Interpretacja fizykalna stanów elektromagnetycznych w silnikach indukcyjnych podczas hamowania prądem stałym

Krzysztof PIEŃKOWSKI1’

INTERPRETACJA FIZYKALNA STANÓW ELEKTROMAGNETYCZNYCH W SILNIKACH INDUKCYJNYCH PODCZAS HAMOWANIA PRĄDEM STAŁYM

Streszczenie. Przedstawiono wybrane układy połączeń uzwojeń fazowych stojana podczas hamowania prądem stałym silnika indukcyjnego. Sformułowano równania modeli matematycznych do analizy elektromagnetycznych procesów przejściowych podczas stanów hamowania. Przedstawiono chwilowe przebiegi prądów, momentu elektromagnetycznego I prędkości kątowej silnika podczas hamowania wyznaczone na podstawie badań symulacyjnych. Podano interpretację fizyczną elektromagnetycznych procesów przejściowych występujących podczas hamowania prądem stałym.

PHYSICAL INTERPRETATION OF ELECTROMAGNETIC PHENOMENA IN INDUCTION MOTORS DURING DIRECT CURRENT BRAKING

Summary. The selected schemes of stator phase winding connections most frequently used during direct current braking of induction motor are presented. The equations of induction motor mathematical models for braking operation are formulated. The simulation results of electromagnetic transient phenomena of an induction motor during dc braking are given. The physical interpretation of electromagnetic phenomena in induction motors during direct current braking is considered. The explanation of transient phenomena based on the mathematical models of the braking systems and its two-axis representation is presented.

Key words: induction motor, dc braking, electromagnetic phenomena, analysis.

1. W S T Ę P

W analizie statycznej stan ham owania prądem stałym silnikiem indukcyjnym je s t zastępow any innym , um yślnym stanem pracy silnika zasilanego równoważnym prądem przem iennym . W a rtość skuteczna rów now ażnego prądu stojana je s t równa iloczynowi w artości prądu stałego w ym uszanego przez źródło napięcia stałego i współczynnika zależnego od układu połączeń uzwojeń fazow ych stojana podczas hamowania. Charakterystyki m echaniczne silnika dla stanu ham owania wyznaczone dla takich sam ych w artości prądu rów noważnego stojana m a ją identyczny przebieg dla w szystkich układów połączeń uzwojeń fazowych stojana. R zeczyw iste procesy ham owania układów napędowych trw ają krótko i występują przy szybkich zm ianach prędkości kątowej układu napędowego. Powoduje to powstawanie procesów przejściow ych, podczas których zm ia ny w ielkości elektrom agnetycznych silnika m ogą znacznie różnić się od zm ian w ystępujących w stanach statycznych [1,3,4). W pracy tej przedstawiono przebiegi chwilowe m om entu elektrom agnetycznego, prędkości kątowej i prądów silnika podczas ham owania prądem stałym oraz podano interpretację fizyczn ą elektrom agnetycznych procesów przejściow ych.

2. R Ó W N A N IA S ILN IK A INDU K C YJN E G O DLA STANÓW H A M O W A N IA PRĄD EM STAŁYM

W analizie stanów ham owania prądem stałym silnikiem indukcyjnym przyjęto następujące założenia upraszczające: sym etria obwodów silnika, rów nom ierność szczeliny powietrznej, p om inięcie w pływ u nasycenia obwodu magnetycznego, strat m ocy w rdzeniu oraz wpływu w yższych harm onicznych przestrzennych rozkładu pola m agnetycznego w szczelinie. Uzwojenie w irnika je s t sprow adzone do zastępczego uzwojenia trójfazow ego o pasm ach fazow ych połączonych w gwiazdę i param etrach przeliczonych na stronę uzwojenia stojana. W szystkie

11 Dr inż., Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechnika Wrocławska, ul. Wybrzeże Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław, teł.: 071 320 33 52, fax: 071 320 34 67, e-mail: kpien@imne.pwr.wroc.pl

w ielkości e lektrom agnetyczne silnika s ą rozpatrywane w prostokątnym , ortogonalnym układzie współrzędnych (a ,p ,0 ), nieruchom ym w zględem stojana.

Do analizy przyjęto w ybrane, najczęściej stosowane układy połączeń uzwojeń fazow ych stojana przedstaw ione na rys.1. Źródło zasilające uzwojenie stojana prądem stałym je s t rozpatrywane jako idealne źródło napięcia o napięciu źródłowym równym Ust.

