Bewegingen van konstrukties in golven

B ewe g in g e n van konstruktjes in golven. MT Ir.

J.M.J.

Rapportn.r.:_%<

Beweginen van konstrukties in goiven

1. inleiding

2 Definities van bewegingen

2.1. Asensteise1,s en bewegingskomponenten

2.2 _{Symmetrische en keersymmetrische bewegingen} 2.3 _{BewegingsvergeIijkjngen van Euier}

2 .4. Massa en massatraagheidsmomenten

2 . 5. Harmonsche beweginge.n

2.6. Same'nste.iieñ van harmonische bewegingen 3. Bewegingen in viak water

3. 1. Ongekopp:eide b:ewe gingen

3.1.1. Dompen

3.1.2. Slingeren en stampen

3.. 2. Demping en hydrodynamische _massa 3.2.1. Physische achtergrond

3.2 .2.. Experirnentele bepaling 3.2.3. Theoretische bepaling 3.2.4. Enkele gegevens

3.3. Eigen frequenties van ongekoppe1de _bewegingen 3.4. CekoppeIde bewegingen

Beweginigen in enkeÏvoudige golven 4. 1. Ongekoppeld:e bewegingen.

4.1.1. Dompende ton

4.1.2. .Sli.ngerende bà'k

4.2. Cekoppeide bewegingen

4.2.1. Stampen, dompen en schrikken 4.22,. Slingeren, gieren en verzetten 4.3. Dwarslcrach.ten en buigende _momenten Bewe:gingen in onregeimatige goiven

Bijzondere aspekten

6.1. Laag frequente bewegingen _{en driftkrachten} 6.2.. Dynamisch posItioneren

6.3. Berekeningen in het tijdsdomein

Referentie:

Prof.ir. J Gerritsma

College mt , rapport 563-K.

1. Inleiding

Drijvende konstrukties spelen _{een belangrijke roi bij werkz.aam:hede.n} buitengaats, zoals winning _{van olie en gas, pijpen leggen,}

tran-sport ten behoeve van offshore werk (bevoorrading, _{vervoer van} boorejianden en onderdeie.n daarvan)

De beweginge.n en de belastingen _{die ontstaan door de wisselende in}

vloeden van zeegoiven, stroom _{en wind steiÏen een grefis aan het} aantaiwerkbare dagen. Men streeft _{naar een minimum aan.tai} onwerk-bare dagen en dat bepaalt in _{vele opzichten de vornigeving van de} offshore konstruktjes, met _{name van bet onderwater deel dat de}

op-drijvende kracht van de drijve.nde konstruktie _{moet leyeren.}

Voorbe.eiden van drijvend'e offshore-konstruktjes _{zijn booreilanden,}

boorschepen, pijpenleggers, driJvende _{opsla.ginstallaties,} bagger-molens, snijkopzuigers, deklast _{pontons, enz.}

Een aantal voorbeelden van uitgevoerde _{:konstrukties zijn gegeven in}

de Figuren 1.1 t/m 1.9.

Niet alle vo:orbeelden zijn _{ontworpen waarbij gestreefd is naar zo}

gering mogeiijke bewegingen in g:oiven.

Supply schepen, boorschepen _{en sonimige kraanschepe.n zijn qua vorm}

niet wezenlijk versc'hillend van vrachtschepen e.d. , waarvan de

zeegangseigensch.appen met voldoende nauwkeurigheid te berekenen

zijn. Tal van werkzaamheden _{op zee vereisen een stabièl}

wer'kpiat-form, zoals het boren in de ze'ebodem, _{het leggen van een}

pijplei-ding of het vertikaal transport _{van grote lasten.}

Dit heeft geleid tot de konstruktie _{van zgn. semi-submersi.bles}

(diepdrijvers), die gekenmerkt worden _{door een relatief geringe} responsie op zeegolven. Bij _{semi-submersibles is het volume}

van het onderwater-.gedeelte realtief groot ten opzichte van het waterli.jn-oppervlak. Men beoogt d'aarmee het _{vergroten van de eigen perioden} van de vertikale bewegingen (dompen, _{stampen) en resonantie}

ver-schijnselen in zeegolven te vermijden. _{Meestal is nog een}

mecha-nische deiningskompensatje nodig _{in verband met de resterende}

bewe-ging van het we:rkpiatform.

Een voorbeeld daarvan is _{een boorplatform, omdat de boorpijp, die} vast met de zeebodem is verbonden _{geen vertikale beweging toelaat.}

- 1.2

-Hoofdafmetinen van de. "Viking Piper"

Lengte o..a _{exci. stern ramp 167.50 m} Lengte o.a.., inci. stern ramp _{248.50 in}

Grootste breedte _{58. 50 m}

Hoogte vati kiel tot werkdek _{33.20 m} S I.eep di epgang

. 7 .80 in

Werkdiep:gang

_{o 0}

rn

D1epgang .bij zware stotm _{1,3.00 m}

Waterverpleatsing tijdens siepen _{30.0:00 ton}

Waterverplaatsing tijdens bedrij f _{52 .000 ton} Waterverplaatsing b:ij zware storm _{44 25.0 ton}

Kia;s.s if ikat i.e : _{Bureau Varitas, Ponton}

Haüte Mer, 1 3/3

Kriteria: max. gólfhoogte max. waterdiepte max. pijpdi.aineter

10.0 _{j aar s torm 'Nroordzee}

toepassing wereldwijd

4.5 in

360 m

44

r-drijvendeop.siag en tankerI,aadLinstaIiatj.e

opname kap.acitelt 100.000 vaten/dag (... 16.000 rn3) opsia,g kapaciteit 300.000 vate.n/dag _{C... 48.000 rn3)} overs lag kapaciteit 6.000 rn3/uur

Figuur i.2"Spar"-boei.

-- 1.4 -Ponton: L = 1.10 m

B= 30m

H6.5m

in ver'band met wrke:n in zeegang zijn de emmeriadder en bet ladder-heftakel i.n scharnierende armen opgehangen1 _{zodat bewegingen t.o.v.}

bet ponton mogelijk zijn. (Passief systeem).

Length o.a . 14.9.00 m Length b.p. . 137.., 00 m Moulded breadth... 21.35 rn Moulded depth _{12. 50 rn} Draught _{7.32 rn} Dispiacernelt approx 15.000 t Maximum speed

...

Ontwerp-kriteria: Windstoten tot _{100 km/uur}

max. heilirig 30

slingerfrequentie 100 in 10 s

stampen _{40 in 10} s

dornpen 1.2 ft. in 8 s

L 103 m _{draagvermogen 11000 ton}

B 30 rn _{netto dekopperviak 2800 rn2} H = 6.5 m _{2 kompressoren à 100 pk}

T = 5.i5 rn voor afzinken en ankerlier

Ponton:

bagge'rd,i ep't e

diameter :zu;igleiding

diame ter p:ersieid'ing

cutter vermogen - 1.7 -Figuur 1.6 Cutterzuiger. 67.0 m B

_i6.Om

H

Af;stand tussen zullen 8O.5 in

Lengte over dr ij:vers 109 . 315 ni

Breedte over drijvers _{100.294 in} Lengte over d'ek _{94.155 in}

Breedte over dek _{104.940 in} Hoogte tôt hoofddek _{44.5 ni}

Transport diepgang e . a. 8. 65 m

Werk diepgang ₂₁ - 24 m

ò

In horizontale richting worden drijvende _{offshore konstrukties op} hun plaats ge'houden door verankering _{(soms wel met 14 ankerkabels),}

of door een dynamisch _{positioneringssysteem, werkend met}

elektro-nisch gestuurde stuwkracht-eenhecjen _{(zie Figuur 1.4.). Dergelijke}

verankeringen en positionerings Systemen kunnen _{zwaar belast}

w.orden door de gevolgen van zeegolven, _{stroom en wind. In het}

bijzonder blijken als gevoig van niet lineaire effekten lang

periodieke béwe-gingen te ontstaan, die _{bepalend kunnen zijn voor} de dimensionering van de ankersystemen.

Vervoer van groot materiee]. _{met behulp van deklastpontons (zie}

bijv. Figuur 1.5.) _{over zee komt tegenwoordig vaak voor. De} zee-gangseigenschappen van pontons kunnen zodanig zijn _{dat kaim weer} voor het transport over zee afgewacht moet warden.

in verband met het verpiaatsen _{van b.00rplatforms, pijpenleggers en}

kraanschepen naar een andere lokatie _{moet aandacht besteed worden}

aan de weerst:andseigensch.appen van het onderwaterdeel. _{Daarom zijn} de zgn tlfootingsss van serni-submersib].es _{soms min of meer}

stroom-lijn vormig uitgevoerd _{en voorzien van eigen voortstuwers (zie}

Figuur 1. 8.).

