Zandtransporten evenwijdig aan de kust, vergelijking zandtransportformules

f

ZANDTRANSPORTEN EVENWIJDIG AAN DE KUST

VERGELIJKING ZANDTRANSPORTFORMULES

J. van de Graaff en J. van Overeem

oktober 1977 Technische Hogeschool D e l f t a f d e l i n g der Civiele Techniek vakgroep Kustwaterbouwkunde

Linst van symbolen

• b l 1. I n l e i d i n g

2. Samenvattingen conclusies

3. Snelheidsverdelingen loodrecht op de kust

3.1 Krachten 5

3.1.1 Radiation stress componenten.... 3.1.2 Bodemschuifspanning

3.1.3 Laterale w r i j v i n g * ""' 3.2 Snelheidsverdelingen

3.2.1 Benadering met verwaarlozingen

3.2.2 Benadering met minder verwaarlozingen

3.2.3 Verdeling volgens Longuet-Higgins •• 3.2.4 Verdeling volgens B a t t j e s

3.2.5 Geschematiseerd e f f e c t van de l a t e r a l e w r i j v i n g 3.2.6 Verdeling b i j onregelmatige golven

3.3 Gemeten snelheidsverdeling i n modelproef M 918 3.4 Keuze van de snelheidsverdeling

4 . Transport formules 4.1 Formule van B i j k e r

4.2 Formule van Engelund-Hansen 4.3 SWANBY-formule

4.4 CERC-formule * 5. Zandtransportberekeningen

5.1 I n l e i d i n g

5.2 Maatgevende golfhoogte

5.4 Invloed golfhoogte • 5.5 Invloed hoek van g o l f i n v a l

5.6 Invloed brekerindex

5.7 Invloed keuze van snelheidsverdeling 5.8 Enkele "model" gevallen

6. Discussie Appendix

A dimensieloze grootheid i n de SWANBY-formule A coëfficiënt i n de CERC-formule

a idem

a amplitude van de o r b i t a a l beweging b i j de bodem

o . Jj volgens de l i n e a i r e g o l f t h e o r i e

b afstand tussen twee g o l f s t r a l e n

L b idem op diep water

o L 2 T- 1 C Chezy coëfficiënt • _1 _ L5T C w r i j v i n g s c o e f f i c i e n t mee D 'gr gr D. _ï L2T 1 Cn wrijvinescoëfficiënt met D 90 y U tl«,-l Cn wrijvingscoëfficiënt met D L 2T L -2 2 MT"2 C Wrijvingscoëfficiënt i n formule (3.58) ~ LH . , . , LT c golfvoortplantmgssnelheid LT x

c idem op diep water •'

o _

cr concentratie b i j de bodem

c(z) concentratie op een hoogte z

Dg r dimensieloze korreldiameter

korreldiameter van de f r a c t i e d i e door i gewichtsprocenten wordt onderschreden

2 MT E golfenergie per m Ef f i c t i e v e golfenergie per m F kansverdelingsfunktie F f i c t i e v e kansverdelingsfunktie F parameter i n de SWANBY-formule wc , f„ Jonsson's w r i j v i n g s c o e f f i c i e n t voor golven

LT

-g v e r s n e l l i n -g van de zwaartekracht H golfhoogte

Hb r brekerkoogte

Hf f i c t i e v e golfhoogte H golfhoogte op diep water

Hrms r o o t m e a n S ( l u a r e go l f n o° gt e Hs i g n s i g n i f i c a n t e golfhoogte H gemiddelde golfhoogte L L L L L L h

waterdiepte brekerdiepte c o r r e c t i e f a c t o r voor de concentratieverdeling r e f r a c t i e coëfficiënt shoalingcoëfficiënt g o l f g e t a l horizontale mengweg coëfficiënt i n de SWANBY-formule constante i n de formule voor de

dynamische eddy v i s c o s i t y

coëfficiënt i n de SWANBY-formule

verhouding tussen de groepsnelheid en de voortplantingssnelheid

symbool voor de kans p o r o s i t e i t bodemruwheid zandtransport r a d i a t i o n stress-component i , j = l,2,x,y golfperiode turbulente snelheid o r b i t a a l s n e l h e i d b i j de bodem volgens de l i n e a i r e g o l f t h e o r i e maximale o r b i t a a l s n e l h e i d b i j de bodem langsstroomsnelheid schuifspanningssnelheid valsnelheid van een k o r r e l

horizontale as, evenwijdig aan de kust horizontale as, loodrecht op de kust

afstand tussen brekerlijn en s t i l w a t e r l i j n v e r t i c a l e as

exponent i n de concentratie v e r t i c a a l formule bodem- o f s t r a n d h e l l i n g

brekerindex

r e l a t i e v e d i c h t h e i d van de k o r r e l s halve ribbelhoogte

golflengte

dynamische eddy v i s c o s i t y kinematische v i s c o s i t e i t

parameter

constante, g e l i j k aan 3.1416 dichtheid van bodemmateriaal dichtheid van water

l a t e r a l e w r i j v i n g

bodemschuifspanning i n de r i c h t i n g van de stroom hoek van g o l f i n v a l

hoek van g o l f i n v a l op de b r e k e r l i j n hoek van g o l f i n v a l op diep water

L i j s t van tabellen

1. Resultaten zandtransportberekeningen met prototype omstandigheden

2. Resultaten zandtransportberekeningen met model omstandigheden

L i j s t van figuren 1. Krachten overzicht 2. Snelheidsverdelingen

3. Kansverdelingfunktie voor smal spectrum voor verschillende diepten

4. Verloop van HF R M S, HR M S, H en yh a l s f u n k t i e van

de diepte voor een smal spectrum

5. Verband tussen bodemschuifspanning T' en de golfhoogte H 6. V e r g e l i j k i n g van snelheidsprofielen met resultaten

van M 918 - IV

7. Prototype meetpunten t.b.v. de CERC-formule

8. Verband tussen het zandtransport en de verhouding H/h a l s f u n k t i e van v.

9. Zandtransporten a l s f u n k t i e van de ruwheid r , de

korreldiameter Dc„ en de h e l l i n g van het t a l u d t g a

voor prototype omstandigheden

10. Verband tussen het zandtransport en de

golfparameters Hq en T

11. Verband tussen zandtransport/CERC-transport en

golfparameters Hq en T

12. Verband tussen het zandtransport en de hoek van g o l f i n v a l <j>Q

13. Verband tussen zandtransport/CERC-transport en hoek- ... . van g o l f i n v a l é

14. Verband tussen het zandtransport en de brekerindex y

15. Verband tussen zandtransport/CERC-transport en brekerindex y 16. Zandtransportverdeling b i j verschillende snelheidsverdelingen '17. Zandtransporten a l s f u n k t i e van de ruwheid r , de korreldiameter

D en de h e l l i n g van het t a l u d t g a voor model omstandigheden 50

V e r g e l i j k i n g zandtransportformules 1. I n l e i d i n g

Voor de oplossing van sommige kustwaterbouwkundige problemen i s een goed i n z i c h t i n de optredende materiaaltransporten van groot belang om t o t een k w a l i t a t i e f goed ontwerp t e komen. B i j k e r heeft i n [len 2] de bodemtransportformule van K a l i n s k e - F r i j l i n k zodanig aangepast dat de invloed van de werking van de combinatie van golven en stroom op het zandtransport i n rekening kan worden gebracht.

In het kader van het Toegepast Onderzoek Waterstaat (T.O.W.) i s door het Waterloopkundig Laboratorium een onderzoek v e r r i c h t waarbij on-der anon-dere,op een v e r g e l i j k b a r e manier als B i j k e r i n d e r t i j d heeft gedaan, enkele moderne zandtransportformules z i j n aangepast voor toe-passing b i j golven en stroom. I n dat T.O.W.-onderzoek z i j n naast de

formule van Bijker,de formules van White-Ackers en Engelund-Hansen beschouwd. De resultaten van dat onderzoek z i j n i n [ 3 ] samengevat. Het T.O.W.-onderzoek leverde als r e s u l t a a t op dat de aangepaste White-Ackers formule ( i n de wandeling SWANBY-formule) als "beste" formule diende t e worden gekenschetst. Deze conclusie werd getrokken na v e r g e l i j k i n g van de uitkomsten van de verschillende formules met

de r e s u l t a t e n van de door B i j k e r [ l ] uitgevoerde serie modelproe-ven,

Voor een j u i s t e afweging van de verschillende mogelijkheden z i j n echter concrete prototype gevallen i n f e i t e o n o n t b e e r l i j k . Voorals-nog ontbreken d i e .

De Vakgroep Kustwaterbouwkunde van de A f d e l i n g der Civiele Techniek -van de Technische Hogeschool D e l f t heeft als "tussenoplossing" een

v e r g e l i j k i n g gemaakt met de CERC-formule. De CERC-formule i s een eenvoudige p r a k t i j k f o r m u l e die het t o t a l e zandtransport evenwijdig aan de kust geeft b i j scheef invallende golven. Een d e r g e l i j k e ver-g e l i j k i n ver-g kan pas nu worden ver-gemaakt omdat inmiddels op aannemelij-ke wijze de stroomsnelheidsverdeling binnen en j u i s t buiten de bran dingzone kan worden berekend.

-2-In e l k van de beschouwde transportformules i s de snelheid van essen-t i e e l belang. Daarom wordessen-t i n hoofdsessen-tuk 3 r e l a essen-t i e f veel aandachessen-t aan de snelheidsverdeling besteed. I n hoofdstuk «+ worden de t r a n s p o r t f o r -mules summier behandeld. I n hoofdstuk '5 worden de resultaten van en-kele berekeningen met de verschillende transportformules met elkaar vergeleken.