Rys.1. Układy połączeń uzwojeń fazowych stojana podczas hamowania prądem stałym Fig. 1. Schemes of connections of stator phase windings used during DC braking

Równania silnika indukcyjnego dla stanów ham owania prądem stałym otrzym uje się przez uwzględnienie w ogólnych rów naniach m odelu m atem atycznego silnika w arunków określonych przez sposób zasilania oraz w ięzów elektrycznych, w ynikających ze sposobu skojarzenia uzwojeń fazow ych stojana i w irnika [3], U kłady połączeń uzwojeń fazowych silnika m ożna podzielić w tedy na grupy, które s ą opisane przez takie sam e równania m odelu m atem atycznego.

Dla grupy układów połączeń uzwojenia stojana przedstawionych na rys.1 a,b otrzym uje się następujący układ równań [3]:

( 1)

( 2 )

(3)

u sp R s 0 0 i s p L s 0 L m

d ^{i s p 0 0 0 i s p}

0 = 0 R r 0 i r a + 0 L r 0

d t ^{i r a}

+ C0c _{L m} 0 L r i r a

0 0 0 R r L m 0 L r > P . 0 - L r 0

V s P L s 0 L m i s P

» F r a = 0 L r 0 i r a

_ V r p _ L m 0 L r _ . i r P .

M e = pb L m ispi ra = pb (L m/ a L I L r ) ( v łP - k r t|/,p)v|;ra

gdzie: us/> =Ust/VŻ - dla układu z ry s .la , usfi =Ust/^ [2 /3 ) - dla układu z ry s .lb .

Dla grupy układów połączeń uzwojenia stojana przedstawionych na rys.1c,d otrzym uje się n astępujący układ rów nań [3]:

U s a 0 0 0 r i s a

0 0 R s 0 0 i s p

0 0 0 R r 0 i r a

0 0 0 0 R r _ i r P

V s a " L s 0 L m 0

V s p 0 L s 0 L n

V r a L m 0 L r 0

_ V r p _ 0 L m 0 L

L s 0 L m 0 I s a 0 0 0 0 i s a

0 L s 0 L m d i s p

+ c o e

0 0 0 0 i s P

L m 0 L r 0 d t i r a 0 L m 0 L r i r a

0 L m 0 L r _ , ‘ r P — L m 0 - L r 0 J r P

,(4)

(5)

Me — Pb Lm (isP ira isa hp) Pb (U iu/cLs Lr)(MTsp 'Pra ^ s a ^ rp )'

(6)

gdzie: usa =V(2/3)Ust - dla układu z rys.1 c, u5a =W2Ust - dla układu z rys.1 d.

W rów naniach (1) - (6) przyjęto następujące oznaczenia: uSk,iSk,Vsk (k=a,p) - składow e napięcia, prądu i strum ienia sprzężonego stojana w osiach oc,P; irk,Vrk (k=a.p) - składow e prądu i strum ienia

sprzężonego w irnika w osiach a , (5; M „ - m om ent elektrom agnetyczni silnika; coe - elektryczna prędkość kątowa w irnika; Ls.U.Lm - całkowita indukcyjność uzwjenia stojana, w irnika i m agnesow ania; Pb - liczba par biegunów silnika; a -współczynnik rozprGzenia silnika; kr=Lm/Lr; t - czas.

Reprezentację obw odow ą równań (1) - (6) m odeli matematycziych silnika indukcyjnego w yrażonych w przetransform ow anym , dwuosiowym układzie współrzędnch (a ,(3) przedstaw iono na rys.2.

Rys.2. Dwuosiowe modele obwodowe silnika indukcyjnego podczas hamowania prądem stałym: a) dla układów z rys.1a,b; b) dla układów z rys.1c,d

Fig.2. Two-axis representations of induction motor braking system: a) for schemes in Fig.1a,b; b) for schemes in Fig.1c,d

Z przedstaw ionych równań m odeli m atem atycznych i ich interpretacji obwodowej w ynika, że w przypadku zastosow ania układów z rys.1a,b silnik indukcyjny je st pod w zględem elektrom echanicznym układem o trzech stopniach sw obody elektrycznej (rys.2a), a w przypadku układów z rys.1c,d je s t układem o czterech stopniach swobody elektrycznej (rys.2b). Liczba stopni sw obody w yznacza liczbę niezależnych zm iennych stanu potrzebnych do opisu układu. W analizie pom inięto składowe zerow e prądów stojana i wirnika, ponieważ dla rozpatrywanych układów połączeń te składowe zerowe s ą zawsze równe zeru.

