Poziom lekarstwa we krwi, datowanie węglem C-14, ratalna spłata pożyczek – proste przykłady równań różnicowych.

(1)

Poziom lekarstwa we krwi, datowanie węglem C-14,

ratalna spłata pożyczek

– proste przykłady równań różnicowych.

Maciej Burnecki

Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

(2)

Ilość lekarstwa we krwi

Podawanie leku

Przykład

Lekarstwo podawane jest trzy razy na dobę, w odstępach

ośmiogodzinnych. Organizm eliminuje pewien stały ułamek r ∈ (0, 1) lekarstwa w czasie każdego takiego okresu ośmiogodzinnego. Oznaczmy ilość podawanego za każdym razem lekarstwa przez λ. Należy wyznaczyć ilość lekarstwa we krwi w zależności od czasu oraz obliczyć jego wartość graniczną (o ile istnieje) przy dużym czasie.

Niech y (n) oznacza ilość lekarstwa we krwi po n-tym zażyciu. Próbujemy znaleźć wzór na y (n) oraz obliczyć lim

n→∞y (n).

(3)

Podawanie leku

Przykład

Lekarstwo podawane jest trzy razy na dobę, w odstępach ośmiogodzinnych.

Organizm eliminuje pewien stały ułamek r ∈ (0, 1) lekarstwa w czasie każdego takiego okresu ośmiogodzinnego. Oznaczmy ilość podawanego za każdym razem lekarstwa przez λ. Należy wyznaczyć ilość lekarstwa we krwi w zależności od czasu oraz obliczyć jego wartość graniczną (o ile istnieje) przy dużym czasie.

n→∞y (n).

(4)

Podawanie leku

Przykład

ośmiogodzinnych. Organizm eliminuje pewien stały ułamek r ∈ (0, 1) lekarstwa w czasie każdego takiego okresu ośmiogodzinnego.

Oznaczmy ilość podawanego za każdym razem lekarstwa przez λ. Należy wyznaczyć ilość lekarstwa we krwi w zależności od czasu oraz obliczyć jego wartość graniczną (o ile istnieje) przy dużym czasie.

n→∞y (n).

(5)

Podawanie leku

Przykład

ośmiogodzinnych. Organizm eliminuje pewien stały ułamek r ∈ (0, 1) lekarstwa w czasie każdego takiego okresu ośmiogodzinnego. Oznaczmy ilość podawanego za każdym razem lekarstwa przez λ.

Należy wyznaczyć ilość lekarstwa we krwi w zależności od czasu oraz obliczyć jego wartość graniczną (o ile istnieje) przy dużym czasie.

n→∞y (n).

(6)

Podawanie leku

Przykład

n→∞y (n).

(7)

Podawanie leku

Przykład

Niech y (n) oznacza ilość lekarstwa we krwi po n-tym zażyciu.

Próbujemy znaleźć wzór na y (n) oraz obliczyć lim

n→∞y (n).

(8)

Podawanie leku

Przykład

Próbujemy znaleźć wzór na y (n)

oraz obliczyć lim

n→∞y (n).

(9)

Podawanie leku

Przykład

Próbujemy znaleźć wzór na y (n) oraz obliczyć lim

n→∞y (n).

(10)

Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem

y (n + 1) = y (n) − r · y (n) + λ = (1 − r ) · y (n) + λ. Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(11)

Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) =

y (n) − r · y (n) + λ = (1 − r ) · y (n) + λ. Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(12)

Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) −

r · y (n) + λ = (1 − r ) · y (n) + λ. Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(13)

Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − r · y (n) +

λ = (1 − r ) · y (n) + λ. Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(14)

Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − r · y (n) + λ =

(1 − r ) · y (n) + λ. Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(15)

Ilość lekarstwa we krwi opisywana jest równaniem y (n + 1) = y (n) − r · y (n) + λ = (1 − r ) · y (n) + λ.

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(16)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(17)

Otrzymujemy kolejno y (1)=

λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(18)

Otrzymujemy kolejno y (1)=λ =

1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(19)

Otrzymujemy kolejno y (1)=λ = 1 · λ =

(1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(20)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(21)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ , y (2) =

(1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(22)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ , y (2) = (1 − r ) · y (1) +

λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(23)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ , y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ =

(1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(24)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ =

h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(25)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ ,

y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(26)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) =

(1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(27)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(28)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ =

h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(29)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ ,

. . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(30)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(31)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ

·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(32)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) =

1 − (1 − r )ⁿ

r · λ .