2. Samenvatting en conclusies

Als T.O.W.-onderzoek i s door het Waterloopkundig Laboratorium een onderzoek uitgevoerd waarbij enkele moderne zandtransportformules zodanig z i j n aangepast dat de gecombineerde werking van golven en stroom i n rekening kan worden gebracht. U i t dat onderzoek bleek dat de aangepaste White-Ackers formule het beste aansloot b i j een serie modelproeven d i e als v e r g e l i j k i n g s b a s i s v/erd gebruikt. De vakgroep Kustwaterbouwkunde van de Technische Hogeschool D e l f t heeft een v e r g e l i j k i n g tussen de uitkomsten van transportbereke-ningen met verschillende formules en d i e met de CERC-formule ge-maakt. Om transporten t e kunnen berekenen z i j n daartoe eerst snel-heidsverdelingen evenwijdig aan de kust berekend.

Hoewel de CERC-formule geenszins a l s ideale toetsingsgrond kan wor-den aangemerkt, i s de conclusie gerechtvaardigd dat de aangepaste White-Ackers formule i n geen enkel opzicht a l s een verbetering voor berekeningen van prototypegevallen kan worden beschouwd. De, i n -middels wel enigszins geëvolueerde,oorspronkelijke Bijker-forrnule verdient verreweg de voorkeur.

Omdat een z i n v o l l e beoordeling van a l l e aspecten van de k w a l i t e i t van een zandtransportforrnule pas kan geschieden aan de hand van prototype s i t u a t i e s , verdient het aanbeveling een deel van de onderzoek inspanningen, t e r i c h t e n op het v e r k r i j g e n van d e r g e l i j -ke s i t u a t i e s .

-4-3. Snelheidsverdeling loodrecht op de kust 3.1 Krachten

De snelheidsverdeling loodrecht op de kust kan berekend worden met behulp van een krachtenevenwichtsbeschouwing. I n de volgende para-grafen v/orden de krachten, d i e i n een d e r g e l i j k e beschouwing inge-voerd dienen t e worden, a f z o n d e r l i j k behandeld.

Het doel van deze studie i s . een v e r g e l i j k i n g t e maken tussen en-kele moderne zandtranspörtformules en de CERC-formule. De CERC-for-mule geldt alleen voor scheef invallende golven en daarom z u l l e n g e t i j d e - en windkrachten n i e t i n de beschouwing worden betrok¬ ken.

Aangenomen wordt dat de kust oneindig lang i s , de d i e p t e l i j n e n evenwijdig z i j n en de h e l l i n g van het talud constant i s . Onderstaan-de schets geeft het assenstelsel. De x-as i s evenwijdig aan Onderstaan-de kust, de y-as staat h i e r loodrecht op.

diepteLijnen <

1 y g o l f k a m

In f i g u u r 1 (achter de l i t e r a t u u r l i j s t en t a b e l l e n ) i s een mootje wa-t e r afgebeeld mewa-t de erop werkende krachwa-ten. De krachwa-ten waarin

een S voorkomt , z i j n de r a d i a t i o n stresses geïntegreerd over

de breedte; i n paragraaf 3.1.1 komen deze aan de orde.De als t'AxAy aan-gegeven kracht i s de bodemschuifspanning geïntegreerd over het bo-demoppervlak ;deze kracht z a l i n paragraaf 3.1.2 worden behandeld.

In paragraaf 3.1.3 wordt de l a t e r a l e w r i j v i n g behandeld.In f i g u u r 1 heb-ben de krachten waarin T- voorkomt betrekking op deze l a t e r a l e w r i j v i n g . 3.1.1 Radiation stress componenten

Longuet-Higgins en Stewart hebben i n [ 4 ] het v e r s c h i j n s e l r a d i a t i o n stress beschreven. Radiation stresses z i j n krachten' die door de g o l f -beweging worden veroorzaakt. Voor de hoofdspanning S-^, werkend i n de v o o r t p l a n t i n g s r i c h t i n g van de golven leiden z i j a f :

Su = E(2n - J) (3.1)

en voor de hoofdspanning loodrecht op deze r i c h t i n g :

S2 2 = E(n - l) (3.2)

waarin:

St. = hoofdspanning geïntegreerd over de hoogte

E = energiedichtheid van de golven

F | PgH2 <3'3 )

n = verhouding tussen de groepsnelheid en de voortplantingssnelheid van golven

= | [ 1 + (2kh)/sinh (2kh)] (3.4) H = golfhoogte h = waterdiepte k = g o l f g e t a l = 2ir/X <3-5) X . = golflengte

p = dichtheid van water

g = v e r s n e l l i n g van de zwaartekracht

De spanningen d i e op een w i l l e k e u r i g georiënteerd vlak werken kunnen met een evenwichtsbeschouwing o f met de c i r k e l van Mohr worden be-paald. Op een mootje water met de z i j d e n evenwijdig aan de x- en yas, werken de normaalspanningen S en S ( z i e f i g u u r 1 ) . De u i t

-xx yy drukking voor deze spanningen z i j n :

-6-S = iE[(3n - 1) - n cos(2<f>)] (3-6) _xx S = ÏE[(3n - 1) + n cos(2*)] (3-7> yy S = -S = JE[ n sin(2<j>) ] (3.8) yx xy waarin:

<j> = hoek van g o l f i n v a l ( z i e schets paragraaf 3.1)

Omdat S , S . S en S i n p r i n c i p e variëren als gevolg van ver-xx' yy yx xy

anderingen i n E, n en <j>, ontstaan er resulterende krachten die be-rekend kunnen worden u i t de afgeleiden van de r a d i a t i o n stresses. Zoals i s gesteld, z i j n de golfomstandigheden op een l i j n evenwijdig aan de kust g e l i j k . S en S zullen daarom n i e t veranderen i n x¬

xx xy r i c h t i n g , dus: 3S _3x xx 3S (3.9) = 0 (3.10) 3x

De component Sy y j werkend i n een r i c h t i n g evenwijdig aan de y-as,zal

i n deze r i c h t i n g variëren ten gevolge van shoaling, r e f r a c t i e en bre-ken. Buiten de brekerzone heeft de verandering van deze component

een wave set-down t o t gevolg; er binnen een wave set-up. De invloed van deze wave set-down en set-up wordt i n de verdere beschouwing n i e t betrokken.

I n ons eenvoudige geval z i j n de krachten evenwijdig aan de kust van 3 SV X

belang, er r e s t e e r t dus alleen de term ^ • . Deze term i s buiten de brekerzone g e l i j k aan n u l . D i t i s a l s volgt i n t e zien:

S = iEn sin(2d>) = En s i n <|> cos $ (3.11) yx

U i t de wet van Snellius v o l g t :

sin <t> = — s i n é (3.12) _{c o}

De basis van het r e f r a c t i e - v e r s c h i j n s e l i s :

cos <i> = — cos <t> (3.13)

De v e r g e l i j k i n g e n ( 3 . 1 2 ) en ( 3 . 1 3 ) ingevuld i n ( 3 . 1 1 ) l e v e r t : S yx Encb S i n *°_{c b} C°S *° (3.14) o o n i e n n as: c = golfvoortplantingssnelheid b = afstand tussen twee g o l f s t r a l e n De .index o heeft betrekking op diep water.

De term Encb geeft de energiestroom tussen twee g o l f s t r a l e n weer. Deze energiestroom i s buiten de brekerzone constant en omdat de ove-r i g e teove-rmen eveneens constant z i j n , i s dus S constant. D i t heeft

& J * yx

als consequentie:

3 Sy x = 0 (3.15)

Binnen de brekerzone v a r i e e r t S i n p r i n c i p e . De grootte van de

3 sv x yx

term kan a l s v o l g t worden bepaald: 3S

• = — (En cos & s i n <j>) 9y 3y

3 1 2

= g ~ (-g PgH n cos <f) s i n <}>) ( 3 . 1 6 ) Aangenomen wordt dat de golfhoogte H binnen de brekerzone alleen

a f h a n k e l i j k i s van de diepte h volgens:

H = Y . h ( 3 . 1 7 ) waarin y = brekerindex, constant over de brekerzone

-8-(3.12) en (3.17) ingevuld i n (3.16) l e v e r t : 3S . , s i n <J> "Sy = 3y (8 P g Y h n C C °S *} 1 2 S i n *o 9 ,.2 ,v = - pgyz — 3 g- (h nc cos f ) o ^ 1 o S i n *o 9h v2 3n

= -rOgY [ 2h -r— nc cos è + h — c cos <t> t ° o y y

v2 9c 2 3(cos |)n , .

h n -gy cos <j> + h nc — ^ J (3.18) Binnen de brekerzone geldt b i j benadering:

Sn n = 1 en ~ = 0 (3.19),(3.20) 3y cos * = 1 en 8 ( c f ^ = 0 (3.21) ,(3.22) 9y c = ( g h ) * (3.23) hiermee ontstaat de volgende u i t d r u k k i n g :

i 3S .. s i n <(> T n , , v2 ^ = i p g ï2 — r ^ [ 2 h ^ ( g h ) ^ + h 2 i ^ - ] • (3.24) 3y • 8P G Ï CQ 3y ' " 3y met ~ = t g a geeft d i t : _dy 3 Sy x 5 3/2 2 *o .3/2 + (3.25) - pg y . — h t g a 3y 16

In sommige gevallen z i j n de genoemde benaderingen n i e t j u i s t . 3 SV X

De term — — i s echter ook b e t r e k k e l i j k eenvoudig u i t een d i f f e r e n -_3y

tie-berekening a f t e leiden: 3S AS

— 2 * . = —2* (3.26) 3y Ay

Voor de berekening van de snelheidsverdeling i n paragraaf 3.2 z u l l e n zowel (3.25) a l s (3.26) worden gebruikt.

3.1.2 Bodemschuifspanning

B i j k e r b e s c h r i j f t i n [ l ] het e f f e c t van de combinatie van golven en stroom op de bodemschuifspanning. Deze combinatie u i t zich i n een vergrote bodemschuifspanning, vergeleken met alleen stroom.

