Wykłady z matematyki inżynierskiej
MACIERZE I WYZNACZNIKI
IMiF UTP
07
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
DEFINICJA.
Macierza¸ o m wierszach i n kolumnach nazywamy
przyporza¸dkowanie każdej uporza¸dkowanej parze liczb naturalnych (i , j ), gdzie 1 ¬ i ¬ m, 1 ¬ j ¬ n dokładnie jednej liczby aij. Macierz zapisujemy zwykle
a11 . . . a1n
... . .. ... am1 . . . amn
lub aij
m×n, lub [aij].
Gdy m = n, to macierz jest kwadratowa, a liczba n to stopień macierzy.
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Dodawanie macierzy.
DEFINICJA. Jeśli A = [aij]m×n oraz B = [bij]m×n,
to suma macierzy A i B to macierz A + B = [cij]m×n, gdzie cij = aij + bij.
PRZYKŁADY.
"
1 2 3 4
# +
"
5 6 7 8
#
=
"
1 + 5 2 + 6 3 + 7 4 + 8
#
=
"
6 8 10 12
#
h 1 2 i+h 5 6 i=h 1 + 5 2 + 6 i=h 6 8 i
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
DEFINICJA. Jeśli A = [aij]m×n oraz B = [bij]m×n,
to różnica macierzy A i B to macierz A − B = [cij]m×n, gdzie cij = aij − bij.
PRZYKŁADY.
"
1 2 3 4
#
−
"
5 6 7 8
#
=
"
1 − 5 2 − 6 3 − 7 4 − 8
#
=
"
−4 −4
−4 −4
#
"
1 3
#
−
"
5 7
#
=
"
1 − 5 3 − 7
#
=
"
−4
−4
#
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Mnożenie przez liczbę.
DEFINICJA. Jeśli A = [aij]m×n, to iloczyn macierzy A przez liczbe¸ k to macierz kA = [cij]m×n, gdzie cij = kaij.
PRZYKŁADY.
2 ·
"
1 2 3 4
#
=
"
2 4 6 8
#
0 ·
"
1 2 3 4 5 6
#
=
"
0 0 0 0 0 0
#
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
DEFINICJA. Jeśli A = [aij]m×r oraz B = [bij]r ×n,
to iloczyn macierzy A i B to macierz AB = [cij]m×n, gdzie cij = ai 1b1j+ ai 2b2j+ · · · + airbrj.
“Mnożymy” i -ty wiersz pierwszej macierzy przez j -tą kolumnę drugiej macierzy.
UWAGA. Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
PRZYKŁAD 1.
"
1 2 3 4
#
·
"
2 1 3 0
#
=
"
1 · 2 + 2 · 3 1·1+2·0 3·2+4·3 3 · 1 + 4 · 0
#
=
"
8 1 18 3
#
"
2 1 3 0
#
·
"
1 2 3 4
#
=
"
2·1+1·3 2 · 2 + 1 · 4 3 · 1 + 0 · 3 3·2+0·4
#
=
"
5 8 3 6
#
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Mnożenie macierzy
DEFINICJA. Jeśli A = [aij]m×r oraz B = [bij]r ×n,
to iloczyn macierzy A i B to macierz AB = [cij]m×n, gdzie cij = ai 1b1j+ ai 2b2j+ · · · + airbrj.
“Mnożymy” i -ty wiersz pierwszej macierzy przez j -tą kolumnę drugiej macierzy.
UWAGA. Mnożenie macierzy nie jest przemienne.
PRZYKŁAD 2.
h 1 2 i·
"
3 4
#
=h 1 · 3 + 2 · 4 i=h 11 i
"
3 4
#
·h 1 2 i=
"
3 · 1 3 · 2 4 · 1 4 · 2
#
=
"
3 6 4 8
#
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
W R2 macierz obrotu o kąt α wokół środka układu współrzędnych przeciwnie do ruchu wskazówek zegara ma postać:
R =
"
cos α − sin α sin α cos α
# .
PRZYKŁAD. Dla obrotu o 30◦ macierz wygląda następująco:
R =
"
cos 30◦ − sin 30◦ sin 30◦ cos 30◦
#
=
" √3
2 −12
1 2
√ 3 2
# .
Obrazem punktu P(x , y ) będzie Pr(
√3
2 x − 12y , 12x +
√3
2 y ), gdyż
" √3
2 −12
1 2
√ 3 2
#
·
"
x y
#
=
" √3
2 · x −12 · y
1 2 · x +
√ 3 2 · y
# .
W szczególności, obracając punkt P∗(12,
√3
2 ) otrzymamy Pr∗(
√ 3
2 ·12 −12 ·
√ 3
2 ,12 ·12 +
√ 3 2 ·
√ 3
2 ) = (0, 1).
