O ogólnym schemacie otrzymywania

KRZYSZTOF MoszYŃSKI (Warszawa)

O ogólnym schemacie otrzymywania

oszacowań

dla aproksymacji

wewnętrznej

pewnych operatorów w przestrzeniach Banacha*

(Praca ^przyjęta do druku 6.07.1977)

l. ^Wstęp. Rozpatrzymy dwie przestrzenie unormowane rzeczywiste lub zespo- lone (U,

Jl·llu),

^(V,

Jl·llv)

takie, ^że istnieje operator liniowy ograniczony

J: ^u~

v

odwzorowujący U w V.

Dalej wygodnie będzie posługiwać się oznaczeniami A: ^u~v _w

dla operatora A, odwzorowującego U w V, to jest na pewien podzbiór przestrzeni V,..

A: ^u~v _na

dla operatora odwzorowującego U na całą przestrzeń V.

Jeśli operator A jest wzajemnie jednoznaczny, to będziemy pisać

A: U~ V (1-1).

Normę operatora A odwzorowującego przestrzeń U w przestrzeń V, ^będziemy oznaczać symbolem

JIAlluv·

Niech będzie dany zbiór skierowany d, który dalej będziemy uważali za zbiór indeksów. Relację kierującą oznaczać będziemy przez ;:: lub ^~ ([4]).

Rozpatrzmy rodzinę {Vcx}cxed podprzestrzeni liniowych Vcx ^c V przestrzeni V.

DEFINICJA l (własność (S)). Mówimy, że rodzina {Vcx}cxed podprzestrzeni li-·

niowych przestrzeni V ma ^własność (S) ^jeśli

(S)

VuEU

_{VcxE Ycx} ^inf

llvcx-lullv

^~

Ecxllullu,

_.

gdzie Ea., a E d, jest niezależne od u oraz Ecx ~O, gdy r:x E d. -

Istnieje wiele przykładów rodzin posiadających własność (S); tutaj wymienimy

następujące:

PRZYKŁAD l. Niech Q będzie obszarem ograniczonym o gładkim brzegu w Rd ~

*

Praca wykonana w ramach Problemu Międzyresortowego 1.1, grupa tematyczna 4.

[79]

Połóżmy V= Hk(Q), U= H⁵(Q), gdzie Hk(Q), H⁵(Q) ^są przestrzeniami Sobolewa,

·Oraz O ^~ k ^~ s ^~ m+ l, O ^~ k ^~ m.

Aubin [l] rozpatruje w swojej ^książce podprzestrzenie skończonego wymiaru

sr

^{c Hm(Q) c Hk(Q), o} następującej własności

Y

^{X E} ns(Q) inf llx-vhllk ^~ Chs-kllxlls·

VhE S;:'

Tutaj

d=

{et=

1/hl h ^E (0, 1]}, ^Ea.

=

hs-k ~ 0, ^{et E} d, gdy s.> k, .a

li ·

lik oznacza ^normę w Hk(Q).

Podprzestrzenie

sr

określają aproksymację elementem skończonym przestrzeni Hk(Q) (dla ustalonego k).

W przypadku, gdy ^Q

=

^{Rd, istnieją} analogiczne podprzestrzenie

sr

^{o własności}

{S), jednak wymiar ichjest nieskończony. Konstrukcje baz dla konkretnych przestrze- ni typu

sr

podaje wielu autorów ([1], [5]).

PRZYKŁAD 2. W przestrzeni Ck(a, b) funkcji k-krotnie różniczkowalnych w spo-

·sób ciągły na przedziale [a, b], rozpatrzmy podprzestrzeń S₂^m__1(.n, 2m-2) prze-

działami wielomianów stopnia 2m-I należących do czm-²(a, b) przy zadanym . podziale skończonym n odcinka [a, b] (k ^~ 2m-2).

Niech s ^E s2m-l(.n, 2m-2) ^będzie tak zwanym splinem interpolacyjnym dla fun- kcji

/E

^{cm-t(a, b),} to znaczy takim elementem przestrzeni S2m-l(n, 2m-2), ^że

_gdzie

s(x₁₎

=

f(x_1), s⁰>(x0 )

= J

⁰>(xo), s⁰>(xn)

= J

⁰>(xn),

j=O,l, ...

,n,

l= O, l, ... , m-l,

n=

{a=

X 0

< x

1 < ... < Xn

=

b}.