Over het algemeen is de transport _{snelheid van offshore} konstruk-ties gering en ugt de nadruk bij het _{ontwerp op het verkrijgen van} zo gering mogelijke bewegingen in golven _{bij snelheid nul.}

Vaak zijn de vertikale bewegingen _{daarbij de belangrijkste en}

s er

iets meer tolerantie _{voor bewegingen in het horizontale viak.} Ontwerp kriteria zijn voor offshore konstrukties zeer belangrijk voor het bepalen van de onderwater _vorm.

Voor een boorejland kunnen, als _{voorbeeld, de volgende} ontwerpkri-tena gelden:

de bewegingen als gevoig _{van zeegang, stroom en wind mogen bepaalde}

grenzen niet overschrijden;

de horizontale verplaatsing _{mag niet meer zijn dan 5% van de} water-diepte in verband met de elastische _{eigenschappen van de boorpijp.} De vertikale verplaatsing van het boorplatform mag niet groter zijn dan 3 meter, omdat de vaste verbinding van de boorpijp met de bodem

enerzijds en de deiningskornpensatje _{anderzijds een grotere} ver-plaatsing niet toelaten.

Dergelijke eisen leiden tot _{grote eigen perioden van de oscillaties} van de drijvende konstrukties, bijvoorbeeld 30 _{seconden of meer orn}

resonantie verschijnse].en in zeegang te vermijden.

De veiligheid van het booreiland _{moet onder zeer zware} weersomstan-digheden gewaarborgd zijn. Er wordt _{gerekend met maximum}

golfhoog-ten bijvoorbeeld van 30 meter, waarbij _{het werkdek niet geraakt mag}

worden, en met gemiddelde windsnelheden _{van bíjvoorbeeld 50 rn/s,} waarbij de maxima 20% en de windstoten _{nog eens 20% hoger liggen.}

De Figuren 1, 2, 8 en 9 van uitgevoerde konstruktieg tonen een grote verseheidenheid in vormgeving _{van het onderwater gedeelte,}

orn

- 2.1

-2. _{Definities van beweg.ingen}

2..l Assenstelsels en beweginskomponenten

De be.weging.e.n van een drijvende maritieme _{konstruktie in zeêgang,}

kan men splitsen in drie onderling _{loodrec.hte t.ransl.aties van het}

massa zwaartepunt en dri.e rotaties van de konstrukti,e orn dez;e

transiatierichtingen. In de meeste gevaUen zullen _deze

beweg:ings-komponenten kleine amplituden he:bbe:n. _{Er worden dri;e.} rechtsdraai-ende orthogonale assenstelsels gebruíkt:

gen ruirntevast assenstelse]. x0, y0.,

z0,

ver-tikaal naar boyen gericht.

Een vast aan de konst:ruktie verbondén assenstelsel xb, _Yb zb, waarvan de oorspr:ong samenvalt met het massazwaartepunt van de

konstruktie. Zo mogelïjk zijn de _{assen van dit steisei de} hoofd-traaghe i dsassen van de konstrukti_e.

Een ricThtingsvast assenstelsel _{x, y, z,, waa.rvan de as-richtingen}

in de stationaire toestand _{van de konstru:ktie gelijk zijn aan}

di.e van bet stelsel _{xb, y, zb. Het zwaartepunt C ligt dan op de} z-as. Ais de konstruktie een voorwaartse _{snelheidbe.zit (slepen,} varen) beweegt het x, y, _{z-ass'enstelse]. met de gemiddeide}

snel-heid V van de konstruktie in bet _x0,

_y0,

(zie figuur)...

Figure Asserstelseis

De translaties wOrden als voigt _{gedefi.nieerd:}

schrikken ("surge"): een horizontale oscillerende beweging in de x-richti.ng.

verzetten ("sway") : een horizontale oscillerende beweging

in d:e y-rich.tin.g.

dompen ("heave") : e.en vertikale osciilerende b.ew.eging in

de z-richting.

De stand van de konstrukti.e wordt eendu.idig vastgelegd door ee.n

.slinge.ren ("roil") : een osciiier.en.de rotat.ie orn de. x-as.

stampen ("pitch") _{een osci,iiere.nde rotat.ie orn de}

gieren ("yaw",) : een ose iI.iere,nde rotatie orn _{de. zb-as..}

(.z ie f igtiu.r)

Figure Defi.nitie rotaties

De bew.egi.ngst:o.esta.nd van de konstrukt,ie _{wordt vastgeiegd door de} snelheidskom.p.o.nente.n u, y en w _{en de hoeksnei:heidskomponenten p,}

q

en. r re.spektievelijk in de ri.chting van en orn de xb-, _{Yb- en z,-as.}

Voor kleine hoeken , O en 'I', bijvoorbeeld < 0 1 rad, is _de

trans-forrnat,ie rnatrix v.an de stelseis

X, y,

i -. O

i

-O 1' Z.J

z.odat de verplaatsing van, een will.ekeurÏg punt xb, _{Yb' z,b gegeve.n} wordt door:

X _Xb

- Yb.. + ZlbO +. XC .

X%b + Yb. - Z,b _{+ YC}

z _{XbO + Yb} 1 z: + _z.0

waarin: XC, _YC zC de coördnate,n van het gewichtszwaartèpu.n,t _ten

opzi.chté. van bet xa y, z-.stel.sel zijn.

Tevens gel.dt door daze linea.risatie

p =

=v

q=9

- 2.3

-BIijkbaar is in dit geval _{te stellen dat de rotat:ies afz;onderiijk,}

ongeacht hun volgorde, ten opzi.chte _{van de x-, y-, en z-as} uit-gevoerd worden.

2.2 Symmetrische _{en keersymmetrische bewegingen}

De zes bewegingskomponenten _{van een d:rijvende k'onstruktte kunnen} bij de aanwezigheid van _{een symmetrie viak gerubriceerd worden in} symmetriache en keer-symmetrjsche _beweg:ingen.

Bij symmetrische bewegingen _{is de beweging van de punten, die}

syin-metrisch liggen ten opzichte van het symmetrieviak, gelijk

Bij keer-symmetrIsiche bewegingen is dit niet h'et geval.

Dit wordt voor het geval _{van e.en schip nader toegeiicht.} De symmetrische bewegingen bewegingen _zijn:

schikken x

dompen z

stampen O

Figure Symmetrische b:ewegingen

De keer _{- symmetrische bewegingen z ij,n:}

verzetten

y

ai ing eren gieren

- 2.4

-In een gelineariseerde theorie, die vaak _{tóèpasbaar is voor}

bewe-gingen met relatief kleine bewegingsamplituden, _{zijn de zogenaamde} be.wegingsvergeijjkingen per groep _{aan elkaar gekoppeld, 'dus}

schrik-ken, dompen en stampen kunnen beschreven worden door een stel

ge-koppelde bewegingsvergeijjkjn:gen _{evenals verzetten, slingeren en}

stampen. Het dompen is bijvoorbeeld onafhankeiijk _{van het slingeren}

en de beide andere keer-symmetrische bewegingen, _{maar wel}

afhanke-lijk van het stampen _{en het schrikken. Met nadruk wordt erop}

gewe-zen dat deze beschouwing slechts geldt voor het gelineariseerde

geval.

2.3 Bewegingsvergelijkingen _{yan Euler}

Uitgegaan wor.dt van de vergelijkingen _{van Euler voor de beweging}

van een vast lichaam in de ruimte. Voor translaties _geldt:

X m(t -I- qw - rv)

Y rn(r + ru - pv)

Z = m('c, + pv - qu)

Voor rotaties geldt:

Ixx - (I

- I)qr = K

1YY4

- - xx)rP M

I

- (' - Iyy)Pq N

Deze vergelijkingen gelden _{voor het aan het lichaarn vast verbonden}

assensteise]. xb, _{Yb' zb, met:} u, y, w - sne].heid van G

p, q, r - hoeksnelheid

X, Y, Z - krachten

K, M, N momenten

rn is de massa van het lichaarn'en 1,

zijn de massatraag-heidsrnomenten ten opzichte van respektievelijk de xb, Yb' zb-

as-sen, die veronderste].d worden samen te vallen met de drie hoofd-traagheidsassen van d'e drij'vende. konstruktie.

Voor kleine bewegngsamplituden geldt na linearisatie waarbij 2e

orde termen zijn verwaarloosd:

ini=X, m=Y, rn=Z

en:1

K, 1yy0 = M, N

waarbij de versnellingen, krachten _{en momenten nu gedefineerd}

kun-neri worden in het richtingsvaste assenstelsel

_{X, y,}

niet optredende koppelingen als gevoig _{van symmetrie en} antisym-metrie komen tot uiting in de rechterleden _{zoals later zal biijken}

p

- 2.5

-2.4 Massa en ma.ssatragheidsmomenten

De massa van een drijvende konstruk.tie kan meestal op eenvoudige

wijze bepaald worden; immers deze is _{ge]!ijk aan de massa van het}

verplaatste water: pV

waarjn :

massa van de drijvende konstruktie soor.telijke massa water

zo:et water:, p - i000 kg/rn3 zout water: _p 1025 kg/rn3

V volume van het verpÏaatste _water

De massatraaghejdsrnomen.ten _{orn re.spekt:ievelijk de x-as,, de}

y-as en de z-as voigen uit:

J(y

+ z)dm

ir,, ;

f

m J x dm

waarin dm een oneindig klein _{massa-elementje voorstelt.}

Deze uitdrukkingen kunnen b:enaderd _{worden doOr de som van een} eindig aantai termen, bijvoorbee1d:

1xx 'i(Yb +

Zb) +

waarin:

m: massa-element

I: massatraaghejdsrnoment orn het eigen zwaartepunt van het i-e

massa-element

In het algemeen is de bereken'ing van de massatraaghejdsmomenten _van

e.en drijvende konstruktje een tijdrô'iende _zaak.