3. B A D AN IA S Y M U LA C YJN E ELE KTR O M AG N ETYC ZN YCH PROCESÓW P R Z EJŚ C IO W YC H PO DCZAS H A M O W A N IA PR ĄDEM STAŁYM

Równania m odeli m atem atycznych (1) - (3) lub (4) - (6), uzupełnione równaniem ruchu układu m echanicznego, zastosow ano do badań sym ulacyjnych stanów elektrodynamicznych układu napędowego z silnikiem indukcyjnym podczas hamowania prądem stałym. Celem tych badań było poznanie zm ienności w ielkości elektrom agnetycznych układu napędowego dla różnych układów połączeń uzwojeń silnika oraz dla różnych w artości param etrów układu elektrom echanicznego.

Badania sym ulacyjne w ykonano dla układu napędowego z silnikiem indukcyjnym klatkow ym typu dźwignicow ego (o zw iększonej w artości poślizgu znam ionowego) o następujących danych i param etrach znam ionow ych:

P N=11 kW ,

U

=380V , I1

=26.4

obr/min.,

fi,

fi,

fi,

fi,

fi,

W badaniach przyjęto, że przełączenie silnika indukcyjnego do stanu ham owania prądem stałym następuje przy zerowych warunkach elektrom agnetycznych, czyli przy braku oddziaływania resztkowego pola m agnetycznego wyw ołanego poprzednim stanem pracy silnika. W obliczeniach

dla poszczególnych układów połączeń uzwojenia stojana przyjm owano różne w artości napięcia źródła prądu stałego U5t W a rto ść tego napięcia dobierana była w ten sposób, aby w ym uszanej przez to źródło w artości ustalonej prądu stałego odpow iadała taka sam a w artość skuteczna rów noważnego prądu przem iennego stojana. O znacza to, że zostały zapewnione w arunki, przy których statyczne przebiegi charakterystyki m echanicznych silnika Me=f(co) dla poszczególnych układów ham owania s ą identyczne.

W ybrane w yniki badań sym ulacyjnych przedstawiono na rys.3 i rys.4. Na rysunkach tych przedstaw iono przebiegi chw ilowe m om entu elektrom agnetycznego silnika M 0(t), m echanicznej prędkości kątowej w irnika co(t) oraz prądu zasilającego uzwojenie stojana is(t) dla różnych układów połączeń uzwojeń fazow ych stojana oraz różnych w artości wypadkow ego m om entu bezwładności układu m echanicznego Jz.

a)

Rys.3. Przebiegi chwilowe wielkości elektromagnetycznych silnika indukcyjnego podczas hamowania prądem stałym z zastosowaniem układów z rys.1a,b: a) moment elektromagnetyczny silnika; b) prędkość kątowa silnika; c) prąd wymuszany w uzwojeniu stojana (1-Jz/J»=1; 2-Jz/J,=2; 3-J,/J, =4)

Fig.3. Waveforms of electromagnetic variables during dc braking of induction motor with application of schemes from Fig.1a,b: a) elektromagnetic torque; b) motor angular speed; c) current in stator winding (1-Jr/J,=1; 2- Jz/J,=2; 3 -Jz/J,=4)

Rys.4. Przebiegi chwilowe wielkości elektromagnetycznych silnika indukcyjnego podczas hamowania prądem stałym z zastosowaniem układów z rys.1c,d: a) moment elektromagnetyczny silnika; b) prędkość kątowa silnika; c) prąd wymuszany w uzwojeniu stojana (1-J2/J,=1; 2-J!/J,=2; 3-J^/J, =4)

Fig.4. Waveforms of electromagnetic variables during dc braking of induction motor with application of schemes from Fig. 1c,d: a) electromagnetic torque; b) motor angular speed; c) current in stator winding (1-JZ/J,=1; 2- Jz/J,=2; 3-Jz/J,=4)

4. IN T E R P R E TA C JA F IZ Y C Z N A ELE KTR O M AG N ETYCZN YC H PROCESÓW PR Z E JŚ C IO W Y C H W SILN IK AC H IN DUKC YJNYC H PO DCZAS H AM O W A N IA PRĄDEM STAŁYM

W yniki badań sym ulacyjnych pozw alają na stwierdzenie, że przebiegi przejściowych procesów elektrom agnetycznych występujących w silnikach indukcyjnych podczas hamowania prądem stałym są uzależnione przede w szystkim od zastosow anego układu połączeń uzwojenia stojana, param etrów elektrom agnetycznych silnika oraz param etrów mechanicznych układu napędowego.