I n de wiskundige a f l e i d i n g komt een i n t e g r a a l voor die B i j k e r bena-dert door: ^

T» = T [ a + b (K — ) C ] (3.27)

c V

waarin: '

T' .= bodemschuifspanning t.g.v golven en stroom i n de r i c h t i n g

van de stroom

T = bodemschuifspanning t.g.v. stroom

C = ^ f # (3.28)

a,b,c = parameters a f h a n k e l i j k van <(>

üQ = amplitude van de o r b i t a a l s n e l h e i d b i j de bodem

v = = stroomsnelheid

K - ( fw/ 2 g )2C (3.29)

Deze u i t d r u k k i n g voor £ volgt u i t een combinatie, d i e door Swart [ 1 2 ] van het werk van B i j k e r [ l ] en Jonsson [ 5 ] i s gemaakt

C • = Chezy coëfficiënt

= 18 l o g { — - ) (3.30)

f w = exp [-5.977 + 5.213 ( ~ ) ~ '1 9 H] . (3.31)

aD = horizontale u i t w i j k i n g van de orbitaalbeweging

r = bodemruwheid

1 \ y

Voor o° < <j> < 20° kan x' benaderd worden door:

x' = T J . 7 5 + .45 (? ^ ) 1 , 1 3 ] (3.32)

Voor een ruwe benadering van x' i n de brekerzone kan worden aange-nomen dat de golven en stroom loodrecht op elkaar staan, dus: cj> = 0, U i t de wiskundige a f l e i d i n g van de bodemschuifspanning v o l g t dan voor de momentane bodemschuifspanning:

x ' ( t ) = xc[ l + ( 5 ^ f )2] ^ (3.33)

uQ

I n de brekerzone i s de term ( £ — ) vaak groot t.o.v. de waarde 1, zodat (3.33) overgaat i n ;

10-ü s i n ut wordt d i t : _o (3.34) gemiddeld over de t i j d l e v e r t d i t : u0 o T' % T K — — (3.35) C V TT v e r g e l i j k i n g e n (3.28) en(3.29) i n (3.35) ingevuld: f 1 % ^ PgJ v UQ (3.36)

I n paragraaf 3.2 zullen zowel de formule (3.32) als (3.36) i n de a f l e i d i n g voor de snelheidsverdeling gebruikt worden.

t»(t) % T (5 — ) . . met u _{c v ' c}

^ T £ — - |sin ut| c' v

3.1.3 Laterale w r i j v i n g

Laterale w r i j v i n g t r e e d t op i n een v e r t i c a a l vlak tussen de waterdeeltjes onderling, wanneer deze waterwaterdeeltjes i n horizontale r i c h -t i n g verschillende snelheden hebben. Door d i -t v e r s c h i l i n snelheid vindt er een krachtsoverdracht plaats van het gebied met hoge snel-heden naar het gebied met lage snelsnel-heden.

De l a t e r a l e w r i j v i n g t^wordt vaak a l s v o l g t i n formulevorm geschre-ven;' •

X1 Ueh | ^ (3.37)

waarin Ug = dynamische eddy v i s c o s i t y (pe).

Longuet-Higgins [6] veronderstelt dat ug geschreven kan worden i n

termen van pLU, waarbij L een k a r a k t e r i s t i e k e lengte i s en U een-k a r a een-k t e r i s t i e een-k e turbulente snelheid. H i j neemt aan dat L evenredig

l

i s met de afstand y vanaf de w a t e r l i j n en U evenredig i s met ( g h )2.

u = pLU = NTpy(gh)2 ' (3.38)

e u

waarbij N = dimensieloze constante. Li

Om de bovengrens van NT t e schatten doet Longuet-Higgins de volgende

twee aannamen:

- de lengte L z a l n i e t groter z i j n dan de mengweg volgens Von Karman, dus:

L <. <y (3.39) waarbij K = . 4

- de turbulente snelheden zullen n i e t g r o t e r z i j n dan 1/10 van de orbitaalsnelheden i n de brekerzone, dus

U 5 — ü (3.40)

1 0 ° TtH 1

h i e r i n i s \> = • , ,N • (3.41) _{T smh (kh)}

Voor ondiep water kan worden aangenomen dat:

• sinh (kh) £ kh (3.42) Vergelijkingen (3.17) en (3.42) ingevuld i n (3.41) l e v e r t : tL % Zïh 1 = *X * = 1 ( 3.4 3 ) T kh T 2n 2 ' l Met c = ( g h )2 l e v e r t d i t : % £ l y(gh)* (3-44) >

Een voorwaarde voor de turbulente snelheid U i s dus:

U < ^ - Y ( g h )2 (3-^5)

Worden nu beide veronderstellingen (3.39) en (3.45) ingevuld i n ver-g e l i j k i n ver-g (3.38) dan l e v e r t d i t :

1 1

ue = pLU S p<y Y(gh)2

u ' < . 0 2 y p y ( g h )2 (3.46)

-12-H i e r u i t volgt voor de waarde u i t (3.38):

0 < NT <.02y (3.47)

L

Battjes [ 7 ] gaat u i t van de aanname dat de turbulente energie wordt opgewekt door energiedissipatie i n de brandingzone . Om een orde van grootte voor de turbulente energie a f t e schatten wordt ver-ondersteld dat op iedere plaats binnen de brekerzone de gemiddelde productie en d i s s i p a t i e van turbulente energie met elkaar i n

even-wicht z i j n . U i t e i n d e l i j k vindt h i j voor de term \i& binnen de

breker-zone :

ue = NB py (gh)* <3-4 8)

M E T N = ( 5 2 )l / 3 ( t g a )4 / 3 M ( 3.4 9 )

ü ± b

waarin M een constante i s van de orde 1

Voor Y = .8, t g a = 1:100 en M = 1 i s N = .0013. Deze coëfficiënt l i g t i n d i t geval geheel aan de linkerrand van het gebied, dat door Longuet-Higgins i s aangenomen.

Voor de b e s c h r i j v i n g van de snelheidsverdeling i n paragraaf 3.2 zal zowel de coëfficiënt N als N gebruikt worden.

3.2 Snelheidsverdelingen

Voor de berekening van de snelheden evenwijdig aan de kust' kan nu de krachtenbalans worden opgesteld van de krachten d i e evenwijdig aan de kust werken. U i t de vorige paragrafen en f i g u u r 1 kan de volgende v e r g e l i j k i n g worden opgesteld:

3S 3-r-,

[ ( sv xyx 8y " + i f A y ) -J / v ( Sy x yx ) ] A x + [ ( V -W A y ) "

- ( t - ) ] Ax - T'AxAy = (3.50)

delen door AxAy l e v e r t : gg gT

. _ i . T» = o (3.51)

Met deze krachtenbalans zullen i n de volgende paragrafen v e r s c h i l -lende snelheidsverdelingen worden berekend.

3.2.1 Benadering met verwaarlozingen.

I n deze en de volgende paragraaf wordt het e f f e c t van de l a t e r a l e w r i j v i n g buiten beschouwing gelaten, dus:

9 T1

-r=- = 0 en T = 0 (3.52) _{9y 1}

Uit de krachtenbalans (3.51) volgt dan: 9S

— - T' = 0 (3.53)

Voor beide termen worden a l l e r e e r s t de benaderde formules (3.25) en (3.36) ingevuld:

5 p g, 3 / 2ï 2 s i n ^ o h3/2 t g „ _ 2^ p gi ( f w ) i v = Q ( 3 < 5 4 ) co

Voor üQ wordt v e r g e l i j k i n g (3.44) gebruikt. Voor de

langsstroomsnel-heid v volgt dan u i t (3.54)

5/2 1 C S i n *o

v = v = -J7T IT g2yh 1 — t g a (3.55)

grof 16 , ( f s2 c

v w

Dit geeft een v r i j w e l l i n e a i r verband tussen V en de waterdiepte h 1

(de term C / ( f / )2 i s wel afhankelijk van h, maar b i j een constant

w

veronderstelde ruwheid r v a r i e e r t de term n i e t veel i n de

breker-zone), gg yx

Buiten de brekerzone i s v g e l i j k aan n u l , omdat daar de term ^ n u l i s ( z i e v e r g e l i j k i n g (3.15)).

I n f i g u u r 2 i s voor het geval Hq = 2m, T = 7 sec, $o = 30°, y = -8,

-14-3.2.2 Benadering met minder'verwaarlozingen

Uitgaande van de krachtenbalans van de vorige paragraaf (formule (3.53)), worden de onbenaderde formules voor „/ en T ' ingevuld (formules (3.26)

°y

en (3.32)). De volgende v e r g e l i j k i n g wordt nu verkregen: AS ü.

— - T [.75 + .45 U - V ' i d] = 0 (3.56)

Ay c v

H i e r u i t i s v n i e t e x p l i c i e t t e bepalen. Met de methode van b i j v o o r -beeld Newton Raphson kan de waarde van v i t e r a t i e f worden bepaald. De snelheidsverdeling v„.. die h i e r u i t wordt verkregen, is,voor

to f i j n

hetzelfde geval als i n de vorige paragraaf, eveneens i n figuur 2 getekend.

Er b l i j k t dat gebruik van benaderde formules (Vgr of ) over de hele

l i n i e hogere snelheden geeft. Ter plaatse van de b r e k e r l i j n z i j n deze snelheden i n d i t geval 25 - 30% hoger.

3.2.3 Verdeling volgens Longuet-Higgins

Longuet-Higgins [ 6 ] heeft een snelheidsverdeling bepaald uitgaande van de krachtenbalansvergelijking (3.51):

as 3T,

+.. _ A - T» = o

3y 9y

Voor de d r i e termen worden de benaderde v e r g e l i j k i n g e n (3.25), (3.37) en (3.36) ingevuld:

5 3/2 2S l n ^o ,3/2., 3 , . 3v, /2 „ \ ( f w ) * a v _ n

'16 p g Y — % ~ h t g a + 3^ ( yeh 37} " I T P g — e - UoV - 0

(3.57) Deze v e r g e l i j k i n g geldt voor het gebied binnen de brekerzone

0 - y - y^r; buiten de brekerzone i s ^ = 0 ën v a l t dus de

eers-t e eers-term van (3.57) weg.

Deze d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g (3. 57) is eenvoudig op t e lossen als wordt / f \g ,

aangenomen dat de term v constant i s i n het gebied waar

1

C = . w = constant (3.58)

De oplossing van de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g heeft de volgende vorm:

voor 0 < y ^ y br

(3.59) y > y br

waarin a, b ^ b2, p ^ en p2 funkties z i j n van p , g, y, * , C q , a, NL

en CT

'LH.