Voor s1.ankere konstrúkties met _{een. grote lengte/ho:og.te 'en 1engte/}

breedte verhouding zoals bijvoorbee1d _{schepen, lange pontons,}

e. d. kan met een redeÏijke benadering _{gesteid worden:}

= C

met:

Deze soni is met behuip van de zogenaamde gewichtskromme gemakkeÏ.ijk

te bepa.len:

Figure Gewicht s;k ro mme

Het _{s echter vrijwel onmogelijk orn de waarde van lxx voor. dit}

soort konstrukties uit de gewichtsverdeling _{te' berekenen.}

Bij booreilanden en andere off-shore _{konstrukt:ies bestaat er in' dit}

opzicht minder onder'schejd tussen _en

Soms. wordt gebruik gemaakt van de massatraagheidsstraal.

De definitie daarvan, bijvoorbeeld in _{verband met het}

massatraag-heidsmoment orn d'e y-as, lu'idt: pV

Hier:in heeft _{de dimensie van een lengte en wordt vaak} uitge-drukt in een- karakterist.ieke lengte.

Voo:rschepen geIdt bijvoorbeeld: = ±: 0.40 B

± 0.25 'L ± 0.2,5 L

waarin::

L leng te: schi,p B breedte schip

2.5 Harmonische 'bew.eingen

Vaak zijn de eerste harmonischen _{van de bewegi.ngsc;omponenten van} belang, omdat door superpositie van vele van die componenten, met elke een verschilIende f:rq _{ntie en e:en .onderlinge} fasever:schui-ving, een realistisch mathematisch model van de bewegingen van een

-drijvende kons'truktie in de onregeimatige

_{zeegang opge;bouw.d ko.n}

worden.

Een sinus- of cosinusvormige komponent

_{van een beweging is geheel}

gedefinieerd door een amplitude,

_{een frequentie en een}

faseyer-schuiving ten opzichte van een referentie.

Voor de zes bewegingskomponenten geldt dan:

Een amplitude wordt aangeduid

_{met de index a en de cirkeifrequentie}

met w.

Een faseverschuiving wordt gerelateerd

_{aan een referentiesignaal:}

de eerste index is de beschouwde

_{bewegingskomponent, de tweede}

in-dex is de referentje.

In het geval van bewegingen in golven

_{is de referentie veelal de}

vertikale beweging van het golfoppervi.ak

_{ter plaatse van de}

oor-sprong o bu

_{afwe;zigheid van de drijvende konstruktie:}

Çac00t

In het geval dat de konstruktie

_{geen s;nelheid in het horizontal.e}

viak heeft is wgelijk

_{aan de golffrequentie, inscìhakelverschjjn}

seien worden geacht niet

_{meer aanwezi.g te zijn.}

Eeri harmonischer bewegingskomponent

_{kan in twee delen}

gesplitstwor-den:

een deel dat in fase is met de goifibeweging

een deei dat 900 uit fase is met de golfbeweging

Immers, voor een harmonische siingerb.eweging kan geschreven worden:

ac05()t +

t1ç)cos wt + (a stn eç)Sïn Cùt

(ac0s ç)cos Wt + ("a sin .,ç)cos(wt + 900)

Soms hee.ft een komplexe sc:hrijfwijze voordeien.

i(wt +

iwt

)e

a e)t

cos(wt +

ôos(wt + yç)

cos(wt + ezç)

cos(wt +

cos(wt +

cos(w.t +

2.7

-schrikken

verze tten

dompen

sI ingelren

gieren

Hlierin is 'a de komplexe amplitude van de slingerbeweging, die

ge-splitst kan worden in een reêeI deel

_{en een imaginair deel:}

X _Xa

Y Ya

z _Za

"a

Le

waar in:

- 2.8

-aCS e«ç

In d _{figuur wordt de fase relati.e verduideiijkt in het} tijdsdo-me in:

Figure

In het vekto.rdi'amgram in _{onderstaande figuur zijn de faserelaties}

van de s1ngeramplitude en zijn in- _{en uitfase delèn met de}

golf-beweging weergegeven.

Figurè

De sneIheden en versneilingen van harmonische bewegingen kunnen op

e envo udi ge wi j ze door d-i-f--ferent-i erè_{n ve rkregen wo r dèn.}

-Figure - 2.9 -= ac0s'(0t + dt

a(c't +

a,in(t

+ Eç

+ Eç

Voor het gev'al dat e. 0 wor:den de onderlinge relatie,s _{tussen de} bewegin.gen, de sneiheden en de ver.snellingen in de volgende figuren

gé geven.

2.6 Samenstellen van harmonische bewegingen

De bewegin.g in een ruimtevast _{ass'enstelse], van het zwaartep.unt van}

een drljvende konstruktie bestaat uit de translatles _schrikken,

verzett:en en gieren. 0m dit zwaartepunt _{voert de kónstruktie d'e} rot'atie;s slingeren, stampen en gieren uit.

Een enkelvoudige golf heeft in geval _{va.n een lineair systeem} har-monische bewegingen van en rond het _{zwaartepunt van de konstruktie}

tot gevoig. Ais deze zes harmonische _{bewegingen bekend zijn kunnen} in elk punt op de konstruk,tie de bewegingen gevonden worden door h'e't vektorieei samensteilen van de b'ewegingskomponenten.

Dit vektorieeI samenstelien _{van beweging'skomp.onente'n komt veei vo:or}

bu _{praktische to'epassingen. Als vooibeeld wor'dt hier een ponto.n} n

recht van voren inkomeñde enkeIvoudige _{goiven genomen.}

Er wordt verondersteid dat _{e'r geen schrikken, ver:zetten, slingere.n}

- 2.10

-Ten opzichte. van het _{x, y, z assenst'eisei is. de vergelijki.ng van} bet golf oppervi ak:

ÇaCOS (kx + wt)

In bet zV.aartepunt van de konstru.ktje _{(xO) gei.dt:}

ç-De domp.- en stam.pbewegjngen _{worden gegeven door:}

Z _ZaCÔS(Wt + _Ezç)

-- s (w t, + 6 _ç)

Uit deze domp _{en stampbeweginge.n. kan bijv.00r.beeid de vertikale} versneliing in een punt _{op een afstand xb* voor G bfereke.nd worden.}

De vertikale ver.piaatsing ter plaatse van xb xb* Voigt uit:

Z _{- 'b}

zacos(cùt + ezç) - xb Oacos(wt + gç)

(zac'9s 6zç xb.Oa.co;s e 9ç)cosw.t +

(Zasirl

_6zç

Daze harmonische bewe;ging kan ook geschreven worden als: Zxacos(cot 'b

_zç.)

ZxaCOSzç ) co.swt

± (

Hieruit voigt:.

xaCO s

_{6z:ç =}

OS

ç - XbO aCOSe g _ç

zxasinczç

Uit kwadrater,en en optelien _{van deze tw.ee vergei.ijkingen voigt de} amplitude Zxa.

Uit het op eikaar d:eien van deze twee vergelijkingen voigt de

faseverschuiving

De vertikale versneiiing voigt _{nu uit:}

Cô2Zxacos(wt +

_zç)

w2zxacos(wt +

Èzç +

Ook kan in verband met _{waterovername de reiatjeve vertikale} be-weglng voor berekend worden. De vertikale verpiaatsing van het goifopperviak volgt uit:

L

* _{+ wt)}

irL

co:s( + wt)

A

De re;1:atteve verplaatsing vOor,. _{van het wateropperv1.a.kvoigt uit:}

s - Z

+-8

2

irL _L

c:os(w.t +

_{- )- zcos(:t +}

irL _L

(ç cos(

a05

.6zÇ

Oac0gç)c0t

SaSifl

+(ças;in( )

-De .harmoniscte relatieve bèweging _{voor, kan ook geschreven worden}

ais:

s cos(wt, +

COS e.sç)co:swt + (Sasine.sç)s:inwt

Hie:ruit voigt: SaCO 5_{s Ç aCS ( -},rL A : in )-1.50: rn L 1:00 Za 0.30 m

Ç

ç

i

OaC0Oç)s1flWt

5

+ - O sin

'Uit deze t.wee vergeIij:kingen z'ijn _{dè amplitude Sa en de} faseyer-schuiving _{SÇ van de relatieve beweging ter plaatse}

van de 'voor-z ij de van de ponton te bepalen. In de'voor-ze bereke:ning _{is ge:en rekening} gehouden met de ver:storing v'an dO golf door de aanwezigheid van het b è wege n'de pon ton.

