УДК 539.3

(1)

(механіка та матеріалознавство).

УДК 539.3

А. Сяський, докт. техн. наук; К. Музичук; В. Кот

Рівненський державний гуманітарний університет

ЗГИН ЗВАРНОЇ ПЛАСТИНЧАСТОЇ КОНСТРУКЦІЇ

ЗА КОНТАКТУ БЕРЕГІВ КОЛОВОГО

МІЖФАЗНОГО РОЗРІЗУ

Резюме. Наведено методику розрахунку кусково-однорідної зварної пластинчастої конструкції, що містить нескінченну ізотропну пластинку з круговим отвором і пружний круглий диск з розрізом на ділянці сполучення, береги якого контактують за дії згинальних навантажень. Моментні напруження на контурах пластинки і диска визначаються із системи сингулярних інтегральних рівнянь, наближений розв’язок якої побудовано методами механічних квадратур і колокації. Досліджено вплив на напружений стан складеної пластинки і величини зони контакту відносної жорсткості зварювального шва та величини розрізу. Ключові слова: ізотропна пластинка, ізотропний диск, зварний шов, ділянка контакту, система сингулярних інтегральних рівнянь, згинальні моменти.

A. Syasky, K. Muzychuk, V. Kot

BENDING OF THE WELDED LAMELLAR CONSTRUCTION

UNDER THE CONTACT OF THE CIRCULAR

INTERPHASE CUT EDGES

Summary. Mixed contact problem of the interaction of the infinity isotropic plate with the circular hole of single radius and the circular elastic disk through the open welded seam of constant rigidity in tension (compression) and bending, is considered. Under bending load, the cut edges between the plate and the disk contact partly or along the whole length in one of the common base of the composite plate. The solving of the problem includes the determination of the stress state components at the interface of the materials of the plate and the disk as well as in the welded seam.

General state of stress in the lamellar construction is presented as the superposition of the two-dimensional stress states: generalized two-two-dimensional stress state and bending in the technical theory of the bending plates.

The boundary conditions on the smooth contact zone are formulated as the equality of the normal displacements and rotation angles of the normal line to the mean plane in the contour points. As the perfect mechanical contact exists in the zone of soldered joint so the boundary conditions are written as equality of displacements, rotation angles and deformations between the plate, welded seam and the disk.

The system of singular integral-differential equations for the determination of contact stresses in the zone of soldered joint and in the contact zone is built through modeling welded seam as the elastic line which coincides with the splice lines of the plate and the disk, and, using the integral relations between the vector displacement components and the rotation angle of normal line in the contour points of the plate (disk) and the contour stress. The finding functions structure in the ends of these zones is determined.

(2)

Key words: isotropic plate, isotropic disk, welded seam, contact zone, system of singular integral equations, bending moments.

(3)

(4)

    + − ′ + ′ −

_∫

− 1 4 3 0 0 2 cos ln )) ( ) ( ( 2 C dt t t f i t f i β β

λ

π

; ∂ = +

[

+ + + ∂ + ∂ ∂ )) ( ) ( )( 1 ( 3

ν

g1

λ

ig2

λ

k y w i x w + − ′ + ′ + − ′ + ′ +

_∫

− − 0 0 0 0 2 cos ln )) ( ) ( ( 2 2 sin ln )) ( ) ( ( 2 4 3 2 1 β β α α

λ

π

λ

π

dt t t g i t g i dt t t g i t g i    + + + − + + − + + ₁cos 2 ₁cos (3 ) ~₁ ₃ 1 3 ) 1 ( 2 M M i C C iM_y

σ

ν

λ

ν

λ

ν

π

;     + − ′ + ′ + + − = +

_∫

− 0 0 2 sin ln )) ( ) ( ( 2 )) ( ) ( )( ~ 1 ( ~ 2 1 ~ ~ 2 1 2 1 α α

λ

π

λ

ν

f if i f t if t tdt h E V i U + ′ − ′ − 2 − ′ + ′ 2 +

_∫

0 0 0 0 − 1 2 − 4 3 dt f t t f t t dt t t f i t f i α α β β

π

σ

λ

π

( ))lncos ( ( )cos ( )sin )

~ ) ( ~ (     + ′ − ′ + 1 − 3 4

∫

0 0 C dt t t f t t f β β

π

σ

) sin ) ( ~ cos ) ( ~ ( ;