(33)

Otrzymujemy kolejno

y (1)=λ = 1 · λ = (1 − r )⁰· λ ,

y (2) = (1 − r ) · y (1) + λ = (1 − r ) · λ + (1 − r )⁰· λ = h

(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , y (3) = (1 − r ) · y (2) + λ =

(1 − r ) ·^h(1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ + λ = h(1 − r )²+ (1 − r )¹+ (1 − r )⁰ⁱ· λ , . . . ,

y (n) = ^h(1 − r )ⁿ⁻¹+ (1 − r )ⁿ⁻²+ · · · + (1 − r )⁰ⁱ· λ ·1 − (1 − r ) 1 − (1 − r ) =

(34)

Powtórzmy otrzymany wzór dla wygody: y (n) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ.

Ponieważ 1 − r ∈ (0, 1), to lim

n→∞(1 − r )ⁿ= 0 oraz

n→∞lim y (n) = λ r. Przykładowe dane

Jeśli r = 0, 4 oraz λ = 2 cm³, to równanie różnicowe przyjmuje postać y (n + 1) = 0, 6 · y (n) + 2,

ilość lekarstwa we krwi określona jest wzorem y (n) = 1 − (0, 6)ⁿ

0, 4 · 2 cm³, a graniczną wartością jest

n→∞lim y (n) = 5 cm³.

(35)

Powtórzmy otrzymany wzór dla wygody:

y (n) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ.

n→∞(1 − r )ⁿ= 0 oraz

n→∞lim y (n) = 5 cm³.

(36)

y (n) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ.

n→∞(1 − r )ⁿ= 0 oraz

n→∞lim y (n) = 5 cm³.

(37)

y (n) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ.

Ponieważ 1 − r ∈ (0, 1), to

n→∞lim(1 − r )ⁿ= 0 oraz

n→∞lim y (n) = 5 cm³.

(38)

y (n) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ.

n→∞(1 − r )ⁿ= 0 oraz

n→∞lim y (n) = 5 cm³.

(39)

y (n) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ.

n→∞(1 − r )ⁿ= 0 oraz

n→∞lim y (n) = λ r.

Przykładowe dane

n→∞lim y (n) = 5 cm³.

(40)

y (n) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ.

n→∞(1 − r )ⁿ= 0 oraz

n→∞lim y (n) = 5 cm³.

(41)

y (n) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ.

n→∞(1 − r )ⁿ= 0 oraz

Jeśli r = 0, 4 oraz λ = 2 cm³,

to równanie różnicowe przyjmuje postać y (n + 1) = 0, 6 · y (n) + 2,

n→∞lim y (n) = 5 cm³.

(42)

y (n) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ.

n→∞(1 − r )ⁿ= 0 oraz

Jeśli r = 0, 4 oraz λ = 2 cm³, to równanie różnicowe przyjmuje postać

y (n + 1) = 0, 6 · y (n) + 2, ilość lekarstwa we krwi określona jest wzorem

y (n) = 1 − (0, 6)ⁿ

n→∞lim y (n) = 5 cm³.

(43)

y (n) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ.

n→∞(1 − r )ⁿ= 0 oraz

Jeśli r = 0, 4 oraz λ = 2 cm³, to równanie różnicowe przyjmuje postać y (n + 1) =

0, 6 · y (n) + 2, ilość lekarstwa we krwi określona jest wzorem

y (n) = 1 − (0, 6)ⁿ

n→∞lim y (n) = 5 cm³.

(44)

y (n) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ.

n→∞(1 − r )ⁿ= 0 oraz

n→∞lim y (n) = 5 cm³.

(45)

y (n) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ.

n→∞(1 − r )ⁿ= 0 oraz

0, 4 · 2 cm³,

a graniczną wartością jest

n→∞lim y (n) = 5 cm³.

(46)

y (n) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ.

n→∞(1 − r )ⁿ= 0 oraz

0, 4 · 2 cm³,

n→∞lim y (n) = 5 cm³.