Dowodzi się wtedy, ^że

llf-sllk ^~ Chm-kllfllm

-dla O~ k ~m. Przy dodatkowym założeniu, że/ E C²m(a, b), ma miejsce nierówność:

llf-sllk ^~ Clhlm-k-lflllf//2m·

Tutaj przyjęto U= Cm(a, b), V= Ck(a, b), a 11·1/k oznacza normę w prze- strzeni Ck(a, b) (por. [5]).

W obu przypadkach jako J należy przyjąć odwzorowanie '\fu ^E U lu

=

u ^E V.

W dalszym ^ciągu rozpatrzymy dwa modele ^opisujące w ogólny sposób sytuacje spotykane często przy rozważaniu zagadnień różniczkowych brzegowych.

Pierwszy model dotyczy operatora odwzorowującego pewną przestrzeń unor- -

mowaną w inną przestrzeń unormowaną, przy tym zakłada się istnienie operatora

działającego z przestrzeni dziedziny do przestrzeni obrazu, określającego zanurzenie jednej przestrzeni w ^drugą.

Jak pokazano dalej, problem aproksymacji operatora sprowadza się tu do roz-

ważania operatora odwzorowującego pewną przestrzeń unormowaną w siebie.

W drugim modelu rozważa się operator ^określony w pewnej przestrzeni unormo- wanej, o wartościach w przestrzeni dualnej. Nie zakłada się tu ^żadnych innych

związków między przestrzeniami dziedziny i obrazu.

Dowodzi ^się dalej, ^że w modelu tym, ^dodając jeszcze pewne założenia, można stosować tak zwany "chwyt Nitsche'go", pozwalający otrzymać oszacowanie błędu

dwukrotnie lepsze iż w przypadku modelu pierwszego (patrz twierdzenie 2, § 3).

Oba modele ^są uogólnieniem sytuacji ^jaką spotykamy rozważając zagadnienia brzegowe i ^własne dla równania typu eliptycznego.

2. Model l. Przypuśćmy, że dane są cztery przestrzenie unormowane (U,

11 · Ilu),

(V,

11· llv ),

(H,

li · lin),

(K,

li ·

liK)

oraz trzy operatory liniowe ograniczone, które dalej będziemy nazywali zanurzeniami J: U--+- V, _wj

w: V-: H, E: H--+- K _w (1-1).

Niech A ^będzie operatorem liniowym A: V-+-K,

dla którego istnieje podprzestrzeń D c U o tej własności, że

Allv: D ;! EH ^c K.

Przyjmijmy

B= E-¹AJ)v;

B: D--+- H. _na

Łatwo zauważyć, że na D

EB =AJ.

A

DcU V

~

^H~K

~E

R

Rys. l. Model l

LEMAT l. Niech {Pcx}aed będzie rodziną projekcji liniowyche) takich, że 3 3 V

IIPall

<M,

O<M< oo <XoE.!I//IX~IXo

(l) Projekcją nazywamy operator P: X~ X taki, że PP = P.

'

oraz

Prx.: V;;: Vrx. c V, gdzie rodzina podprzestrzeni { Va}:xed ma własność (S).

Wtedy:

(i) ^{jeśli et E} d i v E V, to

V

u ^E U

V

Vrx. E V a.

v-Prx.v = (1-Poc)[(v-Ju)+ (Ju-viX)];

(ii) jeśli u E U i v = Ju, to zachodzi oszacowanie IIJu-Prx.Jullv ^~ CeiXJ)uJJu, gdzie C jest pewną stalą niezależną od ^{r.~- E} d;

(iii) ^jeśli JU = V, to

Prx.-: I (silnie), gdy r.~-E d.

D o wód. (i)

v-Prx.v = (v-Ju+Ju-voc)+(Prx.vrx.-Prx.lu+Prx.Ju-PIXv) ⁼

= (1-Pa)[(v-Ju)+ (Ju-viX)].

(ii) Podstawiając w (i) v = Ju, mamy

Ju-PocJu

=

(1-Pa)[lu-voc], i stąd

oraz ^biorąc inf po prawej stronie, otrzymujemy wykorzystując własność (S):

v .. ev ..

IIJu_,.Poclu)lv ^~ C inf lllu-vocllv ^~ Ceallullu·

v."eV,.

(iii) ^Jeśli JU

=

V, to dla ^każdego v E V i dla ^każdego e

>

O istnieje ^{Ue E} U, takie

że llv-Jusllv <e. Wykorzystując (i) dla u= Ue i Voc

=

O otrzymujemy v-Pa.v = (1-Poc)[(v-Jue)+lue].

