Seria: B U D O W N IC T W O z . 86 N r kol. 1440
Jan K U B IK
O ZANIKANIU DYSSYPACJI W UKŁADACH W IELOSKŁADNIKOWYCH
S tre sz c z e n ie . W opracow aniu analizuje się proces term om echaniczny, k tóry finalnie pro
w adzi do stanu rów now agow ego. Form ułuje się dodatkow e ograniczenia, które sankcjonują w ygaszanie dyssypacji w układzie. O graniczenia te w y n ik ają z analizy w yrażenia na w e
w n ętrzn ą produkcję entropii w ciele w ieloskładnikow ym . P rodukcja ta zależy zarów no od przepływ ów ciepła i m asy, ja k i lepkich m echanizm ów dyssypacji.
ON THE DISAPPEARING OF THE DISSIPATION IN THE MULTICOMPONENT SYSTEM
S u m m a ry . A therm om echanical process w hich leads to the equilibrium state is analysed.
The additional restrictions are also form ulated w hich adm it the extinction o f the dissipation in a system .
1. W prowadzenie
A naliza procesów term om echanicznych w w ieloskładnikow ym ośrodku ciągłym ogranicza się na ogół do sprecyzow ania nierów ności rezydualnej, z której otrzym uje się podstaw ow e ograniczenia nakładane na postać rów nań fizycznych. Jest to typow e w ykorzystanie term o- m echaniki w teorii rów nań konstytutyw nych. N atom iast m niej uw agi zw raca się na charakter narastania czy też zanikania dyssypacji energii z układu w trakcie procesu.
W niniejszej pracy zajm iem y się szczególną k lasą procesów term odynam icznych, kiedy to od pew nej chw ili rozpoczyna się najpierw proces nierów now agow y, który następnie od ok re
ślonego etapu ulega w ygaszeniu. Finalnie otrzym am y tu now y stan rów now agow y. N atom iast w ygasanie procesu nierów now agow ego będzie przedm iotem naszego zainteresow ania. Jeżeli dalej założym y, iż w ew nętrzna dyssypacja energii z układu je s t ciągłą i m alejącą w czasie
124 J. K ubik
fu n k cją czasu, to otrzym am y now e ograniczenia n a postać rów n ań fizycznych w procesie. Ich analiza je s t celem rozw ażań.
W arto przy tym zw rócić uw agę, iż do procesów zm ierzających do stanów rów n o w ag o w ych n a le ż ą m iędzy innym i:
- p ro cesy p ełza n ia i relaksacji analizow ane w liniow ej lepkosprężystości, kiedy to po p ew n y m czasie m ateriał reaguje ja k sprężysty,
- p ro cesy przem ian fazow ych zm ierzające do p ow stania now ej, stabilnej struktury m ateria
łu.
W p ierw szy m p rzypadku p roces pełzania m o żn a m akroskopow o analizow ać najpierw jak o w ytrącenie układu ze stanu rów now agow ego, po którym układ ew oluuje p o p rzez stany n ie
rów now agow e do now ego stanu rów now agow ego na innym poziom ie energii. P odobny pro
ces zachodzi po d czas relaksacji. O czyw iście, istnieć będzie k lasa procesów deform acji p ro w ad zący ch w trakcie p ełza n ia do stanów dalekich od rów now agi, np. w n ielin io w y m p ełza
niu, czy też p ełzan iu p ro w ad zący m do zniszczenia.
N ato m iast w iele p rocesów technologicznych spotykanych w w ytw arzaniu m ateriałów je st tak u kierunkow anych, aby po w stające z pierw otnych składników n ow e struktury m aterialne by ły stabilne. O zn acza to m iędzy innym i stałość cech m echanicznych, cieplnych i dyfuzyj
nych m ateriału. Z p unktu w id zen ia term om echaniki proces w y tw arzania m ateriału pow inien pro w ad zić do stanu rów now agow ego. W idać w ięc, że analiza p rocesów zm ierzających do stanów ró w now agow ych je s t uzasadniona.
Jak n ależ y się spodziew ać, om aw iana k lasa p rocesów je s t ogólna, n ieza leżn a od fizycz
nych w łasności m ateriałów . W konsekw encji ro zw ażania nasze ograniczym y tylko do analizy term om echanicznej na poziom ie rów nań bilansów , bez w nikania w teorię rów nań k o n sty tu tyw nych.