Ce tall envoo rb:ee id:

- 2.12.

-Mat toepassing van he.t voorgaan.de _{voigt hieruit:}

- 3.1

-3. _{Bewegingen in viak water}

3.1 Ongekoppeide bewegingen

De bewegingen in het horizontale _{viak worden gekenmerkt door het}

ontbreken van de "veerterm" ais _{geen verankering aanwezig is.}

Ret gieren, verzetten _{en schrikken zijn in gekoppelde vorm voor te}

steIlen door de volgende _{vergelijkingen:}

+ bØ

+ = O (verz;etten)

ax + bx

Voor de verzetbeweging is de oplossing _{bijvoorbeeld:}

= Ceat _waaruit:

Ce aIs:

voor t O, dan is C =

Indien de konstruktie verankerd is _{zijn de veertermen echter wel}

aanwez ig.

Dit geldt ook voor de andere dri.e _{bew.egingen: dompen, slingeren en} stampen Als een drijvende konstruktie _{uit zijn evenwtcht gebracht} wordt zal dez:e trachten het _{verstoorde evenwicht te herstelien.}

3,1.1 Dompen

We beschouwen een cyli.ndervormige bOei, _{drijvend in viak water, die} een vertka1e. verpiaatsing krijgt. e.n daarna losgelaten _wordt.

Op elk tijdsti,p geldt de 2e Wet van Newton: = z

Waarn Z de som is van alle vertikal.e _{krachten de op de boei}

werken, zie Figuur.

Z _{-P + pAw} b a -P + pg(T _{z)Aw -} b

-omdat:

P = pgTA vinden we:

-

3.2

-a =

de hydrodynamische massa

b =

_{de hydrodynamische demping}

ni

= pAT

de reëeie masia van de boei

e = pgA

de "veerkonstante" van de vertikale beweging

De termen b

en a

worden veroorzaakt door d'e hydrodynamIsche

reaktie, die het gevoig, is

van de beweging van

_{e cylinder, ten}

opzic'hte van het Water. Als we veronders;te lien dat het water

wrijvingsioos en onsamend'ru'kb'aar is,, dn is

er dempi.n;g ais gevoig

van hot opwekken van opperviakte goiven door bet op en neer gaan

van de cylinder. Die golven transportere,n

_{energie niet d}

_groeps.n:ei

heid en die energie wordt

_{onttrokken aan de be}

_{gende cylinder,}

zo-dat de beweging daarvan t.ensiott'e geheel uitdempt. De zgn.

goifdem-ping is lineair afhan'keiijk

_{van z bij kleine bewegingsanipiituden}

In een reëeie vioeistof is ook viskos

_{it'eit oorz.aak van demping,}

doordat wrijving, we.rveivorming

_{ên losiatingsversch'ijng.eien}

optre-den. in het algemeen is het viskeuze

_{aandeeÏ van de demping niet}

lineair

D.aarop wordt later teruggekomen.

Fi gure

Het andere deel van d'e 'hydromechanische

_{reaktie (ai) Is evenredig}

met de vertikale vers.neliing van de beweg:ing en ontstaat do.ord'at

aan de wate'rdeeltjes in d'e buurt van

_{4e boei een versneiii.ng wórdt}

gegeven.

Dit deei djs,sipeert geen energie, zodat

_{een eventuei.e}

oppervlakte-verstor'ing zich moet manlfes'teren al.s een staand golfpatroo.n 'in de

buurt van de cylinder. De coêfficiën't

_{a heeft de dimensie vari een}

massa

We sc'hrijven nu d'e b.ewegingsver'gelijking als

_voigt:

r - 3,. 3 -Hierin is: b 2's' rn + a

demp in'gscoe ffic iènt

C

rn + a'

ongedempte eigen frequentie

'De 'o.plos'si;ng van de bewe.gingsvergeiijkjng _luidt:

C

t

waarin:

a -i' '± ,/,2

o

De eigenfr'equentie v'an dit systeem is:

-' p2

waarmee:

± iWZ

Du's:

z

e/t(C1

_{coswt + £2}

5izt)

'D'e konstanten' C _{en C2 vo1g'en uit de beginv'oor,waarden',}

bijvoor-beeld:

to

dz

-

dt

Hiermee wordt de oplossi.ng van de _{b:eweg'ingsvergelijkjng van de'ze} dompe'nde ton:

e - '(co'sw t + 'S inWz,t)

Wz

De eigen periode T,z voIgt uit:

2'ir

Figure _{Uitdempingskromrne}

Uit het voorgaande voigt dat _{er gee.n p'erio:dieke opiosstng van de}

bewegingsver'geiijkjn.g bestaat ais w

w. Ais w

= w0

In dat verband wordt de dimensïeióze _{dempingsfaktor K die ais voigt}

gedefineerd wordt:

V

'G

Wo

Hiermee wordt de bewegingsvergeiljjkjng _{ais voigt g,eschr'even:}

+ 2 icw0 + w0 z = O

Voor drijvende kon'stru'kties _{is steeds}

ic«l;

<0.2. In

dat geval verschilt de _{eigenfrequentie w weinig van d'e ongedempte} eigenfrequentje

w,.

Immers:

Wz

jw2

p2

_w0.Ji-,c2

Voor 0.2 is de fout ,slechts 2%.

De eigen frequ'entie's _{van driJvende konstrukties zijn}

van groot

belang in verband met _{resonantle vers'chij.nselen ais}

gevoig van excitatie door golfkrachten.

De meting van de periode wordt bij _{voorkeur uitgevoerd met behuip}

van de op tijdbasis geregistreerde

uitdempingskromme.. In het geval van een lineaire' demping is de _{dempingscoeffjcjent dan gemakkelijk} te bepalen met behuip van het _{iogarith'm'isch dekrement, dat is}

de

n'atuu'riiJke logarithme van bet quotient _{van twee uitwijkingen uit}

de neutrale stand, die _{een periode van elkaar verwijderd zjn,, zie}

z(t+Tz)

e/(t+Tz

De natuuriijke io;garitme hiervan levert _{het 1ogaii.tmisch dekrément:}

in

z (t+T.)

z(t)

2,r,c

De dempingsfakto:r ac is dus op eenvoudige wijze uit het _{Ioigaritmisch} dekrement te bepalen met:

i. z(t) ?c in 2ir

_z(t+T)

-Figur.e _{Bepaling 1ogaritmisch dekremen.t}

Hieruit voigt voor het qúotiênt _{van deze twee uitwijkingen:}

3.1.2 _{S'lingeren en s..tampe.n}

Figure

Als een ponton in vl.ak. _{Vater een hellingahoek gegeven wordt kan} op analoge wijze ais bij: _{d'e dompende ton eên be.wegingsvergeijjkijng} opgesteid worden.

E momenten

- pgVGM -

-waaruit vo1gt

+ m) + N

Op analoge wijze geldt voor. de stampbeweging: + m99)9 + q99 _{+ PgVGM O}

DernD Ing en hydrodynamIsche massa en mass atra.a.gheidsmoment 3.2.1 Physische achter.grond

Demping van de sche.epsb.ewegingen _{ontstaat door het opwe:kken van} oppervlakt:e golven, die energie _{van het bewegende schip wegvoer'e.n} (dissiperen) , en door viskeuze invloeden (w.rijving, werveis,

ios-laten van de stroming).

Coifdempin:g geeft aanIeiding tOt _{een lineaire dempingste:rm, zoals} het volgende voo,rbeeld _{aantOont. Daarbij wordt verondersteid.dat de}

stei.lheid van de dempingsgoiven klein is.

Beschouw een drijvend'e cylind:er _{die een harmonische os'ciila'tie} uit-voert, zie Figuur.

Vo:or de vertikale beweging _{van de. cylinder geidt:}

(pV + +

3.6

Figure Oscilierende. drijv.ende cylinder

De arbeid verricht door de dernpingskracht N2i is per tijdseenheid gelijk aan de energie die door de _{d'empingsgoif per tijdseeniheid.}

wordt afgevoerd, dus:

T i C dt 2 - pg'a,2 L Hierin is: 2ir

T - de periode van de os.cfllat:ie, C

-. - de gro.epsnelheid van de golf _en

dz

z.dt

- dt

seconden

dt.

Omdat _ZawCOSWt,

_IS

Nz.z za 2

Verder geldt: C = g/w, dus:

½ Azz z.z ₃ w waarin: de 2-dimensionale dempin.gscÓefficie.n\t

de zgn. amplitude ve.r.houdi.ng _{tussen de gegeneréerde} golf- en de dompb:eweging.

Het is gernakkeiij:k in, te zien dat _{alleen de sn'eiheidsaf:hanlceljjke} term Nzz energi.e di:ssipeer't.