Na podstawie analizy w yników sym ulacji można określić następujące podstawowe w łaściw ości tych elektrom agnetycznych procesów przejściow ych:

1. Dla w szystkich rozpatrywanych układów połączeń m om ent elektromagnetyczny silnika indukcyjnego po przełączeniu do stanu hamowania przy zerowych elektrom agnetycznych w arunkach początkowych zm ienia się w sposób płynny. Charakterystyki elektrodynam iczne dla poszczególnych grup układów połączeń uzwojeń stojana różnią się m iędzy s o b ą m im o zapew nienia w arunków zasilania odpowiadających równoważności statycznych charakterystyk elektrom echanicznych oraz takich sam ych param etrów układu mechanicznego.

2. W przypadku zastosow ania układów połączeń stojana z rys.1a,b w końcowej części procesu ham ow ania w y stę p u ją zanikające oscylacje m om entu elektrom agnetycznego i prędkości kątowej w irnika w zględem w artości ustalonych równych zeru (rys.3a-c). N atom iast w przypadku zastosow ania układów połączeń stojana z rys.1c,d w końcowej części procesu ham owania tego rodzaju oscylacyjne zm ia ny m om entu elektrom agnetycznego i prędkości kątowej w irnika nie w ystę p u ją (rys.4a-c).

3. Ze w zrostem intensyw ności procesu ham owania (szybszym zm niejszaniem się prędkości kątowej w funkcji czasu) w artości bezwzględne m om entów elektrom agnetycznych wytw arzanych przy danej prędkości kątowej w irnika s ą coraz m niejsze. Dotyczy to również chwilowej w artości bezwzględnej m om entu m aksym alnego silnika. Powoduje to, że przebiegi charakterystyk m echanicznych ham owania w yznaczonych na podstawie trajektorii dynam icznych odbiega w coraz w iększym stopniu od przebiegu charakterystyk statycznych.

4. Po przyłączeniu źródła napięcia stałego do uzwojenia stojana prąd w ym uszany w uzwojeniu stojana narasta bardzo szybko od zera do w artości równej praktycznie w artości ustalonej. W dalszym przedziale czasu, w którym prędkość kątowa wirnika obniży się poniżej kilkunastu procent prędkości synchronicznej, w ystępuje gwałtowne zm niejszenie się prądu w uzwojeniu stojana („w klęśnięcie”). „W klę śn ię cie ” prądu je s t tym głębsze, im większa je s t intensyw ność ham owania, czyli szyb ko ść zm niejszania prędkości kątowej w irnika w fu n kcji czasu. Po całkow itym zatrzym aniu się w irnika prąd ten narasta ponow nie do w artości ustalonej ze stosunkow o d u żą sta łą czasową.

O dm ienność przebiegu elektrom agnetycznych procesów przejściow ych dla różnych grup układów ham ow ania w ynika z odm ienności równań m odeli m atem atycznych dla tych układów. Stąd wynika, że w artości w spółczynników tłum ienia i częstotliw ości składowych przejściow ych dla poszczególnych grup układów ham ow ania będą różne. C harakter zm ienności w ielkości elektrom agnetycznych w elektrom agnetycznych stanach przejściow ych przebiegu je s t uzależniony od w artości pierw iastków rów nania charakterystycznego równań m odelu m atem atycznego [1,3,4],

Dla grupy układów ham owania z rys.1a,b opisanych przez układ równań (1)-(3) rów nanie charakterystyczne je s t rów naniem algebraicznym trzeciego stopnia o współczynnikach rzeczyw istych [1,3]:

P3 + [a s + ( l + ° ) “ r ] p 2 + [(2 “ s + “ r W r + “ e l> + [ ( ^ r )2 + “ e j “ » = 0 ■ ( 7 ) Dla układów ham owania z rys.1c,d opisanych przez układ równań (4) - (6), równanie charakterystyczne je s t rów naniem algebraicznym drugiego stopnia o w spółczynnikach zespolonych [3,4]:

p 2 + ( a s + a r - j c o j p + a , ( o a r - j m e) = 0 , (8) gdzie p je s t operatorem transform acji Laplace’a, a współczynniki w ystępujące w rów naniach (7)-(8) wynoszą:

a s = Rj/ctLs . “ r = R r / o L r . (9)

W a rtości pierw iastków równania (7) s ą uzależnione od w artości wyróżnika tego równania.