Stąd

Ze ^względu na ^własność (S) erx. ^~O, gdy ^r.~-E d, zatem dla pewnego Cte ^E d,

et ~ rle implikuje

llv-Pavllv ^~ 2Ce. •

Z przestrzeniami V, H i K ^zwiążemy rodziny przestrzeni unormowanych (ich dyskretyzacje):

(1)

Zakładać będziemy przy tym, że istnieją operatory liniowe ograniczone, wzajemnie jednoznaczne i na

EIX:

x:

^~ na ,

x:

^{dla et E d.}

Przypuśćmy, że dla ^każdego a ^E d ^istnieją operatory liniowe ograniczone:

p~: X!' _na ^~ Vcx c V przedłużenie do V,

rK: _ex· K ^~ _{na ex} XK ^obcięcie na K.

Będziemy zakładać, że obcięcia

r:

^są dobrane w ten sposób, że opera,tory liniowe, ograniczone

(2)

są na, dla ^każdego a ^E d. Operatory te będą grały rolę obcięć dla przestrzeni H.

W przypadku, gdy dla ^każdego a ^E d przestrzenie (l) są skończonego wymiaru, odwzorowania

p:

ⁱ

r:

^zwykle określa się w następujący sposób.

Niech ~ = [~b ~,2 ... , ^~d..]T E X!'. Wtedy kładziemy

p:~= L

_j=l da:

^cpja:~j,

gdzie

oraz

r:(x) = [1J'fa:(x), ... ,

1J'f ..

"'(x)]

Ex:,

gdzie {

V'f"'

^}f~ 1 c K' jest układem funkcjonałów liniowo niezależnych z K'.

W rozpatrywanym przypadku, warunek

rH: _ex H ^~xH _{na ex}

będzie spełniony, jeśli funkcjonały { 1p§"' ^}f~ 1 zostaną dobrane tak, aby układ

1J'lf"', · ··,

'P'L"'; 1f'f"'

^~

'Pf"'

^{E, j =} l, 2, ... , dcx,

był liniowo niezależny.

Określimy teraz dwie rodziny operatorów

A ex

=

r^{ex KA V} Pcx, ^{A" ex}

=

Pcx ^{VA-1 K ex} rex , ^{et E d.}

Drugi z operatorów jest ^określony pod warunkiem, ^że istnieje operator od- wrotny A;; 1•

Rodzinę {Acx}aed, Acx: ^X!'~

x:

^{będziemy nazywali} dyskretyzacją operatora A.

Będziemy IDÓ\ltili, ^że dyskretyzacja {Aa}IXed operatora A jest stabilna, ^jeśli 3 cto E d 3 O

<

C

<

^oo

Y

a ^~ a0 , a E d,

istnieje oraz

LEMAT 2. ^Jeśli A: ^V~ K jest ograniczony i dyskretyzacja {Aex}aed jest stabilna, to istnieje ^Clo E d takie, że dla każdego a ;;;::: cx0 , a ^E d, operator Pa. = A: A

Pex: ^v~ Vex

=

^{p~(X%) c} V

jest projekcją na Vex. Jeśli ponadto dla a ^E d, a ;;;::: a0 , operatory p~ i r: ^są lvspólnie ograniczone w normie, to rodzina

jest wsp6lnie ograniczona w normie.

D o w ó d. Z definicji

Pex = AexA: V~ Vex = p~(X~") C V.

Pokażemy, że

Istotnie

PexPex

=

AexAAexA =p-:: A;¹

r:

^{Ap-:: A;1}

r:

^{A =}

VA-1A A-1 KA VA-1 KA AA A p

= Pex ex ^{<X <X} ra. = Pa. ^<X r(X = ^IX = ex•

Dla dowodu, ^że Pa.: ^V~ _na Vex, zauważmy że z przyjętych założeń (2) o

r:

^{i r!f, wy-}

nika ^że dla ^każdego a ;;;::: a0

r:IEn = Eexr!f E-1 : EH~ _na

x:,

gdzie

Rozpatrzmy teraz diagram:

A

V-w~K~

_'a

u u

na na na na ^A~1

p:

JD~EH--..H X~'-xt~x~'--..vu

A E-¹ r% ^{Ea na na}

Rys. 2

W diagramie tym, górna droga przedstawia odwzorowanie Pa ⁼ AexA =p~ A;¹r:A~

dolna ^zaś jego ograniczenie do J D c V PexiJD•

Ponieważ B: D~ _na H to A: JD _na ^~EH cK, zatem

zatem tym bardziej

Pex: V

;;t

Vrx.