Immer's:

JT(pV+mzz)

dt za2(pV+mzz)w3 _{Jsinwt cos'wtdt = O}

JTN en: - 3.8 -2N.zzw2 = ½ N.zzc2za T I p,gAW2 dt

z2pg

De invloed van de vis'kositeit op de demping w.ordt bet duideiijkst geïllustreerd aan de sling,erbeweg.ing

D'e viskeuze dempin'g. is te spii.taen _{in demping.doo:r huidwrijving en}

demping die het gevoig is _{van losiatingsve.rsc,hijnselen, waardoor}

werveis en drukweerstand optrederi zie Fi:guur.

De wrijvin;g is ongeveer _{evenredig met hat kwadra.at van de}

tangen-tiele sneiheid van het Water ten opzichte van de scheepshuid _Vt

-I

rfcos(r;n)

wrij-vingskracht die evenredig is met _{zie Figuur.}

N.B.:

Figur e _{Demping door wr ij ving}

Het totale niet lineaire _{dempingsmoment kan beanderd worden}

door

(2.)

N . De absoluut strepen zijn nodig omdat de dempin;gskracht

a]itijd teg.enge.steld gericht is _{aan de sneiheid, die bij een} oscil-lerende beweging steeds _{van teke.n wisselt.}

Men kan de niet1inea.ire dempi.ng _{lineariseren. door als voorwaarde} te stellen dat een equivalente lineaire _{demping:sterm Ne evenveel}

energie moet dissiperen _{Is de niet linéaire term, dus::}

Te(2)

J

J

II1t

Met

_{- a8it en}

3/4coswt + 1/4 cs3c,t vinden _we: - 3.9 -8 (2) '» 3ir

De int:e,gratie kan over ¼ periode uitgevoer.d worden. Als gevoig van de _{niet-lineariteit is: Ne afhankelijk} van d:e slingeramp1itude.

Bij hat stampen en het dompen _{wordt de demping voo:r hat grootste}

deel veroorzaakt door gol.fvorming: _{het aand'eel van viskeuze demping} i.s in veel gevallen v.erwaarIoosbaar _{klein als d'e waterdiepte}

vol-- 3.1.0

-doende groot is. Stamp- _{en domp proeven met modellen op diep water}

zijn dan ook vrijwel niet gevoelig _{voor de sçhaai. Bij slingeren is}

er wel een belangrijk viskeus dempingsaandeel, _{dat zich vooraÏ}

manifesteert bij geringe golfdemping _{(8/T 2.5). zie Figuur.}

Figure Golfdemping bij slingeren

Het schrikken, het verzetten _{en het gieren wordt gekenmerkt door} het ontbreken van _{een "veer" term in de bewegingsvergelijkjngen} Deze horizontale bewegingen bezittendan _{ook geen eigen periode.} De demping bu _{het verzetten en gieren wordt tn hoofdzaak bepaald} door golfvormjng; bij het schrikken _{is ook de invloe.d van de}

viskos iteit (huiidwrijving) _{van belang.}

3.2.2 _{Experimentele bepalin}

Met behulp van een eenvoudige uitslingerproef met een model kunnen de hydrodynamische _{massa en demping bep.aaId worden.}

immer's voor de dompbeweging _{bijvóor'beeld geldt:}

C a 2 wo m b = 2zi(m + a) met ¿1 i z(t) = wo?c = ln( ₎ Tz

Z(t+Tz)

De bepaling van de demping _{en de hydrodynamische massa met behulp} van uitslingerproeven heeft als nadeel dat _{deze grootheden bij een}

frequentie, bepaald worden.

Bij de sl.ingerbeweging kan de eigen frequentie nog iets

gvarieerd

worden (GM,

_{') maar het frequentiegebied is dan tch}

zeer be-perkt.

Dit bezwaar wordt ondervangen _{door gebrui'k te maken van de zgn.} osciiiatietechniek, waarbij bet model _{een gedwongen harmonische be}

weging o.pgeiegd wordt.

a pV +

C

- --

Za

- 3.11

-Voor bet gevai van de dompbeweging i.s de gang van zaken ais voigt, zie Figuur.

De bewegings.verge]jijkjng is In dit geval: a + b + cz _{Fasin(wt + '6Fz)}

Met:

Z _a5J1Wt, Z _ZaWCoScût, Z _ZaW2'SjflWt

vinden we:

za(acû2 + c)sjnwt + _{z:abwcoswt FacosFzsinYt + FasinEFzcóswt}

waaruit voigt:

Figure _{Cedwongen o.sc:iflatie proef} F,

Za .SlfleF.

of':

- 3.12

-Figure Gedwongen oscillatie pro:ef

Uit expeimenten met sc'h'eepsmo'dellen _{en andere d'r'ijve.nde}

konstruk-ties biijkt dat de kracht amplitude _{'Fa over een vrlj' groot}

frequentie gebied lineair met de _{bewegingsamplitude Za varieert,} vandaar de notatie Fa/Za.

'De frequentie af'h'ankelijkhejd is _{duide1ijk aanweZig: dat is een} gevolg van de golven die door de _{beweging opgewekt worden}

Voor hoge en zeer Ïage freq.ienties _{is de golfvo'rming gering; de} goifdemping is in dat geval klein. _{Voor hoge frequenties 'is de} hy4rodynamis;che massa konstant: er is een te v'erwaarlozen op-pe'rviakte verstoring (bIj voorbeeld scheepstriiIingen) . Voor lage

freque'nti.es neemt de hydrodynamische _{massa toe, na een minimum} gep'asseerd te Zijn, zie Figuur.

Voor d'e stampbeweging kan met een soortgeiijke proef d'e demping en d'e mas'sa bep:aald worden., zie _Figuur.

De bewegingsvergeljjkjng luidi a + .bÒ + óO _M0sin(wt -FF1 - FAI = i '(FFasin,(Còt + 'M0 = MOasin'(wt ₊ FAasin(wt + ZF - _A Za s1.nwt 21

- 3.1,3

-Figure _{Hydrodynamische massa en dempingscoefficient (dompen)}

Figure Cedwonge.n stampen

Op dezeifde wijze ais _{voor het dompen voigt nu:}

MOa. Ç - _6M0 a = + rn99 M _a siflEMO b - N99

-

3.14

-De gedaante van

_{m99 en N09 ais funktl.e van de f:requentie is}

onge-vee,r dezelfde ais voor de dornpbeweging.

_{De dimensieloze}

dempings-faktor voor dompen en voor stampen is maximaal

_{ongeveer ic}

_0.15.

Het slingeren kan

_{op dezel:fde manier behandeId worden. Oak kan}

gebruik gemaakt worden

_{van een interne oscillator (gyroscopische}

oscil1ator, ontwikkeld door het

_{Laboratorj.um voor}

Scheepshydro-mechanica)

De dempingscoefficientvoor bet

_{slingeren is niet alleen}

afhanke-lijk van de freque.ntie

_{van de slingerbeweging, maar ilangt ook}

sterk af van de voorwaart.se sneiheid

_{van bet schip (invioed}

kimkielen, roer e.d.).

De maximale dempingsfaktor is

_{ruwweg een faktor 3 kleiner dan die}

bij het dompen

en stampen.

N.B. :

_{Een zuvere slingerbewegl.ng}

_{is meteen interne oscillator}

niet .mogeiijk. door korppeilng

_{met andere bewegingscomponenten.}

3.23

_{Berekening van demping en hydrOdynamische massa}

Met behuip van de potentiaai theorie kan met voor

een ideale

vloeistof (homogeen, wrijvingsioos,

_{onsamendrukbaar) de dempi.ng en}

de hy4rodynamische

_{massa van een osciUerenide drijvende cylinder}

berekenen.

Beschouw een cylinder die

_{een gedwongen vertikale harmononische}

beweging 1oodrecht

_{op de as uitvoert: z}

_{zae(ti z:ie Figuur.}

De potentiaal voor dit geva.i

_{kan de volgende vorm hebben:}

(y,z)

iwzáe)tt»(y,z)

Figure

_{Oscilierende drijvende cylinder}

De resulterende vertikale kracht op de cylinder (per

enheid

_van

F1

-

f

pcos(n,z)ds

S

waarbij _{in de richting, van de vloeist.of positief gerekend wordt.}

6

Nu is p

-

p - ,

V 6t

b e s dho uw i ng g_{e laten wo rdt, du s:}

F11 p

f

-cos(n,z) ds

Uit voorgaande vo1gt

(y,zt) =

zodat,:

Oak kan men stellen:

F11 _{- iNzw) Zae)t} zodat: r , p (y,z)cos(n,z)ds + SJ w

Ret reêele deel van de integraal _{ià biijkb'aar de hydrodynamische} massa (met -teken) enhet imaginaire deel _{is de}

dempingscoeffi-ci.ênt, gedeeld door de frequentie _{van de oscillere,nde beweging,.}

De berekening van _{steunt op de potentiaal theorie. De}

enel-heidspotentiaa.l » moet aan de volgende _{randv.00rwaarden voldoen.} De vergel:ijking van. Laplace:

52

-+

&y2 6z2 Met: ' =

. '(y,z) wordt dat:

- 3.15

- 3.16

-62 o.2

'57+

6yL 6zL

De randvoorwaarde aan bet vrije vloeistofop;pervlak:

& i &

- +

-2 0 voor z 0

6z g 6t

Met : en - kg w.o.rdt dat:

64 & z - k = O voor z = O De randvoorwaarde op de bodem: 6 z = O voor z _{-h, o:fvoor z}

-in het geval van zeer grote waterdiepte.