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Macierz transponowana.
DEFINICJA.
Macierz transponowana do macierzy A = [aij]m×n, to macierz AT = [bij]n×m, gdzie bij = aji.
PRZYKŁADY.
A =
"
1 2 3 4
#
, AT =
"
1 3 2 4
#
B =
1 2 3
, BT =h 1 2 3 i
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
DEFINICJA. Macierz jednostkowa n-tego stopnia to macierz kwadratowa n-tego stopnia I (czasami oznaczana In lub E ) o elementach aij =
( 1, gdy i = j 0, gdy i 6= j , to znaczy
1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 ... · · · . .. ...
0 0 · · · 1
.
WŁASNOŚĆ.
Jeśli A jest macierza¸ kwadratowa¸ n-tego stopnia, a I jest macierza¸ jednostkowa¸ n-tego stopnia, to A · I = I · A = A.
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Wyznacznik macierzy kwadratowej.
DEFINICJA. Wyznacznik macierzy kwadratowej A = [aij], to liczba det A zdefiniowana naste¸puja¸co:
1 gdy A macierza¸ pierwszego stopnia, to det[a11] = a11;
2 gdy A jest macierza¸ n-tego stopnia i n 2 (zakładamy, że umiemy liczyć wyznaczniki macierzy stopnia n − 1), to
det A = a11det A11− a12det A12+ · · · + (−1)1+na1ndet A1n, gdzie Aij jest macierza¸ powstała¸ z macierzy A przez skreślenie i -tego wiersza oraz j -tej kolumny.
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Jak liczymy wyznacznik macierzy drugiego stopnia?
Przypomnienie definicji:
det A = a11det A11− a12det A12+ · · · + (−1)1+na1ndet A1n, Aij to A „bez” i -tego wiersza oraz j -tej kolumny.
det
"
a11 a12
a21 a22
#
=
a11 a12
a21 a22
=
= a11a22− a12a21
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Jak liczymy wyznacznik macierzy drugiego stopnia?
Przypomnienie definicji:
det A = a11det A11− a12det A12+ · · · + (−1)1+na1ndet A1n, Aij to A „bez” i -tego wiersza oraz j -tej kolumny.
det
"
a11 a12
a21 a22
#
=
a11 a12
a21 a22
= a11detA11− a12detA12
= a11a22− a12a21
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Przypomnienie definicji:
det A = a11det A11− a12det A12+ · · · + (−1)1+na1ndet A1n, Aij to A „bez” i -tego wiersza oraz j -tej kolumny.
det
"
a11 a12
a21 a22
#
=
a11 a12
a21 a22
= a11det A11− a12det A12
=a11a22−a12a21
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia?
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a21 a22 a31 a32
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a21 a22 a31 a32
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia?
Schemat Sarrusa.
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
=
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22 a31 a32
=a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32
−a13a22a31− a11a23a32− a12a21a33.
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Schemat Sarrusa.
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
=
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22 a31 a32
=a11a22a33+a12a23a31+ a13a21a32
−a13a22a31− a11a23a32− a12a21a33.
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia?
Schemat Sarrusa.
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
=
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22 a31 a32
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
−a13a22a31− a11a23a32− a12a21a33.
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Schemat Sarrusa.
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
=
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22 a31 a32
= a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32
−a13a22a31− a11a23a32− a12a21a33.
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Jak liczymy wyznacznik macierzy trzeciego stopnia?
Schemat Sarrusa.
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
=
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22 a31 a32
= a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32
−a13a22a31−a11a23a32− a12a21a33.
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Schemat Sarrusa.
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
=
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12
a21 a22 a31 a32
= a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32
−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33.
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Jak liczymy wyznacznik macierzy drugiego oraz trzeciego stopnia?
PRZYKŁAD.
1 2 3 4
= 1 · 4 − 2 · 3 = −2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 4 5 7 8
= 1 · 5 · 9 + 2 · 6 · 7 + 3 · 4 · 8 − 3 · 5 · 7 − 1 · 6 · 8 − 2 · 4 · 9 = 0
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
DEFINICJA. Macierz odwrotna do macierzy kwadratowej A o niezerowym wyznaczniku to taka macierz A−1, że
A · A−1 = A−1· A = I . PRZYKŁAD.
