Edward Nieznański
Formalizacja tomistycznych podstaw
dowodu na istnienie Koniecznego
Bytu Pierwszego
Studia Philosophiae Christianae 15/1, 163-180
1979
S tu d ia P h ilo s o p h ia e C h r is tia n a e A T K
15/1979/1
EDW ARD N IEZN A Ń SK I
FORMALIZACJA TOMISTYCZNYCH PODSTAW DOWODU N A ISTNIENIE
KONIECZNEGO BYTU PIERWSZEGO
W stęp . 1. S fo r m a liz o w a n e te o r ie to m is ty c z n e g o p o ję c ia s to s u n k u d o s ta te c z n e j racyjd b y tu : 1.1 S y ste m I, 1.2 S y s te m II, 1.2.1 S y s te m H a, 1.2.2 S y s te m I lb , 1.3 S y s te m II I, 1.4 In n e s y s te m y ; 2. U w a g i m e ta s y - stemioiwe: 2.1 U s ta le n ia s y n ta k ty c z n e , 2.1.1 Z w ią z k i m ię d z y sy s te m a m i, 2.1.2 P o w ią z a n ie r a c h u n k u z w y p o w ie d z ia m i n ie s fo rm a ld z o w a n y m i, 2.2 U s ta le n ia s e m a n ty c z n e , 2.2.1 S en s p ie r w o tn y c h te r m in ó w , 2.2.2 S e m a n ty c z n e p o d s ta w y n iesprzeoznoścd s y s te m ó w , 2.3 S u g e s tie p r a g m a
ty c z n e
W STĘP
Zam ierzeniem , k tó re m a być realizow an e w m n iejszym a r ty kule, jest form alizacja „ m a terialn y c h ” i „fo rm aln y ch ” podstaw „trzeciej drogi” w tak im jej w spółczesnym ujęciu, jaikie sp o ty k am y np. w książce [5] Ks. P rof. К . K łósaka na str. .118— 119:
„(...) ja k k o lw ie k d a le k o p o sz lib y śm y w u p o rz ą d k o w a n e j s e r ii b y tó w p rz y g o d n y c h , n ie p o s u n ę lib y ś m y się a n i o k r o k w n a s z y m sz u k a n iu w y c z e rp u ją c e g o tłu m a c z e n ia d la przygodnego' is tn ie n ia czegoś, gdyż k a ż d y n a p o tk a n y p rz e z n a s b y t p rz y g o d n y p o s ia d a łb y p o za so b ą w y s t a r c z a ją c ą r a c j ę sw eg o is tn ie n ia . (...) w ta k i m ra z ie k a ż d y b e z w y ją t k u u k ła d b y tó w p rz y g o d n y c h , w z ię ty ją k o cało ść, n ie p o s ia d a łb y , g d y b y m ia ł is tn ie ć sa m je d e n , w y s ta r c z a ją c e j r a c j i sw eg o k o n k r e t n eg o z a is tn ie n ia . Z aś w b r a k u ta k ie j r a c ji n ie m ó g łb y z a is tn ie ć . P o n ie w a ż je d n a k , j a k w ie m y z d o św ia d c z e n ia , p e w n e b y ty is tn ie ją , w ięc n ie w s z y s tk ie b y ty is tn ie ją c e są b y ta m i p rz y g o d n y m i. P ró c z b y tó w p rz y g o d n y c h m u s i is tn ie ć b y t k o n ie c z n y , k tó r y , m a ją c w y s ta r c z a ją c ą r a c j ę sw e g o is tn ie n ia w so b ie sa m y m , s ta n o w i o s ta te c z n e w y tłu m a c z e n ie d la is tn ie n ia k a ż d e g o b y tu p rz y g o d n e g o ” .
M aterialne p o d staw y dowodu — to ak sjo m a ty (tw ierdzenia p rz y ję te bez dow odu), zaś pod staw y fo rm aln e stanow i ra c h u nek, k tó ry niezaw odnie — tj. bez błędów non se q u itu r — pro wadzi od p rz y ję ty c h aksjom atów do zam ierzonego wniosku.
1. SFO R M A LIZO W A N E TEO RIE TO M ISTY CZN EG O PO JĘ C IA ST O SU N K U © O ST A T E C Z N E J R A C JI B Y T U
W językach teorii, k tó re zostaną utw orzone w obecnym roz
dziale, będą używ ane spójn ik i logiczne: (negacja),
(im plikacja), „ = ” (rów noważność), (koniunkcja) i „ v ” (al
tern a ty w a). K w a n ty fik a to r duży będzie n otow any przez u jm o w anie w n aw iasy okrąg łe dow olnej zm iennej logicznej, np.: ,,(x)p”, czytane: „dla każdego x -a : p ” ; zaś k w a n ty fik a to r m a ły —· przez „(E...)” , np.: ,,(Ex)p” , czytane: „ istn ieje takie x, że p ” (lub: „p rzy n ajm n iej d la pew nego x -a : p ”). Stosow ane
będą rów nież k w a n ty fik a to ry o - ograniczonym zakresie:
,,(Fw )p” — „dla każdego w będącego F : p ” oraz „(E Fw )p” — „istn ieje tak ie w będące F, że p ” ; p rzy czym na m iejscu sche- m atow ej zm iennej „ F ” w y stę p u ją pierw szego rzędu p re d y k a ty jed n o argu m en tow e, na m iejscu „ w ” — dow olne zm ienne na- zwow e, zaś na m iejscu „ p ” ·— fu n k cje zdaniow e określonego języka. Sens k w a n ty fik a to ró w o ograniczonym zakresie u stalają rów now ażności :
(Fw )p ξξ ξ (w) (Fw->-p),
(E Fw )p ξξ (Ew) (Fw . p).
U żyw ane będą rów nież p re d y k a ty logiczne: identyczności „ = ” i nierów ności „ Ф ”.
1.1 S y stem I
W sy stem ie I w ystąp ią d w a p ierw o tn e (tzn. nie definiow ane równościow o) pozalogiczne p red y k aty :
„B ” czyli „...jest b y tem re a ln y m ” oraz „R ” czyli „...jest ra c ją istn ien ia...”. A k sjom atam i i definicjam i tego system u są:
Al. (Ex) Bx
P r z y n a jm n ie j d l a p e w n e g o x - a : x je s t b y te m r e a ln y m . ( I s tn ie ją b y ty re a ln e ).
A'2. (x) (y) (xR y -> Bx . By)
D la k a ż d e g o x - a i у -a : je ż e li x je s t r a c j ą is tn ie n ia у -a , to x je s t b y te m r e a l n y m i y je s t b y te m re a ln y m .
(P o le s to s u n k u r a c j i b y tu s ta n o w i ogół b y tó w r e a ln y c h i nic p o za tym ).
