Ogólne sformułowanie zagadnienia programowania liniowego. Funkcja celu: z = c

BADANIA OPERACYJNE

Dostarczają modeli i metod poszukiwania rozwiązań optymalnych w danych warunkach ekonomicznych.

PROGRAMOWANIE LINIOWE

W przypadku, gdy w modelu wszystkie zależności mają charakter liniowy, mamy do czynienia z zagadnieniem programowania liniowego – ZLP

Przykładowe klasy zagadnień programowania liniowego:

- zagadnienie wyboru asortymentu produkcji - zagadnienie diety

- zagadnienie wyboru procesu produkcyjnego

Ogólne sformułowanie zagadnienia programowania liniowego.

Funkcja celu:

z = c

x

+ c

x

+ … + c

x

Max( lub Min)

Warunki ograniczające:

a

x

+ a

x

+ … + a

x

{ ≤

=

≥ } b

a

x

+ a

x

+ … + a

x

{ ≤

= ≥ } b

………

a

x

+ a

x

+ … + a

x

{ ≤

=

≥ } b

Warunki brzegowe: Oznacza jeden ze znaków: ≤ lub = lub ≥

x

, …, x

≥ 0

W zagadnieniu programowania liniowego występują : a) parametry (wielkości dane):

𝑎_𝑖𝑗, 𝑏_𝑖, 𝑐_𝑗 ; 𝑖 = 1, … , 𝑚 ; 𝑗 = 1, … , 𝑛

b) zmienne, których wartości należy ustalić (zmienne decyzyjne) 𝑥_𝑗, 𝑗 = 1, … , 𝑛

Zbiór wartości zmiennych decyzyjnych spełniających warunki ograniczające i warunki brzegowe nazywamy zbiorem rozwiązaniem dopuszczalnych zagadnienia programowania liniowego.

Rozwiązanie zagadnienia programowania liniowego polega na wyznaczeniu rozwiązania optymalnego ( tzn. takiego, dla którego funkcja celu osiąga max lub min ) spośród rozwiązań

dopuszczalnych

Uniwersalną, numeryczną metodą rozwiązywania programów liniowych jest tzw. algorytm simpleks.

W szczególnym przypadku, gdy w modelu występują dwie zmienne decyzyjne, zagadnienie programowania liniowego rozwiązać metodą geometryczną.

Metoda geometryczna rozwiązywania ZLP

W metodzie geometrycznej wykorzystujemy następujące twierdzenia

1) Zbiór punktów spełniający warunki ograniczające i brzegowe ZPL (zbiór rozwiązań dopuszczalnych) jest obszarem wypukłym.

2) Obszar wypukły posiada skończoną liczbę punktów wierzchołkowych 3) Funkcja celu przyjmuje wartość optymalną (min lub max) w punkcie

wierzchołkowym zbioru rozwiązań dopuszczalnych.

Jeżeli funkcja celu przyjmie wartość optymalną w dwóch punktach wierzchołkowych 𝑃₁(𝑥₁, 𝑦₁) i 𝑃₂(𝑥₂, 𝑦₂) , to ma tę wartość w każdym punkcie 𝑃(𝑥, 𝑦) należącym do odcinka łączącego te punkty. Wtedy

𝑥 = 𝜆 ∗ 𝑥₁+ (1 − 𝜆) ∗ 𝑥₂ , 𝑦 = 𝜆 ∗ 𝑦₁+ (1 − 𝜆) ∗ 𝑦₂ , gdzie 𝜆𝜖〈0,1〉.

Przykład.

Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: 𝑊₁ i 𝑊₂. Ograniczeniem w procesie produkcji jest czas pracy maszyn 𝑀₁ , 𝑀₂ i 𝑀₃. W tablicy podano zużycie czasu pracy każdej z tych maszyn na produkcję jednostki poszczególnych wyrobów, dopuszczalne czasy pracy maszyn oraz ceny wyrobów .

Maszyny

Zużycie czasu pracy maszyn w godz.