Zoals vermeld i n paragraaf 3.1.3 geeft LonguetHiggins voor r u i me grenzen aan.In f i g u u r 2 i s een snelheidsverdeling uitgezet v o l

-gens (3.59), die berekend i s met de bovengrens van de f a c t o r ,

dus N = .02 y. Voor de berekening van de constante CL H z i j n de

bre-L

kerdieptecondities ingevuld. Verder i s Hq = 2m, T = 7 sec, <J>q = 30°,

y = . 8 , r = 0 . 0 6 m e n t g a = 1:100.

3.2.4 Verdeling volgens B a t t j e s

Op dezelfde wijze a l s i n de vorige paragraaf i s er ook een bereke-ning uitgevoerd waarbij voor Ng de waarde i s ingevuld die Battjes aangeeft ( z i e par. 3.1.3).

NR = ( 4 - T V 7 3 ( ^ a ^ / 3 s l = -0 0 1 3

D lb

De benadering van Battjes geldt formeel slechts binnen de brekerzo-ne; buiten de brekerzone wordt aangenomen dat er geen energiedissip a t i e i s . De berekening i s evenwel met dezelfde Ngwaarde ook b u i -ten de brekerzone uitgevoerd. U i t f i g u u r 2 b l i j k t dat de snelheids-verdeling van B a t t j e s i n de brekerzone a a n z i e n l i j k hogere snelheden geeft dan die van Longuet-Higgins.

-16-3.2.5 Geschematiseerd e f f e c t van de l a t e r a l e w r i j v i n g

Uit de paragrafen 3.2.3 en 3.2.4 b l i j k t dat het e f f e c t van de l a -t e r a l e w r i j v i n g vooralsnog n i e -t eenduidig i s aan -t e geven. Om een nog enigszins handzame berekening t e kunnen maken, i s het bovendien nodig dat er v r i j g r o f f e schematisaties worden ingevoerd.Om het e f f e c t van de laterale w r i j v i n g te symboliseren zou een driehoekig snelheids-verloop kunnen worden aangenomen. B i j d i t snelheids-verloop wordt veronder-s t e l d dat er geen veronder-snelheden z i j n op diepten groter dan

de,voorlo-pig w i l l e k e u r i g gekozen, waarde hQ en dat op een diepte g e l i j k aan

2/3 van de brekerdiepte h, de snelheid maximaal i s ( z i e schets).

1 Si vtop ^brekerlijn v v > J a ' IK ,3 br _K y •

-In ieder geval moet voldaan worden aan de voorwaarde dat de t o t a l e aandrijvende kracht g e l i j k i s aan de t o t a l e bodemschuifkracht

( E T ' ) :

S = ET'

y*

Uit deze voorwaarde kan b i j een gekozen waterdiepte hQ de waarde

voor de snelheid v berekend worden. Wanneer voor h de waarde

top o

1.6 h, wordt genomen, dan b l i j k t dat v i n de meeste gevallen _br

2 top ö

in de buurt l i g t van — v . Voor het geval H = 2m, T = 7sec, 3 max o

Y = .8, <)> = 30°, t g et = 1:100 en r = .06 m i s v = .63 v 5

O 5 0 top max *

waarbij v de snelheid op de b r e k e r l i j n weergeeft volgens ver-g e l i j k i n ver-g (3.56). I n d i t ver-geval i s v = .86 m/s en v = ,54-m/s.

& max top

3.2.6 Verdeling b i j onregelmatige golven

Battjes [ 8 ] geeft i n z i j n p r o e f s c h r i f t een verdeling van de g o l f -hoogte i n de brekerzone, uitgaande van een g o l f v e l d met een smal spectrum. Als hulpgrootheid d e f i n i e e r t h i j de f i c t i e v e energie E^;

Ef = | pg Hf 2 (3.61)

H i e r i n s t e l t H^ de f i c t i e v e golfhoogte voor d i e bepaald wordt u i t een shoaling- en refractieberekening zonder rekening t e houden met breken. B i j kleinere diepten wordt de golfhoogte H^ steeds groter; op de w a t e r l i j n i s H^ oneindig groot gewo'rden. De formule van H^ i s : H 2 = ( K , K ) 2 H 2 (3.62) f sh r ° waarin: K , = shoalingcoëfficiënt _sh = (TT- — > * <2n c 3-6 3 ) K = refractiecoëfficiënt _r cos <j> x = ( - ^ - ) 2 (3.64) cos (j>

Hq = golfhoogte op diep water

Als aangenomen wordt dat H^ Rayleigh-verdeeld i s , dan i s de kans-verdelingsfunktie van H^:

Ff(H) = Pr { Hf < H} ={

voor H < 0

(3.65)

|l - exp(-H2/Hf 2) voor H > 0

waarin Pr { Hf < H} = de kans dat de f i c t i e v e golfhoogte H^ k l e i n e r

i s dan een zekere golfhoogte H.

Als nu wordt aangenomen dat de locale golfhoogte n i e t groter kan

-18-Kansverdelingsfunctie voor de golfhoogte H:

0 voor H < 0

F(H) = Pr{H < H} 1 - exp (-H2/Hf2). voor 0 - U < H ^ (3.66)

)

1 voor H > H, br

In f i g u u r 3 i s zowel de kansverdelingsfunctie F^(H) a l s F(H) uitge-zet voor verschillende waarden van de diepte h.

Voor de bepaling van de r a d i a t i o n stress component dient de

gemiddelde energie en dus H2 i n rekening gebracht t e worden.

wordt a l s volgt berekend:

H2 = [ H2d F ( H ) (3.67)

uitgewerkt l e v e r t d i t :

H2 = { 1 - exp (-H£p / Hf 2) } Hf 2 • (3.68)

In f i g u u r 4 i s de root mean square golfhoogte H-vms = (H ) u i t

-gezet a l s f u n c t i e van de diepte voor het geval (H ) = 2m, T =7 sec,

r & rms o

* = 30° en_o Y = -8

1

In de verdere berekening wordt voor de bodemschuifspanning v e r g e l i j

-king (3.32) gebruikt. H i e r i n i s de o r b i t a a l s n e l h e i d üQ evenredig met

de golfhoogte H.De vraag i s echter welke golfhoogte ingevuld dient t e worden b i j de berekening van de gemiddelde bodemschuifspanning.In f i -guur 5 i s voor enkele prototype gevallen x'uitgezet als f u n k t i e van H voor verschillende waarden van v. H i e r u i t b l i j k t dat x' v r i j w e l l i n e a i r i s met H. Dus i n een onregelmatig g o l f v e l d l i j k t het ver-antwoord om de gemiddelde golfhoogte H i n t e voeren om de gemiddelde bodemschuifspanning t e v e r k r i j g e n . De gemiddelde golfhoogte wordt berekend u i t :

+ 0O

H = [ HdF(H) ; (3.69)

H - ill H e r f (H IWr ) (3.70) H " 2 frms V br' frms' waarm: i • 2 % r m s , ( H f 2 , ( , . 7 1 ) e r f ( x ) 2 U ) 5 J x 2 e U du 0 . 7 2 )

I

In f i g u u r 4 is;naast Hr m s ook H en Hf r m s uitgezet. /

i

j . —

In d i t geval, met onregelmatige golven, wordt verder gebruik gemaakt van v e r g e l i j k i n g (3.56):

AS ü , 1 Q

- T [.75 + . 4 5 ( ^ )1'1 3] = 0

Ax c v

Voor de berekening van het differentie-quotiënt wordt gebruikt:

S = — pg H2 n cos è s i n <f> (3.73)

yx 8 « In de bodemschuifspannings-term wordt ingevuld:

u = i . _ (3.74) o T sinh (kh)

Ook i n d i t geval kan met behulp van een i t e r a t i e - p r o c e s v worden opgelost. De snelheidsverdeling d i e h i e r u i t wordt verkregen i s u i t g e -zet i n f i g u u r 2. Daarbij z i j n dezelfde randvoorwaarden gebruikt a l s i n de voorgaande paragrafen.

3.3 Gemeten snelheidsverdeling i n modelproef M-918

In het T.O.W.-W.L rapport [13] wordt een b e s c h r i j v i n g gegeven van een modelonderzoek waarbij onder andere langsstroomsnelheden z i j n gemeten d i e door regelmatige golven z i j n opgewekt. I n f i g u u r 6 i s de resulterende snelheidsverdeling van r a a i 16 met een 75%-be-trouwbaarheidsinterval uitgezet ( u i t [13] f i g u u r 50). Om een indruk

te k r i j g e n hoe deze gemeten snelheidsverdeling a a n s l u i t b i j de snelheidsverdelingen, beschreven i n de vorige paragrafen, z i j n voor de i n [13] genoemde modelomstandigheden 3

snelheidsverdeling-en bereksnelheidsverdeling-end; de'verdeling zonder l a t e r a l e w r i j v i n g (Vgr of >

para-graaf 3.2.1), de verdeling met l a t e r a l e w r i j v i n g volgens Longuet-Higgins (paragraaf 3.2.3) en volgens Battjes (paragraaf 3.2.4). De gemiddelde modelgegevens waren: H " 6.7 cm en § = 20° beide op een diepte van 30 cm, T = .95 sec, y - .55 en de gemiddelde ruw-heid van beton r = .48 mm. In het model i s het k u s t p r o f i e l gesche-matiseerd door verschillende t a l u d s ; te beginnen b i j de w a t e r l i j n met t g a = 1:40 daarna 1:60, 1:80, 1:100, 1:120 en i n het diepe gedeelte 1:50. Deze verschillende hellingen z i j n i n de berekening

van de verdeling v r oj r opgenomen. Zoals i n f i g u u r 6 te zien i s ,

ontstaat hierdoor een "zaagtand"lijn aangezien b i j de overgang tussen twee verschillende taluds de term 9S /8y discontinu i s .

yx J

Voor de berekening van de snelheidsverdeling met l a t e r a l e w r i j v i n g i s het k u s t p r o f i e l geschematiseerd door een t a l u d met een-helling van 1 : 63.