[

+ + − + = ∂ ∂ + ∂ ∂ )) ( ) ( )( ~ 1 ( ~ 3 ~ ~ ~ 2 1

λ

ν

g ig k y w i x w

∫

− − + − ′ + ′ − − ′ + ′ − 0 0 0 0 2 cos ln )) ( ~ ) ( ~ ( 2 2 sin ln )) ( ) ( ( 2 4 3 2 1 β β α α

λ

π

λ

π

dt t t g i t g i dt t t g i t g i    + + + − + + + 1 2 ₁ ₁ ₃ 1 ) ~ ~ ( cos 2 1 ) 1 ( 2 M i C iM y y

_σ

_λ

_σ

_α

_β

π

ν

λ

ν

π

; (4)     + ′ − ′ 1 − ′ − ′ − 1 2 1 =

_∫

0 0 − 1 2 3 4 α α λ

ν

λ

_π

ε

f f tf t tf t dt

Eh ( )(cos ( ) sin ( )) (cos ( ) sin ( ))

    2 − ′ + ′ 1 + ′ − ′ 1 +

_∫

0 0 0 0 − 3 4 − 3 4 β β β β

λ

π

dt t ctg t f t t f t dt t f t t f

t ( ) sin ( )) (cos ( ) sin ( ))

(cos ;     − ′ − ′ 1 + ′ − ′ + 1 + 3 =

_∫

0 0 − 1 2 3 4 α α

π

λ

ν

g g tg t tg t dt k

X ( )(cos ( ) sin ( )) (cos ( ) sin ( ))

− 2 − ′ + ′ 1 − ′ − ′ 1 −

_∫

0 0 0 0 − 3 4 − 3 4 β β β β

λ

π

dt t ctg t g t t g t dt t g t t g

(5)

Тут E ,

ν

– модуль Юнга і коефіцієнт Пуассона матеріалу пластинки;

σ

=eiλ; ) (1−

ν

1 = D k ; D – циліндрична жорсткість пластинки на згин;

∫

− + =       ∈ + ∈ + λ α ρλ ρ

γ

λ

γ

λ

0 ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( 1 4 3 2 2 1 dt e iS T i if f if f _it ;

∫

− + =       ∈ + ∈ + λ α ρ

γ

λ

γ

λ

0 ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( 1 4 3 2 2 1 dt e iP M i ig g ig g _it ;

∫

− + =        ∈ + ∈ + λ α ρλ ρ

γ

λ

γ

λ

0 ) ~ ~ ( ), ( ~ ) ( ~ ), ( ) ( 1 4 3 2 2 1 dt e S i T i f i f if f it ;

∫

− + =       ∈ + ∈ + λ α ρ

γ

λ

γ

λ

0 ) ~ ~ ( ), ( ~ ) ( ~ ), ( ) ( 1 4 3 2 2 1 dt e P i M i g i g ig g _it ; dt t t g t t g dt t t g t t g

∫

− − ′ − ′ + − − ′ − ′ + − = 0 0 0 0 ) cos ) ( ~ sin ) ( ~ ( 1 ~ 1 ~ 1 ) cos ) ( sin ) ( ( 1 ~ 1 ~ 1 ~ 4 3 2 1 1 β β α α

ν

π

ν

π

ν

α

; dt t t g t t g dt t t g t t g

∫

− − ′ + ′ − − ′ + ′ − = 0 0 0 0 ) sin ) ( ~ cos ) ( ~ ( 1 2 ~ 1 ) sin ) ( cos ) ( ( 1 2 ~ 1 ~ 4 3 2 1 1 β β α α

π

ν

π

ν

β

. Підставляючи (4), (5) у граничні умови (1) – (3), доходимо системи сингулярних інтегрально-диференціальних рівнянь з ядрами Гільберта та логарифмічними ядрами для визначення функцій [T_ρ], [S_ρλ], [M_ρ], [P], f ′₁(

λ

), f ′₂(

λ

), f ′₃(

λ

), f ′₄(

λ

), g′₁(

λ

), ) ( 2

λ

g′ , g′₃(

λ

), g′₄(

λ

), ~f ′₃(

λ

), ~f ′₄(

λ

), g′~₃(

λ

), g′~₄(

λ

), яку при E E ~ =

δ

; E E b ₀ 0 0 ~

ρ

δ

= ; ν = ν~ запишемо у вигляді +     2 − ′ 2 + 2 − ′ 2 + 1 + ′ − 1 − 1

_∫

0 0 0 0 0 − 4 − 2 − 1 β β α α λ α

λ

π

λ

π

δ

ν

δ

λ

f t dt f t tdt f t t d~t ~ ~ sin ln ) ~ ( ~ cos ln ) ( ) ( ) ( ) )( ( cos − ′ − ′ + 2 − ′ 2 +

