nalytische Meetkunde 11
DOORDr.
J.
BIJL
ENDrs. W
.
J.
H.
SALET
ZESDE DRUK
AN AL YTISCHE MEETKUNDE II
-Bibliotheek TU Delft
J
~1III1II1~i~inmll"l ~~~9
HANDLEIDINGEN BIJ HET ONDERWIJS AAN DE TECHNISCHE HOGESCHOOL TE DELFT
ANALYTISCHE MEETKUNDE 11
doorDr.
J. BIJL
enDrs.
W.
J.
H. SALET
Deel II
ZESDE DRUK 1970INHOUD
HOOFDSTUK XIV.Vectorenin eenn-dimensionaie ruimte(Rs) 9 § I. Vecto re n in Rn . . . .
§ 2. Lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid § 3. Lineairevectorruimte ;lineairedeelruimte
§ 4. Stellin gen over lineaire vectorruimten § 5. Lineairedeelruimten
§ 6. Opgaven
HOOFDSTUK XV.Euclidische vectorruimten
9 10 12 13 17 21 22 § 1. § 2. § 3. § 4. Euclidische vectorruimte .
Ort hogo nale en or tho norm ale stelsels vectoren in een euclidische vectorru imte . . . .
Orthogon aal- complementaire deelruimten.
Opgav en . . . .
HOOFDSTUK XVI. Lineaire vergelijkingen
22 24
28
29
31§ I. Niet-homog ene lineairevergelijkingen . . . 31 § 2. Het bepalen van derang vaneen matrix . . . 34 § 3. Het oplossen van niet-homogenelineaire verg elijkingen 39 § 4. Hom ogenelineairevergelijkingen . . . 42 § 5. Verband tussen de oplossing en van een stelsel niet-homogen e
lineairevergelijkingen en van hetdaarbijbehorendestelselhomogene
lineaire vergelijkingen 47
§ 6. Opgaven . . . " 47
HOOFDSTUK XVII. Determinanten § 1. Det erminanten van dend eorde . .
§ 2. Eigenschappenvan det erminanten § 3. Regel van Cramer . . . . § 4. Produkt van tweedeterminanten
§ 5. Toepassingen . 50 50 51
5
7
5
9
6
0
§ 6.
6
Opgav en .
HOOFDSTUK XVIII. Lineairetransïorrnattes
62 65 § 1. § 2. § 3. §4. § 5. § 6. § 7. § 8. § 9. ~ 10. s § 11. § 12.
,
13.s
§ 14. § 15. § 16. § 17. Vectortran sformaties . . . . 65Lineair evectortransformaties 66
Tran sformatiematrix . . . . 67
Beeldruimte en kern van een lineaire transformatie 69 Lineaire transformatiesin affiene en euclidische ruimten 70 Toepassin gen . . . 71 Opgaven . . . 74 Optelling van mat rices; vermeni gvuldigin gvan een matrixmet een scala ir . . . 76 Vermeni gvuldiging van matrices . . . 77 Getran spon ecrde matrix; sym me trische matrix; nulmatrix 82
Inverse tra nsfor ma tie 83
Ran g \'an een produktmatrix . . . 86 Basistran sformatie . . . 88 Invloed van een basistransformatie op de matrix van een lineaire
transformatie . . . 89
Orthogo na le transformatie 90
Ort ho normalc basistransformatie 95
Opgaven . . . 96
HOOFD ST UK XIX. Eigenwaarden en lineairetransformatie . . . . .
eigenvectoren van een 101
§ 1. Eigenwaarden en eigenvectoren 101
§ 2. Eigenschappen van eigen vectore n en eigenwa arden 103
§ 3. Toepassingen 106
§ 4. Eigenw aarden en eigenvectoren van sym me t rische matrices 109 § 5. Opgaven. . . 113
HOOF DST U K XX. Klassificatie van kwadratische oppervlakken inE3 . . . 117 § 1.
,
2.s
s 3.s
,
4. s,
5. ~Herleiding van homogene kwadratische polynomen in x, y en z 117
Toepassingen 118
Klassificatie van kwadratische oppervlakken in E3 120
Toepassin gen 122
HOOFDSTUK XXI. Affiene transformaties en bewegingen 130
§ 1. Affiene transfor maties . § 2. Bewegin gen . . . . . § 3. Eigenlijkebewegingen . § 4. Oneigenlijkebeweging en § 5. Opgav en REGIS TE R 130 133 134 135 137 140
VECTOREN IN EEN n-DIMENSIONALE RUIMTE (Rn).
§ 1.Vectoren in Rn •
In R2wordt een vector aangegeve n door twee kentall en , in R3door drie ken-tallen .Zoisg = (al,a2) een vect orin R2en g = (al , a2.a3)een vectorin R3. Op analoge wijze noem en we een geordend rijtje van n getallen, waarbij het natuurlijke get al n vast is, een vector in een n-dimen sionale ruimte R n; dus
g
=
(al,a2,a3' ,an)is een vector in R n.Degetallen al, a2, a3 , a n het en weer de kentallen van de vectorg.De nulvectoris:
Q
=
(0,0,0,.. .,0), (n get all en 0).Op vectoren in Rn passen we twee bewerkingen toe, nl. op telli ng van vectoren en vermenigvuldiging van een vector met een (scalair) getal.
We definiër en dezebewerkingen alsvolgt :
Zijn g = (al ,a2, a3' ...,an) en 12 = (bi,b 2,b3 ,b n) twee vectoren in Rn , dan is: g
+
12 = (al+
b l,a2+
b 2 ,an + bn).À,!! = (À,al, À,a2 ...., À,a n) . De som a + b en À,!! zijn weer vect or en in R n. Gewoonlijkschrijven we - 1.!! als -!! .
Voor de vectoren en de bewerkingen van vector en in R ngelde n de volgende eigenschappen:
1.g = 12 dan en slechtsdan,als ak = b k (k = 1,2,...,n). 2.!!+
12
=12
+ !!, (commutatieve eige ns ch a p).3. (!! +
12)
+ ç = !!+(12
+
c). (associ atiev e eige nsch a p). Hieruit volgt, dat we mogen schrijven: !! + 12 + ç.4. Aan elk tweetal vectoren g en
12
in R n is één en slechts één vector ~in R n toegevoegd met de eige nsch a p :!!+~=12.
We schrijven meestal: ~ =
12 -
!!en noemen ~ het verschil van12
ena·
Is!!=
(al ,a2.... , an)en12
=
(bi.b2,... , b n), dan is:12 -
!! = (bI-al,b 2- a2,.. ., bn-an) . 5. Voor de scalaire vermenigvuldiginggeldt:10
1°. À(a
+
12)
=
Aa+
}
,12,
(distributiev e eigens chap), 2°. (J.+
,u)a=
Àa+
,ua,(distributiev e eigensc hap) , 3°.(À,u)a=
À(,ua), (associatiev e eigensc ha p).Opmerkingen.
1.In plaa ts van: a is een vecto r in R n, wordt wel gesch reve n :a E R n.
2.De vectoren ~l
=
(1,0 ,0 ,.. .,0), ~2=
(0,1 ,0, ...,0L.- ..,~n=
(0,0,0,.. .,1) hete nde eenheidsvectorenin Rn.3.Uit hetbovenst aandevolgt, datwevoor a
=
(al , a2,...,an) kunnen schrijven : a=
al~l+
a2~2+. . . +
a n~n.Verderis :
a
+
(- a)=
Q, dus a=
Q - (-a)= -
(-a); - (a+12)
=
(-a)+
(-
12);
a+
(- 12)
=
a-12.
§2.Lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid. Gegeven zij n p vectoren in R n :al,a2,a3,' .. en apoDefinitie.
Een vector
12
ERn is lineair afhankelijk van deze p vectoren, als er p getallen }'l,,12,J.3, . . .,Àp , bestaan , zódat:12
=
Àlal+
À2a2+
À3a3+ ..
.
+
Àpap . Hierinmogen enkele getallen Aof allegetallen Ànul zijn .Voorbeelden.
I. De vect or (-8,7,0,-3) is lineair afhankelijk van de vectoren (1, 0,2 ,1), (2, -1, 0,-1)en (-1 ,1 ,-1, - 2).Immers:
(])
~
2@ - 3
U)
+
4
(=1)·
2.Denulvect orin R nislineair afhan kelij k vanelk p-tal vect orenin R n,immers : Q
=
°.
al+
°
.
a2+
°.
513+
.
.
.
+
°
.
ap .3. Elke vector
a
=
(al,a2, a3,..,an) is lineair afhankelijk van de n eenheids -vect oren in R n, immers (zie § 1): a=
al~l+
a2~2+
a3~3+
..
. +
an~n. De betrekking:Àlill
+
À2il2+
,13a3+
..
.
+
Àpap=
Q (1) tussendevect oren al,512,513, ..., ap isinelk gevaljuist, alsalleget allen Ànulzijn . Er zijn tweemogelijkheden :10. Betre kking (I)isalleenjuist als}.l = }'2 = }'3 = .. . = },p =
°;
wenoem en dan 9,1,9,2.9,3,...,9,p een lineair-onafh ank elijk stelsel, of we zeggen dat deze vectoren lin eair onaf hankelijk zijn.2°. Betrekking (I) geld t ook, als niet alle }.' s nul zij n; we noemen dan 9,1,9,2, 9,3,. . .,9,peenlineair-afh ankelij k stelsel.of we zeggen dat deze vectoren lineair afhankelijk zijn.
Gevolgen.
1. Vormen 9,1, 9,2, 9,3,.. .,9,peen lineair-afhankelijk ste lsel, dan is minsten s één van dezevector en lineair afhan kelijk van de overige.Immersin
Älal + Ä2 9,2
+ ..
.