2. Bilanse procesu
A n alizow ać będ ziem y proces term om echaniczny zachodzący w ośrodku w ielo sk ład n ik o w ym . P unktem w yjściow ym tych rozw ażań są rów nania teorii m ieszanin B ow ena [1], które po p rzy jęciu założenia o dom inującym składniku [5] p ro w ad zą do układu rów nań, który opi
syw ać m oże pro cesy transportu m asy, pędu i energii w ciałach k ap ilam o - porow atych. Tego
typu rów nania są przydatne m iędzy innym i do opisu różnych form transportu ciepła i masy oraz zm ian n aprężeń w typow ych m ateriałach budow lanych.
U kład rów n ań bilansów w tych procesach je s t następujący [3,4,5]:
parcjalne bilanse m asy 3 p “
lub
^ - = p R a - d i v ( p a \ a ), a = 0 , 1 , 2 n (1) dt
d c a
p = p R a - d i v j a , v “ = u “ +w , j a = p “u a - bilans m asy, (1 ’) dt
zasad a zachow ania masy
dt
^ - L-dłv(pw )=0, (2)
rów nania ruchu
p— = p F + d /v a , o = X « “ > PF = S P “ F “ - ( 3>
dt
zasad a zachow ania energii
p -y -(t/ + K )= pr-div ą+ p F w + di'v(ow) + ^ p dt
' d ^ _ Ra
dt M a - j a g r a d M a , (4) z której po w yelim inow aniu energii kinetycznej otrzym am y:
p ^ - = p r - d i v ą + < r . A + y p
d t „
d c a
dt ■Ra W “ - j ag r o d M a , (4 ’)
bilans entropii
d S p r ( p — =-— div
d t T ^ [ł-p9t pdi>0. (5)
J
W ystępująca w bilansie entropii w ew nętrzna produkcja entropii p 9 ? zw iązana je s t z nie
odw racalnym i procesam i term odynam icznym i (p9i>0), w w yn ik u których w ystępuje dyssy
pacja różnych rodzajów energii z układu. N atom iast w szczególnych, rów now agow ych p ro ce
sach zanika dyssypacja p 9 f= 0 .
P om ijając w ew n ętrzn ą produkcję entropii p 9 f w bilansie entropii otrzym uje się nierów ność w zrostu entropii
126 J. K ubik
która w po w iązan iu z pozostałym i bilansam i prow adzi do nierów ności rezydualnej:
-p^ Ł +p^ L T + o d + Y p — M “ - j ag r a d M a - - ą g r a d T > 0 . (7)
H dt H d t r dt Ths
N ierów ność tę otrzym aliśm y elim inując z bilansów energii i entropii człony p r - d i v q . P odana w tej form ie nierów ność rezy d u aln a służy za p o d staw ę ro zw ażań term om echanicz
nych w szerokiej k lasie m ateriałów k ap ilam o - porow atych z w y ró żn io n y m składnikiem (por. [5]).
W p o danych rów naniach sym bolam i p “ , c a = p a / p , j “ , R a , M a , v a , u “ , w , o : d , pF , U , K , S , p r , q , 7 \ p 9 t oznaczono kolejno gęstość i k oncentrację składnika a , strum ień i
źródło m asy, potencjał chem iczny, p rędkości p arcjalne, dyfuzyjne i b arycentryczne, tensor naprężeń i prędkości odkształceń, siłę m asow ą, energię w ew nętrzną i kinetyczną, entropię, źródło i strum ień ciepła, tem peraturę oraz w ew n ętrzn ą produkcję entropii w układzie. W y
szczególnione p o la s ą ciągłym i funkcjam i m iejsca i czasu.
3. Analiza narastania wewnętrznej dyssypacji energii
A n alizow ać będziem y pew ne szczególne procesy term om echaniczne w ciele w ieloskładni
kow ym , kiedy to od pew nej chw ili to proces dyssypacji w ew nętrznej zaczyna w ygasać, tak iż w chw ili t > T0 u k ład pow raca do stanu rów now agow ego, kiedy to p S f = 0 (p o r.[2]). Biorąc p od uw agę, że p 9 f p ow inna być ciąg łą i m alejącą fu n k cją czasu, zachodzi relacja:
R ys. 1. W ew n ętrzn a p ro d u k c ji entropii Fig. 1.In tern ai p ro d u c tio n o f en tropy
Jeżeli O < a < 1, to p 9 i ’(t) > pSl(t) gdzie p 9 t ’(t) = p9i(at).
Z nierów ności tej w ydedukujem y istotne ograniczenie nakładane na p rzebieg procesów w ygasania dyssypacji w układzie.
R ys. 2. W ew n ę trz n a d y ssy p acja energii Fig. 2 In te m a l d issip atio n o f energy
Z auw ażm y, iż w obec T > 0 podobny przebieg będzie posiadała funkcja p9iT, określająca w ew nętrzną dyssypację energii z układu. Istotnie, je ż e li 0 < a < 1, to pSK(at)T(at)>
p m m .