De randvoorwaarde _{op bet opperviak van de cyiinder: de}

normaa.1

komponent van d'e sneiheid. _{van de cylinder ais gevoig van de}

be-weging moet gelijk zijn _{aan de norm'aai.komponen.t van de}

vloei.-stofsneihei.d, zi;e Figuur.

64

H Z _{COS(n,z) = z}

6n _6n

ßiijkbaar is. cos(n,z) -6

6n

F i g u r e

Voor dompbewegi.ngen moet de _{potentiaal symmetrisch zijn, dus} (y,z)

Voor een cirkelvormige doorsnede vondUrseil (On the heaving motion of a circular cylinder on the surface of a fluid; Quart. Journal of

Mechanics and applied Math. 2, _{1949 p. 218} - 231) een analytische

opiossing. De poten'tiaai _{is samengesteld uit een zgn.} bronpoten-tiaai en een l.ineaire konibinatie _{van multipool potentiaien, die}

al-len voidoen aan de vergelijking _{van Laplace en de r.andvoorwaarden}

op het vrije opp.ervlak:

CRe [('iro.n +

m=l

C2m)

of, in reele vorm:

+

ml

P2m2m)C0t

_ml

q«)

met:

- re rcosO _cos(krsln9)

- 3. 17

-Door de oscillerende c:yI.inder wordt ee.n golfbeweging veroorza,akt bestaande. uit:

een st.aand golfpatróon waarvan de amplituden _{sterk afnemen} met de afstand tot de cylinder.

een lopend golf.systeem, dat energie dissipeert.

Het eerste deel houdt verband _{met de hydrodynamische. massa, bet}

tweede deel houdt verband met de demping.

Voor bet van de. cylinder aflopende golfsysteem gelden de voorwaar-den die in de volgende f:iguren _{zijn Samengevat.}

en: '»2m cos2m0 k cos(2m - 1)0 + 2m - I r2m i - 3.18 -oe

eß'sjn0

oJ k2H-i-ß2 (ßcos(ßrcosO)- ksin(ßrcos9)dß +

+ ire rc.os0 _sin(krsin9))

Figure _{Definitie poo1cordina.ten}

De c'oëfficiênt,en _{P2m en van de multipool potentialen worden} zodanig bep.aa:ld dat aan de _{randvoorwaarde op h.et cyli.n'deroppervlak} wordt voldaan.

De methode van Ursell is uitgebreid _{en thans toepasbaar voor andere}

dan cirkeivormige doorsneden. Daarbij _{wordt gebrüik gemaak.t van de} konforme transformatle:

N

= a + E a2n+l

nO

Daarin is: Wb _{Yb + jZ.b een punt van de beschouwde dwarsdooi-gnede}

en _{b - ¿b + ib het overeenkomstige punt van de korresponderendle} cirkel in het referentieviak.

Ais Ni dan voIgt de zgn. "Lewis" _{transformatie:} Wb - a

_[b

_a3b3]

2, 3

Hierin zijn r en 0 pooico&r;dinaten, _{waarvoo,r geidt: y - rsin'O,}

z _{rcos0 en a is de straat van de beschouwde}

cylinder, zie f iguur.

L 2 Fzdxb L = L' dxb - 3.19

-waarin a een schaalfaktor 1s.

De Lewis transforrnatje is _{voor normale spantvormen vaak voidoende,} maar men kan ook andére tran.sformatjes (bijv _{N 10) toepassen orn} de spantvorni bete-r te benaderen. Vaak blijkt dat een zee'r nauw-keurige ben'aderi.ng van de _{spantvorm wein:ig ïnvioed heeft op de} be-rekening van de hydrodynamische _{massa en demping van deze} spant-vorm. Door he t laboratorium voor _{Scheep:sh.ydrom'echanica is een re}

-kenprogramm-a ontwikkeld waarmee de demping en de hydrodynamische

massa van 2-dmensiona1e sp.antvormige _{dwar:sdoo-rsned-en als fun-ktie}

van de frequentie b:epaaid kunnen worden.

De berekende waa.rde-n komen _{zeer goed overeen met de uitkomsten van} oscillatieproeven met cylinders _{en s-cheepsmodeiien. Voorbeelden van} berekend'e demping en hydrodynamische massa zijn gegeven in het

vol-ge-nde hoofds.tuk.

Anaioge methoden worden gebruikt _{voor de verzet- en}

slingerbewe-ging. in ver!band met de _{anti-symmetrie van deze b'e.wegingen geidt} dan: (y,z.) -.(-y,z).

De randvoorwaarde op het opperviak moet aangepast worden aan de

beschouwde beweging., de bronpotentiaa]. _{wordt vervangen door een}

dipool en de multipool potentiaieú _{hebbe-n oo-k een andere}

vorm dan in het geval van de domp:beweging.

Voor de details van deze methoden w,ordtverwezennaar: dr. B. de Jong: Computation of the hydrodynamic _{coefficients of oscillating}

cylinders, Report 174 A., DeIft _{Shiphydrornechanics Laboratory, 1969.}

Voor de bere'kening van de dempig _{e-n massa van een sc-heepsvorm} ge-bruikt met de striptheorie, dat _{wil zeggen de twe.e-dimensio.nale}

waarden va-n de dempi.ngscoefficj,en.t _{N' en de hydrodynamische massa} m.' _{w.orden over d-e lengte van- he-t schip gemntegreerd, zonder} reke-ning t-e hou-den. met interaktie _{effekten tu.ssen d'e door'sneden.}

Experimenten hebben d'e toepasbaarheid vañ deze _{methode voor s'chepen} met L/B 4 b:evestigd.

Ook vo'or d'e stampbeweging kan

_{met voido.ende n'auwkeuri.ghei,d de}

stripth'eorie toegepast worden.

De vertikale _{neiheid van een doorsnede, op a'fstand xb van de}

oor-sprong is xb,o et de daaruit resulterende p'laatseiijke

dempings-kracht is: NzzxbO en het daármee _{korresponderende dempende moment:}

Voor de totale dempingscoefficient _{vinden we dan:}

L N99 + 2 .zxdxb

32O

-Voor het hydrodynamische massatraagheidmoment

m99 voigt:

L 1+ -2 m99

-L'

Analoge uitdrukkingen gelden _{voor de verzet- en de gierbeweging.}

3.2.4 Enkele gegêvens

In de lit'eratuur is zowel theoretische als experimentee]. verkregen

informatie te vinden _{over d'e hydro.dyñamische massa en demping..}

Onderstaande tabel (Newman) ge.eft de hydrodynamische massa weer van verschii].ende ondergedompeide lichamen. Voor diep ondergedompelde lichamen is de hydrodynamische _{demping nuI; er ontstaan immers bi'j}

oscillatie geen oppe.rvlakt.egoiven. I

De volgend'e figuren geven de hydrodynamische massa weer van diep ondergedompelde ömwentelingslicharnen.

Figure

Voor cylinders die het wateropperviak _{doorsnijden en een vertikale} harmonische oscillatie uitvoeren _{zijn de hydrodynamische massa en}

dernping berekend op de manier _{als hiervoor beschreven is, gebruik} makend van de Lewis transforrnatje.

In de volgende figuur wordt de _{hydrodynamische massa per}

lengte-eenheid rn' _{in dirnensieloze vorm c gegeven als funktie van de}

dirnensie]ozefrequentje w2B/2g, de breedte. diepgang verhouding BIT

en de oppervlakte coefficint ß (= oppervlak _{doorsnede/B*T).}

Er geldt: rn'

C

pirB

Hierin is d:e noemer d'e helft _{van de hydrodynamische massa van} cylinder met straa,l ½ B, ais die cyliner geen opp:ervlaktegolven veroorzaakt.

Daar.na wordt de amplitudeverhouding _{van de dernpingsgoif}

gege-ven, eveneens afhankelijk van w2B/2g, BIT _{en ß.}

De dempingscoefficient _{per lengte-eenheid N2 volgt uit:}

pg2

Az

-- 3.22 -'

Figure. _{Hydrodynamische massa coêfficiënt}

Figure _{Amplitude verh'oudin.g van d'e demping:sgoiven}

D,e volgende. fi;guren g.e.ven de' _{massa en dempingsco.e'fficjenten van een} r'ech'th'o:e.k.i.g ponton met LIB = 1 en Bld 5 wee'r voor twee

water-die.p te - diep:gangsverhoud'ingen:

HJd = 9..40 en' HI d 1 . 8 8.,

De exp:erimentele resultaten zijn _{vergeleken met vers&hilIende} theoretische benaderi.ngen.