P re d y k a te m w tó rn y m jest:
„ S ” czyli „...jest dostateczn ą rac ją istn ien ia...” , ro zum iany zgodnie z definicją:
Dl. x S y = x R y . (z) (zRx -o- z = x) x je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie n ia у - a w te d y i ty lk o w te d y , gdy x je s t r a c j ą is tn ie n ia у -a i k a ż d e z b ę d ą c e r a c j ą is tn ie n ia x -a je s t id e n ty c z n e z x -e m . (D o sta te c z n a r a c j a b y tu je s t to ta k a r a c j a b y tu , k tó r a z k o le i n ie p o s ia d a ju ż ż a d n e j ró ż n e j od sie b ie r a c j i b y tu ).
K olejn y m aksjo m atem jest tzw . zasada dostatecznej ra c ji by tu : A3. (Bx) (Ey) y S x D la k a ż d e g o x - a będącego· b y te m r e a ln y m , is tn ie je ta k ie y, że y je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie n ia x - a . (K a ż d y b y t p o s ia d a d o s ta te c z n ą r a c j ę sw o je g o is tn ie n ia ). A 4. (x) (y) (xSx . y S y -> X = y) D la k a ż d e g o x - a i у -a : je ż e li x j e s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie n ia x - a o raz y je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie n ia у -a , to x je s t id e n ty c z n e z y -ie m . (Co n a jw y ż e j je d e n b y t m a d o s ta te c z n ą ra c ję is tn i e n ia w so b ie sam y m ).
D odajem y na koniec cz te ry w tó rn e p red y k a ty : „K ” czyli „...jest B ytem K oniecznym ” , „ I” czyli „...jest B ytem P ie rw sz y m ”,
„ K I” czyli „...jest K oniecznym B ytem P ierw szy m ” i
„KKI” czyli „...jest Je d y n y m K oniecznym B ytem P ierw szy m ” , k tó ry ch sens określają definicje:
D2. Κ χ ξξξ xS x x je s t B y te m K o n ie c z n y m w te d y i ty tk o w te d y , g d y x je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie n ia х -a. (B y t K o n ie c z n y je s t to b y t p o s ia d a ją c y d o s ta te c z n ą r a c ję is tn ie n ia w so b ie sa m y m ). D3. Ix Ξ Ξ (By)xSy x je s t B y te m P ie r w s z y m w te d y i ty lk o w te d y , g d y d la k ażd eg o у -a b ę d ą c e g o b y te m r e a ln y m , x je s t d o s ta te c z n ą r a c ją is tn ie n ia у -a. (B y t P ie r w s z y je s t to b y t b ę d ą c y d o s ta te c z n ą r a c j ą is t .mienia k a ż d e g o b y tu re a ln e g o ). D4. Κ Ι χ ξ Κχ . Ιχ x je s t K o n ie c z n y m B y te m P ie r w s z y m w te d y i ty lk o w te d y , g d y x je s t B y te m K o n ie c z n y m i x je s t B y te m P ie rw s z y m . D5. 1'ΚΙχ ξ K Ix . (y) (K ły -> x = y) x je s t J e d y n y m K o n ie c z n y m B y te m P ie r w s z y m w te d y i ty lk o w te d y , g dy x je s t K o n ie c z n y m B y te m P ie r w s z y m i d la każctego у -a : je ż e li y je s t K o n ie c z n y m B y te m P ie rw s z y m , to· x je s t id e n ty c z n e z y -ie m . (J e d y n y K o n ie c z n y B y t P ie r w s z y je s t to K o n ie c z n y B y t P ie r w s z y id e n ty c z n y z k a ż d y m K o n ie c z n y m B y te m P ie rw s z y m ).
P osłu g ując się środkam i dedukcji n a tu ra ln e j określonym i w podręczniku [11] J. Słupeckiego i L. Borkow skiego (lub w [3]) m ożem y już udow odnić — na pod staw ie dotąd przytoczonych u staleń — że Je d y n y K onieczny B yt P ierw szy istn ieje.
W ykażem y na początek dw a tw ierd zen ia pom ocnicze (le m aty).
L I. (Ex) (E y )x S y
I s tn ie j e tafcie x i y, że x je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie n ia y -a . (S to s u n e k d o s ta te c z n e j r a c j i b y tu n ie je s t p u sty ),
dowód:
1. Ba, bo A l (z zastosow ania re g u ły opuszczania m ałego
2. (Ey)ySa, bo A3 i 1 3. bSa, bo 2
4. (Ex) (Ey) xSy, bo 3.
L2. (x) (y) (xSy xSx)
D la k a ż d e g o x - a i у -a : je ż e li x je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie n ia у -a , to x je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie n ia x - a . (K ażd y b y t b ę d ą c y
dostateczną racją, istnienia ja k ie g o ś b y tu je s t te ż dostateczną r a c j ą is tn ie n ia sie b ie sam ego)..
dowód:
1. xSy, założenie dowodu
2. xR y 1 , 3. (z) (zRx -> x = z) J bo 1 i D l 4. Bx, bo A2 i 2 5. (Ez)zSx, bo A3 i 4 6. aSx, bo 5 7. aR x, bo 6 i D l 8. x = a, bo 3 i 7 9. xS x, bo 6 i 8.
D ow odzim y dw a tw ierd zen ia podstaw ow e: T l. (Ex)K x I s tn ie je tafcie x , ż e x je s t B y te m K o n ie c z n y m . ( I s tn ie ję B y t K o n ie c z n y ). dowód: 1. (Ey)aSy, bo L I 2. (Ey)aSy — aSa, bo L2 3. aSa, bo 2 i 1 4. K a, bo D2 i 3 5. (Ex)K x, ibo 4.
L em aty L I, L2 i teza T l (zam ykająca najczęściej całą „ trz e cią drog ę”) zostały udow odnione bez stosow ania ak sjo m a tu A4, k tó ry jest nato m iast p o trzeb n y dla w ykazania m ocniejszej tezy: T2. (Ex) lK Ix I s tn ie j e talkie x , że x je s t J e d y n y m K o n ie c z n y m B y te m P ie r w szy m . (I s tn ie je J e d y n y K o n ie c z n y B y t P ie rw sz y ). dowód: 1. K a, bo T l 2. aSa, bo 1 i D2
1.1 By, założenie dow odu 1.2 (Ez)zSy, bo A3 i 1.1 1.3 bSy, bo 1.2 1.4 bSIb, bo L2 i 1.3 1.5 a = b, bo A4, 2 i 1.4 1.6 aSy, bo 1.3 i 1.5 3. (By)aSy, bo 1.1—1.6
4. Ia, bo 3 i D3 5. K ia , bo D4, 1 i 4
2.1 K Iz, załóż. dow. 2.2 Kz, bo 2.1 i D4 2.3 zSz, bo D2 i 2.2 2.4 a = z, bo A4, 2 i 2.3 6. (z) (KIz -> a = z), bo 2.1— 2.4 7. 1'KIa, bo D5, 5 i 6 8. (E x)lK Ix, bo 7. 1.2 S y stem II
S ystem II zostanie w yłożony w dw u w ersjach: jako sy stem Ha z dw om a ak sjom atam i i jako sy stem Ilb z jed n y m ty lk o aksjom atem .