4. Nierówności dla zanikającej dyssypacji energii z układu
A nalizow ać będziem y teraz ten sam proces dyssypacji energii w dw óch różnych chw ilach t i t ' = a t (0 < a < 1) w przypadku, kiedy układ zm ierza do stanów rów now agow ych.
W każdej chw ili pow inna być spełniona zależność:
pSRrSiO.
W w yniku klasycznego dla term om echaniki postępow ania otrzym am y w ów czas kom plet rów nań tw orzących, określających proces w chw ili i i t ’ = a t oraz nierów ność dyssypatyw ną z p ozostałych składników nierów ności rezydualnej. W nierów ności tej zn ajd ą się też człony o : d p i Q , zaw ierające dyssypującą się z układu m oc m echaniczną oraz składnik Q, w y
nikający w yłącznie z lepkich m echanizm ów dyssypacji energii.
128 J. Kubik
N ierów ność d yssypatyw na w ty m przypadku p rzyjm ie form ę:
a : d p - Q - ^ j a g r a d M a - —ą g r a d T + p ^ K T =0 , p 9 t7 > 0 (9)
a 7
w chw ili t oraz analogicznie w czasie t ’ = ott
o : d 'p- g ' - ^ j ° g r a d M a - - U j 'g r a d 7 '+ p 9 i T ,= 0 , p 9 i T ' > 0 . (9 ’)
a 7
M nożąc z kolei p ierw sze z tych rów nań przez p 9 f T ’, a drugie przez p 9 fT otrzym am y toż
sam ość:
o : d p - Q - ^ j a g r a d M a ą g r a d T l p 9 t '7 '=
O T J
& , A 'V- Q ' - ^ ) a g r a d M a - - ^ q 'g r a ^ 7 'l p 9 t 7
a
T )
B iorąc p od uw agę, że p 9 f T ’ > p9tT, d la 0 < a < 1 zachodzić b ędzie nierów ność
f ,
a : d p - Q - ^ j a g ra d M a ---- ą g r a d T
( 10)
(U)
a ': d 'p- ( 2 ' - ^ j a graz/A ia - - ^ q ' g r a d T '
a T
< 0która stanow i dodatkow e ograniczenie w procesach term om echanicznych o zanikającej dys
sypacji energii z układu.
W przytoczonej nierów ności składnik a : d p oznacza niesp ręży stą część m ocy m ech an icz
nej, zaś Q je s t m o c ą dy ssy p u jącą się z układu, a p o ch o d zącą od lepkich m echanizm ów dyssy
pacji. S kładnik ten w ystępuje m iędzy innym i w przypadku m ateriałów lepkosprężystych.
O trzy m an ą p o przednio nierów ność p rzedstaw im y w innej form ie:
( a ( a t ) : d 'p ( a r ) - a ( t ) : d p(t) ) - (g(ocr) - Q ( t ) ) - £ ( j a ( a t ) g r a d M “( a t ) + (12)
- j a (t) g r a d M a (t) ) - q(ot t ) g r a d T ( a t ) q ( t )g r a d T ( t)
7 ( 0 / ) 7 ( 0
>0 0 < a <1
która określa ud ziały po szczeg ó ln y ch m echanizm ów dyssypacyjnych w analizow anym p ro ce
sie term om echanicznym , zm ierzającym do stanów rów now agow ych.
LITER A TU R A
1. B ow en R.M .: T heory o f M ixtures in C ontinuum P hysics, ad. A.C. E rinden, A cadem ic Press, N ew Y ork 1976
2. D ay W .A .: T he T herm odynam ics o f Sim ple M aterials w ith F ading M em ory, S pringer V erlag, B erlin 1972
3. G reen A .E., LA W S N.: G lobal properties o f m ixtures, A rch. R at. M ech. A nd A nal. 1, 45 - 61, 1971
4. G reen A .E. [i in.]: Podstaw y nieliniow ej teorii ośrodków ciągłych, O ssolineum , W rocław 1973
5. K ubik J.: T he correspondence betw een equations o f therm odiffusion and theory o f m ix
tures, A cta M ech. 70, 51 - 65, 1987
6. W ilm ański K.: Podstaw y term odynam iki fenom enologicznej. PW N , W arszaw a 1974
A b s tr a c t
A therm om echanical process w hich leads to the equilibrium state is analysed. T he addi
tional restrictions are also form ulated w hich adm it the extinction o f the dissipation in a sys
tem. T hese restrictions result from the analyse o f the interior production o f the entropy in the m ulticom ponent m edium . It is found that the production o f the entropy, depends on both flow o f heat and m ass and viscous process dissipation.