Ponieważ A jest ograniczony . i A; ^{1 są} wspólnie ograniczone dla a ;;;::: cxo, to z założenia o wspólnej ograniczoności

r:

^{i p~ dla}

a ;;;:::

^{a0 ,} wynika teza lematu 2. •

Oszacowania dla rozwiązań równań oraz operatorów odwrotnych

w

modelu

Załóżmy teraz, ^że istnieje operator odwrotny do B B-1 : H--+ D _na c U.

Rozpatrzmy równanie

(3) Bx =f, x ^E D,

gdzie

f

jest dowolnym, ustalonym elementem przestrzeni H, oraz ^związane z równa- niem. (3) równanie "aproksymujące''

(4) gdzie

frx =

r{!J.

Zauważmy, że warunek stabilności

{Aa}aed

pociągajednoznaczną rozwiązalność

równania ( 4).

Zachodzi następujące TWIERDZENIE l. Załóżmy że:

(i) Podprzestrzenie · Va = p~ (Xci) ^c V mają własność (S);

(ii) Operator A: V--+ K jest ograniczony;

(iii) Operator B: D ^--+ _na H jest "na";

(iv) Istnieje B-1 : H--+ D; _na

(v) r:, r:, e< E d, spełniają założenie (2), oraz dla pewnego a0 E d istnieje stała

o·<

M

<

oo, taka że dla ^C( ~ C<o' ^C( E d,

IIP~ll ~ M,

11r:11

^{~ M;}

(vi) Dyskretyzacja

{Aoc}rxed

operatora A jest stabilna.

Wtedy istnieje indeks ^rt_{1 E} d, taki, że jeśli e<~ rt1 , e< E d, to dla rozwiązania x równania (3), oraz rozwiązania

goc

równania (4), zachodzi nierówność

(5) llp~goc-lxlfv

=

ll[AaA-I]JB-¹/Ilv ~ Cscxl!B-¹/llv

=

Csallxllu-

D o wód. Z odwracalności B i ze stabilności dyskretyzacji {

Aoc}aed

wnosimy o istnieniu indeksu rx1 E d, takiego, ^że dla e< ~ e<r

p~;a-lx = p-:.A;¹Eocfa-JB-¹f=

=

p'r_A;¹Ear{!f-JB-¹/= p':_A;¹EaE;;¹r:Ef-JB-¹

/=

[AaEf-JB-^{1 ]/} = AaEBB-⁴/-JB-^1/

=

[AcxEB-J]B-^1/.

Zatem

•

i::ea-lx

=

[Arr.A-l]JB-¹/= (Poc-I)JB-^1/,

gdzie, na mocy lematu 2,

{PIX}oce:d

jest rodziną projekcji wspólnie ograniczonych P

oc:

V ;! Va c V.

Ze ^względu na to, ^że x = B-¹

J

^{E D c U,} wykorzystując lemat l (ii), otrzymujemy

żądane oszacowanie. •

Połóżmy teraz

T= wJB-1 : H-+ H,

Ta. = wPa.JB...-¹ = wAa.AJB-^{1 :} H-+ w V« c: H,

gdzie w: V -: H jest liniowym ograniczonym zanurzeniem występującym w defi- nicji modelu l.

WNIOSEK l. Załóżmy, że zachodzą założenia twierdzenia l., oraz przypuśćmy do- datkowo, ^że B-1 : H -+ _na D jest operatorem ograniczonym. _.

Wtedy istnieje ex1 E d takie, ^że dla ex ^E d, ex ^~ a1 ,

li

^{T- Taclin ~ Meac, eac -+ O, lX E d.}

D o w ó d. Dla dowolnego

f

^{E H}

(T-Ta.)f

=

^{wJB .... 1}/-wPa.JB-"¹j = w(I-Pac)JB-1/;

stąd, na mocy Twierdzenia l,

II(T-Ta.)fiiH ^~ llwiiii(I-Pa.)JB--¹

/IIv

^~

~ llwl!Csa.!IB-¹

/Ilu

^~ !lwliCsct!IB-¹

11 llflln =

Mea.llflln·

Stąd wynika teza. •

WNIOSEK 2. Przypuśćmy, że zachodzą założenia wniosku 1, oraz za/6żmy, że

przestrzenie ·Vac, a e d, są skończonego wymiaru.

Wtedy operator T jest zwarty.