Gdy A = [2], to A−1 =h12i,
ponieważ [2] ·h12i=h2 · 12i= [1] = I1.
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Jak znaleźć macierz odrotną?
DEFINICJA. Dopełnienie algebraiczne elementu aij macierzy kwadratowej A = [aij] to liczba dij = (−1)i +jdet Aij. TWIERDZENIE. Jeżeli A jest macierza¸ kwadratową stopnia wie¸kszego od 1 oraz det A 6= 0, to
A−1= 1
det A[dij]T. PRZYKŁAD. A =
"
1 2 3 4
#
, det A = −2, d11= (−1)1+1· 4 = 4, d12= (−1)1+2· 3 = −3, d21= (−1)2+1· 2 = −2, d22= (−1)2+2· 1 = 1 A−1 = −21
"
4 −3
−2 1
#T
= −12
"
4 −2
−3 1
#
=
"
−2 1 1,5 −0, 5
#
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
A =
det A[d
ij] , PRZYKŁAD
A =
3 4 1 0 1 3 1 1 2
, det A = 8, d11= (−1)1+1
1 3 1 2
= −1, ...
A−1 = det A1 ·
d11 d12 d13 d21 d22 d23
d31 d32 d33
T
= 18 ·
−1 3 −1
−7 5 1
11 −9 3
T
= 18·
−1 −7 11
3 5 −9
−1 1 3
=
−18 −78 118
3 8
5 8 −98
−18 18 38
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
PRZYKŁAD
“Sprawdzenie”:
A · A−1 =
3 4 1 0 1 3 1 1 2
·
−18 −78 118
3 8
5 8 −98
−18 18 38
=
−38 +128 −18 −218 +208 +18 338 −368 + 38
0
8+38 −38 08 +85 +38 08 −98+ 98
−18 +38 −28 −78+ 58+28 118 −98+ 68
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
“Sprawdzenie”:
A · A−1 =
3 4 1 0 1 3 1 1 2
·
−18 −78 118
3 8
5 8 −98
−18 18 38
=
−38 +128 −18 −218 +208 +18 338 −368 + 38
0
8+38 −38 08 +85 +38 08 −98+ 98
−18 +38 −28 −78+ 58+28 118 −98+ 68
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
PRZYKŁAD
“Sprawdzenie”:
A · A−1 =
3 4 1 0 1 3 1 1 2
·
−18 −78 118
3 8
5 8 −98
−18 18 38
=
−38 +128 −18 −218 +208 +18 338 −368 + 38
0
8+38 −38 08 +85 +38 08 −98+ 98
−18 +38 −28 −78+ 58+28 118 −98+ 68
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
“Sprawdzenie”:
A · A−1 =
3 4 1 0 1 3 1 1 2
·
−18 −78 118
3 8
5 8 −98
−18 18 38
=
−38 +128 −18 −218 +208 +18 338 −368 + 38
0
8+38 −38 08 +85 +38 08 −98+ 98
−18 +38 −28 −78+ 58+28 118 −98+ 68
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
PRZYKŁAD
“Sprawdzenie”:
A · A−1 =
3 4 1 0 1 3 1 1 2
·
−18 −78 118
3 8
5 8 −98
−18 18 38
=
−38 +128 −18 −218 +208 +18 338 −368 + 38
0
8+38 −38 08 +85 +38 08 −98+ 98
−18 +38 −28 −78+ 58+28 118 −98+ 68
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
“Sprawdzenie”:
A · A−1 =
3 4 1 0 1 3 1 1 2
·
−18 −78 118
3 8
5 8 −98
−18 18 38
=
−38 +128 −18 −218 +208 +18 338 −368 + 38
0
8+38 −38 08 +85 +38 08 −98+ 98
−18 +38 −28 −78+ 58+28 118 −98+ 68
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
PRZYKŁAD
“Sprawdzenie”:
A · A−1 =
3 4 1 0 1 3 1 1 2
·
−18 −78 118
3 8
5 8 −98
−18 18 38
=
−38 +128 −18 −218 +208 +18 338 −368 + 38
0
8+38 −38 08 +85 +38 08 −98+ 98
−18 +38 −28 −78+ 58+28 118 −98+ 68
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
“Sprawdzenie”:
A · A−1 =
3 4 1 0 1 3 1 1 2
·
−18 −78 118
3 8
5 8 −98
−18 18 38
=
−38 +128 −18 −218 +208 +18 338 −368 + 38
0
8+38 −38 08 +85 +38 08 −98+ 98
−18 +38 −28 −78+ 58+28 118 −98+ 68
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
PRZYKŁAD
“Sprawdzenie”:
A · A−1 =
3 4 1 0 1 3 1 1 2
·
−18 −78 118
3 8
5 8 −98
−18 18 38
=
−38 +128 −18 −218 +208 +18 338 −368 + 38
0
8+38 −38 08 +85 +38 08 −98+ 98
−18 +38 −28 −78+ 58+28 118 −98+ 68
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
“Sprawdzenie”:
A · A−1 =
3 4 1 0 1 3 1 1 2
·
−18 −78 118
3 8
5 8 −98
−18 18 38
=
−38 +128 −18 −218 +208 +18 338 −368 + 38
0
8+38 −38 08 +85 +38 08 −98+ 98
−18 +38 −28 −78+ 58+28 118 −98+ 68
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Metoda Gaussa-Jordana szukania macierzy odwrotnej do macierzy kwadratowej stopnia n.