+
Äk 9, k+
...
+
Äp9,P = Q zijn niet alle }.'snul; ste l bijv. Äk oF 0, dan is:Äl Ä2 Äp
ak
=
-
Ä kal - Ä
k a2 - ... - Äk
ap .
Devector!!kis duslineair afhankelijk van deoverigevector en.2. Isomgeke erdde vect or a lineair afha nkelij k van de vector en al,a2,· .. ,ap, dan vormen de vector en !!. 9,1, a2,.. ., ap een lineair-afhankelijk ste lsel. Uit
a = Älal
+
}.2!!2+
... +
Äpap volgtimmer s:I . a - }olal - }.2a2 - .. . - Äpap = Q.
In deze betrekking is de eers te coëfficiënt gelijk aan I, zod at niet alle c oëffi-ciën te n nul zijn.
3.Als onde renige vector en de nulvectorvoorkomt ,dan vormen dezevectoren een lineair-afhankelijk ste lsel. We kunnen immer s in de betrekking (I) de coëfficiën t van de nulvector onge lij k aan nul en, zo nodi g, alle andere co ëffi-ciënte n gelijk aan nul nem en.
Voorbeelden.
I. Devectoren in R4 :
al=(0,1,2,-I), 9,2=(1,0,0,0), a3=(0,1,0,-I) en !!4=(0,1,-4,-1) vormen een lineair-afhankelijk ste lsel, want:
of :
2!!1
+
°.
a2 - 3a3+
I .a4 = Q .N u is9,1wel lineair afh anke lijk vana2,a3ena4,maar!!2isniet lineairafhankelijk van al. a3en !!4.Wenoem en 9,2lineaironafhankelijk van de ove rige vectoren.
12
2. Den eenheidsvectoren in Rn vorme n een lineair- on a fhank elijk ste lsel. Uit
.1
1(1,0, 0,...,0)+
.1
2(0, 1,0, .. .,0)+ .
..
+
Àn(O,O,...,1)=
(0,0,0,...,0) volgt:(.11,.12 , . . .,Àn )
=
(0,0, ...,0), dusis: .11=
.12= .
..
=
Àn=
0. 3.Hoewelmenbij lineaireafhankelijkheidenlineaire onafh ankelijkheidmeest al denkt aan tweeof meer factoren, zeggen wekrachtens dedefinitie:De nulvect or is "lineair afhankelijk", omdat ÀQ = Qgeld t voor elke .1 #- 0 ; elke vect or g #-Qis "lineair onafhankelijk" , omdat }.!! = Qalleen geldt voor
À
=
0.§3.Lineairevectorruimte; lineairedeelruimte.
Definitie.
Een lineaire vectorruimte V is een verzameling vectoren in Rn met de volgen de tweeeigenschappen:
1°. Behoren y en W tot V, dan behoort ook y
+
w
totV. 2°. Behoorty tot V, dan behoortvoor elk getal ÀookÀytotV.Zijn y en W vectoren van een lineaire vectorruimte V, dan volgt uit boven -staande definitiedat elkevector van de gedaante}.y
+
flWook tot V behoort. In hetbijzonder behoort°
.
y = Qtot V.De verzameling van alle vectoren van Rn vormen een lineaire vect orruimte. Immers als y en W tot Rn behoren , dan beho ren ook y
+
w
en Ày tot Rn .\Ve noemen deverzameling van alle vectoren van Rn delineaire vectorruimte
Rn , kortwegaangeduidmet Rn.
Niet elkeverzamelingvectorenin Rnvormteen lineairevect orruimte.Zijn bijv.
!!(#-Q)en btwee vectorenin Rn , dan is de verzamelin g : ~ = !!
+
Àb
geen lineaire vectorruimte. Immers,als y = !!
+
.11b
enw
= !!+
.12b
tot de verzameling behoren, dan behoort y+
w
= 2!!+
(.11+
À2)b niet tot de verzameling.Een verzameling vectoren in Rn die niet allevectorenvan Rnhoeft tebevatten ,
kan weer een lineaire vectorruim te vorme n; deze vectoren vormen dan een lineaire deelruimte van Rn. In het bijzonder kunnen we Rn als een lineaire
deelruimte van zichzelf bescho uwen.
StelIing.
De verzameIlng D van alle vectoren die Ilneair afhankelijk zijn van eenp-tal vectoren
In Rn, vormen een Ilnealre deelruimte vanRn•
2 I I c
,
v I v a h I ê v I ~ e {] t n d v §s
·
A etrn
Bewijs.
Zijn y en '!Ytwee vecto ren van D, dan is:
y
=
}.li!l+
Äz!!z+
.
. . +
}.pi!pen
Hieruit volgt:
y
+
'!Y=
(}'l+
,ul)ill+
(Äz+
,uz)ilz+
..
. +
(}.p+
,up)i! pen
Äy
=
itÄl 2,l+
itÄZ2, Z+
.
.
.
+
itÄp2, P , zodat y+
'!Yen }.y ook tot D behoren .D isdus een lineairevectorruimte en weleen lineaire deelru imte van Rn.
Dat D een lineaire deelruimte is van Rn wordt aangege ven met De Rn
of met Ru~ D (R,omva t D).
We zeggen, dat bovenst aandelineaire deelru im te D door het p-tal vectoren : (I)
wordt opgesp annen.
Het stelsel (I) van p vect oren noem en we een basis van D. Vormen deze p vect or en een lineair-afhankelijk stelsel, dan spreken we van een lineair -afhanke lijkebasis;vorme n dep vect oren een lineair-onafhan kelijk stelsel, dan heeft men een lineair- onaf han kelij ke basis.
De lineaire vectorruimte Rn wordt opgespannen door de n eenheids vect oren ~l ,~z,·..,~n . Deze n eenheids vectoren vormen een lineair-onafh ankelijke basis
van Rn.
De verzameling die alleen de nulvector Q bev at, is een lineair e vectorru imte; wenoemen deze denulruimte. IsQ denulvecto r van Rn, dan is denulruimte een lineairedeelruimtevan Rn .
Opmerking.
Uit boven st a andestelling volgt, dat elke Rn met n ~ I (d.w.z. Rn is niet de nulruimte) een lineairedeelrui mteheeft die niet Rn zelfis. Daar elke lineaire deeJruimte van Rn een lineai re vectorruimte is, zijn er behalve de lineaire
vectorruimten Rn nogoneindigveelanderelineairevectorruimten.
§4. Stellingen over lineaire vectorruimten.
Stelling1.
Als van een lineaire vectorruimte V
een basis is en
12 = Älill
+
Äzi!z+
.
.. +
Äk i!k+
...
+
Äp il pmetÄk -=j=. 0, dan is ook
(I) (2)
Bewijs.
Daar J'k =F 0, volgt uit (2) :
I b 1( , . . ' . ) (4)
ilk
=
-, _ - -;-
I'.lil1+
102 il 2+
.
..
+
lok-l!!k-1+
lok+lilk-l-1+ ..
.
+
l' p2p /ok 10kIs2i: een willekeur ige vecto r van V,dan is, omdat (1)een basis is van V: ~
=
,u1il1+
,u2 2 2+
...
+
,uk 21<+
..
. +
,up 2 P.Substituere n wehierinvoor ilkhetrechterlidvan (4),dan blijk t dat elkevector ~ EV lineair afhan ke lij k isvan de vectoren (3). Is omge kee rd ~ lineair onafhan kelijk van 21,22, . . ., ilk-1,1.2,ilk+l,' .. , ilp, dan is ~ EV. Hiermed e is bew ezen dat het ste lsel (3)ook een basisisvan V.
Stelling 2. (Uitwisselingsstelling van Grassmann-Steinitz.) Als van een lineaire vectorruimte V
een basis van V.
14
n.
l,
Q2,' . . ,ilk-l,12,
ilk+l,· .0'ap (3) e li l\> u S A k b B S nv
een basis is en 121,122,l.23, .. .,b
qeen lineair-onafhankelijk stelsel vectoren is, dan is q ~ p en dan heeft Veen basis bestaande uit de vectoren 121,122,123,...
,b
q en nog p - q geschikt gekozenvectoren van il1,il2, il3,· .., ilp·
Bewijs.
Daar de vectore n 1.21,122,1.23 , ...
,
b
q een lineair-on afh a nkelij k stelsel vormen, is geen van deze vectore ngelij k aan Q.Daar ill, il2. il3,' ..,!!peen basisis, is:
1.21
=
J.l ill+
À2!!2+
À3 il3+ .
..
+
J·I,'lp·Uit
bi
=F Qvolgt, dat niet alle J: s gelij kaan nulzijn.Stel J'I =F 0,da n is volgens ste lling I :ook een basisvan V. Hieruit volgt :
1.22
=
,ud21+
[t2il2+
,u3'l3+ .
. .
+
[tp!!p.Daar 1.22=F Q en 122 =F.I111.2 I, zij n de coëfficiën te n It2,,u3, . . .,,up niet alle gelijk aan nul. Ste l112 =F 0, dan is volgen s ste lling 1:
bi
,
1.22.il3,' . . •'lp ook een basis van V.Op deze wijze kunnen we tel kens él'n van de voet or en u 11itieissclcn tegen él;n van devecto re n 1.2. Wasnu q > p.dan zou
S E d: A 21 d; la eE S1 Ir e~ BI Ir ee dé af H
gE
St Ji,b
i.
122, .. .,12peen basis zijn van V, dus dan zoude n de vect oren 12P+l, 12p+2, '.. ,12q hiervan lineair afha nkelijk zijn. Daar ditvolgens het gegeven niet mogelijkis,is q ~ p. Metbeh ulp van deuit wisselin g vinden wedus, dat Veenbasis heeft bestaande uit allevectoren 12en nog p - q geschikt gekoze nvectoren a.
stelling 3.