_∫

0 0 0 0 0 0 − 4 − 2 − 4 β β α α β β π λ δ π λ δ λ π δ t d t t f tdt t f t d t t

f ~ cos ( )cos cos ~(~)cos~ ~

(6)

+ ′ − ′ + 2 − ′ 2 −

_∫

f ~ sin ( )cos sin ~(~)cos~ ~

~ ~ sin ln ) ~ ( ~ +     ′ + − + ′ − ′ +

_∫

− − − λ α β β α α

ν

δ

π

λ

δ

π

λ

δ

0 0 0 0 0 ) ( ) 1 )( 1 ( ~ ~ sin ) ~ ( ~ sin sin ) ( sin 2 3 1 t tdt f t tdt q g t dt f + − ′ + − ′ + +

_∫

− − 0 0 0 0 ~ 2 ~ ~ sin ln ) ~ ( 2 2 ~ cos ln ) ( 2 ) 1 ( ₁ ₃ β β α α λ π λ π δ g t tdt g t t dt − +   + + =         + − − ′ +

_∫

−

λ

ν

λ

β

δ

λ

α

δ

λ

π

δ

β β 2 cos 2 1 3 cos ~ sin ~ ~ 2 ~ ~ sin ln ) ~ ( ~ 2 1 1 1 1 3 0 0 M M q t d t t g   − + − + − δ λ π ν λ λ δ π ν cos 2 1 sin ) 1 ( 2 1 y y M M ; a(

λ

)f₁′(

λ

)+b(

λ

)f₂′(

λ

)=0; 0 = ′ + ′ ₂ 1( ) ( ) ( ) ) (

λ

g

λ

b

λ

g

λ

a ; a(

λ

)(g₂′(

λ

)+hf₂′(

λ

))−b(

λ

)(g₁′(

λ

)+hf₁′(

λ

))=0,

λ

∈

γ

₂; + 2 − ′ 2 + 2 − ′ 2 + 1 + ′ − 1 − 1

_∫

0 0 0 0 0 − 4 − 2 − 1 β β α α λ α λ π λ π δ ν δ f t dt f t tdt f t t d~t ~ ~ sin ln ) ~ ( ~ cos ln ) ( ) ( ) ( ) )( ( − ′ − ′ + 2 − ′ 2 +

_∫

f ~ cos ( )cos cos ~(~)cos~ ~

~ ~ sin ln ) ~ ( ~ 0 = + ′ + ′ − 0 1 − 3 − 1

∫

0 0 0 0 C t d t t f tdt t f β β α α π λ δ π λ

δ cos ( )sin cos ~(~)sin~ ~ ;

− 2 − ′ 2 − 2 − ′ 2 + 1 − ′ − 1 − 1

_∫

0 0 0 0 0 − 3 − 1 − 2 β β α α λ α λ π λ π δ ν δ f t dt f t tdt f t t d~t ~ ~ sin ln ) ~ ( ~ cos ln ) ( ) ( ) ( ) )( ( + ′ − ′ + 2 − ′ 2 −

_∫

f ~ sin ( )cos sin ~(~)cos~ ~

~ ~ sin ln ) ~ ( ~ 0 = ′ − ′ +

_∫

0 0 0 0 − 3 − 1 β β α α π λ δ π λ

δ sin f (t)sintdt sin ~f (t~)sin~tdt~ ;

− 2 − ′ 2 − 2 − ′ 2 + 1 − ′ + 1 − 1

_∫

0 0 0 0 0 − 4 − 2 − 1 β β α α λ α λ π λ π δ ν δ g t dt g t tdt g t t dt~ ~ ~ sin ln ) ~ ( ~ cos ln ) ( ) ( ) ( ) )( ( = + + 3 − − − 2 − ′ 2 − 0 3 1 1 1 − 4

∫

0 0 C C t d t t g λ δα λ δβ λ ν λ π δ β β sin ~ ) ( sin ~ cos ~ ~ ~ ~ sin ln ) ~ ( ~ λ δ ν λ ν λ+3+ +1− 2 2

(7)

+ 2 − ′ 2 + 2 − ′ 2 + 1 + ′ + 1 − 1

_∫

0 0 0 0 0 − 3 − 1 − 2 β β α α λ α λ π λ π δ ν δ g t dt g t tdt g t t d~t ~ ~ sin ln ) ~ ( ~ cos ln ) ( ) ( ) ( ) )( ( = + 3 + + − 2 − ′ 2 + ₁ ₁ ₁ − 3