D o w ó d. Operator T jest aproksymowany w normie przez operatory zwarte Tac, cc E d (przeciwdziedzina operatora Ta. jest skończonego wymiaru). •

3. Model 2. ^Weźmy pod ^uwagę trzy przestrzenie unormowane U, V, H, dla których ^zakładamy istnienie następujących operatorów liniowych ograniczonych

(zanurzeń):

J: U-+ V (1-1), w: V-+ H, E: H'-+ V' (1-1),

K: H-+ H" (zanurzenie kanoniczne).

Zakładamy przy tym, ^że J i E są wzajemnie jednoznaczne, a ^K jest zanurzeniem kanonicznym, to znaczy

•

^że

Vx

E HV/E

H' Kx(f)

=

f(x).

Niech ^będzie dany operator liniowy A: V-+ .V'. Przypuśćmy, że istnieje pod-

przestrzeń D (B) c: U, taka że operator

B = E-¹ Allv<n>: D( B) -+ _na H' odwzorowuje D(B) na całą przestrzeń H'.

Będziemy zakładali istnienie operatora odwrotnego B-^{1 :} H'~ _na D(B) c U.

Operator A: ^V~ V' określa formę dwuliniową

a:

^vxv~

c,

gdzie

a(u, v) =(u, Av)y.

Wygodnie dalej będzie operować następującymi pojęciami:

DEFINICJA. l. Forma dwuliniową. a: Vx V~ C jest ograniczona ^jeśli istnieje

stała O

< fJ

< oo, taka ^że

'rfu, v E V la(u, v)l ^~

fJIIull·llvll.

2. Forma dwuliniowa a: Vx ^V~ C je~t koercywnajeśli istnieje ^stała O

<

y

<

oo taka, ^że

Vv ^E V rllvll² ~ la(v, v)!.

Jak łatwo sprawdzić, ograniczoność formy a oznacza po prostu ograniczoność operatora A:· ^V~ V', a(u, v)

=

^(u, Av)v.

Koercywność pociąga istnienie i ograniczoność operatora odwrotnego do AIJD(B): JD(B) ~ V'.

Podobnie jak w modelu l, z przestrzeniami V, H, V' i H' ^zwiążemy rodziny przestrzeni unormowanych (ich dyskretyzacje):

X%, X!l, X%', Xfl', ex E d,

zakładając przy tym, że dla każdego ex E d ^istnieją liniowe homeomorfizmy:

mcx:

X%

^-4 _na

X!f,

Ea.:

x:'

^-4 na ^X%'.

Będziemy przy tym ^żądać, aby

V

^{rJ. E} d (X%)'= X%', (X!l)'

=

X!f'.

Niech ^będą dane przedłużenia liniowe wzajemnie jednoznaczne pl::

x: ;;: ^v;

^c

^v,

gdzie

Vcx

=

pl:(X%).

Połóżmy

· , "

^{,sr~ = (pl:)': V'~}

^X%'.

Zauważmy, że operatory

s:·,

są pewną rodziną obcięć dła przestrzeni dualnej V'.

Do dalszvch rozważań potrzebne nam będą jeszcze obcięcia dla przestrzeni H'.

Połóżmy

mamy wtedy

(6) ^\fr:J.Ed

s-:_'E= Erx.s!f'.

Zachodzi następujący

LEMA T l. Niech V i

x:

^będą przestrzeniami Banacha.

Jeśli dhi ^{każdego ~ E} X[ i dla ^każdego

C

^E X{!

(7) ll~llxl:

=

IIPr~llv, IICIIx~ =

llwp:w.x

¹

CIIIi

oraz jeśli

E= w': H'__. V', Ea. ^=w~: X!/'__.

x:·,

to

s{f': H' __. _na

X!/'.

D o wód. Z ^równości (7) wynika, ^że operatory p:i oraz ^{wp~w;1 mają} odwrot- ności ograniczone. ^Stosując twierdzenie Banacha o domkniętej przeciwdziedzinie ((6], str. 208), wnosimy ^że

s:·

^{= (p~)': V' __.} na ^X%'

oraz

sl!'

=

(wprw;

^{1)' =}

E;

¹

s:'E:

^H' ;:X!}'. •

Podobnie jak w modelu l, ^określimy teraz dwie rodziny operatorów A ^a =

s:'

^{A p~: X% __.}

^x:·,

Arx.

^{= p~}

A;;

¹ s:_': V' __. V (jeśli istnieje A;: ^1).