1.2.1 System Ha
T w ierdzeniem dow odzonym w system ie Ha jest:
Tw. Tylko jed en b y t re a ln y jest B ytem K oniecznym i B ytem P ierw szym zarazem .
Jeśli w ty m tw ierd zen iu zastąpim y nazw ę „b yt re a ln y ” przez zm ienną ,,N”, „B yt K onieczny” przez zm ienną „M ” i „B yt P ie rw sz y ” przez zm ienną „ P ”, to o trzy m am y fu n k cję zdanio wą:
PI. T ylko jed en N jest M i P zarazem . P rz y jm ijm y z kolei skróty:
51. „M P ” dla „M i P zarazem ” ; 52. „ N u P ” dla „tylko jed en N jest P ”.
F u n k c ja zdaniow a FI p rz y jm u je — na podstaw ie skrótów SI i S2 — postać:
F2. N uM P (Tylko jed e n N jest M i P zarazem ). Iloczyn M P rozum iem y zgodnie z d efinicją:
Dfl. M Px ξ ξ Μ χ . Ρ χ
P rz y jm ijm y dalsze dw a skróty:
53. „NiM ” dla „p rzy n ajm n iej pew ne N jest M ” i 54. „N jM ” dla „co najw yżej jedno N jest M ”.
Z naczenie obu o p eratoró w „i” oraz „ j” o k reślają definicje:
Df2. NiM = (Ex) (Nx . Mx)
Df3. N jM = (Nx) (Ny) (Mx . M y -► x = y)
(Co najw yżej jedno N je s t M w te d y i tylko w tedy, gdy dla każdego x -a i у -a będącego N-em : jeżeli M x i My, to x = y).
M ożem y te ra z rów nież zdefiniow ać ■— w prow adzony skrótem
S2 — o p erato r „u ” :
Df4. NuM = NiM . NjM (Tylko jed en N jest M w te d y i ty l ko w tedy, gdy p rz y n a jm n ie j p ew n e N jest M i co najw yżej jedno N je st M)
W obec definicji Df4 fu n k cję zdaniow ą F2 m ożna tera z rozbić na dw ie fu n k c je składow e:
F2a. NiiMP, F2lb. N jM P,
poniew aż F2 = F2a . F2b. O znacza to, że nasze tw ierdzenie podstaw ow e T w o form ie F2 js t połączeniem dw u tw ierd zeń składow ych:
T w l. P rz y n ajm n ie j jed en b y t re a ln y jest B ytem K oniecznym i B ytem P ierw szy m zarazem (zgodnie z F2a) oraz Tw2. Co najw y żej jed e n b y t re a ln y jest B ytem K oniecznym
i B ytem P ierw szy m zarazem (wg F2b). P rz y jm ijm y te ra z dalsze cz te ry skróty:
S'5. „B ” dla „b y t re a ln y ” ,
56. „S ” dla „...jest dostateczną ra c ją istnienia...” , 57. „ K ” dla „B yt K onieczn y ”,
58. „ I” dla „B yt P ie rw sz y ”.
System Ha posiada dw a ak sjom aty , k tó re w p row ad zają p ie r w o tn e pojęcia: „B” i „S ”. A x l. (N) f(Nx)Bx (EBy) (Nx)ySx] D la k a ż d e g o N : je ż e li d la k a ż d e g o x - a b ę d ą c e g o N -e m , x je s t b y te m r e a ln y m , to is tn i e je ta k i e y b ę d ą c e b y te m real-nym , że d la k a ż d e g o x - a b ę d ą c e g o N -e m , y je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie n ia x -a . (D la k a ż d e g o r o d z a ju b y tó w r e a ln y c h is tn ie je t a k i b y t r e a ln y , k tó r y je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn i e n ia k a ż d e g o p r z e d s ta w i c ie la teg o ro d z a ju ).
Ax2. (Bx) (By) (Bz) (xSy . ySz -> x = y )
D la k a ż d e g o r e a ln e g o b y tu x , y i z : je ż e li x je s t d o s ta te c z n ą r a c ją is tn ie n ia у - a i y je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie n ia z -a , to x je s t id e n ty c z n e z y -ie m . (K a ż d y b y t b ę d ą c y d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie n ia c z e g o k o lw ie k m a co n a jw y ż e j w s o b ie s a m y m d o s ta te c z n ą r a c j ę swojego* is tn ie n ia ).
Z naczenie pozostałych dw u pojęć w tó rn y ch „K ” i „ I” o k reślają definicje:
Df'5. K x s B x . x S x
D f6. Ιχ ξξξ Bx . (By)xSy
Na podstaw ie p rz y ję ty c h sk ró tó w S I — S8 dowodzone tw ierdze nia T w l, Tw2 i Tw p rz y jm u ją o statecznie postać:
T w l. BikI, Tw2. B jK I i Tw. BuK I. Oto dow ody dla przytoczonych tw ierdzeń: T w l. BiK I, bo: 1. (N) [Nx) B x - > (EBy) (Nx)ySx], A xl 2. (EBy) (Bx)ySx, bo 1, N/B, (Bx)Bx 3. Ba } , . 4. (Bx)aSx j 100 1 5. Ia, bo D f6, 3, 4
6. aSa, bo 4 i 3 7. K a, bo Df5, 3, 6 -8. K ia, bo D i i , 7, 5 9. (Ex) (Bx . K Ix), bo 3 i 8 10. BiKI, bo Df2 i 9. Tw2. B jK I, bo: 1.1 Bx załóż. dow. 1.3 K Ix 1.4 K ły 1.5 Ix, bo D fl i 1.3 1.6 K y, bo D fl i 1.4 1.7 xŚy, bo 1.5, D f6 i 1.2 1.8 ySy, bo 1.6 i Df5 1.9 x = y, bo Ax2, 1.1, 1.2, 1.7 i 1.8 1. (Bx) (By) (K Ix . K ły x = y), bo 1.1— 1.9 2. B jK I, bo DC3 i 1.