Het i s opvallend dat de snelheidsverdeling volgens

Batt-jes met M = 1 i n de brekerzone a a n z i e n l i j k beter a a n s l u i t b i j de modelresultaten dan die volgens Longuet-Higgins met N = 0.02 y. De snelheidsverdeling v _ l i g t gemiddeld wat hoger dan de

geme-grof ° ten v e r d e l i n g .

3.4 Keuze van de snelheidsverdeling

I n de vorige paragrafen z i j n beschrijvingen gegeven van snelheids-verdelingen met en zonder l a t e r a l e w r i j v i n g , met geschematiseerde l a t e r a l e w r i j v i n g en t.g.v. onregelmatige golven. A f h a n k e l i j k van de toegepaste berekeningswijze z i j n de v e r s c h i l l e n opmerkelijk. Helaas ontbreken voldoende prototype metingen om een verantwoorde keus mogelijk te maken. U i t schaarse metingen ( z i e bijvoorbeeld f i g u u r 6) i s wel bekend dat er snelheden buiten de brandingzone z i j n . Deze snelheden worden n i e t gevonden met de snelheidsverde-lingen v j- (paragraaf 3.2.1) en v . . (paragraaf 3.2.2).

De coëfficiënt voor de l a t e r a l e w r i j v i n g van Longuet-Higgins (N^)

en Battjes (Nf i) geven, zoals i n f i g u u r 2 t e zien i s , een v r i j groot

v e r s c h i l i n de snelheidsverdeling. Daarbij komt nog dat deze snel-heidsverdeling alleen nog handzaam t e .berekenen i s als er v r i j ver-regaande schematisaties worden ingevoerd. U i t het v e r s c h i l tussen v en v ( f i g u u r 2) i s t e zien dat gebruik van benaderde

formu-f i j n groformu-f

les 25-30% hogere snelheden t e r plaatse van de brekerzone geeft. • Voor de berekening van zandtransporten i n hoofdstuk 5 z a l de

snel-heidsverdeling voor onregelmatige golven gebruikt worden, omdat i n het prototype eveneens onregelmatige golven voorkomen. Bovendien kan met deze methode r e l a t i e f eenvoudig van de onbenaderde bodem¬ ' schuifspanningsformule (3.32) gebruik worden gemaakt.

In paragraaf 5.7 worden enkele transportberekeningen t o e g e l i c h t die met a l l e 6, i n de paragrafen 3.2.1 t/m 3.2.6 genoemde, snel-heidsverdelingen z i j n uitgevoerd. Aan de hand daarvan kan het ef-f e c t van de keuze van de snelheidsverdeling op het t o t a l e ..trans-port worden nagegaan.

-22-4. Transportformules

4.1 Formule van B i j k e r

Uitgaande van de formule van K a l i n s k e - F r i j l i n k heeft B i j k e r [ l ] de volgende bodemtransportformule opgesteld voor golven en stroom:

! -.27 ADr„ C2 S = b V % g 5e x p [ — - ^ — 1 b 5 0 C y v2{ l + J U ^ ) 2 > waarin: Dr„ = 50% korreidiameter 50 C = Chezy coëfficiënt

A = r e l a t i e v e dichtheid van het bodemmateriaal y = r i b b e l f a c t o r = ( _ J L _ )3/2 (4.2) CD u90 = bodemtransport 18 l o g ( ^ ) (4.3) C D90 D 9 0 Dg o = 90% korreldiameter l

I n de formule van K a l i n s k e - F r i j l i n k was b formeel g e l i j k aan 5y2.

I n het T.O.W. rapport [ 3 ] wordt voor b de waarde 3.66 aangenomen. B i j de berekeningen i n hoofdstuk 5 z a l voor b, zoals meestal ge-b r u i k e l i j k i s , de waarde 5 worden aangehouden.

B i j k e r neemt aan dat het bodemtransport plaats v i n d t i n een laag t e r d i k t e van de ruwheidswaarde r . I n deze zone tussen z = 0 en z = r veronderstelde B i j k e r een constante bodemconcentratie c , die a l s basis dient voor de berekening van de c o n c e n t r a t i e v e r t i -caal. Deze berekening i s analoog aan die volgens E i n s t e i n [ 9 ] ( z i e schets b l z . 24). Veelal nam B i j k e r voor r de halve r i b b e l

-hoogte Aa aan.

Het t o t a l e suspensietransport wordt berekend door op een hoogte z de concentratie c(z) te vermenigvuldigen met de snelheid v ( z ) en t e integreren tussen z = r en z = h. Het t o t a l e suspensietans-port kan dan a l s v o l g t worden geschreven:

S =1.83 SK [ I , I n ( — ) + I j sus b 1 r 2 (4.4) waarm: I - = R ( ^ ) * * dy (4.5) A = R A r/h ( ^ )Z* lny dy (4.6) (4.7) R = ,216 A (z*-D (1-A) (4.8) w K V * (4.9) (4.10)

De i n t e g r a l e n 1^ en I worden i n het computerprogramma BIJKZAN, dat b i j TH, WL en RWS i n gebruik i s , op een veel r e k e n t i j d vergende w i j -ze berekend.

Bakker en Bogaard [10] z i j n e r i n geslaagd 1^ en op een eenvoudige wijze op t e lossen. I n de appendix i s deze oplossing beschreven. In het WL-TOW rapport [3] worden concentratiemetingen vermeld waar-u i t b l i j k t dat er twaar-ussen z = 0 en z = r een d waar-u i d e l i j k verloop i n concentratie aanwezig i s . D i t i s dus i n tegenspraak met de aanname van B i j k e r , d i e immers i n deze laag een constante concentratie aan-neemt .

Bovendien b l i j k t u i t [ 3 ] dat de ruwheid r meestal groter i s dan de halve ribbelhoogte A ( r ^ 4 - 6 A ) . I n onderstaande schets z i j n de concentratieverdelingen uitgezet vólgens de aanname van B i j k e r en volgens de bevindingen i n het WL-TOW rapport [ 3 ] .

-24-Voor de berekening van het t o t a l e suspensietransport volgens de aan-name u i t [ 3 ] i s de k o r r e k t i e f a c t o r K^ ingevoerd. De formule voor het suspensietransport wordt nu:

m e t K b = ( ï ^ ) [ 1-Z*(^ ") ( 1 _ Z*) ] ( H-1 2 )

I n de berekeningen van hoofdstuk 5 i s voor A de waarde ^ r aangehou-a

den.

Het t o t a l e bodemtransport i s g e l i j k aan de som van het bodemtrans-port en het suspensietransbodemtrans-port. B i j het v e r g e l i j k e n van de zandtrans

portformules z u l l e n zowel ST,TT,. = S, + S als S,^^. „ = S, + S

* BUK b sus ELJK-K^ b sus-K^ i n de beschouwingen worden betrokken.

4.2 Formule van Engelund - Hansen

De oorspronkelijke formule van Engelund-Hansen (verder genoemd E-H) voor het t o t a l e zandtransport i n r i v i e r e n i s i n het WL-TOW rapport

[3] aangepast voor golven en stroom. De formule voor het t o t a l e transport wordt dan:

.05 v5[ l •

f

u % 2 f

waarin:

v = stroomsnelheid

u = amplitude van de o r b i t a a l s n e l h e i d b i j de bodem 5 = ( ^ / 2 g ) ^ C

g = v e r s n e l l i n g van de zwaartekracht C = Chezy c o e f f i c i e n t

A = r e l a t i e v e dichtheid van bodemmateriaal

DCrt = 50% korreldiameter

4.3 SWANBY-formule

Uitgaande van de oorspronkelijke formule van White-Ackers wordt i n [3] onderstaande transportformule a f g e l e i d voor golven en stroom, die hierna genoemd z a l worden naar de samenstellers Swart, White, Ackers, de Haan en Bijker:SWANBY.

u C q 1 v p (_£_)n[i+i(r_£)2i~n/2 _ § £ ( f - A F ( 4 . 1 6 ) SWANBY ' ( 1 - p) V °35 \gi} L 1 + ^ v > J Am Uw c A / ^ J waarin: p = p o r o s i t e i t , g e l i j k genomen aan .31 D„r = 35% korreldiameter 35 n = 1 - .2432 I n (D ) (4.17) gr

V =

( S

f

> 1 / 3 D

3 5 ^

& V v = v i s c o s i t e i t = 10~6 voor T = 20°C CD = exp {2.86 I n (D ) - .4343 [ i n (D ) ]2 - 8.128} (4.19) ugv r gr gr = J23^ + 1 4 ( 4 > 2 0 ) A m 2 ugr + 1.34 (4.21)

V

-26-y( l - n ) v n Fw c . %D( l - n )gn / 2( A D 3 5 ) i • • C = 18 l o g ( ^ ) (4.23) u35 4.4 CERC-formule

'De formule van het CERC i s gebaseerd op de aanname dat het t o t a l e zand-I

transport i n de brekerzone evenredig i s met een component van de golf-energie . SCERC = A 1P 1 ( 4'2 ^ waarin P, = E n c cos d> s i n d>, (4.25) _{1 o o o o b r} of anders geschreven: SCERC = 3 Ho 2 Co C O S K S I N V ' (4.26) met a = -g- P g n ^ (4.27) U i t prototype- en modelmetingen kan de waarde van a worden bepaald.

Oorspronkelijk werd door het CERC voor a de waarde .014 aangehouden.

H i e r b i j dient dan wel i n formule (4.26) voor de golfhoogte Hq, de

s i g n i f i c a n t e golfhoogte (H . ) ingevuld t e worden. Wordt echter de _{ö & & sign o &}

root mean square golfhoogte ( H ^ ^ gebruikt, dan dient voor a de waar-de .028 t e worwaar-den ingevuld, omdat voor een smal spectrum geldt dat

(H ) 2 ft i ( H . )2. I n het Shore Protection Manual 1973 [ l l ] wordt voor

rms "* sign

a de waarde .025 gegeven,op basis van H . (na omwerking van eenheden).