Na jednostkowy wyrób

Dopuszczalny czas pracy maszyn w godz.

W1 W2

M₁ 2 1 1000

M2 3 3 2400

M₃ 1,5 0 600

Ceny wyrobów(zł) 30 20

Określić w jakich ilościach produkować poszczególne wyroby, aby przy istniejących ograniczeniach przychód z ich sprzedaży był możliwie największy.

Rozwiązanie.

Zmienne decyzyjne

Należy ustalić wielkość produkcji dwóch wyrobów W1 i W₂, zatem zmiennymi decyzyjnymi będą:

x1 – wielkość produkcji wyrobu W1

x₂ – wielkość produkcji wyrobu W₂ Warunki ograniczające

W celu wyprodukowania jednostki wyrobu W₁ i W₂ maszyna M₁ pracuje 2 i 1 godz.

odpowiednio. Na wyprodukowanie x1 sztuk wyrobu W1 i x2 sztuk W2 wyrobu maszyna musi pracować 2*x1+ x2 godz. Dopuszczalny czas pracy tej maszyny wynosi 1000 godz. Stąd mamy następujące ograniczenie:

2*x₁+ x₂ ≤ 1000

Podobnie dla maszyn M2 i M3 otrzymujemy: 3*x1+3 x2 ≤ 2400 i 1,5*x1 ≤ 600.

Funkcja celu

Ceny wyrobów W1 i W2 wynoszą 30 zł i 20 zł odpowiednio. Zatem ze sprzedaży x1 sztuk wyrobu W1 i x2 sztuk wyrobu W2 otrzymamy przychód wynoszący 30*x1 + 20* x2 .

Ostatecznie ZPL dla powyższej sytuacji ma postać:

𝐹(𝑥₁, 𝑥₂) = 30 ∗ 𝑥₁+ 20 ∗ 𝑥₂  max 1) 2*x₁+ x₂ ≤ 1000

2) 3*x1+3 x2 ≤ 2400 warunki ograniczające 3) 1,5*x1 ≤ 600.

4) 𝑥₁, 𝑥₂ ≥ 0 warunki brzegowe

Aby otrzymać rozwiązanie, w przypadku dwóch zmiennych decyzyjnych, obszar rozwiązań dopuszczalnych wyznaczymy geometrycznie w układzie współrzędnych.

Obszar rozwiązań dopuszczalnych ograniczony jest prostymi : 1) 2*x₁+ x₂ = 1000

2) 3*x1+3 x2 = 2400 3) 1,5*x1 = 600.

Aby narysować prostą najlepiej znaleźć jej punkty przecięcia z osiami układu współrzędnych.

Prosta 1) :

x₁ = 0 x₂ = 1000, (0,1000) – punkt przecięcia z osią Ox₂ x₂ = 0 2*x₁ = 1000, x₁ = 500 (500,0) – punkt przecięcia z osią Ox₁ Prosta 2) :

x1 = 0 3*x2 = 2400, x2 = 800 (0,800) – punkt przecięcia z osią Ox2

x₂ = 0 3*x₁ = 2400, x₁ = 800 (800,0) – punkt przecięcia z osią Ox₁ Prosta 3) :

x1 = 400 prosta prostopadła do osi Ox1

Wyznaczamy punkty wierzchołkowe zbioru rozwiązań dopuszczalnych:

A(0,0), B(400,0),

Punkt C jest przecięciem prostej 1 i 3:

2*x1+ x2 = 1000 x₁ = 400

Stąd x₂ = 1000-2*400 =200, zatem C(400,200)

Punkt D jest przecięciem prostej 1 i 2:

2*x1+ x2 = 1000 3*x₁+3 x₂ = 2400

Pierwsze równanie mnożymy przez 3, a drugie przez 2 6*x₁+ 3*x₂ = 3000

6*x₁+ 6*x₂ = 4800 i odejmujemy stronami 3*x₂ = 1800, x₂ = 600

x1 wyznaczamy np. z pierwszego równania 2*x₁+ 600 = 1000, x₁ =200

Stąd

D(200,600).