.Referentje: _{Sakata, èt al.}

On t'h:e hydrodynamic forces acting _{on box-type vessels} and their motions.

J.S.N.A. Kansat, JapEn

No 172 - 178 - 183, 1:979 198:0 - 1981.,

0pmerking:

De vakgroe.p Scheepshydromechanfca _{van de Faculteit der}

W:e.rktuig-bouwkunde en Maritieme Techniek beschikt _{over diverse rekenprogram}

ma's waarniee de hydrodynamische _{massa en demping van} twee-dimensio-nale vorinen, die het wateropperviak _{doorsnijden, berekend kunnen} worden.

Figure

3.3' _{Eigen frequenties van ongekópp'eide'}

.beweg.ingen

In dit, .hoof.dstuk wor,dt aánge;gev.en _{hoe met name voor schepen de}

eigenfrequ'entje voor de domp-, stamp- _{en slingerbeweging geschat} k'an worden.

Dompen

Ve'ronderste]. dat aile 'andere _{bewe'gin.gskompon'ente'.n uit:gesloten ziJn} als het s'chip ee.n vertikale _{oacjilerende beweging uitvoert, zie}

Fi guur.

-D'an g'eidt:

P

zz

.waa'r in:

P ' het gewicht van het 'schip

Z _{de s'om van aile vertikale}

'krachten die op het schip werken

z - - p + pgV(z) -'

-H:et volume van h'e't verpia'atste _{water V(z) is variabel:}

V(z) V -Az

waarlin V het volume v:an het verpia'atste _{water in' rust voorstelt.} Biijkbaar geldt ook:

P - ,pgV

Figure Dompen i.n stil water (ong'ékoppe.Id)

en mzz zijn de, coëfficjê,nten van respek.tie.veïijk _de

dem-pingskracht en van de hydrodynamische _{massa kracht Deze} coeffi-cienten zijn in principe afhankelijk van de frequentie van de beweging als gevoig van opperviakte _{effekten (golfvorming)}

Uit het vo orga.ande. voigt _nu:

pV -P + pgV - pgAz -

-en:

pV + mz)

_{+ pgAz}

Verondersteid zijn kleine bewegin.gsam.plituden, _{zo:dat A(z) konstant} aangenomen mag worden.. Dit is een van de linearisaties _{die' bij de}

behandeling van dit probleem _{toegepast worden.}

De ong.edempt'e eigen frequentie _{en periode volgen uit:}

pgA _pV+m, = , T - 2ir,/ pV+m pgA en: 2ir

-

mz/PV).Tcp

Hieruit biijkt d'at de dompperiode _{toeneemt met de diepg:ang en de}

V C'ijp

vertikale prismatische coê:ffici,ënt. _{B:ij konventionele schepen is} < i, bij, semi-submersjb].es i.s Cp _{> 1. Bij semi-submersibies}

wordt door vormgevjng van het onderwatergedeelte beoogd de eigen periode groot te maken _{orn resonantie verschijnseien in zeegang te}

vermijden, zie Fi.guur.

Een analoge af1eiding geldt _{voor de ongekoppélde stampbeweging.} Stampen is per definitie _{een oscillerende rotatie orn een dwarsas}

door C. Er geidt:

IO = M',

waarin M de som van de _{op .het schip werkende momenten voorsteit.}

We vinden, zie Figuur:

Iyy0 = -pgVCM0 - N09 O - m090

ot:

(I + m.99)9 + N990 + pgVCM.9 - O

De ei.gen frequentie en de eigen _{periode volgen dan uit:} Figure

Voor normale schepen geldt benaderend:

T0 - C1JT (T in meters)

waarin: C1 2.4 - 2.7

afhankei.jk van de biokcoëffjcient _{(0. 60}

vorm co:ëfficjênten. Stam p e n pgVCMj 9 - 3.25 -0.80) en van andere T09 = 2iij

i+rn09

p gVGM

-2'

kxxpV+m

Voo'r een ruwe schatting _{van de eigen stampperiode voor normale} schepen, kan gesteld worden:

ivy 44 m99 _{(0.32.L)2pV waarbij}

verondersteld wordt dat _{= O.25L; he't hydr'odyna.m'isch massa}

traagheidsmornen.t is daarbl3 _{ongeveer 2/3 van het reêeie} más-satraag'heidsmoment.

Als ve'rder vero,nder'ste:l,d wordt _{dat CML L, dan is}

T09

0.64 JL

(normale schepen) Si i n ere n

Naar analogie met het stampen _geldt:

(kpV + m')

waaruit:

Figur.e Stampen in viak water (ongekoppel.d)

T0 2ir,/

kpV+rn

p gV'GM

Het is niet mogeiijk orn _{aan de hand van de gewichtsverdeijng} van' het schip de dwarst:raagheidsstraai _{te bepalen. Men werkt daarom}

met de schijnbare dwarstraagheidsstraai k,, _{die als voigt}

gedefi-nieerd is:

kpV

k;pV +

Vo:or vrachtschepen, e.d. _{k -}

_0.35

_{0.45 B}

Voor pontons _{k -}

_0.45

_{0.55 B}

VOor zeilj achten _k

_0.55

_{0.65 B}

k2 '-7 2,r ,/ pv pgVGM ,/GM ais g in rn/s2 en CM in meteis. 3.4 _{GekoDpelde bewegingen}

In veel gevalien kunnen de _{coêfficiënten van de} bewe.gingsvergelij-kingen van drijvende konstrukties _{gevonden worden door de}

construk-tie in elementen te verdelen,. _{waarvan de coöfficjnten gevonden}

kunnen worden. Een sommatje levert dan de totale coêfficiênt op. Hierbij wordt. aangenomen dat _{er geen interaktie tuss.en de elementen}

onderling is.

Voor relatief lange sianke konstruktiedeien _{en ook konstrukties}

ze:lf z:oals schepen _{en soms pontons, bakken, e . d. kunnen de}

coëf-fiënten gevonden worden door _{elementen te kiezen met een oneindig}

kleine lengte: een doo;rsnede. Voor een aantal doorsneden worden de

coëfficiênten per Iengte-eenheid bepaald _{en een integratie over de} lengte levert dan de totale coefficient. Deze methode wordt aange-duid met de "striptheorie" _{en wordt in het hiernavolgende voor een}

schip toegelicht.

Stampen. dompen. schrikken.

Deze symmetrische bewegingen zijn _{önderling gekoppeid.}

Bij schepen blijkt de schrikbeweging _{de beide andere} bewegi.ngscom-ponenten in viak water rauwelijks _{te beïnvloeden, zod'at in eerste}

Instantie vol.staan kan worden _{met alleen de koppeling tussen}

stam-pen en domstam-pen. Dit geldt nietaÏgemeen _{voor drijvende konstrukties.} Als voorbeeld wordt de koppeling _{tussen het stampen en dompen bij}

sneiheid nul behandel,d.

De stamphoek O wordt zo klein verondersteld dat linearj,satje toe-gestaan is, dus sin O O en cos O 1.

De verplaatsing1 vertikale snelheid _{en versnelli.ngvan een schijf} van het schip op afstand _{xb van C is respektievelijk:}

XbO z

-- 3.27

-zie Figuur.

Voor de beweging, van het sçhp in _{vertikaIe richting geid't nu:} F'dxb P + pgV en: or: pV waarin: P pgV p'Vï pV/i _-2pgz

=Fj+F +F

-N(

X1)

Veronderste1d i.s dat de waterlijnbreedte _{2Yw over het besch'ouw,de} gebied knstan't is.

W;e vinden nu:

(F1 + F

+ F)d

yd

-r2

- z

L

L

-f-j mZZxbdxb

- opperviak van de 1astiijn

- het statisch moment van 'de lastlijn t.o.v. de y-as zdxb è - 3.29 -L 2. L

-$2

- d'e hydrodynamische massa in

z - richting -Hierin is.: z 2 2 L' L' + L 2 L 2 L dxb ywdxb YwXbdxb + è L A sw + j

mdx

-+

+ pgAz

-of korthejdshaive:

+ 4

cz

-- eZûD - gzeO O

waarin de indices de beschouwde _{b:êwegingskomponente;n aanduiden.}

.Biijkbaar zijn de Ïaatste drie _{termen zogenaamde koppeitermen, die}

ontstaan door asymmetrie van de hydromechanische vertikale krachten

die op bet sc'hip werken. De _{tweede index geeft an met welke} bewe-ging de koppeii.ng bestaät.