Tw. B uK I, bo D fl, T w l i Tw2. 1.2.2 S ystem Iłb
Je d y n y m ak sjo m atem sy stem u Iłb jest:
A k sl. (N) {(Nx)Bx -> (EBy) (Nx) [ySx.((Bz) ((zSy v zSx) z =
= y)]>
D la k a ż d e g o N : je ż e li d la k a ż d e g o x - a b ę d ą c e g o N -e m , x je s t b y te m r e a ln y m , to is tn i e je ta k ie y b ę d ą c e b y te m r e a ln y m , że 7 "d la k a ż d e g o ‘х -a b ę d ą c e g o N -e m , y je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą istnienia x - a o raz: d la k ażd e g o z -a b ę d ą c e g o b y te m r e a ln y m , je ż e li ■z je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie n ia у -a lufo z je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie n ia x - a , to z je s t id e n ty c z n e z y -ie m .
P rz y jm u je m y , d o d a tk o w o .cz te ry d efinicje p red y k ató w : „...jest B ytem K oniecznym ” („K ”), „...jest B ytem P ierw szy m ” („I”), ,,... jest K oniecznym B ytem P ierw szy m ” („K I”) i „...jest J e d y nym K oniecznym B ytem P ierw szy m ” („1K I”):
D e fl. K x == B x.xS x Def2. Ix ξξ Bx.(By) x S y Def3. Κ Ιχ = K x .Ix
Def4. lK Ix = K Ix.(y) (K ły -> x = y).
Dowód — w ty m sy stem ie — podstaw ow ej tezy: (E x )lK Ix połączym y z dow odem tej tezy w sy stem ie III.
1.3 S y stem III
Je d y n y m ak sjo m atem system u III jest:
Aksl*. (N) { ( N x ) B x .( E B y ) (Nx) [ySx.((xSy v xSx) -> x = y)]}
D la .k a ż d e g o N : je ż e li, d la k a ż d e g o x - a . b ę d ą c e g o N -e m , x je s t byitem r e a ln y m , to is tn ie je tafcie y b ę d ą c e b y te m re a ln y m , że d la k a ż d e g o x a b ę d ą c e g o N e m , y je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie
-n ia x - a o ra z : je ż e li x je s t d o s ta te c z -n ą r a c j ą is t-n ie -n ia у -a lu b x je s t d o s ta te c z n ą r a c j ą is tn ie n ia x - a , to x je s t id e n ty c z n e z y-dem .
P rz y ją w sz y w szystkie sk ró ty i d efin icje (D e fl— Def4) z s y s te m u Ilb dow odzim y tw ierdzenie:
(Ex) lK Ix , bo:
1. (EBy) (Bx) [ySx.((xSy V x S x ) - * x = y)], bo Aksl,*
N/B, (Bx) Bx
2. Ba 1
3. (Ba) [aSx.((xSa v xSx) -> x = a)] J 4. (Bx) aSx, bo 3 5. (Bx) [(xSa v x S x ) - > x = a], bo 3 6. Ia, bo Def2, 2 i 4 7. aSa, bo 4 i 2 8. K a, bo D e fl, 2 i 7 9. K ia , bo Def3, 8 i 6 1.1 K Ix , załóż. dow. 1.2 Bx, bo 1.1, Def3 i Def2 1.3 (By) xSy, bo 1.1, Def3 i Def2 1.4 xSa, bo 1.3 i 2
1.5 x = a, bo 5, 1.2 i 1.4 10. (x) ( K I x -> x = a), bo 1.1— 1.5 11. lK Ia , bo Def4, 9 i 10
12. ( E x )lK I x , bo 11.
P oniew aż jest oczyw istą ważność im p lik acji A ksl -»· Aiksl *, więc p rzytoczony dow ód uzasadnia też tę tezę w system ie Ilb.
1.4 In n e sy tem y
Z astęp u jąc w sy stem ie Ha ak sjo m at Ax2 różnym i jego osła bieniam i, m ożem y uzyskać szereg system ów różnych od system u II i system u III, np. przy:
Ax2*. (Bx) (By) (x S y .y S y -> x = y) lub Ax2**. (Bx) (By) ( x S y .y S x -* x = y) lub Ax2***. (Bx) (By) (Bz) (xSz.ySz x = y).
2. U W A G I M K T A SÏST E M O W E
2.1 U stalenia sy n ta k ty c zn e
2.1.1. Z w iązki m iędzy system am i
2.1.1 — 1 P o ró w n an ie system u I z system em II 2.1.1 — 1.1 System I i system Ila
W eźm y pod uw agę dw a zdania:
A3*. (Bx) (EBy) [ySx.(Bz) (zSy -> z = y)] oraz
A4*. (Bx) (By) [xSx.(Bz) (zSx ->■ x = z).ySy.(Bz) (zSy y = ; = z) x = y]
Bez większego tru d u m ożna w ykazać, że w system ie I: (1) A3* == A3 oraz
(2) A4* == A4.
Z w iązek sy stem u Ha z system em I określa m etateza: (3) Ax2 - y (A xl == A1.Â3*.A4*) dowód: (a) (b) < c ) A x l - у A l, bo: 1. (EBy) (Bx) ySx, bo A x l, N/B, (Bx) Bx 2. Ba, bo 1 3. (Ex) Bx, bo 2 A x l —у A3, bo: 1. Bx, załóż, do w. (EBy) (Bx) ySx, bo A x l, N/B, (Bx) Bx Ba (Bx) aS x aSx, bo 4 i 1 (Ey) yS x, bo 5 A x l.A x 2 - y A4*, bo:
1. Bx załóż. dow. bo 2 By x S x yS y N 0u = (u = x V u = y), df N0
(EBw) (N0u) w Su, bo A x l, 5 i 2
Ba I bo 6 i 5 1,
2
, 9, (d) 8. aSx 9. aS y ' 10. a = x, bo Ax2, 7, 11. a = y, bo Ax2, 7. 12 . x = y, bo 10 i 11A3* —y fBx.By.xSy.(Bz) (zSx
1. B x ! 2. By 3. x S y 4. (Bz) (zSx - y x = z) 5. Ba \ 6. aSx J 7. a = x, bo 4, 5 i 6 8. xS x, bo 6 i 7 (e) A l .A3*. A4* -> A x l, bo:
1. (Nx) Bx, załóż. dow. 2. Ba, bo A l
■ x = z) -> xSx], bo: załóż. dow.
3. Bb ч 4. bSa bo A3’ 5. (Bz) (zSb -> z = b) ) 6. bSb, bo (d), A3*, 2, 3, 4 i 5 1.1 N x, załóż. dow. 1.2 Bx, bo 1 i 1.1 1.3 Bc 1.5 (Bz) (z S c -> z = c) 1.6 cSc, bo (d), A3*, 1.3, 1.2, 1.4 i 1.5 1.7 b = c, bo A4*, 3, 1.3, 6, 5, 1.6 i 1.5 1.8 bSx, bo 1.4 i 1.7 7. (iNx)bSx, bo 1.1— 1.8 8. (EBy) (Nx) ySx, bo 3 i 7.