Jak poprzednio, ^rodzinę {Arx.}rx.ed ^będziemy nazywali dyskretyzacją operato- ra A.

LEMAT 2. ^Jeśli norma w X!" jest zdefiniowana wzorem V~ eX% ll~llx~ ⁼

llp-:_;iiv

oraz ^jeśli forma dwuliniowa a(u, v)

=

(u, Av) jest koercywna, to dyskretyzacja

..

{ Acx}cxed jest stabilna.

D o wód. Z koercywności formy a:

3y >O Vv ^E V ^{yllvll~ ~} la(v, v)l = !(v, Av)vl w szczególności dla v = ^p!'~, mamy

rll~llir

=

rllpr;11~ ~

I<Pr;,

Ap!'~>vl

=

=

!(;, s:'Ap!';)x:l

^{= j(;,}

Arx.;)x:l

~ 11;11x~I!Aa.;llx~'

stąd

a więc Acc jest odwracalny i

(8)

Vr:t.

^E d IIA~¹[[ ~ łfy . •

LEMA 1' 3. Niech przy przyjętych założeniach Vcc

=

p~ (X:) c V. Wtedy

Vvcc

^E Vcc \fg ^E V' a(V00 Accg)

=

(va,, AAa.g)v

=

(va,, g)y.

D o wód. Jeśli va. E Vcc, to istnieje ~E X!' takie, że Va. =p~~. Wtedy

<~'a.,

AAa.g)v

=(p~~'

AAa.g)v

=(~,s!'' Ap!'A;;

¹

s~'g)xv

_a.

=

=

(~, s~'g)x~

=

(p~~' g)y

=

(va., g)y. •

Oszacowania dla rozwiązań równań w modelu 2 Weźmy pod uwagę równanie

Bx

=

f, x E D(B) c V, dla f E H' oraz rodzinę równań "aproksymujących":

(9)

gdzie

fcc =

s!f'f

Biorąc pod uwagę wzór (6), równanie (9) można zapisać Aa.~a.

=

Ea.s!f'f= s!''Ef.

Jeśli x jest rozwiązaniem równania (8), zaś ~a. rozwiązaniem równania (9), to

P!'

^~a.-Jx

⁼

^p!'A;;1 s!"Ef-JB~¹f

=

[Aa.E-JB~¹]j.

Wygodnie będzie dalej oznaczać

T= B-^{1 ,} zatem

P!'~-Jx

=

[Aa.E-JT]f.

TWIERDZENIE l. Niech x będzie rozwiązaniem równania (8) zaś ~ niech będzie rozwiązaniem równania (9) dla ^{r:t. E} d.

Załóżmy że:

(i) forma a: Vx ^V~ C; a(u, v) = (u, Av)v jest ograniczona i koercywna, (ii) istnieje odwrotność A;;^{1 :} X!''~ X!',

(iii) podprzestrzenie Va.

=

p!' (X!') mają własność (S).

Wtedy istnieje stała O

<

M

<

oo taka, że

IIP~-~-Jxllv

=

II(Aa.E-JT)fllv ~ sa.MIITfllu·

Jeśli ponadto operator

T

=

B-^{1 :} H' ~ D(B) jest ograniczony, to zachodzi oszacowanie dla operatorów

IIAa.E-JTIIH·v ~ sa.Ml, gdzie M 1 jest pewną stalą.

D o wód. Zauważmy, że z lematu 3 wynika, ^że dla każdego V E v(X (vrx, AArxEf)v = (vrx, Ef)v

stąd

(vrx, A[ArxE-JT]f)v = ·(vrx, Ef)v-(Vrx, AJTf)v, ale AJT = EBB-¹ = E więc

(vrx, A[ArxE-JT]f)v

=

(vrxEf)v-(Vrx, Ef)v

=

O.

w

szczególności, ze względu na to, że ArxEf ^E Vrx

<ArxEf, A[ArxE-JT]f)v =O.

Mamy teraz

a((ArxE-JT)f, (ArxE-JT)f)

=

-(JTJ, A(A~E-JT)f)v.

