c-icv v

\\. 0 c2 P + (rz. T-Gf d.i.v

0

kg/m2treedt clan de viskositeit

waarin

a =

-1) gesteld is:

Men kan voor de normaalpanningen ook schriiven:

gas-men de (A.19) (A.20) (A.21) "viskeuze bijdrage" spanningscomponenten

Kc/v

Dv

Dv

7

Du_ Du_ 3t_t_\ Dv,/ Dv) Dv./ "Dx Dy Dz._

ox

"by Dz_ --. "Dx c-)y Dz_

dLvv

ocLivv

NEDERLAND5CI-1 SCHEEPSSOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN 46. t.3(2_

0

--1-4_\/

[NEDERLANDSCH

SCHEEPSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN

In de uitdrukkingen voor de schuifspanningen kan men gemakkelijk vergelijking (1) herkennen.

De beweyingsvergelijkingen worden nu, gebruik makend van (A.20):

(,)

I)

U 11E I I) E DX Dx

Dy

Dz. J

V 4_

( 'bty

DY2)

1 1) E.

Dy

Dy

Dzi

_f_ , -

Dz

-

6/,

"Dy

Vult men de vergelijking (A.21) in dan krijgt men de volgende uitdrukking:

nny_

_{vp+,u_}

-Dit zijn de Navier-Stokes-vergelijkingen, waarin men, indien = 0 onmiddellijk de Euler-vergelijkingen voor wrijvingsloze fluida kan herkennen.

Beschouwt men een twee-dimensionale stroming in het x, y-vlak, dan worden de Navier-Stokes-vergelijkingen:

DX

p

-6>c -i-- ).) x,_ Dy2)

v

9 p Dzu.

D'u

v

DX Dy (2)

ay

Dp

1.) D7--v az-D Dy1// en de continuiteitsvergelijking: aLA_ Dv +-

o

D>c

Dy

de werveltransportvergelijking. (A.22) (A.24) (A.25) (A.27) De overgebleven komponent van de rotatievektor w = rot ,v wordt

in dit geval:

CU :=

(Dv

Du)

(A.26)

Door elimatic va:1 de druk uit (A.24) volgL nu:

BLZ.

47.

'

z

4- V

NEDERLANDSCH SCHFLPSBOUWKUNDIG PROEFSTATION WAGENINGEN

Met de Navier-Stokesvergelijkingen is nu een manier gevonden am de viskeuze stroming te beschrijven. De vraag die nu rijst is hoe men deze vergelijkingen op grenslagen )(an toepassen. Voor

vloei-stoffen met een tamelijk lE,ge viskositeit en stromend bij hoge Re-getallen heeft Prandtl i.n 1904 de Navier-Stokes-vergelijkingen weten te vereenvoudigen. In het twee-dimensionale gcval kan men de Navier-Stokes-vergelijkingen en de continulteitsvergelijking als volgt schrijven:

Out_ Du_ + V Ri ax a

+

(12-;Ai ) DE jr. Lt._ Dv

+ v

I aLV DE bx

by

_DY

Re (

3>cr-

Dy -/

Du_ 4_ Dv Dy

Via een dimensie-analyFe vond Prandtl het volgende stelsel verge-lijkingen voor het stationaire geval:

?II _ -

LVU_

dp

))

(3'u

Dx ' _{Dy .>;}

72-0

DX ' Dy met randvoorwaarden: (A.28) (A.29)

X = °

LI_ =

y

:

bo

(A.30)

Een resultaat dat hiermee samenhangt is de mogelijkheid tot het meer verantwoord schatten van de grenslaagdikte, daar gevonden werd:

L

VTel

VvL

(A.31)

waarin L do afstand is tot het beginpunt van de grenslaag.

Indien men (A.29) integreert over de grenslaagdikte vindt men de impulsstelling van Von KarmLn-Gruschwitz voor een vlakke,

onsamen-BLZ.

48.

x

IE

drUkbare grenslaagstroming:

cbc (t-11e)+, *ti. ctd{lx (A.32)

waarin en 6 gedefinieerd tijh

s*u

f()

cty,

eU

f

6

_4(l-t-0.4

6

1

(U- )

y

0

rol kunnen .spelen-Wij steJ1efl mil

Lt..= CZ

.1-P'-

1.1

5

+-P

" 1,verdringingSdikt0" :(.1.MpultVerliesdikte) -*

-be tysische -betekervis van. 6 is, -dat deze de afstand aandUidt Wear-. over de potentiaalstroming t.g.v. de vertraging in de grenslaag,paar

' buiten gedrongen. wnrdt- De door de viSkeuZe Werking kleinere

hoe-veelheid doorstromende vloeistof

in

de grenslaag

is

waaruit de definitievergelijking eenvoudig is ef.te leiden. .Een soortgelijke redenering geldt

Vont

rs

.

pi°

(-4--( cLY

IE

(A.35) .

AN.361.

i8 de.verminderde impulsstrooM'iti de gren8laag waar4it ook nu de definitie eenvoudig volgt..

Een zeer belangrijk aspect Van de grenslaagtheorie,is turbulentie. De 'turbulente stroming bestaat uit. een hoofdstroming, met. daarop een turbulente nevenbewegg. De nenging die optreedt veroorzaakt effekten- die slechts door een viskositeit Van 103

a

104' maal de

nortale waarden veroorzaakt kunnem

wardenDeze

eigenschap doet inzien, waarom de wrijvinasweerStand.van

.men

in

een tutbulente-stroming zo hoog is. In werkelijkheid hoeft dit felt niet altijd

de

hoogste Weerstand op te lever-eh, daar ook

ndg:effekten. Van grote drukgradi'entenf, loslating e.d. een belangrijke,

(A.37) NEDERLANDSCH SCHEEPSBOUWKUNDIG- BLZ. PROEFSTATION WAGENINGEN 4 9 . door: = _(A.33) 2- (A.34)

d

0: V Deze

licha-met

r

F

= I U_ a1- V EL 7-

0

LA/ e_' p

1 1 L

/,-

(

Lt.7- U.'VI uti ti,/')

/ -A _1-:,,/

rkz

----7. T.--y 672 -c-Y

z- I =

- A

Li:0

v'

_{_}

v'

L '' VW' VV'L z-xz.

tz

r.

/

' u- -`

Deze spanningen worden ook wel genoemd de schijnbare spanningen van de turbulente stroming. Men kan zeloptellerfbij de spanningen

zoals gevonden in (A.19). Bijvoorbeeld:

7 .3 FJ: \-7)

D\

In het algemeen zijn de "schijnbare" spanningen t.g.v. turbulentie veel groter dan de laminaire spanningen, zodat men deze laatsten in veel qevallen mag verwaarlozen.

(A.38)

(A.40)

(A.41)

en

= V' r_-:-- \A/ = p _(A.39)

Met impuisbeschouwingen is voor de spanningsmatrix van de turbu-lente beweging eenvoudig af te leiden dat:

NEDERLANDSCH SCHEEPSEOUWKUNDIG FILZ.

PROEFSTATION WAGENINGEN 50.

)