W w iększości przypadków w ystę p u ją trzy pierwiastki, z których jeden je s t rzeczywisty, a pozostałe dwa s ą zespolone, sprzężone:

Pi = - a i . P23 = - “ 2 ± j l 32- 0 ° )

W ogólnym przypadku pierw iastki g i, g2 równania (8) są zespolone i wynoszą:

£ = - a , + jP , =-<X|+jC0a , Pj = "a 2 + jP 2 - - a 2 + j(coe - c o ,). (11) W w yrażeniach (10) - (11) a i, a 2 interpretuje się w artości w spółczynników tłum ienia składow ych nieustalonych w ielkości elektrom agnetycznych, a P i.p * w yznaczają w artości pulsacji oscylacji tych składowych. W a rtości a i, a 2 i P i,p 2 s ą złożonym i funkcjam i param etrów silnika oraz prędkości kątowej w irnika m aszyny indukcyjnej. Zm ienność w artości tych współczynników je s t uzależniona od typu silnika, w artości je g o m ocy oraz w zajem nych relacji m iędzy poszczególnym i param etram i elektrom agnetycznym i [2,3,4]. Na podstawie szczegółowej analizy m ożna w ykazać, że przy zm niejszaniu prędkości kątowej silnika m aleją rów nież w artości niektórych w spółczynników tłum ienia. W ska zu je to, że w tych przedziałach prędkości kątowej wirnika w ystępow ać będzie działanie procesów przejściow ych, gdyż procesy te będą w tedy wolno tłum ione. W przypadku grupy

układów z rys.1a,b dotyczy to pierwiastków zespolonych, sprzężonych P2 i 93, które powodują, że w ystę p u ją tłum ione, oscylacyjnie zmienne, składowe w ielkości elektrom agnetycznych. W przypadku grupy układów z rys.1c,d o przebiegu procesów przejściow ych decyduje odpow iednio tylko jeden z pierw iastków p i i 22, który w ywołuje tłum ione składowe w ielkości elektrom agnetycznych o nieznacznych lub pom ljalnie m ałych oscylacjach.

Interpretacja fizyczna procesów przejściowych m oże być również oparta na analizie m odeli obw odowych układów z rys.2. Dla układów z rys.1c,d w m odelu obwodow ym dla zm iennych przetransform ow anych (rys.2b) jeden z obwodów zastępczych stojana je s t obwodem zw artym , w którym nie w ystępuje napięcie źródłowe. W obwodzie tym m oże płynąć tylko prąd Indukowany przez sprzężenie m agnetyczne tego obwodu z zastępczym obwodem w irnika w tej sam ej osi.

Przepływ tego prądu m oże wystąpić tylko w elektrom agnetycznych stanach przejściow ych.

W ystępow anie w m odelu z rys.2b bezpośrednio zw artego obwodu ogranicza znacznie m ożliw ość w ystępow ania oscylacyjnie zm iennych wielkości elektrom agnetycznych, co je s t charakterystyczne dla m odelu z rys.2a bez obwodu zwartego. W stanach statycznych w tym obwodzie zw artym nie w ystępuje przepływ prądu i obwód ten może być pom inięty. Stąd wynika, że w stanach statycznych m odele z rys.2a i 2b s ą sobie równoważne topologicznie, a przy odpow iednim doborze w artości napięcia stałego Ust rów noważne pod w zględem energetycznym . N atom iast w stanach przejściow ych taka rów noważność obwodów nie w ystępuje ani pod w zględem topologicznym , ani pod w zględem energetycznym . Wskazuje to, że przy odpow iednim doborze w artości napięcia stałego zasilającego uzwojenie stojana podczas ham owania m ożna uzyskać dla rozpatrywanych układów ham owania identyczne przebiegi charakterystyk statycznych, natom iast przebiegi charakterystyk dynam icznych dla tych układów b ę d ą odmienne.