Als van een lineaire vectorruimte een lineair-afhankelijke basis gegeven is, dan kan men van die basis een lineair-onafhankelijke basis maken door een aantal basisvectoren weg te laten.
Bewijs.
Ste l al,a2,a3,' .., ap is een lineair- afhankelijk e basis van de lineaire vecto r-ruimteVen alis afhankelijk van de overige ba sisvect oren, dan is:
al
=
À2a2+
À3a3+ .
..
+
Àpap . (I)Voor elke vector l> EV geldt :
l>= ,ulill
+
,u2a2+ .
..
+
,upilp .Substitueren wehierin voor ,11 het rechterlidvan (I), dan vinden we: l>
=
(fll }.2+
,u2)a2+
(,uIÀ3+
,u3)il3+ ... +
(,uI }.p+
,up)ap.Elke vect or l>EV is dus lineair afha nkelijk van ;12.a3,' ..,ilp, waarui t volgt dat dezevectoren ook een basisvorm en.
Als dus al lineair afhankelijk is van de overige vectoren ;1,dan kunnen we al uit debasisweglaten . Isal lineair onafha nkelijk van de overige vectoren il,
dan laten we
,11
in debasis staan. Op dezelfd ewijzebeslissen we of wea2w eg-laten of dat a2blijft st aan . Op deze wijzegaan we door. Tenslottehouden we een lineair-onafhankelijk ebasisover.Stelling 4.
In een lineaire vectorruimte Rn (n ~ I) vormt elk p-tal vectoren met p > n een lineair-afhankelijk stelsel.
Bewijs.
In de lineaire vect orruimte Rn vorm en de n eenheidsvectoren ~l,~2,~3,. . .,~n een (lineair-onafh ankelijke) basis. Zijn p vectoren in Rn lineair onafha nkelijk,
danisp ~ n (st elling2).Alsp > n, dan vormendezep vect orendus een lin eair-afhankelijk stelsel.
Heeft een lineairevectorruimteV meerderelineair-onafh ankelijk ebasissen ,dan geldt devolgende ste lling.
Stelling 5.
vector-16
ruimte Vis onafhankelijk van de keuze van de basis. Bewijs.
Steldat:
(I) zowel als:
(2)
een lineair-on afhankelijke basis isvan V.
Nu is(I)eenbasisvan V, terwijl(2)een stellineair-onafhankelijk e vectoren van V is. Volgens stelling 2 isdan q ~ p.
Omge keerd is (2) een basis van V, terwijl (I) een stel lineair- on afh ankelijke vectoren van Vis; dusP ~ q. Hieruitvolgt: p = q.
Definitie.
Hetaantal vectoren van eenlineair -onafha nk elijke basis van een lineaire vector
-ruimte Vheet dedimensie van V.
Is dedimensie van V gelijk aan m (m ~ I )', dan heet V m-dimensionaal ; we geven dit aan met Vm-Dedimensie va n Rn isn, immers Rn heeft een li
neair-onafhankelijke basis bestaande uit de n eenheidsvecto ren. We zeggen dat de nulruimtededimensi e 0 heeft .
Opmerkingen.
Uit het voorgaandevolgt onmiddellijk:
I. Is al, a2, '..,ameen basis van een m-dimension ale vectorruimte Vm. dan is dezebasis een lineair-onafhankelijke basis.
2. In een m-dimensionale vectorruimte Vm vormt elk m-tal lineair- on af-hankelijke vecto ren een lineair-onafhankelijk ebasis.
Stelling 6.
Elke vector van een lineaire vectorruimte is op één en slechts één manier te schrijven als een lineaire combinatie van de vectoren van een lineair-onaf-hankelijke basis.
Bewijs.
Stelal, a2, . . .,amis een lineair-on afh ankelijk ebasisvan Vmen steldat g EVm op twee manieren in deze basislineair isuitt~ dru kken; dus :
~ = Àlal
+
À2il2+ ..
.
+
Àmilmèn
~
=
,ulal+
,u2il2+
.
.. +
,umilm , dan is:Daar ~!l,i!2,... ,i!m een lineair-onafhankelijke basis is, is
J'k
=
Pk (k=
1,2,...,m).§5. Lineaire deelruimten.
In §3 zagen we, dat in Rneen verzamelingvectoren kan voorkomen die niet alle vector en van Rn hoeft te bevatten en die weer een lineaire vectorruimte
vorm t; we noemden deze verz ameling een lineaire deelruimtevan Rn. In het
bijzonder konden we elke lineaire vectorruimte Rn als een lineairedeelruimte van zichz elf beschouwen.
Van lineairedeelruimten behandelen we de volgende stellingen:
Stelling I.
Elke lineaire deelruimte D van Rn (D is niet denulrulmte) heeft een lineair-onafhankelijke basis bestaande uitm vectoren met I ~ m ~ n.
Bewijs.
Alle vect or en van D zijn ook vectoren van Rn . Zou D meer dan n lin eair-onafh a nkelij ke vectoren bevatten, dan zou ook Rn meer dan n lin eair-onaf-hankelijk e vectoren bevatten .Dit isonmogelijkvolgens § 4, stelling4. Hieruit
volgt :m ~ n.
Daar D niet de nulruimteis,bev at D minst ens één vector i! -=F Q.
Deze il is "line air-ona fha n kelij k" . D heeft dus minst en s één en hoogstens
n lineair onafhankelijke vectoren .
Er best aat duseen getal m met I ~ m ~ n, zó dat maximaal m vectoren van D lineaironafhankelijk zijn.
Ste l dat
(1)
een stel lineair onafhankelijke vectoren van D is. Is
12
een willekeurige vectorvan D, dan is
12
,
ill, il2, .. . ,ilm een stel lineair afhankelijke vectoren van D. De betrekking:J.b
+
À1ill+
J.2 il 2+
.
..
+
J.milm=
Q (2)isdusjuistvoor niet elke J.gelij kaan nul. Maar voorÀ
=
0 geldtbetrekking(2)slech ts voor elke ~k
=
O(k=
1,2,.. .,m). Betrekking (2) is dus juist voorÀ -=F O.Hieruitvolgtdatelke vector
12
E D lineairafhankelijk is van het stelsel(I).Ditste lsel vect or en is dusinderdaad een lineair-onafhankelijk ebasis van D. De dimen sie va n D is dusm met I :0:; m ~ n.
Opmerking.
Uit ste lling I volgt ,dat elke lineairedeelruimteD van I~ndie niet cIenulruimte
gs-18
stelling van Grassman-Steinitz heeft D dan ook oneindig veel lin eair- onaf-hankelijke basissen. Volgens stelling 5 van §4 is het aantalvectoren van deze basissen dezelfde. In het bijzonder heeft Rn (n ~ I) oneindig veel
lineair-onafhankelijk e basissen.
De nulru imt e heeft slechtséén basis, n.l. de vectorQ;daarQlineair-afhankelijk is, is deze basis een lineair-afhankelijkebasis van denulruimte.
Stelling 2.
IsDmeenlineaire deelruimte van eenlineairevectorruimte Rn, dan kan een
lineair-onafhankelijke basis van Dm aangevuld worden tot een lineair-onaf-hankelijke basis vanRn .
Bewijs.
Zij 1l,I,!!2,' ..,!!m een lineair-onafhankelijke basis van Dm en
111,122
, .
. .,12n
een lineair-onafhankelijke basis van Rn.Is Do de nulruimte, dan is de basis van Do de vector Q en dan is de ste lling vanzelfsprekend.
Is Dm niet de nulruimte, dan is I ~ m ~ n. Daar de vectoren a een lin eair-onafhankelijk st elsel vormen , heeft Rn volgen s de uitwisselin gsst elling een
basisbest aandeuitalle m vectoren g en nogn - m geschiktgekozen vectoren
12.
Daar deze basis van Rn
uit n vectoren bestaat, is het een lin eair-onaf-hankelijkebasis.Definitie.
Dedoorsnede van tweelin eair e deelruimten Dp en Dq van Rn is de verzameling
vectorendi e zoweltot Dp'als tot Dq behoren.
De doorsnedevan Dp en Dqgeven we aan met Dp 1\Dq .
DaarQ EDp en Q EDq , behoort de nulvector ook tot Dp 1\Dq. Stelling 3.
De doorsnede van twee lineaire deelruimten D, en Dq van Rn is een lineaire deelruimte van Dpen vanDq ,dus ook vanRn.
Bewijs.
Wemoet en aant one n dat, alsde vectoren ~en ytot Dp 1\Dqbehoren, dit ook
het geval is met ~
+
Y en A~.Als~enytot Dp 1\Dqbehoren, dan~ EDpen y EDp , dus(x
+
y) EDpwant Dp is een lineaire vectorruimte. Maar ook ~EDq , en YEDq dus (~+
Y)E Dq .Hieru it volgt dat
x
+
Y tot Dp 1\Dq behoort.Opmerking.
Uit de definitie van Dp
n
Dq volgt:dimen sie (D,
n
Dq) ~ dim.Dp en dim. (D,n
Dq) ~ dim. Dq .Definitie.
De verbinding, of directe som" van tweelineaire deelruimten Dp en Dq van Rn is deverzam elinguectoreng + y,waarbij .lS: EDp en YEDq .
De verbinding van Dpen Dq geven we aan met Dp + Vq . 'Merk op,dat elke vector van Dp + Dqook een vect or isvan Rn .
Stelling 4.
De verbinding van twee lineaire deelruimten Dp en Dq van Rn is een lineaire
deelruimte van Rn .
Bewijs.