Z auw ażm y, że Ax2 (który jest rów now ażny form ule pow stałej z D l po zastąpieniu w szystkich egzem plarzy ,,R” przez „S”) jest tw ierdzeniem w sy stem ie I, bo:
1. Bx.By.Bz ) 2. x S y ( załóż. dow. 3. ySz ' 4. xS x, bo L2 i 2 5. y S y ,bo L2 i 3 6. x = y, bo A4, 4 i 5.
S tą d i na p d staw ie m etatw ierd zen ia (3) stw ierdzam y:
(4) syst. Ila ^ syst. I, gdzie jest znakiem inklu zji,
(5) syst. Ila = Cn{A l,A 3*,A4*,A x2}, gdzie ,,Cn” oznacza o p erację logicznej konsekw encji.
M ożem y zate m stw ierdzić, że system Ila jest ograniczeniem sy stem u I do teo rii stosun k u dostatecznej ra c ji b y tu i że system y I i Ila w yznaczają id en ty czn y zbiór tw ierd zeń o w spom nianym stosunku.
2.1.1 — 1.2 S ystem Ila i system Ilb (6) a x l.A x 2 -> A k sl, bo: 1. (Nx) Bx, załóż dow. 1.4 cSx oraz 2. (EBy) (Nx) y S x , bo A x l i 1 3. Ba ) 4. (N x )a S x f (N x )a S x f bo b0 Ł2 1.1 N x, załóż. dow. 1.2 aSx, bo 4 i 1.1 1.3 Bx, bo: 1 i 1.1 1.1.1 Bz j załóż. dow. 1.1.2 zSa v zSx
a l. zSa, załóż. dow. a'2. z = a, bo Ax2, 1.1.1, 3, 1.3, a l , 1.2 b l. zSx, załóż. dow. b2. N0w = (w = z V w = a), d f N0 b3. (EBy) (N0w) ySw , bo A x l, b2, 1.1.1 i 3 b4. Bb , , „ b5. (N0w )b S w 00 b6. bSz . b7. bSa bo b2 1 b5 b8. b = a, bo Ax2, b4, 1.3, 3, b7 i 1.2 b9. b = z, bo· Ax2, b4, 1.1.1, 1.3, -b6 i b l blO. z = a, bo b8 i b9 1.1.3 z = a, bo a l —a2 i b l — blO
1.4 (Bz) [(zSa V zSx) -> z = a], bo1 1.1.1—1.1.3
5. (Nx) [aSx.(Bz) ((zSa v zSx) -> z = a)], bo 1 .1 -> (1.2 i 1.4)
6. (EBy) (Nx) [ySx.(Bz) ((zSy v z S x ) - > z = y)], bo 3 i 5 (7) A k sl -> A x l.A x 2 , bo:
1. Bx.By.Bz i
2. x S y i załóż. dow.
3. ySz >
4. N 0w ξξ (w = y v w = z), d f N0
5. (N0w) [aSw.(Bu) ((uSa v uSw) -> u = a)], bo A k sl, 1 i 4 6. (Bu) [(uSa v uSy) -> u = a], bo 5 i 4
7. (Bu) [(uSa v u S z ) - > u = a], bo 5 i 4 8. x = a, bo 6, 1 i 2
9. y = a, bo 7, 1 i 3 10. x = y, bo 8 i 9
Na pod staw ie (6) i (7) stw ierdzam y, że: (8) syst. Ha = syst. Iłb.
2.1.1 — 2 P o ró w n an ie system u III z system em II
Poniew aż oczyw iste jest w y n ik an ie A k sl -> A ksl*, więc: (9) syst. III ^ syst. II
Poniew aż in k lu zja w odw rotną stro n ę nie zachodzi, system III jest w łaściw ym podsystem em system u II.
2.1.2 P ow iązanie rac h u n k u z w ypow iedziam i niesform alizow a- nym i
System Ha został tak sk o n struo w an y , b y sta ł się rów nocze śnie w nim w idoczny sposób w iązania form alizm u z językiem n a tu ra ln y m . Jak k o lw iek u jaw n ian ie tak ich zw iązków jest w y konalne, jednakże składniow e w iązanie teo rii sform alizow anej z te o rią niesform alizow aną poprzez m orfologiczne tran sp o n o
-w am e jed n ej -w drugą — z zacho-w aniem podobieńst-w a zna czeń — nie w y d aje się być sp raw ą zasadniczej wagi w zabie gach fo rm alizacyjnych. Isto tn e jest raczej ty lk o to, b y dziedzi na i zadania staw ian e, do bad ań w obu teo riach b y ły jed n ak o we. U staliw szy np,, że przedm iotem b ad ań jest stosunek do statecznej rac ji b y tu , dążym y do tego, by językiem sform alizo w anym opisać ten stosunek i p ró b u je m y w ty m język u u tw o rzyć sform alizow aną teorię rozstrzy g ającą zagadnienie istn ie nia elem en tów pierw szych i m inim aln y ch w spom nianego sto sunku. T ak a jest bow iem tra d y c y jn a dziedzina odnośnych b a
dań i jej p ro blem aty k a. 2.2 U stalenia sem antyczne
2.2.1 Sens p ierw o tn y ch term inó w
N iech „R ” będzie zm ienną rep re z en tu ją c ą dowolne dw uczło nowe re la c je pierw szego rzędu. O znaczam y przez „P R ” pole rela cji R, czyli {x: (Ey) (yRx v xR y)} (zbiór ty ch w szystkich x-ów , dla k tó ry c h istn ieje tak ie y, że y R x lu'b xRy). Niech ,,^ f” będzie znakiem in k lu zji oraz ,,e” znaczy „...jest elem entem zbioru...” . O znaczam y lite rą „Q ” zbiór ty c h w szy stkich relacji pierw szego rzędu, któ re ą u a sip ó łstru k tu ra m i m u lty p lik a ty w - nym i w e w łasny m polu. P ojęcie Q d efin iu jem y tak:
M D I. ReQ ξ (X ^ PR) (EzePR) (xeX) zRx
(R elacja R je st ąuasdipółstrukturą m u lty p lik a ty w n ą w e wła®nyim p alu w te d y i tylk o w ted y , gdy dla każdego zbioru X będącego podzbiorem pola re la c ji R istn ie je w polu te j re la c ji taiki ele m e n t z, k tó ry pozostaje w re la c ji R do każdego elem e n tu zbio r u X).
O znaczam y przez „IR ” zbiór w szystkich elem entów p ie rw szych rela cji R. Oto d efinicja tego zbioru:
MD2. x e IR = xePR .(yePR ) xR y
(x je st elem entem pierw szym re la c ji К w ted y i tylko w ted y , gdy x je s t elem en tem pola re la c ji R i x p o zo staje w re la c ji R do każdego elem e n tu pola tej relacji).