Voor bet stampen geldt _{een analoge afleiding.}

De momentenvegelijkin:g luidt: L +

J

Ndx

2,

2,

JNzxbdxb

momenten van de verde1ingen over de i.engte _{van bet sch.i,p van}

res-pektievelijk de dempingscoefficient en de hydrodynamische massa De bewegingsvergeijjkjng kan als voigt _{geschreven 'worden:}

L _L

2 ₂

+

rn09, = _dXb -

3.31

Iyy

waarui,t voIgt :

+-(I

+ m99)

+ pglyo

-j

rn' xbdxb

+-J2 'Nzzxbdxb

zpgS

waar in:

L'

- 3.32

-of korthejdsh.alv,e.:

a990' + b,999 + c099 _{- -}

_{- g9z}

d9

ezO . - e9 )

= _{go z}

Deze symmetrie relaties voigen uit _{de geometrie van de romp van hat}

achip (s'neihel,d nui!.)'. Bij _{voorwa'a.rtae sneiheid zij,n dez:e ré,iaties}

in het aigemeen niet .geldig. Dit aspekt wordt besproken bij de be-handeling van de Sc'hee.psbe.wegi.ngen _{in go]v.en.}

De .bewegingsver.geiijkingen kunne.n _{opgelost worden door te steilen:}

Û.jt z z.je ajt 9 9je zodat: zi(azz02 + +

C)

_Oidea2

zi(doza2 + eOzo +

go'z)

Deze 'homogene .e.r:geiij'kingen in _{zi en O hebbien siechts dan een van}

(0,0) versc'h1iende opiossing,, ais _{de determinant vàn het stelsel} nul is, dus:

A Cr4 + A2a3 + À3a2 -F

Ag + A5

waarin:

A1 = azza9O. dzod9

A2 =

a.b99

dûeû

dzez9

A3 - azzcOO b;Zboo + aO.Oczz

dg9

_ege

A4 = ,bcg9 + c2b9g

- g.9e9

-0

-0

en a'3 ±

- 3.33

-Over het algeme'en zijn de _{geometrische k'oppelingseffekten gering en}

heeft de damping weinig tnvioed _{op de eigen perioden van de} bewe-gingen. Op grond daarvan kan dit _{vereenvoudigd worden tot:}

A1 - azza99, A2 O, A3 _{azzc99 + czza.90, A4 = O,}

A5

_c'c9

-2

Met w0 - vinden we dan:

+ a2(w,e+w) +

waarbij de term _{(verwaarioosbaar klein) weggelaten is.}

a _{a o o}

Uit bet voorgaande voigt dan:

a12 = ±

iw0

De oplossing van de vgl. luidt _tenslotte:

z

_ZlCsWozt

o - 01cosw00t + O2sinw0gt + _{93c'oswozt + O45incO0t}

Het d.ompen en stampen z'ij;n dus elk _{sa'mengesteïd uit de superpos'itie} van twee harmonische Oscillatjes.

De eigen f'requen'tie _{van de ene is vrijwel gelijk aan die}

v'an bet

dompen en de eigen frequentie van de ander is vrijwel geiijk aan d'e

frequentie van bet zuiver _{stampen. De uitdrukki.ng "vrljwei" wordt} gebruikt in verband met de _{toegepaste verw'aariozingen.}

Koppeiing tussen verzetten _{en slingreren.}

Voor d'eze kee'r-'symmetrische _{bewegingskomp'onenten geidt in principe}

dezelfde redenering als _{voor he't dompen en h'et stampen:}

de verdeling 'van d'e hydrodynamische _{horizontale krachten is in het}

aigemeen niet symmetrisch ten _{opzichte van d'e oor'sprong van het}

assenste,lseI, zodat bij bet _{ver'zett'e.n slingermomenten ontstaan en}

bu _{het slin'g,eren ontstaarj horizontale}

dwàrskra'chten.

Men vind.t voor bet slingeren _{en hêt verzetten twee gek,oppelde} beve-gingsvergeiuj kin'gen:

+

+ c» +

_{+ ey = O}

+ byØ +

Op'merkingen.

Bij pontons, bakken, e d. is er s'oms een dúideiij ke koppel_{ing van} het stam'pen en dompen met bet _{schrikken a'anwe'zig.}

Een voigend stelsel van Iinea'ire _{bewegingsvergeljjkungen wordt dan} soms gebruikt.

-

3.34

-a11

a12z

a13z

a178

a180

(dompen, z)

a

a25x

_a279

(schrjkken, x) a31 + a32 +

a33z

a34i

+ a379 _a389 + a380 = OE (stampen, 9)

De andere bewegingen zijn dan

_{p de voigende wijze gekoppeid:}

a4jj

a42r

+ á45i» +

a484

- O

(verzetten, y)

a515

+ a52y

+ a57 _{+ a5.8'» = O (slingeren, '»)}

- 4.1

-4. _{Bewegingen in enkelvoudige golven}

In het voorgaande zijn de _{bewegingen bescho.uwd waarbij het lichaam}

uit .zijn evenwichtstand gebracht _{werd en daarna vrij ko.n bewegen}

zonder dat er een exciterende kracht of moment aanwezig was.

In dit hoofdstuk werken _{er excjterende krachten of momenten}

op. de

konstruktie, die veroorzaakt _{worden door enkelvoudige (harmonische)}

go lven.

Evenals in het voorgaande _{worden de ongekoppelde en de ge:koppelde}

b ewe gingen afzo,nderi ij k bes_chouwd.

4. 1 On'ekopDe1de bewegingen

- Deze worden hier toegeiicht

aan de hand van twee gevalien: de domp.ende ton en de s 1 ingerende b-ák.

4.1.1 Dompende ton

Als inIelding tot de behandeling _{van de béwegingen van schepen en}

andere maritieme konstruktie;s in _{zeegang wordt de vert.Íkai.e} bewe-ingen van een cylindervormige _{boei in enkelvoudige golven}

behan-de 1 d.

De boej kan alleen vertIkale _{bewegi.ngen uitvoeren, bijvoorbee'id}

door een wrijvings].oze vertikale geleiding aan te nemen, zie Figuur.

Figure Vertikale beweging van _{een cyliñdrische boei in een}

enkelvoudige golf

Op elk moment gel:dt: = z

waarin m - p'AT - de massa van de cylinder

Z - de som van de vertikale krachten _{op de cyliner}

De kracht Z bestaat uit het gewicht _{van de cylinder P en de som van}

de hydromechanjsche krachten F, _{die ontstaan doordat de cylinder} een relatieve vertikale beweging t:en opzichte van het omringende water uitvoert.

T' 4.2 -We stellen:

ZF1+F2+F3-.p

pgAT

De kracht F1 ontstaa.t 'door de g,ólfdruk _{op de onderkant van de} cylinder.

De druk daar ter' pl.aatse (xO) 'is: p =

pg(Çe'(T)

A1s: z « T dan geldt b'enáderend': p ,pg(Çe'T 'i- T z) of.: pg(Ç* +. T - z) Du's: F1 pgA.(Ç* + T - z,)

De krachten F2 en F'3 zijn hydro.dyn'athJ.sc'h.e _{krachten die'}

res.p.ektie-velijk evenredig zijn met. de relatieve _{snel'he:i'd en de relatieve} versneiling v'an d'e cylinder ten opz"i.cht'e _{van het òmri.ngende water}

Als eerste orde benadering kan gesteld _worden:

F2 - b(

- 'CT)

F3 - a(

- T)

Hierin is _{T het !IgolfprofjeII of het vlak van gelijk'e druk op een}

diepte T -z.

Met eenzeifde benadering als _{voor d'e druk p geldt:}

- ÇalTc0Swt =

dus:

F2 = - b(' .*)

F3 - a'(

Hiermee vinden we:

m

pgA(*

Ret linkerlid van dez:e ver.gelijking komt overeen met die in

hoofdstuk 3.l.l _{en g.eeft de vertikale krachten bij een} d'onipbewe-ging in viak water. Ret rechterlid _{is de hydromechanische reaktie} als de cylinder vast*ehouden wordt in _{enkeivoudige goiven. Daarbij}

is de eerste term cÇ _{op te vatten als een quasi hydrostatische}

kracht, de zgn _{Froude-Kriloff kracht De beide andere termen zijn} in feite hydrodynamische korrektie _{termen die de verstoring van de}

inkornende golf door de osciIlerende _{cylinder in re:kening brengen.} in principe vindt men al dez:e elementen _{bij de bepaiin'g van de}

be-wegingsvergeÏijkingen

van dri.jv.end:e konstrukties in zeegang. Met:

'

Çcos,t

= _{- Çwsinwt}

schrijven we het R.L. van de bewegingsvergeli3kjng:

RL - ÇakT [(

Fa - ÇaT [(c

tan- (

-De zgn _{opwe;kkende. kracht is biijkbaar lineair afhankelijk van de}

goifhoogte, en wordt kleiner _{naarmate de iepgang groter w.ordt ten}

2,rT opzichte van de golflngte (kT _).

De bewegingsvergelijking wordt nu:

(in + a) + b: - cz

Faet

me t:

Fa - 'ae1FÇ

De oplossing daa.rvan voigt door te steilen: z