Wemoeten aantonendat,als.lS:l + Ylen .lS:2+ Y2 tot Dp + Dqbeh oren ,(waarbij .lS:1 en .lS:2 E Dp , Ylen Y2 EDq), dit ook het geval is met (.lS:1 + ~)) + (.lS:2 + Y2) en met À(.lS:l + Yl).
Daarx, EDpen .lS:2 EDp, is ook g, + .lS:2EDp ; en daar YlEDq en Y2 E Dq , is ook Yl + Y2 EDq. Hieruit volgt dat (.lS:1+ .lS:2) + (Yl + Y2) behoort tot
Dp + Dq. Verderis:
(.lS:1 + .lS:2) + (Yl+ Y2) = (.lS:1 + Yl) + (.lS:2 + Y2),
waarmed e is aangetoond dat (.lS:1 + Yl) + (.lS:2 + Y2) beho ort tot Dp + Dq• Met behulp van:
À.lS:1 + ÀYl
=
À(.lS:l +yd
kunnen we aantonen dat ook À(.lS:l + Yl) tot Dp + Dq behoort.
Dp + Dqisduseen lineairevectorruimte ;daar allegeno emdevect oren tot Rn
beh oren, isDp + Dqeen lineairedeelruimte van Rn .
Stelling 5.
Zijn Dpen D, twee lineaire deelruimten van Rn, dan is:
dim.(D, + Dq)
=
dim.D, + dim.D, - dim.(Dpn
Dq) • Bewijs.Destellingis juist alsDpenj of Dqdenulruimte is.Stelnl. dat Dqdenulruimte is, dan isDp + Dq
=
Dp ,dim. Dq=
0en dan is Dpn
Dq ook de nulruimte, dus dim. (Dpn
Dq)=
O. De stellin gluidt dan: dim.Dp=
dim. Dp .We nemen nu aan, dat Dp noch Dq de nulruimteis ;dim.Dp
=
p, dim . Dq=
q en dim. (Dpn
Dq)=
m.We kiezen een lineair-onafhankelijkebasis van Dp n Dq , nl.:
20
'Ne vullen deze basis aa n (zie ste lling 2) tot een lineair-on afh a n kelij ke basis van D p:
g.1,g.2," .,g.m, 121,122,...,12p-m . (2)
Ook vullen we basis (I) aan tot een lineair-on afhankelijke basisvan Dq: (3)
Uit de definitie van D p
+
Dq volgt :(4)
is een basis van D p
+
D q.Het aan tal vector en van deze basis is p+
q - m. We bewijzen nu, dat basis (4) een lineair-onafhankelijke basis is, dus dat dim.(Dp+
D q)=
P+
q - m.We besch ouwen de betrekking :
1 4
Uit het eers te lid volgt:
x
EDp en uit het tweede lid volgt: ~ EDq, dusx
beh oort tot D pn
D q.Da ar (I)een basis isvan D p
n
Dqisèn m
x
= ~ Ak'g.k keL of : waaruit volgt: In p-m q-m ~ Akg. k+
~ ,uk12k+
~ 'VkÇk=
Q k~l k=l k~l m p-m q-m ~ Akg.k+
~ ,uk12k=
-
~ 'VkÇk=
~. ke-I k=l k-eL q-m ~= -
~ 'VkÇk , k=l m q-m ~ Ak'g.k+
~ 'VkÇk=
Q. k-l k~l (5) (6) \ r j 5 \ I r J 6 1 7 Het ste lsel (3) islineair-onafhankelijk; betrekking (6)isdus slech ts juist voor'Vk
=
0 (k=
1,2,.. .,q - m). Betrekking (5) wordtnu:m p-m
~ Akak
+
~ ,uk12k = Q. k=l ke lDaarste lsel (2)eve nee ns lineair-on a fh a n kelij k is, isbetrekking (5) slech ts jui st voor Ak
=
0 (k=
1,2,.. ..rn) en ,uk=
0 (k=
1,2,.. .,p- m).Hiermed e is aangetoond, dat de basis (4) van Dp
+
Dqlineair-on afhankelijkis,waaruit volgt :
dim. (D"
+
Dil)=
P+
q - m .\Ve kunnen de ste lling ook zo formuler en:
dim. (DIl
n
D q)+
dim. (Dp+
D q)=
dim.Dp+
dim. Dq.v
I 1
§6. Opgaven.
I. Bewijs dat 9.-, 12 en ç dan en slechts dan een lineair-on afhankelijk stelsel vormen, als9.-
+
212, 12+
3çenc
een lineair-onafhankelijk ste lsel vorm en. 2. Van een lineairevectorruimte vormen 9.-,29.- - 12en 12+
2çeen basis.Bepaal dedimensievan dezelineairevectorruimte:1°. als 9.-,12en çeen lineair-onafhankelijk ste lsel vormen ;
2°.als9.-lineair afhankelijkisvan 12en ç, terwijl 12en çeen lineair-on afhankelijk ste lselvorme n .
3. Toon aan dat de vectoren (0,1,2 ,3), (3,0,1,2), (2,3,0,I) en (1,2,3,0) een lineair- onafhankelijk ste lsel vormen.
4. Van de vectoren 2:>
=
(XI,X2,X3,X4) In R4 voldoen de kentallen aan de vergelijkinge n :Xl - 2X2 - X3
+
X4=
3XI - 6X2 - 3X3 - 4X4=
°
.
Bepaal een lineair-onafhankelijke basis en de dimen sie van de lineaire deel-ruimtediedoor dezevect or en wordtopgesp annen .
Antw.: (2,1 ,0,0) en (1,0,1,0); 2.
5. Van de vectoren 2:>
=
(Xl,X2,X3, X4, xs) in Rs voldoen de kentall en aan de verge lijkinge n :Xj - 2X3 - Xs
=
X2+
3X3 - 2X4=
°.
Bepaal een lineair-onafhankelijk e basis en de dimensie van de lineaire d eel-ruimte die door deze vectoren wordt opgespannen.
Antw.: (2,-3, 1,0, 0), (0,2,0,1,0) en (1,0,0,0,1); 3.
6. Dl en D2zijn twee lineairedeelruimten van Rn en Dl
+
D2=
Rn . Tebewijzen:dim. Dl+
dim. D2 ~ n.7. Dl en D2 zijn twee lineaire deelruimten van Rn. De verzameling van alle vectoren die tot Dl of tot D2 of tot Dl
n
D2 behoren, heet devereniging vanDl en D2.Devereniging van Dl en D2 wordt aangegeven met Dl u D2. Toon aan dat Dl u D2 in het algemeen geen lineaire vectorruimteis.
HOOFDSTUK XV
EUCLIDISCHE VECTORRUIMTEN
§I. Euclidische vectorruimte.
Van twee vect oren ~ en 12 in een lineaire vect orruimte definiëren we een
inwendig produkt:
Definitie.
Onder een inwendig produkt (a.12) van de vectoren ~ en 12verstaan we een scalair getal dat aan devolgend evoorwaarden voldoet:
1°.(a.a) ~ 0 (hetgelijktekengeldt slechts voora
=
g); 2°.(a,12)=
(b. a) :3°.}.(~,12)
=
(À~,12)=
(a.Àb);4°.(a.12
+
c)=
(a.12)+
(a.c).Uit 3°.volgt :(a.o) = (o.a) = (0 .a.a) = 0 .(a.a) = O.
Een lineaire vectorruimte waarin voor elk tweetal vectore n een derg elijk
inwendigproduktgedefini eerdis,heet een eucli disc heneetorruimte.
Ongelijkheid van Schwartz.
Zijn
a
en 12 twee vectoren in een euclidische vectorruimte, dan is: (a.12)2 ;;; (a.a ) .(12,12) .Bewijs.
Is~ = g,dan is(a.b) = 0 en (a.a) = 0,zodat (I)dan geldt .
Is
a
=1= g,dan is:().~
+
12,}.~+
12) ~ 0voorelke À ,dus
(À~,A~)
+
(À~,12)+
(12,À~)+
(12, 12) ~ 0, ofA2(~,~)
+
2À(~,12)+
(12, 12) ~ 0voor elke Àen (a.a) > 0 .Hieruitvolgt: (~,b)2 - (a.a) .(12,12) ;;; 0, of (I) I
,
I (11.12) 2;;; (a.a) .(12,12) . Definitie.Iïi een euclidische vectorruimte verstaan we onder de lengte
1
;1
1
van een vectoril het getal :
( I
t
2I~I
=
y'(~,~) .De enige vector met delengt e0 isdus de nulvectorQ.
Is ~ =j::. Q, dan heeft devect or ~/I~I de lengt e I,immers:
lengt e
~
=
V(~
. a
)
=
V
12
.(~,~)
=
I.I~I lal I~I I~I
a
Toon zelfaan , dat _ï~1 voor ~ =j::. Qevenee ns delengt e I heeft. De ongelijkheid van Schwart z kunnen we als volgt schrijven :
(~,
b
)2
s
1~1 2 .I
bl2
of:
-
I~I.
I
bl
~ (~,b) ~ I~I.
I
bl .
Hieruit volgt :voor ~ =j::. Qen
b
=j::. Qis:_ I ~ (~,b) ~ I .
- I~I . Ibl
-Zijn ~ en
b
beideongelijk aan de nulvector,dan is er stee ds één hoek T met : (~,b)cosT
=
I~I. Ibl 'In een euclidischevectorruimtenoem en wede op dezewijze gedefinieerde hoek
T dehoek tusse n devect oren ~en b.
Is
(a.
b
)
=
0,a
=j::. Q enb
=j::. Q, dan is T=
71:/2, dusa
1..b
Omgekeerd: Isa
1..b,dan is (~,b)=
O.Voor ~
=
Qofb
=
Qis cosT dus ook hoekT niet gede finieerd.Daar voor elke ~ geldt (~,Q)
=
0,zeggen wedat de nulvector loodrecht staat op elkevect or, dus ook loodrecht op zichzelf.Zijn~en
b
tweevectorenineeneuclidisc he vect orruimte,dan geld t de volgende"driehoeksongelijkheid" :
I~
+
b
i
~ I~I+
I
bl .