P rzez „1IR ” oznaczam y jed n oelem en tow y zbiór pierw szych ele m entów rela cji R:
MD3. x e lI R ξ xelR .(yelR ) x = y
Zgodnie z tą d efinicją 1IR jest albo zbiorem m ającym jed en elem en t albo Zbiorem pustym .
P rz y jm u je m y jeszcze jedno oznaczenie: „M inR ” d la zbioru elem entów m in im aln y ch re la c ji R:
MD4. xeM inR — : xePR .(y) (yRx x = y)
(x je st elem en tem m in im aln y m re la c ji R w ted y i tylk o w tedy, gdy x je st elem entem pola re la c ji R i każdy p rze d m io t y p o z o stający w relad ji R do x je st iden ty czn y z x-em ).
U dow odnim y teraz, że: (10) IR φ 0 ξξ ReQ
(Zbiór elem entów pierw szych re la c ji R je st zbiorem n ie p u sty m w te d y i ty lk o w tedy, gdy re la c ja R je st quasiipółstru(kturą m u l- tyiplikatyw ną). dowód: (а) IR ^ 0 -> ReQ, bo: 1 . I R ^ O , załóż. dow. 2. aelR , bo 1 1.1 X ^ PR , załóż. dow. 1.1.1 xeX , załóż. dow. 1.1.2 xeP R , bo 1.1.1 i 1.1 1.1.3 aR x, bo 4 i 1.1.2 1.2 (x eX )a R x , bo 1.1.1— 1.1.3 1.3 (EzePR) (xeX) zRx, bo 3 i 1.2 5. (X ^ PR) (EzePR) (xeX) zRx, bo 1.1— 1.3 6. ReQ, bo M DI i 5 (jb) R e Q - > I R = £ 0 , bo: 1. ReQ, załóż. dow.
2. (X ^ PR) (EzePR) (xeX) zRx, bo M DI i 1 3. (EzePR) (xePR) zRx, bo 2
4. IR φ 0, 'bo MD2 i 3
N iech „p rzech ” oznacza zbiór w szystkich rela cji (pierw szego rzędu) przechodnich w e w łasnym polu, czyli:
MD5. Re p rzech = (x) (y) (z) (xR y.yR z -> xRz) U dow odnim y, że:
(11) Re przech -> (1IR φ 0 = IR φ O.MinR φ 0), bo: (a) Re przech. 1 IR φ 0 -> IR 7t O.MinR φ 0, bo:
1. Re przech ) , . ,
o 1 τι? o i załoz. dow.
5. aeP R , bo 3 i MD2 1.1 yRa, załóż. dow. 1.2 yelR , bo 1.1, 3 i 1 1.3 a = y, bo 4 i 1.2
6. M inR φ 0, bo MD4, 5, 1.1— 1.3 7. IR φ O.MinR φ 0, bo 3 i 6 <b) IR φ O.MinR φ 0 1IR φ 0, bo:
.1. IR φ 0 )
3. aeP R
4. (yePR )aR y bo MD2 i 2
2. 1IR φ 0
3. aeIR , bo 1 4. beM inR, bo 2 5. bePR , bo MD4 i 4
6. (y) (yRb -> b y), bo MD4 i 4 1.1 yelR , załóż. dow.
1.2 yR b, bo 1.1, 5 i MD2 1.3 y = b, bo 6 i 1.2 1.4 aRb, bo 3, 5 i MD2 1.5 a = b, bo 6 i 1.4 1.6 a = y, bo 1.3 i 1.5 7. 1IR φ 0, bo 3, 1.1— 1.6 i MD3. Na pod staw ie (11) i (10) o trzym u jem y :
(12) Re przech -> (1IR φ 0 = ReQ .M inR φ 0)
Z naczy to, że dla rela cji przechodnich koniecznym i w ystarcza jąc y m w a ru n k ie m istn ien ia jed y n eg o elem en tu pierw szego jest to, by rela cja ta była g u a sip ó łstru k tu rą m u lty p lik a ty w n ą z ele m en tam i m inim alnym i.
P rz y jm ijm y oznaczenie „S*” dla S* = {(x,y) : x 5 y } (relacja S* jest d enotacją p re d y k a tu „S ”). Ł atw o m ożem y zauw ażyć, że w system ie I (dzięki d efin icji D l) oraz w sy stem ie II (dzię ki Ax2) relacja S* jest przechodnia. Na po dstaw ie (10) s tw ie r dzam y, że:
(13) IS* φ 0 Ξ S*eQ zaś na po dstaw ie (12 ) — że:
(14) 1IS* 0 = S*eQ.MinS* φ 0.
Z m eta te z y (13) w y n ik a, że: (15) A x l = (Ex) Ix
(S tan rzeczy stw ierd zo n y w ak sjo m a cie A xl: że sto su n ek d o sta tecznej r a c ji b y tu je s t ąu asiip ó łstru k tu rą m u lty p lik a ty w n ą , je st koniecznym i w y sta rc za jąc y m w a ru n k ie m istn ie n ia B ytu -Pierw szego).