Dodając stronami ^wyrażenie

O= (vrx, A[ArxE-JT]f)v,

gdzie Vrx jest dowolnym elementem podprzestrzeni Vrx, otrzymamy

Korzystając z koercywności i ograniczoności formy a, dochodzimy do nierówności

rii(ArxE-JT)fllv ~ fJII [vrx-JT]fll,

i po ^wzięciu kresu dolnego dla Vrx ^E Vrz po prawej stronie, otrzymamy

Wykorzystując fakt, ^że Tf

=

B-¹

J

^{E D(B) c U, oraz własność} {S) podprzestrze- ni Vrx, otrzymujemy ostatecznie nierówność

IIP:~-Jxllv

=

II(ArxE-JT)fllv ~ Msrxi!Tfllu·

Zakładając dodatkowo, że IITII

<

oo, otrzymujemy

stąd

gdzie

M= {Jjy, M1

=

MIITIJ . •

· TWIERDZENIE 2 (Chwyt Nitschego [2]). Niech x i ^{~ będą} odpowiednio ^rozwią- zaniami ^równań (8) i (9). Przypuśćmy, że zachodzą założenia (i)-(iii) twierdzenia I, oraz ^załóżmy dodatkowo, ^że

(iv) E= w' (por. uwagi na ^końcu pracy),

(v) (wJT)'

=

KwJS: H'~ H", gdzie S: H'-~ U jest operatorem liniowym ograniczonym,

(vi) Vcx c JD(B).

Wtedy istnieje stała O

<

M

<

^{oo taka, że}

Jeśli ponadto operator T: D(B) ~ H' jest ograniczony, to zachodzi oszacowanie dla norm operatorów

gdzie M1 jest pewną stalą.

D(B)c'u---v--~H

J (•)

A \

Rys. 3. Model 2

D o wód. Połóżmy C= E-¹ A!JD<Bh wtedy (patrz założenia o B) C= E-¹ A :JD(B) -;-! H'

oraz

JTC

=

JTE-¹ A

=

JTE-¹ AJJ-¹

=

JTBJ-¹

=

JJ-¹

=

I na podprzestrzeni JD(B) c V.

Niech q; ^będzie dowolnym elementem H'. Korzystając z tego, że

mamy:

Acx: V'~ Vcx C JD(B),

(w(AcxE-JT)J, cp)H = (wJTC(Aa-JT)J, cp)H =

=

(C(AaE-JT)J, (wJT)'cp)H,

=

= (C(A(J.E-JT)J, KwJScp)w.

Korzystając z lematu 3 oraz z założenia, że E= w' otrzymujemy, jak w dowodzie twierdzenia l :

(wva., C(Aa.E-JT)f)n

=

(va., w'E~¹A(A'X-JT)f)v

=

=

(va., A(A:E-JT)f)v

=

(va., AA:Ef)v-('va., AJTf)v

=

=

(va., Ef)v-(va., AJTf)v

=

0

(ponieważ AJT

=

E), gdzie va. ^E Va. jest dowolne.

Odejmując stronami

O= (wva., C(Aa.E-JT)f)u = (C(AaE-JT)J, Kwva.)n·

od

(w(Aa.E-JT)f, cp)u

=

(C(Aa.E-JT)J, KwJScp)u·

otrzymujemy

(w(Aa.E-JT)f, g;)11

=

(C(AaE-JT)f, Kw(JScp-va))w

=

=

(w(JScp-va.), C(AaE-JT)f)H

=

= (JSg;-va., EC(A:E-JT)f)v =

=

(JSg;-va., A(A:E-JT)f)v

=

=

a(JScp -vcx, (A:E-JT)f).

Wykorzystując ograniczoność a, otrzymujemy nierówność

dla dowolnego ^{V ex E} Va.. Zatem (wykorzystując własność (S)):

l(w(A:E-JT)J, cp)ul ~

fJ

inf IIJScp-va.l!vii(AcxE-JT)fllv

tlocEVoc

~ tJscxJIScpJJuii(AcxE-JT)f/lv·

Korzystając teraz z nierówności z tezy twierdzenia l, otrzymamy:

Ponieważ cp E H' jest dowolne oraz operator S jest ograniczony

i stąd, przy dodatkowym ^założeniu o T,

a ^więc

M=

-liSI!,

tJ2 Y

U w a g i. Założenia (iv) i (v) w twierdzeniu 2 ^mogą, na pierwszy rzut oka, wydawać się dziwne. Aby się przekonać, że tak nie jest rozpatrzmy następującą

sytuację. Niech V c H i niech w: V ~ H będzie zanurzeniem przyporządkowującym

elementowi x w V ten sam element, ale w zbiorze H.

Dla dowolnego x E V i dowolnego

f

^{E H' mamy}

f(wx)

=

(wx,f)H

=

(x, w'f)v

=

w'f(x).