ö ö r sign

Een veelgebruikte waarde voor u i t v e r g e l i j k i n g (4.24) i s de fac-t o r 2000 volgens Svasek, op basis van H en waarbij hefac-t fac-t o fac-t a l e

& 3 r m S

zandtransport i s uitgedrukt i n m /jaar. Met behulp van v e r g e l i j k i n g 3

(4.27) en omgerekend•naar m /sec komt d i t overeen met een waarde voor a van .039.

meetpunten het verband uitgezet tussen het zandtransport S en de

term H 2c cos ó s i n * . op basis van H . I n f i g u u r 7^ i s d i t ¬

o o o b r e rms

zelfde gedaan op'logarithmische schaal.Met de methode van de k l e i n s t e kwadraten wordt voor de coëfficiënt a u i t v e r g e l i j k i n g (4.26) de waarde .008 verkregen. Wanneer het meetpunt van Moore en Cole buiten beschouwing wordt gelaten,wordt voor a de waarde .036 gevonden. B i j de v e r g e l i j k i n g van de transportformules i n hoofdstuk 5 z u l l e n de CERC-transporten berekend worden met zowel a = .008 a l s a = .036. De twee uitkomsten z u l l e n steeds beide genoemd worden.

In onderstaand' s t a a t j e i s een overzicht gegeven van de bovenge-noemde coëfficiënten.

oorsprong coëfficiënt

volgens (4.26) op sec.basis

toegepaste

golfhoogte corresponderende coëfficiënt volgens

(4.24) op jaar-basis o r i g i n e l e CERC '.014 .028 H . sign H rms 720 1440

Shore Protection .025 H . _sign 129 0

Manual H . _sign Svasek .039 LI rms 2000 f i g u u r 7: l i j n 1 l i j n 2 .008 .036 H rms H rms 410 1850

T28-5. Zandtransportberekeningen

5.1 I n l e i d i n g

In d i t hoofdstuk wordt een overzicht gegeven van de uitkomsten van een aantal vergelijkende berekeningen met de i n hoofdstuk 4 genoemde transportformules. V r i j w e l steeds i s het t o t a l e zand-transport evenwijdig aan de kust i n de beschouwingen opgenomen. De uitkomsten van de CERC-formule z i j n b i j de diverse berekenin-gen eveneens gegeven. Steeds z i j n twee CERC-waarden gegeven; zo-wel de f a c t o r .036 als .008 z i j n i n de berekeningen ingevoerd. Mogelijkerwijs z i j n beide uitkomsten a l s boven-en ondergrens te beschouwen.

B i j de uitkomsten van de berekeningen met de

zandtransportfor-mules z a l ten aanzien van de korreldiameter, alleen de D5 Q

ge-noemd worden. I n onderstaand s t a a t j e i s een overzicht gegeven van de bijbehorende D , D en valsnelheid w, behorende b i j de

o o y (j

Dc j zoals die i n de berekeningen z i j n ingevoerd.

D50

(ym) (ym) °35 (ym) °90

w (m/s) 100 85 175 .009 200 175 270 .025 300 270 380 .042 5.2 Maatgevende golfhoogte

In paragraaf 3.3 z i j n enkele overwegingen gegeven die hebben ge-l e i d t o t de keuze van de snege-lheidsverdege-ling evenwijdig aan de kust zoals die kan worden bepaald wanneer van een onregelmatig g o l f veld met. een smal spectrum wordt uitgegaan. De meeste t r a n s p o r t -berekeningen die i n d i t hoofdstuk worden beschreven hebben betrekking op die verdeling. Om de rekenprocedure b i j onregelmatige g o l -ven t e vereenvoudigen i s het gewenst met een maatge-vende golfhoog-te t e kunnen rekenen. Zo i s i n paragraaf 3.2.6 b i j de bepaling van

de p l a a t s e l i j k e bodemschuifspanning b i j onregelmatige golven aan-nemelijk gemaakt dat d a a r b i j de gemiddelde golfhoogte H op d i e plaats gebruikt kan worden. Voor de bepaling van 3S /3y diende daarentegen H t e worden gebruikt. Ten einde na te gaan welke

& rms

kenmerkende golfhoogte b i j transportberekeningen eventueel kan worden ingevoerd, z i j n enkele verbanden tussen het zandtransport en de golfhoogte H berekend. Het b e t r e f t een aantal n i e t onwaar-s c h i j n l i j k t e achten prototype gevallen ( z i e f i g u u r 8 ) .

Gezien het nagenoeg l i n e a i r e verloop tussen het t r a n s p o r t en de golfhoogte i s het voor de Bijker-forrnule en de SWANBY-formule ver-antwoord H als maatgevende golfhoogte i n t e voeren.Hoewel i n de EngelundHansenformule een i e t s hogere g o l f dan H zou moeten worden i n -gevoerd, i s d a t , t e r w i l l e van de eenvoud,niet gedaan; ook i n d i e formule i s met H gerekend. Overigens i s de keus van de j u i s t e maatgevende g o l f het meest b e l a n g r i j k voor de transporten i n het meest zeewaartse gedeelte van de transportzone. Dichter naar de kust toe wordt de v a r i a t i e i n de golfhoogte door breking steeds geringer.

5.3 Invloed van korreldiameter, bodemhelling en ruwheidswaarde In de CERC-formule worden de invloeden van*.

- de afmetingen van het bodemmateriaal, D^Q - de bodemhelling van het strand, t g a

- de ruwheidswaarde , r

op de grootte van het zandtransport n i e t e x p l i c i e t genoemd. I n de v i e r transportformules spelen de genoemde invloeden wel een belang-r i j k e belang-r o l . De invloed van de afmetingen van het bodemmatebelang-riaal (D^,

i n de SWANBY-formule Do c) komt i n de verschillende formules d i r e c t

35

t o t u i t i n g . De invloed van de bodemhelling en de ruwheidswaarde i s ten dele d i r e c t maar grotendeels i n d i r e c t . Via de grootte van de opgewekte snelheden evenwijdig aan de kust komen beide invloeden t o t u i t i n g . De verschillende zandtransporten z i j n berekend voor het

geval een g o l f v e l d m e t : ( Hr m s) =2 m, T = 7 s en è = 30° de kust

nadert. Als brekerindex i s een waarde van 0*8 aangehouden. Er z i j n berekeningen uitgevoerd met waarden van D van 100, 200 en 300 ym.

-30-Voor t g a z i j n hellingen 1 : 100 , 1 : 50 en 1 : 20 gekozen. Als waar-den voor r z i j n 0.02, 0.04, 0.06, 0.08 en 0.10 m aangehouwaar-den. Boven-dien i s een serie berekeningen uitgevoerd met een variërende r-waarde over de brekerzone. I n [ 3 ] i s een procedure beschreven waarmee deze "theoretische" ruwheidswaarde kan worden bepaald als f u n k t i e van de golfparameters, het bodemmateriaal en de waterdiepte.

In t a b e l la z i j n de t o t a l e transporten evenwijdig aan de kust voor

verschillende combinaties samengevat. I n f i g u u r 9 z i j n de r e s u l t a -ten g r a f i s c h weergegeven.

Invloed bodemmateriaal

De invloed van de afmetingen van het bodemmateriaal op de grootte van het berekende zandtransport met de v i e r transportformules komt

i n a l l e v i e r formules d u i d e l i j k t o t u i t i n g . I n a l l e gevallen wor-den de transporten groter naarmate de waarde van D ^ l a g e r is.Met de B i j k e r - formule en de met B i j k e r - l ^ aangeduide formule worden de r e l a t i e v e v e r s c h i l l e n groter naarmate de ruwheid k l e i n e r wordt. Deze v e r s c h i l l e n worden bovendien groter naarmate flauwere h e l l i n -gen worden ingevoerd. B i j een gegeven combinatie van t g a en r i s

met de B i j k e r formule het transport met D5 0 = 100 ym 1.3 - 5.3 maal

zo groot a l s het transport met 300 ym. Voor de B i j k e r - K ^ f o r r n u l e z i j n deze verhoudingsgetallen 1.7 - 9.3.

"In de SWANBY-formule worden de r e l a t i e v e v e r s c h i l l e n groter naarmate de ruwheid groter wordt en naarmate de hellingen s t e i l e r worden

aan-genomen. De verhoudingsgetallen tussen het transport met D5 0 = 100ym

en het transport met D5 0 = 300 ym variëren b i j de gegeven

combina-t i e s van combina-t g a e n r combina-tussen ca. 300 en 1300.

Het transport dat met de E-H-formule kan worden berekend i s omge-keerd evenredig, met de grootte van D^. Tussen het transport met

D = 100 ym en dat met D _ = 300 ym i s dus i n a l l e gevallen een ver-50 ver-50

houdingsgetal van 3 aanwezig. Invloed bodemhelling

I n de Dijker-formule en B i j k e r - ^ - f o r m u l e heeft de v a r i a t i e i n de h e l l i n g van het strand slechts een zeer geringe invloed op de grootte van het berekende transport. Naarmate de h e l l i n g s t e i l e r i s , worden

hogere snelheden evenwijdig aan de kust berekend ( z i e hoofdstuk 3 ) . De transporten per eenheid van breedte worden daardoor eveneens gro-t e r . B i j een s gro-t e i l e h e l l i n g i s de gro-transporgro-tzone echgro-ter smaller. Hegro-t eindresultaat i s dat beide invloeden elkaar nagenoeg compenseren. De SWANBY-formule i s dermate gevoelig voor de snelheden dat de com-penserende werking van de breedte van de transportzone b i j s t e i l e r e hellingen lang n i e t voldoende i s om nagenoeg g e l i j k e transporten t e v e r k r i j g e n . B i j een h e l l i n g van t g a = 1/50 worden de u i t e i n d e l i j k e transporten 4 a 5 maal zo groot als b i j een h e l l i n g van t g a = 1/100. B i j t g a= 1/20 z i j n de transporten z e l f s ongeveer 20 maal zo groot.

B i j de Engelund-Hansen-formule worden de v e r s c h i l l e n minder groot dan b i j de SWANBY-forrnule; ten opzichte van de Bijker-formules z i j n de ver-s c h i l l e n echter veel g r o t e r .