Z naczne zm niejszenie się wartości prądu stojana w przedziale m ałych prędkości kątow ych wirnika m ożna w ytłum aczyć dużym wzrostem strum ienia sprzężonego stojana, spow odow anym m alejącym oddziaływ aniem prądów w obwodach w irnika silnika. Prąd ten narasta ponow nie do w artości ustalonej bardzo powoli, ponieważ w spółczynniki tłum ienia w ielkości e lektrom agne­

tycznych w przedziale m ałych prędkości kątowych w irnika s ą rów nież bardzo małe.

5. PO D S U M O W AN IE

Elektrom agnetyczne procesy przejściowe w silnikach indukcyjnych podczas ham owania prądem stałym powodują, że trajektorie elektrodynam iczne w ielkości elektrom agnetycznych m ogą się znacznie różnić od przebiegu charakterystyk statycznych. Ze w zrostem szybkości zm niejszania się prędkości kątowej w irnika charakterystyki elektrodynam iczne w coraz w iększym stopniu odbiegają od charakterystyk statycznych. Badanie procesów przejściow ych w układach ham owania ma znaczenie nie tylko teoretyczne, lecz rów nież praktyczne. Z najom ość przebiegu tych procesów pozwala na racjonalny w ybór układu hamowania i dobór param etrów układu ham owania.

LITE R ATU R A

1. Hannakam L., Gleichstrombremsung von A synchronm aschinen, ET Z-A ,87,1-1.4,1966,s .515-526.

2. Paszek W .: Stany nieustalone maszyn elektrycznych prądu przem iennego. W N T , W arszaw a 1986.

3. Pieńkowski K.: A naliza układów hamowania elektrycznego silników indukcyjnych klatkow ych z przekształtnikam i energoelektronicznymi. Prace Naukowe Instytutu M aszyn, N apędów i Pom iarów Elektrycznych Politechniki W rocław skiej, 5 2,Seria: M onografie, 15, W rocław , 2000.

4. Praca zbiorowa: Elektromagnetyczne procesy przejściow e w asynchronicznym napędzie elektrycznym . W N T, W arszaw a 1970.

W płynęło do Redakcji dnia 15 lutego 2001 r.

R ecenzent: D r hab. inż. W łodzim ierz Przyborowski

Abstract

Direct current braking o f induction m otors is w idely used in m any drive system s with induction m otors. S a tisfa cto ry perform ance o f the m otor in braking operation is conditioned on fa m ilia rity and understanding with its behaviour both in steady and transient states. In the paper the transient ele ctro m a g ne tic processes in induction m otors during direct current braking are considered. The selected, m ost frequently used schem es o f stator phase w inding connections are presented in Fig.1.

T he general equations o f induction m otor m athem atical m odels fo r various w inding schem es are described by Equations (1)-(3) and Equations (4)-(6), respectively. The sim plified assum ptions included in the considered m athem atical m odels are given. The obtained m athem atical m odels are suitable fo r investigation o f the m otor transient phenom ena when the m otor is fed from d c source.

The state variables o f the m odels are considered in the orthogonal, transform ed tw o-axis system o f co-ordinates ( a ,(3,0). T he stationary two-axis system oriented in relation to the stator w inding is chosen. The physical representations o f the m otor equations in a form o f the equivalent schem e for the considered system s o f braking are presented in Fig.2, respectively. It is shown th a t the considered schem es o f braking have various num ber o f electrical constraints.

The non-linear differential equations o f the m athem atical m odels are solved num erically by a digital com puter. T he sim ulation investigations o f transient phenom ena in induction m otors are perform ed. T he sim ulation results o f e lectrom agnetic transient phenom ena o f an induction m otor during d c braking are presented in Fig.3 and Fig.4, respectively. The influence o f braking schem es, m otor param eters and param eters o f m echanical system s w as considered in sim ulation studies.

Fig.3 and Fig.4 present tim e w aveform s o f electrom agnetic torque, rotor m echanical speed and stator phase current fo r various values o f inertia o f electrom echanical system.

The physical interpretation o f electrom agnetic phenom ena in induction m otors during direct current braking is considered. The explanation o f transient phenom ena based on the m athem atical m odels o f the braking system s and its tw o-axis representation are presented. The characteristic equations o f the m athem atical m odels are given by Eq. (7) and Eq. (8), respectively. The roots of ch aracteristic equations th a t determ ine the values of attenuation coefficients and frequencies o f the transient com ponents are discussed.

The presented studies enable to explain transient phenom ena observed during d c braking which at first view seem ed strange. The m athem atical m odels and results o f digital sim ulation give good quantitative and qualitative explanation o f transient phenom ena in induction m otors.