Bewijs. I~
+
b
l
2
=
(a
+
b.
a
+
b
)
=
(a, a)
+
2(a,
b)
+
(b. b) .
Volgen sde ongelijkheid van Schwartzis (a.b) ~
lal.
I
bl.
Hieruitvolgt:
la +b
1
2
~l
al 2
+
21al
.
Ib
l
+
Ib
l
2
=
(I~I+
Ibl)2 ,
dusla
+
b
i
~ I~ I+
I
bl .
Opmerkingen.I. In de driehoeksong elijkheid geldt het gelijkteken slechts als ~ = Q, of als
b
= Q, of alsdehoek tussena
enb
gelijk is aan nul.24
§2. Orthogonale en orthonormale stelsels vectoren in een euclidische vector-ruimte.
Definitie.
Een stelsel vectoren in een euclidische vectorruimteEn heet orthogonaal, als alle vectoren ongelijk zijn aan Qen alsallevectoren twee aan twee loodrecht op elkaar staan .
Stelling 1.
In een euclidische vectorruimteEn is elk orthogonaal stelsel vectoren een lineair -onaf han kelij k stelsel.
H (~ Cc VI 0( in l = 1,2, ,p en k = 1,2, ,p . Bewijs.
Stel ~l, ~2,...,~pis een orthogonaalste lsel vectoren in En, dus
(11k,~l) = 0, k = 1,2,...,p en
(~k, ~k) = i111,12-=I=- 0,
w
ê
moeten aantonen,dat uit:ÀI~1 + À2!l.2 + ... + Àk11k + .. . + Àp!l. p= Q
volgt, dat elke À= 0.
Voor k = 1,2,...,p isin verband met (I), het inwendig produkt
(!l.k, ÀI!l.1 + À2!l.2 + ... + ).k~k + .. . + Àp!l.p) = (!! k,Q) = O.
Daar het linker lid gelijk is aan Àk(!l.k, !l.k) en (11k, !l.k) -=I=-
°
is Àk= 0, k=
1,2,...,p. (I) St EI n( Bt Zi E;n
el] Ol 10 nc Definitie.Een stelsel vectoren in een euclidische vectorruimte heet orthonormaal, als alle vectoren tweeaan twee loodrecht op {lkaar staan en als alle vectoren de lengte I
hebben. ,
Daareen orthonormaalste lsel vectoren een lineair-onafhankelijk stelselis, ka n
in een euclid ische vectorruimte En of in een lineaire deelrnimte van En een
orthonormaal stelsel vectoren dien en als lineair-onafhankelijke basis ; zo'n
basisheet een orthonormale basis.
Een orthonormale basis van een euclidische vectorruimte En kan gevor m d
worden door de n eenheidsvec t ore n :
~l
=
(1,0,...,0), ~2=
(0, I,.. .,0), ... , ~n = (0,0 ,.. .,1) .Deze eenheidsve ct ore n hebben alle de lengte I en staa n twee aan twee l ood-recht op elkaa r.
Zijn t.o.v. deze basis 11
=
(ala2, ... ,a n) en!2
=
(b.. be.. ..,bn) twee vect orenin En,dan is:
da ~2 Ne
!!
=
al~l +a2~2 + ... +an~n en Q=
bie
i
+b2~2 + ... +bn~n .Het inwendig produkt (a.Q)is dan:
(!!.Q)
=
(al~l +a2~2 + ... +an~n , bl~1 +b2~2 + .. . +b n~ n)=
al bI + a2b2 +. . . + anb n.Conclusie:
Vormen in een euclidische vectorruimte En de n eenheidsvectoren de ortho-normale basis, dan is van a
=
(al , a2... .,an) en Q=
(bi.b2, .. .,b n) in Enhet inwendig produkt(a.Q)
=
al bI + a2b2 + ... + anbn ;de len gte van vector a is dan:
lal
=
,/(aI 2 + a22 + . .. + an2) .(2)
(3)
Stelling 2.
Elke lineaire deelruimte van een euclidische vectorruimte Enbezit een ortho-normale basis.
Bewijs.
ZijD peen p-dime ns ionale lineaire deelruimtevan eeneuclidische vectorruimte En, met basis:
!!1,!!2.. ..,!!p.
Da ar dezebasis p vect oren bev at, is het een lineair-onafhankelijk e basis en is elke vecto r ~ Q.
Om van deze basiseen ortho normale basistemaken , gaan we als volgttewerk .
1°. Kies één van de vectoren, bijv . al. Da ar !!I~ g, kunnen we deze vector normeren, cl.w.z.vervangen door :
!!l
Cl - - clan is IC_II
=
I . - - lall .De vectore n Çl. !!2... .,!!p vormen weer een lineair-onafhankelijke basis van Dp.
2°.Neem:
clan is Q2 .-L
e
r.
immers:a2en Çl zijn lineaironafhankelijk en (Q2,c.)
=
(!!2,c.) - (!!2.ei) (Çl, ei)=
O.Normeer Q2, clan ontstaat:
Q2
Ç2
=
IQ21 ' dus Ç2 .-L Çl en lç21=
I .De vect oren Çl,Ç2.!!3,.. ., ilp vormen weer een lineair-onafhankelijke basis van
u;
3°. Neem :
Q3 = il3 - (!!3.Ç2) . Ç2 - (!!3'ei) .Çl, dan is Q3 ~ ~ en Q3 .-LÇ2en Q3 .LÇl .
26
Normee r b3,dan ontst aat:
b3
Ç3
=
Ib3\ ' dus Ç3..l Ç2 en Ç3 ..l Çl en IÇ31=
I .De vectoren çl, Ç2,Ç3,i!,4,... ,ap vormen weer een lineair-on a fhankelijke basis van Dp.
Op dezewijze doorgaande, on ts taat ten slotte eenort ho normale basis van D p: Çl,Ç2, ...,çp.
Dewerkwij zeom van een gegev enlineair-onafhankelijke basis een orthonormale basiste mak en, heet het orthogonaliseren van de basis.
Uit het boven st aandevolgt:
Elke lineaire deelruimte van een euclidisc he vect orruim te is een euclidische vectorruimtedie een or t ho norma le basisbezit.
Voor p ~ 2 kunnen we, door van vers chill ende basissen van D puit te gaan, vers chill ende orthonormale basissen van D p doen on ts taan .
In het bijzonder heeft elke n-dimen sion ale euclidisc he vectorruimt e En (n ~ 2)
verschill ende.ort ho normale basissen.
Stelling 3.
In een euclidische vectorruimte En wordt het inwendig produkt van twee vectoren uit de kentanen van deze vectoren ten opzichte van elke orthonormale basis op dezelfde wijze gevormd.
Bewijs.
Zij Çl,Ç2,...,Çn een ort hono rmale basis van een euclidische vecto rr uimte En.
Zijni!,enbtweevect orenin Enen t.o.v.de ort ho nor ma lebasis a
=
(<Xl,<X2,...,<Xn) en b = (fh,fh. ..,(3n). dan is:i!,
=
<XIÇl +<X2Ç2 + .. . +<xnçn enb
=
{31Çl + {32Ç2 + .. . + {3nçn . Dan is het inwendig produkt van i!,enb:
(a.b)
=
Oil {31+
0i 2{32 + ... +Oin{3 n .Vergelijken we deze uitdrukking met (2),dan zien wedathet inwendigprodukt (a,b) ten opzichte van de orthonormale basis Çl,Ç2,... , Çn op dezelfd e wijze
wordt gevormd als ten opzichte van de ortho normale basis !::1,!::2,' ..,!::n. De
formulevan (i!" b)isdusinvariantbij overgangopeen andere ort honormale b
a-SIS .
De lengte van vector a
=
(0i1, 0i2" •• ,Oin) is:lal
=
Y(OiI2 + 0i22 + . . . + Oin2) • "\ d n ( 2 g hz
n p n Eo
.Hb:
EVerge lij ke n wedezeuitdrukking met (3),dan zien wedat ook de formulevoor de lengte van een vect or in een euc lidis che vectorruimte En met een ort ho -nor male basisinvariantisbij overgan g op een an dere orthon ormal ebasis.
Opmerking.
Zijn !'!
=
(al ,!'!2, ... ,!'!n) en 12=
(bi,b2,.. ., bn) twee vectoren in R n en IS !'!geschrevenalseen rij vectoren 12 alseen kolomvector, dan noemen we : al bi
+
a2b2+ ... +
a nb nhetrij-kolom-produkt van!'!en 12, dus:
l
a, a,
a
.1
(J)
~
a
i
bi h b d +a.b.Zijn g en 12 twee vector en in een euclidische vectorruimte En met een or t ho -nor m al ebasis,dan isblijkbaarhetrij-kolom-produkthetzelfde als hetinwendig produk t van!'!en 12.
Voorbeeld.
In een euclidische vectorruimte E4 wordt een drie-dimen sion al e lineaire
deel-ruim te D3opgespan ne n door de lineair onafhan kelijke vectoren : !'!l
=
(1,0 ,0 ,-1 ), !'!2=
(0,1,0, -1 ) en !'!3=
(0,0,1 ,-1 ).Bepaal een or t h onor m ale basis van D3. Oplossing. Kies al I Çl
=
-=--
=
.12(I, 0, 0,-I) ; I!'!ll r I I 122=
!!2 - Ü!2,Çl). Çl=
!'!2 - ,/2Çl=
2
(-1,2, 0,- I) b2 I Ç2=
b
=
.16(-1,2,0,-1) ; 1_21 r . I I I123
=
!'!3 - (!'!3,Ç2) . Ç2 - (!'!3,ÇI) ' Çl=
!'!3 - y6Ç2- y2Çl=
3"
(-I,-1,3,-I)123 I
Ç3= -Ib 1= 2/3(-1 ,-1 ,3 ,-1 ).
