УДК 539.3 А. Сяський,

(механіка та матеріалознавство).

УДК 539.3

А. Сяський, докт. техн. наук; Н. Шинкарчук

Рівненський державний гуманітарний університет

НАПРУЖЕНИЙ СТАН КУСКОВО-ОДНОРІДНОЇ ОРТОТРОПНОЇ

ПЛАСТИНКИ З ДВОМА ЕЛІПТИЧНИМИ РОЗРІЗАМИ

Резюме. Досліджено напружений стан кусково-однорідної ортотропної пластинки з двома еліптичними розрізами на лінії розмежування матеріалів за умови контактування їх берегів. Наближений розв’язок системи сингулярних інтегральних рівнянь задачі реалізовано методом механічних квадратур і колокації. Ключові слова: напружений стан, еліптичний отвір, ортотропні матеріали, зона контакту.

A. Syasky, N. Shynkarchuk

THE INVESTIGATED STRESS STATE OF PIECEWISE

HOMOGENEOUS AN ORTHOTROPIC PLATE

WITH TWO ELLIPTIC INCISIONS

The summary. The investigated stress state of piecewise homogeneous an orthotropic plate with two elliptic incisions on the line materials division with provided contact them shores. Approximate solution of singular integral equations of the problem is implemented mechanical quadrature and collocation.

Key words: a stress state, an elliptical hole, orthotropic materials, contact zone.

44

головні осі ортотропії матеріалу пластинки співпадають з координатними осями і осями еліпса. В отвір пластинки без зазору і натягу вставлено абсолютно жорсткий диск такої ж форми та розмірів, причому на ділянках Γ =₃ _π 2+α π₁∗, 2+β₁∗_{ та} 7 3π 2 α3, 3π 2 β3 ∗ ∗   Γ =_ + + _{ диск спаяний з пластинкою. В центрі диска діють} зосереджена сила

(

X Y та пара сил з моментом ₀, ₀

)

M , внаслідок чого на проміжках ₀ 1 α β0, 0 ∗ ∗   Γ =   та 5 π α π β2, 2 ∗ ∗   Γ =_ + + _{ диск вступає в контактну взаємодію з} пластинкою. На ділянках Γ =_{2 }β π₀∗, 2+α₁∗_{ ,}  Γ =₄ _π 2+β π α₁∗, + ₂∗_{ ,} 6 π β2, 3π 2 α3 ∗ ∗   Γ =_ + + _{ ,} Γ =_{8 }3π 2+β₃∗, 2π α+ ₀∗_{ контакт між ними відсутній (рис. 1).} Рисунок 1. Розрахункова схема пластинки Тут α₀∗, β₀∗, π 2+α₁∗, π 2+β₁∗, π α+ ₂∗, π β+ ₂∗, 3π 2+α₃∗, 3π 2+β₃∗ – полярні кути межових точок ділянок контакту та спаю. Розв’язок задачі полягає у визначенні компонентів напруженого стану на контурі отвору пластинки, величини і положення зон контакту й відставання, а також кута повороту диска. Інтегральні рівняння задачі. Співвідношення для компонентів вектора зміщення контурних точок пластинки ( , )u v та жорсткого диска (u vд, д) при заданому навантаженні запишемо у вигляді [4]

(

)

( )

0

( )

0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 ' ' ln sin 2 2 x x x Y t E hu f t dt f t dt β λ α α

β β ν

β β

λ

β β ν

λ

π

π

 − + − = − − +  + 

∫

∫

( )

( )

3

( )

1 2 1 2 3 3 2 2 2 2 2 1 2 3 2

' ln sin ' ln sin ' ln sin

2 2 2 t t t f t dt f t dt f t dt c π β π β π β π α π α π α

λ

λ

+

λ

+ + + + +  − − − + + + + 

∫

∫

∫

;

(

)

( )

0

( )

0 0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 2 ' ' ln sin 2 2 x x x X t E hv f t dt f t dt β λ α α

β β ν

β β β β

λ

β β ν

λ

π

π

 − + − = − + −  + 

∫

∫

( )

( )

3

( )

1 2 1 2 3 3 2 2 1 1 1 2 2 3 2

' ln sin ' ln sin ' ln sin

46

( ) (

)

( )

( )

0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ' ' ln sin 2 2 x x X t b f t dt f t dt λ α γ β β ν β β β β λ λ β β ν λ π π  _{+ − −}  +  − − + =   

∫

∫



( )

( )

0 1 2 2E h N_x

ε ϕ

sin(N

λ

) a

λ

c b

λ

c = + % + % , f₁'

( ) ( )

λ

a

λ

+f₂'

( ) ( )

λ

b

λ

=0, λ γ∈ ; (6) ₅

(

)

( )

( )

0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ' ' ln sin 2 2 x x Y t f t dt f t dt λ α γ

β β ν

β β

λ

β β ν

λ

π

π

− + − −

_∫

− +

_∫

= 1 2 x (sin sin(( 1) )) 0 c E h λ ε N λ ϕ = −% − − ;

(

)

( )

( )

0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) ' ' ln sin 2 2 x x X t f t dt f t dt λ α γ

β β ν

β β β β

λ

β β ν

λ

π

π

− + − −

_∫

+ −

_∫

= 2 2 x (cos cos(( 1) )) 0 c E h λ ε N λ ϕ = +% + − , λ γ∈ , ₇ (7) де c%₁=2E hU_{x 0}−c₁, c%₂=2E hV_{x 0}−c₂. Крім системи рівнянь (4)–(7), повинні виконуватися умови силової і моментної рівноваги диска [4, 7]

( )

2' 0 f t dt X γ = −

∫

; f₁'

( )

t dt Y₀ γ =

∫

;

( )

( )

( )

( )

1' cos 2' sin 1' cos(( 1) ) 2' sin(( 1) ) 0