Zatem w': H' ^~ V' przyporządkowuje funkcjonałowi

f

^{jego zwężenie do zbio-}

ru V.

Zachodzi następujący:

LEMAT. Niech w: V~ H ^będzie operatorem liniowym ograniczonym (nie zakła­

damy, że w jest zanurzeniem!), takim że:

w V= H.

Wtedy

w': ^H'~ V' (l-1).

D o wód. Przypuśćmy, że w' nie jest (1-1); wtedy•istnieją elementy f, g ^E H',

f

^{# g takie, że}

w 'f= w' g.

Niech x E H będzie dowolnym, ustalonym elementem. Istnieje ^ciąg

{Pn},

Pn E w V c H taki, że Pn ~ X gdy n ^~ 00.

Dla ^każdego y E V mamy

/(wy)= w~f(y)

=

w'g(y)

=

g(wy), a więc w szczególności

f(Pn)

=

g(pn), n

=

O, l, 2, ... , i ^stąd

f(x)

=

Iimf(Pn) = limg(pn)

=

g(x).

n 11

Ponieważ x jest dowolnym elementem H i /(x)

=

g(x), dochodzimy do sprzecz-

ności z naszym założeniem, że

f

^{=l= g. 11}

Oznaczmy teraz

wJT

=

P: H' ^~ H

przypuśćmy, że istnieje operator Q: H' ~ H, taki że

(lO) Wtedy

\lep, 1p E H' (Pcp, tp)H

=

(Qtp, cp)H.

(Pcp, 1p)H = (cp, P'1p)H' (Qtp, cp)H = (cp, KQtp)H'.

a zatem P'

=

KQ podobnie jak w (v). Zauważmy teraz, .że warunek (10) jest speł­

niony zawsze, gdy np. H jest przestrzenią Hilberta, a operator P jest samosprzę­

żony.

Wreszcie warunek

P'

=

(wJT)'

=

KQ, gdzie

Q= wJS, S: H' ^~ U ograniczony oznacza, ^że struktura operatorów P' i Q jest podobna.

Analogiczny warunek ^spełniają na ^przykład operatory odwrotne do ^{różniczko­}

wych eliptycznych rozpatrywane w przestrzeniach Sobolewa.

Rozpatrzmy jeszcze dla ilustracji następujący przykład modelu 2.

Niech

H= L²(Q) =H', V= ^H~(Q), V'= H-¹(Q), U= H²(Q), gdzie Q jest obszarem otwartym, ograniczonym w Rd.

Połóżmy:

d

Au= -

_i,j=l

~

~

_J_(aii!_'!_)

OX· _' OX · _J +cu, gdzie aii' c ^E C'(Q).

Przypuśćmy, że w Q spełniony jest następujący warunek:

d d

(a) Re _~i=l

Ł au(x)~i~ ~ ex( L

_j=l

^l~il

²

⁾

dla ex > O i dowolnych ^{~j E C;}

(b) ReC(x) ^~ ex V x ^E Q.

Przyjmijmy jako J i w naturalne zanurzenia przestrzeni U w V i V w H.

Nietrudno pokazać, że

A: v~ V' jest operatorem ograniczonym.

Wykorzystując koercywność i ograniczoność formy dwuliniowej a:VxV ^~C,

d

a(u, v)

= L ^~

aiiDiuDivdQ+

~

CuvdQ

i,j:o l !J ^Q

dowodzi ^{się, że} istnieje operator liniowy ograniczony

B: D(B) ^~ H, D(B) c U (D(B)

=

^H2(Q)r.H~(Q)) na

określający rozwiązanie w sensie uogólnionym zagadnienia Dirichleta dla A na Q.

(Patrz [2], [4]).

Prace cytowane

[l] J. P. A u b i n, Approximation of e/liptic boundary-value problems, Willey-lnterscience.

[2] J. H. Bram b l e and J. E. O s b o r n, Rate of convergence estimates for non-sefjadjoint eigenvalue approximations, Math. of Comput. 27.123 (1973), str. 525-549, oraz literatura tam cytowan:1.

[3] R. E n g elki n g, Topologia ogólna, PWN, Warszawa 1975, str. 72-80.

[4] E. M a g e n e s, G. S t a m p a c c h i a, I probierni al contorno per Ie equazioni differenzia/i di tipo ellittico, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 12 (1958), str. 248-357.

[5] P. M. P r e n t e r, Sp/ines and variational methods, Willey-Interscience, [6] K. Y o s i d a, Functional analysis, Springer-Verlag, Berlin 1966.