Invloed_ruwheidswaarde

De berekeningen met de beide Bijker-formules en met de SWANBY-formule laten zien dat het t r a n s p o r t toeneemt naarmate de bodemruwheid k l e i -ner wordt. De Engelund-Hansen-formule vertoont een tegengesteld beeld. Voor de gekozen ruwheidswaarden i s de r e l a t i e v e spreiding van de r e -sultaten van de Bijker-formules wat groter dan die van de beide an-dere formules.

Als i n plaats van de variërende "theoretische" ruwheid een constan-te (equivalenconstan-te) ruwheidswaarde zou worden toegepast waarmee het

zelfde t o t a a l transport wordt gevonden, dan b l i j k t u i t t a b e l la,

dat deze equivalente ruwheidswaarde a f h a n k e l i j k i s van de grootte van DJ-Q. Voor D^Q = 100 ym wordt een a a n z i e n l i j k lagere

waar-de dan r =0.02 m verwacht; voor DR N = 200 ym i s deze equivalente

ou

ruwheid nagenoeg 0.02 m. Voor D^ -'300 ym wordt een waarde van OU

r 0.04 m gevonden.

V e r g e l i j k i n g met__CERC-formule

De korreldiameter, de bodemhelling en de ruwheidswaarde komen i n de CERC-formule n i e t t o t u i t d r u k k i n g . Van de korreldiameter i s het met zekerheid bekend, maar ook de bodemhelling en de ruwheidswaarde

-32-zullen i n de prototype gevallen die ten grondslag hebben gelegen aan deze formule wel enige v a r i a t i e hebben vertoond. De langzamer-hand vele bewerkers van de CERC-formule hebben het echter t o t op heden n i e t nodig geoordeeld de genoemde grootheden e x p l i c i e t i n r e -kening t e brengen. Als deze i n f e i t e negatieve conclusie wordt

om-gevormd t o t een p o s i t i e v e , dan zou kunnen worden gesteld dat de ge-noemde grootheden n i e t o f nauwelijks van invloed z i j n op de grootte van het t r a n s p o r t . I n de beoordeling van de " k w a l i t e i t " van de v i e r transportformules i n v e r g e l i j k i n g met de CERC-formule kan dan van deze voorzichtige p o s i t i e v e conclusie gebruik worden gemaakt. Gezien de spreiding i n de evenredigheidsfactor van de CERC-formule z i j n de w e r k e l i j k berekende transporten immers maar ten dele als beoorde-lingsmaatstaf t e gebruiken. Zowel ten aanzien van de berekende

waar-den als ten aanzien van de ongevoeligheid van D5 Q, t g a en r b l i j k e n

beide Bijker-formules veel beter t e voldoen dan de SWANBY- en Enge-lund-Hansen-formule . De B i j k e r - K ^ formule geeft over de hele l i n i e lagere waarden dan de normale Bijkerforrnule.' De BijkerK, t r a n s -porten s l u i t e n over het algemeen wat minder goed aan b i j de CERC-transporten dan de B i j k e r - t r a n s p o r t e n .

Hoewel het u i t e r a a r d v o l s t r e k t w i l l e k e u r i g e combinaties b e t r e f f e n ,

z i j n van de i n t a b e l i a gegeven t o t a l e zandtransporten gemiddelden

en de standaardafwijkingen berekend. Deze waarden z i j n i n de onder-staande t a b e l samengevat. I n die t a b e l z i j n eveneens voor elke trans-portformule het hoogste en het laagste berekende transport gegeven. Niettemin geeft deze o p s t e l l i n g een kwantitatieve bevestiging van de grootte van de invloed die van de verschillende grootheden op de v a r i a t i e i n het zandtransport u i t g a a t . Formule Gemiddeld transport (m3/s) Standaard a f w i j k i n g (m3/s) Transportgrenzen (m3/s) . B i j k e r .179 .127 .079 - .597 B i j k e r - .136 .114 .051 - .506 SWANBY 21.8 53.5 225. - .004 Engelund- _{.933 .522 .272 - 2.53} Hansen .933 CERC .202 - -.067 - .303 *) *)volgens de coëfficiënten .008 en .036

In de voorgaande paragraaf i s een serie berekeningen behandeld waarb i j verscheidene' parameters z i j n gevarieerd, maar waarwaarbij het g o l f -veld constant i s gehouden[(H ) = 2 m; T = 7 s ; d> = 30°- y =0.B] ;Teneinde na

_ rms o o 5 i J

te gaan i n hoeverre het g o l f v e l d de beoordeling van de k w a l i t e i t van de verschillende transportformules beinvloedt, i s een serie bereke-ningen uitgevoerd voor verschillende golfhoogten. De periode i s daar-^ S i j zodanig aangepast dat n i e t o n w a a r s c h i j n l i j k te achten prototype

condities ontstaan. Er z i j n berekeningen uitgevoerd met de

combina-t i e s : ( Hr m s )Q = 0.5 m, T = 4 s;(H ) = 1.0 m, T = 5 s;(H ) = 2.0 m,

r m f c > o rms o

T = 7 s;(H ) = 3.0 m, T = 8 s. De hoek van i n v a l i s i n a l l e geval-_{rms o}

len i = 30° geweest; i n de gehele transportzone i s een constante

bo-demruwheidswaarde van r = 0.06 m aangehouden. De berekeningen z i j n

uitgevoerd met als D,_0 van het bodemmateriaal 200 ym. De h e l l i n g van

het strandtalud i s wel gevarieerd, ( t g a = 1/100; 1/50; 1/20). De berekende t o t a l e transporten evenwijdig aan de kust z i j n voor de

verschillende combinaties i n t a b e l 1D samengevat. I n f i g u u r 10 z i j n

de uitkomsten g r a f i s c h weergegeven.

De uitkomsten met de Bijker-formules s l u i t e n ook voor deze gevallen beter b i j de'CERC-waarden aan' dan die met de beide andere formules. Dit beeld wordt v e r s t e r k t wanneer de verhouding met het (gemiddelde) CERCtransport i n ogenschouw wordt genomen ( z i e f i g u u r 11). De s t i j -gende tendens van de verhoudingsfactoren van de Bijker-formules b i j toenemende golfhoogten wordt w a a r s c h i j n l i j k voor een deel veroor-zaakt door de i n a l l e gevallen constant aangenomen ruwheidswaarde

( r = 0.06 m). In w e r k e l i j k h e i d z a l de ruwheidswaarde zich enigszins aanpassen aan de g o l f c o n d i t i e s . B i j lage golven z a l een lagere ruw-heidswaarde aanwezig z i j n dan b i j hoge golven. Gezien de afhanke-l i j k h e i d van de grootte van het zandtransport van de ruwheidswaarde, zal een meer h o r i z o n t a a l verloop van de grafische weergave van de verhoudingsfactoren kunnen worden verwacht.

-34-5.5 Invloed hoek van g o l f i n v a l

Met de g o l f c o n d i t i e s (H ) =2.0 m, T = 7 s en Y = 0,8 a l s u i t

-& rms o

gangspunt i s de invloed van de hoek van i n v a l op diep water (<}>0)

nagegaan. Als bodemruwheid i s r = 0.06 m aangehouden; de berekeningen z i j n uitgevoerd met een waarde van D van 200 ym. De h e l

-l i n g van het strandta-lud i s weer gevarieerd.

In t a b e l 1° z i j n de berekende transporten samengevat. Figuur 12 geeft een overzicht van het zandtransport a l s f u n c t i e van I n f i g u u r 13 z i j n de verhoudingsfactoren ten opzichte van de

(ge-middelde) CERC-transporten gegeven. De Bijker-formules b l i j k e n ook de invloed van de hoek van i n v a l verreweg het beste van de be-schouwde formules weer t e geven.

5.6 Invloed brekerindex

In de berekeningen die i n de voorgaande paragrafen z i j n behandeld, i s i n a l l e gevallen dezelfde brekerindex H^/h. = Y ingevoerd. Voor het geval (H ) = 2m,T = 7 s , é = 30° z i j n de

zandtrans-& rms o ' Yo J

.porten berekend voor Y = 0.4, 0.6 en 0.8. Tabel 1^ geeft een over-z i c h t van de r e s u l t a t e n van deover-ze berekeningen; i n f i g u u r 14 over-z i j n deze transporten g r a f i s c h weergegeven. De berekeningen z i j n u i t g e

-voerd met Dcr. = 200 ym en r = 0.06 m . I n de weergave van de

CERC-50 formule

2

S - a H c s i n <f>, cos d> _{o o b r o}

i s gemakkelijk i n t e zien dat het zandtransport geringer wordt als een grotere brekerindex wordt aangenomen. Het ongestoorde r e f r a c -t i e v e r s c h i j n s e l ze-t b i j een hoge waarde van y verder door, waardoor sin $ k l e i n e r wordt,dan b i j een lage waarde van y.

In f i g u u r 15 z i j n de verhoudingsfactoren t.o.v. de (gemiddelde) CERC-transporten gegeven. Ook wat het weergeven van de (geringe) invloed van de grootte van de brekerindex b e t r e f t b l i j k e n de Bijker-formules veel beter t e voldoen dan de beide andere formules. Evenals b i j de CERC-formule worden de met B i j k e r berekende trans-porten lager b i j toenemende waarden van y. De met de beide andere formules berekende transporten vertonen het tegengestelde beeld.

5.7 Invloed keuze van snelheidsverdeling

In hoofdstuk 3 i s aandacht besteed aan enkele methoden waarmee de snelheidsverdeling i n een r a a i loodrecht op de kust berekend kan worden. Van de i n f i g u u r 2 gegeven mogelijke snelheidsverdelingen

z i j n de bijbehorende transportverdelingen met de B i j k e r - en SWANBY-forrnule berekend.