E(0,800)

Rozwiązanie optymalne będzie w jednym z punktów A,B,C,D,E.

Aby wyznaczyć to rozwiązanie obliczamy wartość funkcji celu w punktach wierzchołkowych.

𝐹(𝑥₁, 𝑥₂) = 30 ∗ 𝑥₁+ 20 ∗ 𝑥₂ A(0,0) F(A) = 30*0+20*0 =0

B(400,0) F(B) = 30*400 + 20*0 = 12000 C(400,200) F(C) = 30*400 + 20*200 = 16000 D(200,600) F(D) = 30*200 + 20*600 = 18000 max E(0,800) F(E) = 30*0 + 20*800 = 16000

Największą wartość funkcja przyjmuje w punkcie D.

Odpowiedź

Aby uzyskać możliwie największy przychód ze sprzedaży wyrobów należy produkować 200 sztuk wyrobu W1 i 600 sztuk wyrobu W2. Przychód ze sprzedaży wyniesie wtedy 18000 zł.

Punkt obszaru rozwiązań dopuszczalnych, w którym funkcja celu przyjmuje największą wartość można też wyznaczyć inaczej, bezpośrednio z rysunku.

Funkcja celu

𝐹(𝑥₁, 𝑥₂) = 𝑐₁∗ 𝑥₁+ 𝑐₂∗ 𝑥₂ 𝐹(𝑥₁, 𝑥₂) = 30 ∗ 𝑥₁+ 20 ∗ 𝑥₂ może przyjmować różne wartości W dla punktów z obszaru rozwiązań dopuszczalnych:

𝑐₁∗ 𝑥₁+ 𝑐₂∗ 𝑥₂ = 𝑊 30 ∗ 𝑥₁+ 20 ∗ 𝑥₂ = 𝑊 (*) Równanie takie przedstawia prostą w postaci ogólnej i oznacza, że we wszystkich punktach należących do tej prostej wartość funkcji celu wynosi W, np. dla prostej o powyższych współczynnikach, przechodzącej przez punkt (0,0) mamy 𝑊 = 0:

𝑐₁∗ 𝑥₁+ 𝑐₂∗ 𝑥₂ = 0 30 ∗ 𝑥₁+ 20 ∗ 𝑥₂ = 0 Na rysunku proste te (dla różnych wartości W) są zaznaczone przerywanymi liniami.

Dla prostej w postaci ogólnej, wektor

𝑁⃗⃗ = [𝑐₁, 𝑐₂] 𝑁⃗⃗ = [30,20]

jest wektorem prostopadłym do tej prostej. Jeżeli teraz będziemy prostą (*), dla jakiejś wartości W, przesuwać równolegle w kierunku wskazanym przez wektor 𝑁⃗⃗ , to wartości W będą rosły (w przeciwnym kierunku będą malały). Przesuwamy tę prostą tak długo, dopóki mamy kontakt z obszarem rozwiązań dopuszczalnych. Ostatni kontakt, to będzie jakiś wierzchołek tego obszaru (w szczególnym przypadku może to być odcinek łączący dwa punkty). W tym punkcie funkcja celu przyjmie największą (najmniejszą wartość) przy zadanych ograniczeniach.

Sytuację tę na rysunku zaznaczono zieloną przerywaną linią:

𝑐₁∗ 𝑥₁+ 𝑐₂∗ 𝑥₂ = max 𝐹(𝑥₁, 𝑥₂)

Z rysunku widzimy, że funkcja celu, przy zadanych ograniczeniach, największą wartość przyjmie w punkcie D(200,600) i wyznaczamy wartość funkcji celu w tym punkcie. Wartość ta wynosi 18000. Zatem prosta zaznaczona na rysunku zieloną przerywaną linią ma równanie:

30 ∗ 𝑥₁+ 20 ∗ 𝑥₂ = 18000