Dopisujemy do danej macierzy n kolumn tworzacych In (czyli macierz jednostkową stopnia n). Następnie działając tylko na wierszach:
zamieniając wiersze miejscami,
dzieląc lub mnożąc wszystkie wyrazy dowolnego wiersza przez dowolną stałą różną od zera,
dodając do elementów dowolnego wiersza odpowiedne elementy innego wiersza pomnożone przez dowolną stała¸, doprowadzamy do macierzy, której pierwsze n kolumn tworzy In. Wtedy pozostałe kolumny tworzą A−1.
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
PRZYKŁAD. Znajdź A
−1, gdy A =
1 2 3 4
.
Dopisujemy do kolumn macierzy A dwie dodatkowe (tworzące macierz jednostkową drugiego stopnia):
"
1 2 3 4
1 0 0 1
#
Do wyrazów wiersza drugiego dodajemy wyrazy pierwszego wiersza pomnożone przez −3.
"
1 2
0 −2
1 0
−3 1
#
Do wyrazów wiersza pierwszego dodajemy wyrazy wiersza drugiego.
"
1 0
0 −2
−2 1
−3 1
#
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
PRZYKŁAD. Znajdź A
−1, gdy A =
1 2 3 4
.
"
1 0
0 −2
−2 1
−3 1
#
Wyrazy drugiego wiersza dzielimy przez −2.
"
1 0 0 1
−2 1 3/2 −1/2
#
Szukana macierz odwrotna to: A−1 =
"
−2 1 3/2 −1/2
# .
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Zakładamy, że A jest macierza¸ kwadratowa¸ stopnia n.
1 detA= det AT;
2 det A = ai 1di 1+ · · · + aindin (rozwinie¸cie wzgle¸dem i -tego wiersza);
3 det A = a1jd1j+ · · · + anjdnj (rozwinie¸cie wzgle¸dem j –tej kolumny);
4 gdy A zawiera wiersz (lub kolumne¸) złożona¸ z samych zer, to det A = 0;
5 jeśli macierz B powstała z macierzy A przez zamiane¸ dwóch wierszy (lub kolumn) miejscami, to det B = − det A;
6 jeśli macierz B powstała z macierzy A przez dodanie do elementów dowolnego wiersza odpowiednich elementów innego wiersza pomnożonych przez dowolna¸ stała¸, to det A = det B (podobnie dla kolumn);
7 jeżeli macierz B powstała z A przez pomnożenie wszystkich wyrazów dowolnego wiersza (lub kolumny) przez c, to det B = c det A.
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
Wyznacznik macierzy stopnia wyższego niż 3 rozwijamy względem dowolnie wybranego wiersza lub dowolnie wybranej kolumny - własność 2 lub 3.
PRZYKŁAD.
Wyznacznik
1 2 2 1
3 6 4 5
8 13 8 10 8 10 2 10
możemy rozwinąć względem pierwszego wiersza (to jedna z ośmiu możliwości).
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
1 2 2 1
3 6 4 5
8 13 8 10 8 10 2 10
=1· (−1)1+1·
6 4 5
13 8 10 10 2 10
+2· (−1)1+2·
3 4 5
8 8 10 8 2 10
+2· (−1)1+3·
3 6 5
8 13 10 8 10 10
+1· (−1)1+4·
3 6 4
8 13 8 8 10 2
= . . .
JJ MACIERZE I WYZNACZNIKI