∫

0 0 λ ν λ β δ λ α δ λ π δ β β cos ~ ) ( cos ~ sin ~ ~ ~ ~ sin ln ) ~ ( ~ _t t _d_t _C g λ δ π ν λ δ π ν λ ν ν λ 2 2 − 1 + − 1 2 + 1 − + 1 + 3 + 2 −

= M₁sin M₁sin ( )M_y M_ysin ;

+ ′ − ′   ₋ _′ ₋ _′ ₋ =

_∫

− 0 0 )) ( sin ) ( (cos 1 )) ( sin ) ( )(cos 1 ( ~ ] [ ₄ ₃ ₂ ₁ α α ρ δ ν λf λ λf λ _π tf t tf t dt T     2 − ′ + ′ 1 + ′ − ′ 1 +

_∫

0 0 0 0 − 4 3 − 3 4 β β β β

λ

π

dt t ctg t f t t f t t d t f t t f t ~ ~ ~ )) ~ ( ~ sin ) ~ ( ~ (cos ~ )) ~ ( ~ sin ) ~ ( ~ (cos ; ] [ ] [ _ρλ _ρ λ T S ∂ ∂ − = ;

[

+ ′ − ′ + + + − = ~(1 )(cos ( ) sin ( )) 3 1 ] [ δ ν λ ₄ λ λ ₃ λ ν ν ρ g g M − ′ − ′ − ′ − ′ +

_∫

− − 0 0 0 0 ~ )) ~ ( ~ sin ) ~ ( ~ (cos 1 )) ( sin ) ( (cos 1 3 4 1 2 β β α α π π tg t tg t dt tg t tg t dt   − − + + + − − ′ + ′ −

_∫

− λ π ν λ ν ν λ π β β cos 2 1 2 cos 2 1 3 ~ 2 ~ ~ )) ~ ( ~ sin ) ~ ( ~ (cos 1 1 1 4 3 0 0 y M M M t d t ctg t g t t g t ; ] [ ] [ _ρ λ M P ∂ ∂ −

= ; [T_ρ]=−sin

λ

f₃′(

λ

)+cos

λ

f₄′(

λ

)+sin

λ

~f₃′(

λ

)−cos

λ

~f₄′(

λ

);

(8)

(9)

досліджено вплив на напружений стан конструкції відносної жорсткості зварювального шва та величини розрізу. Числову реалізацію задачі проведено за дії зосередженого згинального навантаження в центрі диска (M_y =1). Встановлено величину розрізу

α

₀, для якого повний контакт починає розмикатися в одній точці λ=α₀*. Числові значення величин

α

₀ і α₀* для різних значень відносної жорсткості зварювального шва

δ

~ наведено в таблиці 1. Таблиця 1 Характеристики розрізу, для якого розмикання відбувається в одній точці

δ

~ 0.100 0.010 0.001 0.000 0

α

(град.) 76.152 69.268 66.201 64.515 * 0 α (град.) 72.869 67.913 65.818 64.515 Результати розрахунку контактних зусиль і моментів на лініях поділу матеріалів пластинки, зварювального шва і диска для знайдених розрізів проілюстровано на рис. 2 – 5. У верхній частині цих рисунків наведено епюри розподілу відповідних величин на контурі отвору пластинки, у нижній – на контурі диска. Рисунок 2. Розподіл нормальних зусиль Рисунок 3. Розподіл дотичних зусиль

Figure 2. Distribution of the normal stresses Figure 3. Distribution of the tangent stresses

(10)

Figure 4. Distribution of the normal moments Figure 5. Distribution of the tangent moments Зауважимо, що при зменшенні величини розрізу

α

₀ отримаємо випадок повного (гарантованого) контакту берегів розрізу, а при її збільшенні – зони відставання будуть розширюватися аж до виникнення ізольованої зони контакту і двох зон відставання. Висновки. З отриманих результатів випливає, що у випадку повного контакту берегів розрізу жорсткість зварювального шва практично не впливає на розподіл контактних зусиль та моментів на ділянці

γ

₁ контурів пластинки та диска. Це означає, що розглянуту задачу можна розв’язувати у спрощеній постановці при 0 ~ =

δ

. Положення точки розмикання повного контакту і величини відповідного розрізу, для якого відбувається це розмикання, залежить від відносної жорсткості шва, причому величина розрізу збільшується зі збільшенням

δ

~. Для випадку

δ

~ =0 точка розмикання співпадає з кінцевою точкою розрізу.

Conclusions. As it follows from the obtained results, in the case of full contact of

(11)