_3 ,
Een orthonormale basis van D3 is dus:
I I I
28 § 3. Orthogonaal-complementairedeelruimten. Definitie.
Zij Dp een lineair edeelruimte van een euclidis chevectorruimteEnen ~een vector l:n En.Als~loodrechtstaat op elkevector inDp, dan zeggen we:~ staat loodrecht
op
n
,
en schrij ven:x
.Ln;
We sluite n hierbij de nulruimte uit, dusp > O.
Toon aan, dat ~ .L D p dan enslech ts dan als~loodrecht staatop alle vecto re n
van een basisvan Dp.
Toon ook aan dat, als~ .L Dp en ~ =1= g, vector~ niet in Dp ligt.
Zijn D pen Dq twee lineaire cleelruimten van een euclidische vecto rru imte en
staatelke vector inDploodrech t op elke vectorin Dq ,dan staatookelke vect or
inDqlood recht op elkevectorin D p.Wezeggendan: D pen Dqst aanloodrech t
op elkaar en schrijven :
n
,
.Ln.,
Merk op: D pn Dq
=
g.Stelling.
IsDp een lineaire deelruimte van een euclidische vectorruimte En,dan vormen alle vectoren in Endie loodrecht op Dpstaan een (n - p) dimensionalelineaire
deelruimte Dn-pvan En.
Elke vector
x
E En is éénduidig te schrijven als:x
=
~l+
~2 metx.
EDp en~2 EDn-p. Bewijs.
Kieseenort honor male basis Çl, Ç2,.. .,çp vanDpen vul dezeaan tot een ort ho
-normale basisÇl,Ç2 , ...,çp, çP+1,. '.,çn van En.
Is D n-p de lineaire deelruimte van En die çP+1, ...,Çn tot basis heeft en is
y een vector die loodrecht op D p staat , dan moet en we aan to nen dat alle
vectoren y Dn-pgeheel opvullen .
Stel
Y
= À1Çl+
À2Ç2+
.
.
. +
Àpçp+
ÀP+1 çP+1+
.
.
.
+
Ànçn. (I)Daar y .LD p, is(y,Çk)
=
0,k=
1,2,.. .,p.Dus
dus
Hieruit volgt: y
=
ÀP+1 çp+1+
.
..
+
ÀnÇn , waari n de waarden van Àgeh eelwillek eurig zij n.
Elke vector y EEn die loodrecht op Dp staat, ligt dus in D n-pen elke vector
y E
n
,
.
;
st aat loodrecht op Dr ."
S dv
v V V IJ SI Bo
S D H D §. I. zc (IS
t
A 2. de B AVoorelke YE Enisde schrijfwijze (I)éénduidig. Stellen we
~l
=
ÀIÇI+ .
. .
+
Àpçp en ~2=
ÀP+lçP +l+
.
..
+
}.nçn,dan is
Y
=
~l+
~2 met ~l EDp en ~2 E Dn-p •Wenoemen~ldeloodrechteprojecti evan yop Dpen~2deloodrechteprojecti e vany op Dn-p•
'vVe noemen
n,
en Dn-p orthogonaal-com plementaire deelruimten ; we zeggen ook dat Dp en Dn-pelka ars orthogona le complementzij n.Voorbeeld.
In een euclidische vectorruimte E4 wordt de lineaire deelruimte D3 o pge-spannen door delineaironafhankelijk evectoren:
9,
=
(1,2,0,0), 12 = (0,1,2,I) en ç=
(0,0,1,2) .Bepaaldeloodrechteprojecti evan ~
=
(3, -5,6, -5) op D3. Oplossing.StelDl ishet orthogon ale compleme nt van D3 , dan is:
x
=
P+
9 met EED3 en 9 E Dl ;E
=
}.I9,+
À212+
}'3Ç=
(ÀI,2ÀI+
À2,2À2+
À3,À2+
2}'3). Daarx -
E=
9.L
D3is: (x -E,
9,)=
°
of 5ÀI+
2À2 - 'i (x -E,12)
=
°
of ÀI+
3À2+
2À3=
I (~ - p,ç)=
°
of 4À2+
5À3=
-4.Hieruitvolgt: ÀI = - 3, À2= 4, À3= - 4.
Deloodrechteprojectie van ~op D3 isdusIJ
=
(-3, -2,4,-4) . §4. Opgaven.I.Bepaal voor de euclidische vectorruimte E3een orthonormalebasisYI,Y2,Y3 zo,dat YIen Y2 liggen in delineairedeelruimte opges pannen door devectoren
(1,1,4) en (0,1,2) , terwijl YI bovendien ligt in de lineaire deelruimte opg e-spannen door devectoren (2, 1,0) en (1,3,2).
1 . 1 1
Antw.:
3
(I,- 2, -2),3
(2, -1,2) en3
(2,2,-I) .2.Ineen euclidische vectorruimteE4is een lineairedeelruimteD3opgespannen door devectoren (1,1,1,1 ), (5,- 1,5, -1) en (2,1,-8,1).
Bepaal voor D3een orthonormalebasis.
I I 1
30
3. In een euclidische vectorruimte E5 wordt een lineaire deelruimte D3 opge-spannen door de vecto ren (1,2,2 ,0,0), (2,6,2,1,0)en (4,6, I,- I,I).
Bepaal voor D3een orthonormale basis.
I I I
Antw·:
3(1, 2,2, 0, 0) , 3(0,2,-2,1,0) en YIO (2,0, - I , - 2, 1) .
4. In een euclidische vectorruimte E3 wordt een lineairedeelruimte D2opge -spannen door de vecto re n (2,-1,0)en (3,0 ,I).
Bepa al deloodrechteprojectievan (2,0,-4) op D2•
Antw.: (I,-2,-1).
5. In een euclidische vect orruimte E4 wordt een lineaire deelruimt e D3 opge -spannen door devect or en (1,1,-1,0),(2,1,-1,-1)en (- 1,2,0,-3).
Bepaal deloodrechteprojecti evan (3,6,I, -3) op D3.
Antw.: (2,4,- 2,- 4). §: X,
D
(
tel be W12
lf l W, is1 (I) Xl, Wt hoi op]H
e
bes het stel El1LINEAIRE VERGELIJKINGEN
§I.Niet-homogene lineaire vergelijkingen.
Gegeven is het stelselvan plineaire vergelijkinge nmetnonbe kende n xi,XZ, •. ., all Xl
+
alZXz+
+
alj Xj+
+
aln Xn=
bIaZI Xl
+
azzXz+
+
aZj Xj+
+
aZn xn=
bz(1)
(2)
aplXj,
+
apZXz+
..
.
+
apj X]+ .
..
+
apnXn=
bpDe getallen bi (i
=
1,2,.. ., p) het en de bekende termen. Zijn de bekende termen alle 0, dan noemt men het stelsel vergelijkingen homogeen; zijn de bekende termen niet alle 0, dan heethet ste lselvergelijkinge nniet-homogeen. Wekunn en ~=
(Xl,XZ, .. •,x n) beschouwen als·een vectorin R nen12
= (bI, bz, ...,b p)als een vecto r in R p. Door (1) wordt dan aan elke vector ~ ERn één vector12
ER p toegev oegd .Wewillennu allevectoren~ ER n bep alen waaraan een gegeven vector
12
ER p istoegevo egd .Wenoem endit hetoplossenvan het stelsel lineaireverg elijkingen (1). Elke vector ~ dieaan (1)voldoe t heet een oplossingsuector ;de kentallen XI,XZ,...,Xnvan een oplossings vectorvormen een oplossingvan (I).We zullen eerst de voorwaarden onderzo eken waaronder het stelsel niet-hom ogene vergelijkingen oplosbaar is en daarna een manier aange ven om de oplossingen tebepalen.
Het sche ma van de coëfficiënte n aij (i
=
1,2 ,... ,p; j=
1,2,... ,n) :(
:~
:
.
::
.:.
:
.:.:
-.
.:
.~~)
au aiZ .. .aij...ain...
..
. .
..
. ..
aplapz... apj.. . apnbestaande uit p rijen en n kolommen, noemt men een matrix; aij ishetgetalof
het elementuit de itlerij en dejde kolom .Wenoem en (2) dematrix diebij het
stelsel vergelijkingen (1) behoort.
e-32
voegen waarvan dien getall en dekentall en zijn;datisdus weereenvector uit een n-dimen sion al e vectorru im te R n.Zo kunnen we aande iderij de vector:
toev oegen. We noem en dezevector deiderij vector.
Evenz o kunnen we aan elke kolom (die uit p getalle n best aat ) een vector uit
een p-di me nsionale vectorruimte Rp toevo egen. De vector:
(alj,aZj ,... , apj)
heet de jdekolomvector.
Voegen we aan de bek ende termen bi,bz,.. .,b p de vector (bi,bz,...,bp) toe,
dan ishet ste lsel vergelijkingen (I) te sch rij ve n als :
x,
c:)
+
Xz(
~~)
+
.
.
. +
xj(
~::')
+ .
. .
+
Xn(
~::)
~ (
~')
(3)la pl apZ a pJ a pn \bp
Stellen we g, = (alj, a Zj,...,ap j)(j = 1,2 ,.. .. ,n) en
12
= (bi.bs.... ,b p),dan ishet ste lsel vergelijkingen (I)te schrijven als:
Xl!!l
+
XZ!!Z+
.
.. +
Xj!!j+
.