In f i g u u r 16 z i j n de r e s u l t a t e n weergegeven. I n f i g u u r 16 i s eveneens een s t a a t j e opgenomen met de t o t a l e transporten evenwijdig aan de kust zoals die voor de verschillende gevallen kunnen worden berekend. U i t dat s t a a t j e b l i j k t dat de Bijker-formule t a m e l i j k ongevoelig i s voor de aangenomen snelheidsverdeling. De SWANBY-formule i s dat i n hoge mate. Zodra r e l a t i e f hoge snelheden i n de snelheidsverdeling voorkomen,

s t i j g t het met de SWANBY-formule berekende transport a a n z i e n l i j k . De eveneens i n het s t a a t j e aangegeven gemiddelden en standaardaf-wijkingen i l l u s t r e r e n de genoemde tendens d u i d e l i j k .

5.8 Enkele "model"gevallen

A l l e t o t nu toe besproken gevallen hebben betrekking op prototype gevallen. Ter i l l u s t r a t i e z i j n ook enkele "model"gevallen berekend.

Het i n het voorgaande v e e l v u l d i g genoemde g o l f v e l d ( Hr m s)o =2 m ,

T = 7 s en <j) = 30° i s op schaal 25 en 50 in de transportberekeningen ingevoerd. De hellingen van het strandtalud en de bodemruwheden z i j n aan de lagere golven aangepast. I n t a b e l 2 z i j n de r e s u l t a t e n van de berekeningen samengevat. I n die t a b e l z i j n eveneens de pre-ciese randvoorwaarden voor de berekeningen opgenomen. Figuur 17 geeft een g r a f i s c h overzicht. •'•}.

Ook i n deze "model"gevallen b l i j k e n de Bijker-formules veel aanne-m e l i j k e r r e s u l t a t e n t e geven dan de beide andere foraanne-mules.

-36-Discussie

Het ontwikkelen van een deugdelijke zandtransport-formule waarin de invloed van het e f f e c t van golven en stroom op de grootte van het t r a n s p o r t op een j u i s t e w i j z e t o t u i t i n g komt, i s een belang-wekkend doel van kustwaterbouwkundig onderzoek. Gezien de i n vele opzichten nog onvoldoende i n z i c h t e n i n de theoretische achtergron-den van het zandtransportmechanisme kan n i e t worachtergron-den verwacht dat

een deugdelijke formule "zomaar" ontwikkeld kan worden. Een groot aantal v e r i f i c a t i e - s i t u a t i e s z i j n i n zulke gevallen noodzakelijk om t o t een enigszins aanvaardbare beoordeling van de k w a l i t e i t van een voorgestelde formule t e kunnen komen. Omdat een formule i n de eerste plaats bedoeld i s om i n het prototype toegepast t e worden, i s het b i j n a vanzelfsprekend dat de genoemde v e r i f i c a t i e -s i t u a t i e -s , althan-s voor een b e l a n g r i j k deel, op prototype geval-len betrekking moeten hebben. Werkelijke prototype-situaties die voor v e r i f i c a t i e doeleinden geschikt z i j n , ontbreken vooralsnog. De thans beschikbare formules z i j n inmiddels a l zover ontwikkeld

dat daarin een groot aantal verschillende parameters moet worden ingevoerd om berekeningen t e kunnen uitvoeren. D i t s t e l t dus hoge eisen aan de p r o t o t y p e - s i t u a t i e s . Zoals i n de i n l e i d i n g a l i s ge-s t e l d , moet de beoordeling van de k w a l i t e i t van de verge-schillende mogelijke transportformules aan de hand van de uitkomsten van be-rekeningen met de CERC-formule dan ook als een tussenoplossing -worden gezien. De verschillende waarden die voor de

evenredigheids-coëfficiënt i n de CERC-formule worden genoemd, geven alleen a l o v e r d u i d e l i j k aan dat de CERCformule geen ideale v e r i f i c a t i e b a -sis vormt. Dat daarnaast eerst op een of andere manier een snel-heidsverdeling moet worden a f g e l e i d voordat daadwerkelijk

transport-berekeningen kunnen worden uitgevoerd,geeft nog eens extra aan hoe wankel deze basis i n f e i t e i s . In het vorige hoofdstuk i s daarom dan ook minder aandacht besteed aan de werkelijke waarden die met de transport-formules werden berekend, dan aan de tendensen die als gevolg van de v a r i a t i e s van verschillende parameters te zien , waren.

Ondanks de minder ideale v e r i f i c a t i e b a s i s l i j k t de conclusie ge-wettigd dat de Bijker-formules i n a l l e opzichten beter b i j de CERC-tendensen aansluiten dan de beide andere formules.

De met B i j k e r K ^ aangeduide formule geeft over de gehele l i n i e l a -gere waarden dan de "normale" Bijker-forrnule. Omdat er t e n aanzien van de w e r k e l i j k e waarden van het zandtransport i n de v e r s c h i l l e n -de gevallen geen zekerheid bestaat, i s het n i e t mogelijk een sterke voorkeur voor een van beide Bijker-formules u i t t e spreken.

Op grond van de uitgevo.erde berekeningen verdient het aanbeveling de SWANBYformule en eventueel de aangepaste EngelundHansen f o r -mule zoals die i n [ 3 ] z i j n beschreven n i e t zonder, vermoedelijk verregaande, aanpassingen i n het prototype t e gebruiken.

Uit het voorgaande i s d u i d e l i j k gebleken dat daadwerkelijke proto-type t r a n s p o r t - s i t u a t i e s o n o n t b e e r l i j k z i j n om een i n a l l e opzich-ten verantwoorde beoordeling van de k w a l i t e i t van verschillende transport-formules t e kunnen maken. Het verdient dan ook aanbeve-l i n g een deeaanbeve-l van de inspanning t e r i c h t e n op het verkrijgen van deugdelijke prototype t r a n s p o r t - s i t u a t i e s .

-38-APPENDIX

In deze appendix z a l een korte b e s c h r i j v i n g worden gegeven van de oplossing van de integralen 1^ en I ^ u i t de formule voor het sus-pensietransport sus = 1.83 sji„ m + I j TDL 1 met I 1 = R ^ }Z* dy y (A.l) (A.2) R 4 r* l n ( y ) d y (A.3) waarin R ,216 A ( z * - l ) ( 1 - A )Z* en A r h (A.4) (A.5) In het computerprogramma BIJKZAN i s een speciale procedure (INTSTIEF) opgenomen, die voor een numerieke i n t e g r a t i e zorgt. H i e r b i j wordt

het integratiegebied i n 2n stukken verdeeld en wordt het oppervlak

van de f u n k t i e bepaald u i t de som van de oppervlakten van deze 2B

stukken. Voor een goede benadering moet n meestal de waarde 10 heb-ben, hetgeen veel r e k e n t i j d kost. Bakker en Bogaard [10] hebben een

oplossing gevonden voor I en I ^ , die de r e k e n t i j d vermindert met een f a c t o r 20.

Ze maken gebruik van het binomium van Newton:

f , o n - n (n-D. • n(n-l) (n-2) 2

(a + b) = a + na b + — r - j — a b , + b (A.6)

Voor I , wanneer 3 termen worden meegenomen:

1 1 v 1 v -1 z* ^z*- 1^ 1 z -2

( i - i )z * = ( i )z* - z * ( ^ )Z* + - ( i ) Z * (A.7)

Een benading door 3 termen geeft een voldoend nauwkeurige oplossing voor de voorkomende gevallen.

1 (-z„+l) (-z*+2) «I » y( - ^ t 2 ) , B * < V ^ (-«.+3) y = i 2(-z^+3) y=A -z t l - A("z*+ 1 )} +T = T 7 2 l{ 1- A ( _ 2 ^2 ) > * ( - Z . + 1 ) 2(-zw+3) { 1 - Av (A.8) I I

Voor I moet worden opgelost:

( i _ 1 )Z* l n y d y

[y^An y

- z„y * I n y + (-z„+l)_

z* (z*- 1 ) (_z +2)

+ y * ' l n y ] dy (A.9)

In p r i n c i p e gaat het om de oplossing van de i n t e g r a a l

ypl n y dy 1 (p+1) (p+D yv^ ' I n y -(P+D' (p+1) _(A.10) D i t ingevuld i n (A.9) l e v e r t : 1 ( A - l ^ l n y d y = ^ y ^ \ l n y - ^ » A J* (-z„+2) ,.. 1 i T^2) y z*( z* 1 } (-z*+3) 2(-z*+3) Y { I n y - (-zw+3) y=A

-40--1 (-zw+2) A("z*+ 2 ). { i n A (-zH+2) z„(z -1) _{* w} 2(-z„+3) (-Z-+3) -1

V

(A. 11)

Het transport wordt berekend u i t :

S = 1.83_{sus b 1 r} S. [ R U / I n ( — ) + I J ) ]

2.

(A.12) De bovenstaande berekening van de integralen I ' en 1^ i s slechts

geldig voor waarden z# o n g e l i j k aan 1, 2 en 3. Anders kunnen

echter de integralen u i t de v e r g e l i j k i n g e n (A.2) en (A.3) analytisch worden opgelost.

Voor z = 1 geldt nu:

(- - l ) d y = [ l n y - y ] -In A + A - 1 (A.13) I2 1 2 (- - 1) l n y dy = [ J ( l n y ) - ylny + y] = - l ( l n A ) + AlnA - A + 1 (A.14) Voor z^ = 2 geldt:

y D2d y [ ( - ± - 21ny) + y ] 21nA - A + (A.15)

I2 ( i y

1) l n y dy [(- ^f- ~ ^ ) - ( l n y )2+ ( y l n y - y ) ]

Voor = 3 geldt: D3d y = [—^ + f + 31ny - y ] 2y " •31nA + A- | + - ™ + | (A.17) I2* <7 l ) 3l n y d y = [ ( - ^ - ) + + §) + 2y 4y " " 3 2 yr ( l n y ) - (ylny + y) ] | ( l n A )2+ l n A ( A - | + - ^ ) - A - | + - ^ - + ^ (A.18) 1 h 7kl h 4A 4

In het computer programma BIJKZAN, dat op s c h i j f staat i n de com-puter van het Rekencentrum van de Technische Hogeschool t e D e l f t ,

i s de procedure INTSTIEF vervangen door de bovengenoemde reeksont-wikkeling.