Z auw ażm y rów nież — na podstaw ie M DI i A x l — że S*eQ oraz — na pod staw ie Ax2 — że stosunek dostatecznej racji b y tu S* jest n ajm niejszą ·— z a w artą w stosun ku ra c ji b y tu R* = {(x,y) : x R y } — ą u a sip ó łstru k tu rą m u lty p lik a ty w n ą, k tó rej polem je s t zbiór w szystkich b y tó w realn y ch . W łaśnie Ax2 w yklucza — m ów iąc językiem m etafizy k i — tę sy tu ację, by dostateczną rac ją b y tu m ógł być b y t przygodny *. N atom iast rela cja R*, k tó re j dotyczy system I, je s t określona tylk o co do swego pola (że jest nim zbiór w szystkich by tów realny ch ) i m oże posiadać dow olną form ę. W szczególnym p rzyp adk u
1 x je s t b y tem przygod n ym = (Ey) (y
φ
x · yR x ) (gdy x posiad a co n a jm n iej jedną poza sobą ra cję w ła sn eg o istn ien ia).stosunek R* w ograniczeniu do bytów przygodnych m ógłby n a w et b y ć iloczynem k a rte zja ń sk im k lasy ty c h ‘b ytó w p rzez sie bie, czyli — ja k to poza tom izm em by w a czasem głoszone — m ógłby n aw et być zw iązkiem „w szystkiego ze w szy stk im ”. 2.2.2 Sem an ty czn e podstaw y niesprzeczności sy stem ó w
Niesprzeczności system ów I, II i III w y k azu jem y p rzy ta cz a jąc p rzy k ła d y ą u a sip ó łstru k tu r m u lty p lik a ty w n y ch sp e łn ia ją cych ak sjo m aty k i ty ch system ów . Dla system u I w eźm y np. pod uw agę dziedzinę M = (X;X,R2), w k tó re j un iw ersu m X = = {a,b,c,d,e,f,g} je s t zakresem zm ienności zm iennych nazw o- w ych oraz d en o ta c ją p re d y k a tu „B” , relacja
Rj = {(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(a,g)} zaś R2 = R, + {(b,c),(b, d),(c,d),(e,d),(e,g),(f,g)}
gdzie „ + ” jest znakiem sum y źbiorów. W y stępu jąca w M re lacja R2 jest z kolei d enotacją p red y k atu „R ”. N atom iast ,Ri (zgadnie z definicją D l) jest d e n o ta c ją p re d y k a tu „S ”. P onie waż p rz y k ażdym w artościo w aniu zm iennych nazw ow ych w un iw ersu m X, k ażdy spośród aksjom atów A l —A4 je s t spełnio ny w M, sy ste m re la c y jn y M jest m odelem d la d ed u kcyjn eg o sy stem u I, a to w łaśn ie oznacza, że sy stem I jest niesprzeczny. 2.3 Sugestie prag m aty czn e
N ajw iększych tru d n o ści może przysporzyć — ja k zw y kle — spraw a a sercji aksjom atów (stanowczego ich uznania). R ach u nek chroni n as w poszczególnych system ach od w szelkich błę dów fo rm aln y ch i czyni to w sposób e fek ty w n ie spraw dzalny. W szczególności sy stem y nasze są w olne o d popełnianego cza sem w „trzeciej d rodze” fa lla ciu m com positionis (rozum ow ania wg schem atu: każda część x — a jest F, więc x je st F. Np. każdy elem ent serii bytów przygodnych jest przygodny, więc i ta seria b y tó w przygodnych, jako całość, jest przygodna) i od form alnego p etitio principii (braku d o statecznych fo rm al nych podstaw do w niosku. Np. istn ieje Je d y n y K onieczny B yt P ierw szy, bo dla każdej serii b y tó w przgodnych istn ieje b y t w a ru n k u ją c y istn ien ie każdego elem en tu tej serii). Czy jed n ak sy stem y nasze u n ik ają błędów m ate ria ln y c h , tzn. czy ak sjo m a ty system ów są zdaniam i p raw d ziw y m i 1 czy dostarczają p rag m atycznych podstaw do a sercji w y n ik ający ch w niosków? Za uw ażm y dla przy k ład u , że form alizacje „pierw szej drogi” doko nane przez J. Salam uchę [10] i przez J. B endieka [1] pop ełnia ją b łąd m a te ria ln y , p rzy jm u ją c jako jed e n z ak sjo m ató w zdanie fałszyw e, że stosunek m etafizycznego poruszania jest rela cją
spójną w całym sw ym polu 2. R achunki: I. M. Bocheńskiego w [2], F. R iv etti B arbô w [8] i [9] oraz I. Thom asa w [12] p rz y j m u ją z kolei aksjo m aty cznie, że (x) (y) (z) (xM zy - > x A z ) (dla każdego x, y, z: jeżeli x porusza y — a do z, to x jest z a k tu a lizow ane pod w zględem z). Poniew aż w yrażenie „x porusza y — a do z” znaczy tyle, co „x spraw ia, że y s ta je się z-em ” , a z jest in d y w idu u m , aksjom at ten głosi fałsz: że zawsze, gdy x spraw ia, iż y sta je się z-em , x jest ak tu aln ie z-em (spraw ca ru ch u jest ty m b ytem , k tó ry za jego spraw ą się staje). W r a chunk u Iw anusia-Polickiego w [7] p rz y jm u je się natom iast ak sjo m at o sum ie stosun k u bycia p o ruszanym i identyczności obciętej do pola rela cji poruszania, że każde dw a łańcu chy w yróżnione w owej sum ie, posiadają w spólne ograniczenie gór ne. O aksjom acie ty m n ik t nie p o tra fi rozstrzygnąć, czy głosi praw dę, czy fałsz. N ie jest on bezpośrednio oczyw isty, a nie w iadom o też w jak i sposób m ógłby znaleźć oparcie w klasy cz nej filozofii. Podobnie zresztą m iałab y się rzecz z aksjom atem A x l w naszym system ie Ila, jeślib y się nie odwołać do zw iąz ków tego system u z system em I. A x l nie jest bow iem bezpo średnio oczyw isty w odniesieniu do ta k czy inaczej pojętego
dośw iadczenia, chociaż ak sjo m at ten m ożna uznać za uogólnie nie tom istycznej zasady dostatecznej rac ji b ytu . Podbudow ę p rag m aty czn ą system u II z n a jd u jem y jed n a k w jego m etateo - rety czn y m zrelaty w izo w an iu (pod 2.1.1— 1.1) do system u I, w k tó ry m ak sjo m aty są na ty le pro ste, że ich praw dziw ość m o że się w ydać łatw iejszą do uznania 3. W system ie I ak sjom aty
2 N a fałszyw ość ak sjo m a tu o spójności sto su n k u p o ru sza n ia zw róciła n a jp ie rw uw agę F. R iv e tti B a rb o w [8], w obszernym p rzypisie 105, a n a stę p n ie K. P olicki w [7]. Je d n ak ż e tw ie rd z en ie P olickiego o tym , że w sp o m n ian e założenie spójności je st w y k o rz y sta n e w dow od zie S ala - m u oh y tylk o do w y k az an ia jedyności P ierw szego P o ru szy cielą, nie je st zgodne z p raw d ą. K. P olicki (pod a 3, s. 21) p rz y ją ł bow iem m ylnie, że jed n y m z założeń dow odu S alam u ch y je st zd a n ie o istn ien iu p ie rw szego poruszyctiela. T yczasem sam S ala m u ch a — k o rzy sta ją c ze w spo m nianego w a ru n k u spójności — dow odzi istn ie n ia pierw szego po ru szy - ciela (s. 91) w o parciu o p raw o logicznego ra c h u n k u zbiorów , głoszące, że każdy elem e n t m in im aln y re la c ji spójnej je st jej elem entem p ie rw szym.