.. +
xna n=
12 .
(4)Het st elsel vergelijkingen (I) isnu omgezetin de vectorvergelijking (4.)
Hieruit volgt dat hetstelsel vergelijkingen (I) danenslec h ts dan oplosbaar is,
als
12
lineair afhan ke lijk is van dekolomvect or en!!l,az, ...,!!nvan de mat rix(2).H 2. D D
h
,
L: Voorbeelden. 1. Gegeven de vergelijkingen: 4Xl+
Xz- 2X3=
2 2Xl+
5X2+
3X3=
4. We kunnen dezevergelijkingen als volgt sch r ij ve n :dan ishet ste lsel vergelij kingen te sch r ij ve n als :
Xlal
+
Xzaz+
X3u3=
12 .
De vectoren
ai
.
uZ,as
en12
zijn vectoren in I~z.'Ne kiezen een willek eurige waardevoor de onbe ke nde xi.
Daar !!Zen U3 een lineair-onafhankelijk stelsel vormen , vor m en ze een lineair
-onafhankelijke basisin Rz.
Devector
12 -
x, al kan dus opéénen slechtséén manier een lineaire combinat ie van uZen a3 zijn. Bij elke waarde van Xl vinden we duséén ste l waarden voorXzen X3 zódat: Noemen we xi .
(~)
+
X2 .(~)
+
X3 .(-;2)
=(~)
.(~)
= al,(~)
= az,(-;2) = a3 en(
~)
=12
,
v(k
(
ee deE
:
10hE
sp aa ge2
0 st l lir Ui al! K, ha aa12
-
Xlal=
X2a2+
X32,3 .Het gegeven stel verge lij kingen heeft dus oneind ig veel oplossinge n.
2. Gegeven de vergelij kinge n :
2XI
=
bixi
+
3X2 = b2 3XI+
2X2=
b3Dit stelselverge lij kinge n is als volgt te sch rij ven :
De vectoren al
=
(2, 1, 3) en 2,2=
(0,3 ,2) in R3 vor me n een lineair- on af-han kelijkste lsel. Ze spa nne n dus een lineairedeelruimteD2van R3 op.Ligtnu devect or
12
=
(bi,b2,b3)niet in D2,dan is12
niet lineair afhan kelijk van al en a2.Het ste lsel vergelijkingen heeftdan geen oploss ing .Ligt
12
welin D2, dan is12
op éénenslech tséén man ierlineairuit tedrukken in2,1en a2,die een lineair-onafhankelijk ebasisvan D 2 vormen. Het ste lsel ver
ge-lijkingen heeft dan één oplossing .
In het algemee n zijn de nvect or en uit (4):
(5) vectoren uit een p-di me nsiona le vectorruimte Rp (elk e vect or heeftimmer sp kentall en). We veronder st ellen dat het maximum aantal vector en van (5)dat een lineair- on afhankelijk ste lsel vormt,gelijkisaan k. Devector en (5)spanne n
dan een deelruimte Dk van Rp op. Erzijn nu twee mogelijkhed en :
1°.
12
ligt in Dk,dus12
islineairafhankelijk van devectoren (5).In dit gevalishet ste lsel(I) oplosbaar. De vector en:
(6)
span ne n dan dezelfde deelruimte Dk op als de vectoren (5). Het maximum
aan tal vect or en van (6)dat een lineair-onafhankelijkstelsel vormt,isdanook
gelij kaan k.
2°.
12
ligt niet in Dk , dus12
is lineair onafha nke lij k van de vector en (5). Hetstelsel (I)isdus onop losbaa r. Het maximum aan t al vectoren van (6)dat een lineair-on afh ankelijk ste lselvorm t, is nu gelij kaan k
+
I.Uit het bove ns taande volgt, dat het ste lsel (I)danen slechts danoplosbaar is, als het maximum aantal vectoren dat een lineair-onafhankelijk stelsel vormt
van (5)en van (6)het zelfdeis.
Kom en in een matrix hoogst en s k kolomvect or en voor die een lineaire-on af-han kelij kstelsel vormen, dan zeggen we dat de rallg Vll n de matrix gelijk is
34
Definitie.
Derang van een matrixisgelijk aan hetmaximaleaantal lineair onafhankelijke
kolomvectoren .
De rang van een matrix is dus gelijk aan de dimensie van de deelruimte die door dekolomvect or en wordt opgespannen.
Behalvedematrix (2)beschouwen weook dematrix:
"\
( v
I (.
vectoren in Rn,dan is het maximumaantal lineair-o na fha nkelijkevectoren van
( I)hetzelfde als van :
Wenoemen deze deaangevuld ematrix die bij het ste lsel (I) beh oort.
Is de rang van dematrix (2)gelijk aan k, dan is de rang van de aangevulde matrix (7)gelijk aan k of k
+
I.Uit het vorenstaande volgt:
Het stelsel (I) van p niet-homogene lineaire vergelijkingen met n onbekenden
isoplosbaarals derang van deaangevulde matrix (7)gelijk isaan deran g van de matrix (2) en onoplosb aar als de rang van de aangevulde matrix (7) één hoger is dan de rang van dematrix (2).
(
all al2 aln bI) aZI azz aZ n bz
·
.
·
.
· .
aplapz a pn b p
§2.Hetbepalen van derangvaneenmatrix
Stelling 1. Zijn g,l,9.2, .. 0'ilk,·.0Jgl,· . "gp (7) (I) \ P. k \ s \ I S I-1 2 a 3 4
eneveneens hetzelfde alsvan :
!!l, !!2,' ..,!!k
+
À!!l, .. .,!!l, . ..,!! p . (3) !!l,!!Z,.. .,À!!k... .,!!l,· ..,!!p (À"*
0) (2) d Z ri f. Bewijs.De vectoren (I) spa nnen een deelru imte D varr R; op met (I) als basis. Is
~ ED, dan is:
~
=
ÀI!!l+
Àz!!z+
..
.
+
Àk!!k+
.
.. +
Àp!!p. (4) Hieru it volgt:Àk
~
=
ÀI!!l+
}.z!.!z+
... +
T
(J'!!k)+
.
.
. +
Àp!!p . (5) Omgek eerd volgt uit (5)weer (4).Dus (2)isook een basisvan D.n S f 2 G e: e'
(6)
Verder volgt uit (4):
~
=
Àl~!l+
À2 g 2+ ... +
Àk(gk+
Àg l )+ .
..
+
(J'l - }.kÀ)gl+
...
+
Àpg p.Omgekeerd volgt uit dezelaatste betrekking weer (4).Dus (3)is ook een basis
van D.
Het maximum aantal lineair onafhan kelij k vectoren van (I), van (2)en van
(3)is de dimensie van D;deze aant allen zijn dus gelij k.
\Ve beschouwen de matrix:
(
a ll a12 aln)
a2l a22 a2n
·
.
·
.· .
apl . . .. apn
Als de rang van deze mat rix gelij k is aan k, dan is k het maximum aan tal kolomvect oren dat een lineair- on afhankelijk ste lsel vormt.
We noem en r het maxim um aan tal rijvectoren dat een lineair-on afhan kelijk
ste lsel vormt .
We bewijzen nu : r
=
k.Daartoebewijzen we eerst de volgende ste llingen :
StelIing 2.
Het getal r verandert niet, als we:
1°. Alle elementen van een rij met ).(:;t:0)vermenigvuldigen;
2°.Bij de elementen van een rij Àmaal de overeenkomstige elementen van een
andere rij optellen;
3°.Een rij waarvan alle elementen nul zijn, weglaten;
4°.Twee rijen verwisselen.
Noemen we de rijvecto re n van (6)resp.
dan volgt I°en 2°onmiddellij k uit stelling 1.
Zijn alle eleme nte n van een rij 0, dan is deze rij afhankelijk van de overige
rijen. Laten we dezerijweg, dan verandertr dusniet .
Het is onmiddellij k duidelijk dat r eve nee ns onveranderd blijft, als we twee
rije n verwisselen.
StelIing 3.
Het getal k verandert niet,als we op de rijen één van de bewerkingen uit stelling 2 toepassen.
Gemaksha lvever menigv uldigenwealleelementen van deeersterijmet ).(:;t:0)
en tellen we bij de elementen van de tweede rij À maal de overeenkomst ige
36
Veronderstel dat een kolomvector in (6), neem weer gemakshalve de eerste, lineair afhankelijk is van de overige. Er bestaan dan getallen À2 ,Àa, ...,Àn
zó dat: (
).all Àa12 .. .Àaln)
a~l a~2. . . a~n (7)
. .
.
. .
.
apl a p2 ... a pn
(
all a 1 2 . . . aln )
a2l
t
Àall a22t
Àa12 ... a2nr
Àalnapl a p2 a pn (8) I 2 3 a 4
C
)
~
A,e
~)
+A,e:)
+ ...
+A"C::)
apl a p2 apa a pnDan is voordezelfde getallen À2 ,},a,... ,Àn:
en ( Àall) (}.a12) (Àa la) a~l
=
}.2 a~2+
Àa a~a.
.
.
.
.
.
apl ap2/ . apa'+
.
..
( Àaln)+
Àna~n
a pn (9) (10) V 5' d, N D 6' ni dl m (I I) ( all ) ( a12 ) ( aln )a2l
t
).all=
}.2 a22t
}.a12+
.
.
.
+
}on a2nt
}.alnapl a p2 a pn
Omgekeerd volgt (9)uit (10)en ook uit (I I).
Hieruit volgt dat de overeen ko mstige kolomvect or in (6), (7) en (8) öf lineair afhankelijk öf lineair onaf ha nkelijk is van de overige kolomvectoren. Het getal k isdusin (6), (7)en (8)het zelfde.
Stelling 4.