(47)

y (n) = 1 − (1 − r )ⁿ

r · λ.

n→∞(1 − r )ⁿ= 0 oraz

0, 4 · 2 cm³,

(48)

Datowanie węglem C − 14

Datowanie izotopem węgla

Jak długo organizm (roślina, zwierzę) żyje, proporcja izotopu C-14 do

„zwykłego” wegla C-12 pozostaje taka sama, jak w atmosferze (około 1 do 10¹²) i nie zmienia się w przybliżeniu przez tysiące lat.

Z chwilą śmierci organizmu rozpadający się cały czas węgiel C-14 przestaje być uzupełniany i jego procentowa zawartość maleje.

(49)

Datowanie izotopem węgla

(50)

Datowanie izotopem węgla

(51)

Rozpad węgla C − 14 następuje z prędkością proporcjonalną ze stałym współczynnikiem do wielkości tego izotopu, to znaczy zmiana ilości po kolejnym, takim samym okresie czasu wynosi

y (n + 1) − y (n) = − r · y (n)

przy pewnym r ∈ (0, 1), zatem y (n + 1) = (1 − r ) · y (n) oraz y (n + k) = (1 − r )^k · y (n)

dla k ∈ N.

Wyznaczmy r . Dla węgla C − 14 czas połowicznego rozkładu wynosi około 5700 lat. Otrzymujemy y (n + 5700) = 1

2 · y (n) = (1 − r )⁵⁷⁰⁰· y (n), skąd

r ≈ 1 −

1 2

₅₇₀₀¹

oraz 1 − r ≈ 2⁵⁷⁰⁰⁻¹ .

(52)

Rozpad węgla C − 14 następuje z prędkością proporcjonalną ze stałym współczynnikiem do wielkości tego izotopu,

to znaczy zmiana ilości po kolejnym, takim samym okresie czasu wynosi

y (n + 1) − y (n) = − r · y (n)

dla k ∈ N.

2 · y (n) = (1 − r )⁵⁷⁰⁰· y (n), skąd

r ≈ 1 −

1 2

₅₇₀₀¹

oraz 1 − r ≈ 2⁵⁷⁰⁰⁻¹ .

(53)

y (n + 1) − y (n) = − r · y (n)

dla k ∈ N.

2 · y (n) = (1 − r )⁵⁷⁰⁰· y (n), skąd

r ≈ 1 −

1 2

₅₇₀₀¹

oraz 1 − r ≈ 2⁵⁷⁰⁰⁻¹ .

(54)

y (n + 1) − y (n) =

− r · y (n)

dla k ∈ N.

2 · y (n) = (1 − r )⁵⁷⁰⁰· y (n), skąd

r ≈ 1 −

1 2

₅₇₀₀¹

oraz 1 − r ≈ 2⁵⁷⁰⁰⁻¹ .

(55)

y (n + 1) − y (n) = − r · y (n)

dla k ∈ N.

2 · y (n) = (1 − r )⁵⁷⁰⁰· y (n), skąd

r ≈ 1 −

1 2

₅₇₀₀¹

oraz 1 − r ≈ 2⁵⁷⁰⁰⁻¹ .

(56)

y (n + 1) − y (n) = − r · y (n) przy pewnym r ∈ (0, 1),

zatem y (n + 1) = (1 − r ) · y (n) oraz y (n + k) = (1 − r )^k · y (n)

dla k ∈ N.

2 · y (n) = (1 − r )⁵⁷⁰⁰· y (n), skąd

r ≈ 1 −

1 2

₅₇₀₀¹

oraz 1 − r ≈ 2⁵⁷⁰⁰⁻¹ .

(57)

y (n + 1) − y (n) = − r · y (n)

przy pewnym r ∈ (0, 1), zatem y (n + 1) = (1 − r ) · y (n) oraz

y (n + k) = (1 − r )^k · y (n) dla k ∈ N.

2 · y (n) = (1 − r )⁵⁷⁰⁰· y (n), skąd

r ≈ 1 −

1 2

₅₇₀₀¹

oraz 1 − r ≈ 2⁵⁷⁰⁰⁻¹ .

(58)

y (n + 1) − y (n) = − r · y (n)

dla k ∈ N.

2 · y (n) = (1 − r )⁵⁷⁰⁰· y (n), skąd

r ≈ 1 −

1 2

₅₇₀₀¹

oraz 1 − r ≈ 2⁵⁷⁰⁰⁻¹ .