3 P oszczególne a k sjo m a ty system u Ila są d ed u k c y jn ie silniejsze niż poszczególne ak sjo m a ty sy stem u I, n a to m ia st oczyw istości są w iększe w a k sjo m a tac h d ed u k c y jn ie słabszych. T a sy tu a cja p o tw ierd za uw agę J a n a Ł u kasiew icza w [6] s. 216, że „tezy oczyw iste są zazw yczaj słabe, a tezy d ed u k c y jn e silne — a- ty lk o ta k ie n a d a ją się na ak sjo m a ty — są n ieoczyw iste”. Je d n a k ż e n a p re fe ro w a n ie za słu g u je system I, bo je st on bliższy (niż system II) re a liz a c ji sta n u , k tó ry w y ró ż n ia A. G rz e gorczyk w [4] s. 200: „W ydaje się, że cały dow cip n a u k m a tem aty c
z-zostały m ianow icie tak dobrane, by n ajb ard ziej — jak się to ty lk o ida — p rzy legały do tom istycznych rozw iązań. A l, A)2, A3 — a k sjo m a ty w y starczające do w y prow adzenia (zw ykle za m y kającej całą „trzecią drogę”) k o n k lu zji o istn ien iu B ytu Koniecznego — są zdaniam i obiegow ym i w tom izm ie. A4 —· aksjo m at p o trz e b n y dla uzyskania m ocniejszej (od tam te j zw y k le spoty k an ej) k o n kluzji — jest zgodny z tom iśtycznym n a u czaniem , że co najw yżej jed e n b y t może m ieć dostateczną r a cję istn ien ia w sobie sam ym , bo co najw y żej w jedn ym bycie istn ien ie może należeć do jego isto ty i . D efinicja D l w system ie I o raz aksjom at Ax2 w system ie II zabezpieczają tom istyczne prześw iadczenie, że żaden b y t p rzygodny nie jest dostateczną racją istnien ia dla żadnego w ogóle b y tu . Z tego też względu jed y n ie system y I i II (i ew en tu aln e ich rozszerzenia) są sy stem am i tom istycznym i; żaden zaś system , w k tó ry m Ax2 nie jest tezą, nie może b yć uzn an y za tom istyczny. S ystem y w ska zane pod 1.3 i 1.4 mogą służyć za p rzy k ład y tak ich — już nie tom istycznych — teorii, m imo że w nich rów nież daje się udow odnić teza o istn ien iu Jedynego K oniecznego B ytu P ie rw szego.
W YK AZ B IB LIO G R A FIC Z N Y
[1] J. B endiek, Z u r lo g isc h e n S t r u k t u r d e r G o tte s b e w e is e , „ F ra n z is k a n isc h e S tu d ie n ” 38 (1056), 1—38.
[2] I. M. B ocheński, C o m p te r e n d u n r 935 , „B u lletin T h o m iste” 12 (1935), 601—603.
[3] L. B orkow ski, L o g ik a fo r m a ln a , W arszaw a 1970.
[4] A. G rzegorczyk, U za sa d n ia n ie a k s jo m a tó w te o rii m a te m a ty c z n y c h , „S tudia L ogica” 13 (1962), 197—202.
[5] К . Kłósatk, W p o s z u k iw a n iu P ie r w s z e j P r z y c z y n y , cz. 2, W arszaw a 1057.
nyoh polega w łaśn ie na tym , żeby z tez oczyw istych i słabych uzyskać nieoczekiw ane i nieoczyw iste k o n se k w e n cje”.
4 C zytelnikow i m ogą nasuw ać się różne tru d n o ści z przy jm o w an iem tego u sta le n ia w A3, że dostateczną ra c ją b y tu je st b y t a nie zbiór bytów , zaś w A4 — że dostateczną ra c ję istn ie n ia m oże m ieć w soibie sam ym co n ajw y ż ej jed en b y t (do którego isto ty należy istnienie). P o niew aż je d n a k zdania A l—A4 zostały w zięte z filozofii k lasycznej, n a leży w niej szukać dalszych p rag m aty czn y ch po d staw do om aw ianych asercji. A4 g w a ra n tu je , ale też zak ład a, jedyność B ytu Koniecznego. J e dyny B yt K onieczny je st rów nież B ytem P ierw szym . N ajb a rd zie j donio słym i n a jb a rd z ie j k łopotliw ym zagadnieniem p rag m a ty cz n y m „trzeciej drogi” je st w ięc sp ra w a a se ra c ji w spom nianej jedyności.
[6] J. L ukasiew icz, W o b ro n ie lo g is ty k i (w:) Z za g a d n ie ń lo g ik i i f i
lo z o fii, W arszaw a 1961, 210—219.
[7] K. Policki, W s p r a w ie fo r m a liz a c ji d o w o d u ”e x m o tu ” n a is tn ie
n ie B oga, „Roczniki F ilozoficzne” 23 (1975) z. 1, 19—30.
[8] F. R iv e tti Barfoó, L a s tr u ttu r a logica d ella p r im a v ia p e r p ro v a r e
l’e s is te n z a d i Dio. A p p lic a z io n i d i logica s im b o lic a e n e s s i d i c o n - te n u ti, „R ivisfa di F ilosofia Neoseolastiiea” 52 (1960) z. 2—3, 241— 320.
[9] F. R iv e tti Baribô,, A n c o ra su lla p r im a v ia p e r p r o v a r e l’e siste n z a di
D io, „Rivisita di F ilosofia N eoseolastica” 54 (1962), 596—616. [10] J. S alam u ch a, D o w ó d „ex m o tu ” n a is tn ie n ie B oga. A n a liz a lo
g ic z n a a r g u m e n ta c ji św . T o m a s z a z A k w i n u , „C ollectanea T heo logica” 15 ;(1934), 53—92.
[11] J. S łupecki, L. B orkow ski, E le m e n ty lo g ik i m a te m a ty c z n e j i te o rii
m n o g o śc i, W arszaw a 1963.
[12] I. T hom as, rec en zja a rty k u łu [8], ’’Jo u rn a l of S ym bolic Logic” 25 (1960), 348—349.
A FO R M A L IZ A TIO N OF TH O M ISTIC F O U N D A T IO N S OF A PRO O F FO R TH E E X ISTE N C E OF A N E C E SSA R Y
F IR ST BEIN G (S um m ary)
In th e a rtic le th e re a r e a few a tte m p ts a t fo rm alizatio n s of th e a r g u m e n t fo r th e ex isten ce of God from th e contingency of th e w orld, w h ich is given in [5], p. 118— 119. T he fo rm alized system s a re su b m ited f u rth e r to syntactic, se m an tic a n d p ra g m a tic e x a m in a tio n s.
In th is p a p e r a re used m ain ly th e follow ing signs:
(negation), (im plication), „ = ” (equivalence), „ · ” (co n ju n ction), ,,v” (a ltern atio n );
„=£1” (inclusion), „ = ” (identity), ,,e” („...is a elem e n t o f a set...”); „(x)” (u n iv ersal q u an tifier), „(Ex)” (e x iste n tia l q u an tifier);
„B” (,,.jis a r e a l b eing”), „R” („...is a re a so n for ex isten ce of...”), „S ” („.„is a su ffic ie n t re a so n fo r ex iste n ce of...”), „K ” („...is a N eces s a ry B eing”), „I” („...is a F irs t B eing”), „K I” („...is a N ecessary F irs t B eing”), „1KI” (,„..i® O nly One N ecessary F irs t B eing”).