Het getal k verandert niet, als we op de kolommen van de matrixsoortgelijke
bewerkingen toepassen als op de rijen worden toegepast in stelling 2. Het bewijskomt overee n met dat van ste lling 2.
Stelling5.
Het getal r verandert niet, als we op de kolommen de bewerkingen van stelling 4 toepassen.
Het bewijs verloopt alsdat van stelling 3.
Nu bewijzen we dat k = r.
Metbehulp van bovenstaandeste llinge n kunnen we, zonder dat kof r verandert, matrix (6)alsvolgt veree nvo udigen:
o
w. eehE
ge V; kc vc Do kchE
°l
I
n
te sc1°.Elke kolom enelke rij die uit slui t end uit nullen bestaat ,wordtweggelaten.
2°.Zo nodig worde n de rijen zo verwisseld dat all
i=
0.3°. De eleme nte n van de eers te rij worde n door all gedeeld ; dan isdenieuw e all
=
I.4°. De elemen te n van de tweede rij worde n verminderdmet aZImaal de ove r-eenkomstige eleme nte n van de eerste rij; dan is denieuw e aZI
=
0. Op soort-gelijkewijze worden denieuw ea31,a41,...,aplgelijk aan nul gemaakt. De eerste
kolom isnu:
(1,0,0, ...,0) .
Wezeggen dat de eerste kolom met behulp van de eers te rij isschoongeveegd.
5°.Indien er nu een rij is ontstaan die uitslui te nd uit nullenbest aat , dan word t
dezeweggela te n .
Nadat de eerste kolomis schoo nge veegd,gaan wedetweed ekolom schoonvegen.
Ditgebe ur t alsvolgt :
6°. Zo nodi g verwisselen we de tweed e kolom met een volgende kolom zodat
aZ2 =ft0. Da arna delen we de elemen te n van detweede rij door aZZ, waarna de nieuwe aZZ = I is. Ten slotte verminderen we de elementen van de eers te, de
derde t.m. de la atst e rij resp. met ais.a3Z, enz. maal de overee nko mstige e
le-menten van de tweede rij. Door deze bewerkingen isdetweed e kolom nu:
(0,1,0,...,0).
Op deze wijze voortgaande krijgen wetenslotte een matrix van de gedaante :
(
1
°
0 ObI, q+l bIn)o
I 0 0 bz,q+l bzn (12)°
°
0 1 bq,q+l bqnwaarvan, onda nksalle bewerkingen, het maximumaantal kolomvectoren dat
een lineair-on afhankelijkstelselvormt , gelijk isaan k van matrix(6),terwijlook het maximum aantal rijvectoren dat een lineair-onafhankelijk stelsel vormt, gelij k is aan r van (6).
Van matri x(12)ishetmaximum aantal rijvecto re nen ookhetmaximum aantal kolom vect oren ,dat een lineair-onafhankelijk ste lsel vormtgelijk aanq.Hieruit volgt dat voor matrix (6)geldt: q
=
k=
r.De rang van een matrix is dus niet alleen gelijk aan het maximum aantal kolomvector endat een lineair-onafhankelijk stelselvormt, maar ook gelijk aan
het maximum aantal rij vectoren dat een lineair-on afhankelijk stelsel vormt. Opmerking.
In het voorg aande isderang van dematrixbepaalddoor dekolommenschoon
tevegen;men kan volgens het bovenstaandede rang ook bepalendoor de rijen
38
Voorbeeld. §
Bepaal de rang van de matrix : 1
(
I
-I
2
-~)
SJ 0I
0 is-2
3-2
EI
-
I
3 liI
ti Oplossing.2
(I
-
I
2
1-
~)
(
~
-I
-
I
1-
~)
e 0I
0 0I
0 Cf) v-2
3-2
Cf)-
2
2
-2
-2
3I
-I
3 1 - 3 3-
I
g4
1 Il P. n(
~
-
I
-I
1-
!)
(
~
-
I
-I
1~
:)
d 0I
0 0I
0 v Cf) 04
-
4
Cf) 0I
-
I
Cf) v 0-
4
4
-4
0-I
1-I
n III IV v s(
~
-
I
0 0-r
)
a
-
I
0 0-
2)
\ 0 0I
0 0I
o
.
,
Cf) 0I
-
I
Cf) 0 1-I
1 0 0 0 VI I V Verklaring.Il is verkregen door de eerste kolom van I schoon te vegen met behulp van (
detweederij . I
IIIisverkregen door detweede kolom van Il schoon tevegen metbehulpvan
deeers te rij.
IV isverkregen door dederdeen vierderij van III door
4
tedelen .V isverkregen door dederde kolom van IVschoo n tevegen metbehulpvan de
derderij .
VI is verkrege n door delaatsterij van Vweg telaten.
Uit VI zien wedat dematri x drierijen (en dusook driekolommen) heeft die een lineair- on afh ankelijk ste lsel vormen.Derang van dematrix is dus3.
§3. Het oplossen van niet-homogene lineaire vergelijkingen.
Twee ste lsels vergelijkingen zijngelijkwaardig alsbeid estelselsdezelfd eopl os-singen bezitten , d.w.z. dat een oplossing van het ene ste lsel ook een oplossing isvan het ande re stelsel en omge keerd .
Een ste lsel lineaire vergelijkin gen gaat over in een ander ste lsel lineaire verg
e-lijkingen dat gelijkwaardig is methet eerste ,als men:
1°.Eén der vergelijkinge n ver va ngt door devergelijkingdie onts taat door alle
termen met een getal A#-O te verme nigvuldige n ;
2°.Eén der vergelijkingen vervangt door de vergelijking die ontstaat door bij elketerm van die vergelijking ).maal deoveree nkomstige term van een andere
vergelijkingop te stellen;
3°. Een vergelijking weglaat wa arvan alle coëfficiën te n en de bekende term gelijk aan nul zijn;
4°. Twee vergelijkingen verwi sselt.
Als we dus van een ste lsel lineairevergelijkingen de rang van de bijbehorende
mat rix bepalendoordekolommenschoon tevegen met rijen (zie§ 2 ste lling 2),
danherleiden wedematrix tot een ande re, diebehoort bij een stelsel lin eair e vergelijkingen dat gelijkwaardig ismet het oor spronkelijk e.Zod oendekun nen
we, nade matrixen de aange vulde matrixvoldo ende veree nvoudigdteheb ben , niet alleen constateren of het ste lseloplosbaar is, ma ar bovendien met behulp van het eenvo udige geiijkwa ardige ste lsel verg elijkingen de eventuele oplos
-singen bepalen.
Welichten dit met enkele voorbeeld en toe. Voorbeeld 1. Los op: Xl
+
X2+
2X3+
X4=
2 xi+
5X2+
4X3+
3X4=
6 -2XI+
IOX2+
3X3+
4X4=
8 3XI+
7X2+
8X3+
5X4=
10.o
o
- I I 2 2 I 12 7 2 I(~
1~)
o: - I 0o
1 - 2 0(~
-~)
-2
o
I 2 I 4 2 2 12 7 6 4 2 2 - I 1 - Io
j)
-3 0 2 I - 2 0o
0
I 2 I : 5 4 3 10 3 4 7 8 5 Oplossing.· ~----
-40
Om de matrix te ver eenvoudigen is achter eenvolgen s de eerste kolom
schoon-geveegd met de eers te rij, de tweed e en tegelijk de vierde rij met
t
vermenig-vuldigd, de derde kolom schoongeveegd met de tweede rij , de vierde rij
weg-gela te n en tegelijk de vierde kolom scho ongeveegd met de derde rij.
Het blij kt dat de matrix en ook de aangevulde matrix de ra ng
=
3 hebben. Het ste lselis dus oplos b a ar.Om de oploss ing te bep al en , schr ij ve n we het ste lselverge lijkingenuit, waarbij
de la atst e matrix behoort en dat gelij kwaardig is met het oorspronkelijke
ste lsel, nl.: I S 1\ o Xj - X2
=
°
X3=
°
- 2X2 - X4=
-2 .Daar dematrixderang 3 heeft en het aa nt a l onbek enden 4 is,heeft het ste lse l
oneindigveeloplossingen. Wekunnen 4 - 3 = I geschikt gekozenon be kenden
een willek eurige waarde gev en. Dat we niet elke onbek ende een willek eurige
wa arde kunnen geven, blijkt uit de tweede vergelijking ;immer s hieruit volgt :
X3
=
0.Ste llen we Xl=
À, dan is X2=
Àen X4=
2 - 2À.Besch ouwen wedegetallen xi,X2. X3 en X4 als de kent allen van een vectorin R4. danis een vectorvoorstellingvan de oplossing, of danzijn de oplossingsvectore n :
~
=
(Xl.X2,X3,X4)=
(À.}.,0,2 - 2À)=
(0,0,0,2)+
À(I,1, 0, - 2). v: U rr hv
Opmerkingen.1. Deze vectoren (de zgn. oplossingsvectoren ) vor me n geen lineaire vecto r-ruimte.
2. Als van de vierde ver gelijking de bek endeterm
=F
10, dan is van de matri xde rang
=
3en van deaangevuldematrix derang=
4.Het stelsel vergelijkin-gen heeft dan geen oplossin g.V 4 V
IS
Voorbeeld 2.
Los voor verschillende wa arden van a het volgende ste lse l ver gelijkingen op:
Xl - X2
+
2X3+
X4=
IXl
+
(a - I) X2+
2X3+
X4=
a2Xl - 2X2
+
(a+
3)X3+
2X4=
3a- I- 3Xl
+
3X2 - 6X3+
(a- 4)X4=
2a - S.Oplossing.
De mat r ix en de aangevulde matrix zijn:
en of I ) a- I 3a-3 . 2a-2 I