(59)

y (n + 1) − y (n) = − r · y (n)

dla k ∈ N.

Wyznaczmy r .

Dla węgla C − 14 czas połowicznego rozkładu wynosi około 5700 lat. Otrzymujemy y (n + 5700) = 1

2 · y (n) = (1 − r )⁵⁷⁰⁰· y (n), skąd

r ≈ 1 −

1 2

₅₇₀₀¹

oraz 1 − r ≈ 2⁵⁷⁰⁰⁻¹ .

(60)

y (n + 1) − y (n) = − r · y (n)

dla k ∈ N.

Wyznaczmy r . Dla węgla C − 14 czas połowicznego rozkładu wynosi około 5700 lat.

Otrzymujemy y (n + 5700) = 1

2 · y (n) = (1 − r )⁵⁷⁰⁰· y (n), skąd

r ≈ 1 −

1 2

₅₇₀₀¹

oraz 1 − r ≈ 2⁵⁷⁰⁰⁻¹ .

(61)

y (n + 1) − y (n) = − r · y (n)

dla k ∈ N.

2 · y (n) = (1 − r )⁵⁷⁰⁰· y (n),

skąd

r ≈ 1 −

1 2

₅₇₀₀¹

oraz 1 − r ≈ 2⁵⁷⁰⁰⁻¹ .

(62)

y (n + 1) − y (n) = − r · y (n)

dla k ∈ N.

2 · y (n) = (1 − r )⁵⁷⁰⁰· y (n), skąd

1

oraz 1 − r ≈ 2⁵⁷⁰⁰⁻¹ .

(63)

y (n + 1) − y (n) = − r · y (n)

dla k ∈ N.

2 · y (n) = (1 − r )⁵⁷⁰⁰· y (n), skąd

1

(64)

Przykład

Wyznacz wiek kości zwierzęcia, jeśli zawartość w nich węgla C − 14 wynosi obecnie 80% początkowej wielkości.

Rozwiązanie

Podstawiając do wzoru na y (n + k),

y (n + k) = (1 − r )^k· y (n) ≈ 2⁵⁷⁰⁰^−k · y (n) = 0, 8 · y (n), skąd

−k

5700 = log₂

4 5

oraz k = 5700 · (log₂(5) − log₂(4)) ≈ 1835 lat.

(65)

Przykład

Rozwiązanie

−k

5700 = log₂

4 5

oraz k = 5700 · (log₂(5) − log₂(4)) ≈ 1835 lat.

(66)

Przykład

Rozwiązanie

−k

5700 = log₂

4 5

oraz k = 5700 · (log₂(5) − log₂(4)) ≈ 1835 lat.

(67)

Przykład

Rozwiązanie

−k

5700 = log₂

4 5

oraz k = 5700 · (log₂(5) − log₂(4)) ≈ 1835 lat.

(68)

Przykład

Rozwiązanie

−k

5700 = log₂

4 5

oraz k = 5700 · (log₂(5) − log₂(4)) ≈ 1835 lat.

(69)

Przykład

Rozwiązanie

Podstawiając do wzoru na y (n + k), y (n + k) = (1 − r )^k· y (n) ≈

2⁵⁷⁰⁰^−k · y (n) = 0, 8 · y (n), skąd

−k

5700 = log₂

4 5

oraz k = 5700 · (log₂(5) − log₂(4)) ≈ 1835 lat.

(70)

Przykład

Rozwiązanie

Podstawiając do wzoru na y (n + k), y (n + k) = (1 − r )^k· y (n) ≈ 2⁵⁷⁰⁰^−k · y (n) =

0, 8 · y (n), skąd

−k

5700 = log₂

4 5

oraz k = 5700 · (log₂(5) − log₂(4)) ≈ 1835 lat.

(71)

Przykład

Rozwiązanie

y (n + k) = (1 − r )^k· y (n) ≈ 2⁵⁷⁰⁰^−k · y (n) = 0, 8 · y (n),

skąd

−k

5700 = log₂

4 5

oraz k = 5700 · (log₂(5) − log₂(4)) ≈ 1835 lat.

(72)

Przykład

Rozwiązanie

−k 5700 =

log₂

4 5

oraz k = 5700 · (log₂(5) − log₂(4)) ≈ 1835 lat.