De Ingenieur
Bouw- en Waterbouwkunde
4
IVI1E
rtorIum 'loor
fr.rchf
Mekelweg 2,2628 CD Deift
wL u1.
Constructies in wind en water: stochastiek en
dynamica in de civiele techniek
624.042627.52:532.59
IV. De analyse van constructies onder invloed van de
gstochastische
golfbelasting
door dr. ir. J. H. Vugts, ShH Internationale Petroleum Maatschappij NV., Den Haag
Synopsis: The Analysis of Structures Subjected to a Stochastic Wave Load.
Waves being essentially a dynamic and stochastic phenomenon, the wave forces on structures vary unpredict-ably in time. Any marine structure is therefore dynamically loaded. Since in the majority of cases the wave forces form a predominant part of the total pattern of loading, only in a few cases is a static estimate in analyzing the behaviour of such structures an allowable simplification. This is very obvious for the motions of floating units in sea waves, but it is equally valid for a stress analysis of both floating and fixed platforms. Consequently, a probabilistic evaluation is the only realistic approach to the problem.
The methodology for doing so is readily available in principle, at least for problems which can approximately be linearized for practical purposes. In this paper a very general method is proposed which is equally applicable to floating and fixed structures, regardless of the purpose of the investigation: forces, rigid body motions, elastic deformations or stresses.
In the paper, by way of example, a comparison for some applications on floating units is made between cal-culations and model experiments as well as full-scale measurements. The agreement is quite satisfactory. Finally it is outlined what the consequences of the method discussed are for the analysis of fixed platforms, compared with a conventional analysis under a chosen design wave.
The main emphasis in this paper is placed on methods for the analysis of marine structures subjected to waves if the stochastic character of the wave load is fully taken into account.
Notaties
- Een index a betekent dat de amplitude van een sinusvormig veranderende grootheid wordt bedoeld.
- Een andere index betrekt een symbool op een bepaalde groot-heid. dx
-
X =
-dt d2x-
x=
di'2Voordrachten, gehouden op de Vreedenburgh-dag dd. 18 november 1971 te Delft. Voor de aankondiging zie 'De Ingenieur' 1971, nr. 43, blz. A 825. De voordrachten van prof. ir. A. L. Bouma, prof. dr. R. Dorrestein en ir. J. A. Battjes werden gepubliceerd in De Ingenieur' 1972. nr. 27, bl7. R 35 ... B 52. Symbolen b d g m0 p u -V A CM
toegevoegde massa van een constructie-deel
per eenheid van lengte in de x-, resp. de
z-richting
analoog: dempingscoefficient per eenheid van lengte
waterdiepte
= versnelling van de zwaartekracht oppervlak van het spectrum druk van bet water
tijd
= vervorming van de constructie = sneiheid van een waterdeeltje = ingangssignaal
uitgangssignaal
= opperviak van de doorsnede
= coëfficidnt van de traagheidsterm in Morrisons vergelijking
Ci:, FA FE F FR FT F H H, R S(w) T
-Tm.n = T e 1 p p Cr 'pw w wn= coëfficiënt van de kwadratische
sneiheids-terni in Morrisons vergelijking
= ankerlijnkrachten
= totale uitwendige krachten = traagheidskrachten
= reactiekrachten van de vloeistof (fig. 4)
= grondkrachten
= totale belasting van de constructie = golfkrachten
= complexe overdrachtsfunctie van een lineair
systeem
= signiticate golfhoogte
(=2&)
= straal
= spectrale dichtheídsfunctie = schijnbare nuldoorgangsperiode
= gemiddelde schijnbare nuldoorgangsperiode = significante golfperiode
= breed te van het spectrum; fasehoek
= verticale golfuitwij king vanuit het stille
water-oppervlak = golfamplitude
= significante golfamplitude = maximale schijnbare golfamplitude = golfiengte
= golfrichting t.o.v de constructie = volumedichtheid van water
= spanning
= significante spanningsamplitude
= maximale schijnbare spanningsamplitude
snelheidspotentiaal
= diffractiepotentiaal
= potentiaal van de ongestoorde golf = cirkeifrequentie
= laagste frequentie van de veranderlijke
be-lasting of van het golfspectrum
= hoogste frequentie van de veranderlijke
be-lasting of van het goifspectrum eigen-frequenties van de constructie
L Inleiding
Op vele gebieden maakt een snelle ontwikkeling de extrapolatie van bestaande ervaring en bestaande procedures tot een
nauwe-lijks aanvaardbare zaak; daardoor wordt men vaak gedwongen terug te keren tot de basis van het fysische probleem. orn van daaruit theoretische wegen te vinden die naar een oplossing
leiden. Maritieme constructies vormen hierop geen uitzondering. ongeacht of zij drij ven of vast op de bodem staan: de voornaam-ste oorzaken zijn dat zu voornaam-steeds groter en gecompliceerder worden
en dat hun werkterrein zieh snel van de kusten verwijdert in de
richting van dieper water.
Bij maritieme constructies spelen vele aspecten een rol: zu
liggen o.a. op het gebied van de aërodynamica. hydrodynamica,
grondmechanica. theoretische en toegepaste mechanica. De terugkeer naar de fysische basis van het probleem vereist een grondige kenriis van de verschillende vakgebieden en daarmee een samenwerking van specialisten: dit artikel vorrnt daarvan
een duidelijke illustratie. Het gebied van maritieme constructies
is vooral het werkterrein van civiel-ingenieurs; de schrijver is
echter een scheepsbouwer. gespecialiseerd op het gehied van de
hydromechanica. Het vakjargon. het verschillend gebruiken van dezelfde termen en de verschillende methoden van aanpak
maken die samenwerking van specialisten minder
vanzelf-sprekend dan zu lijkt. ledereen is dan gebaat bij een
overzichte-lijke schematisering van het probleem. waarna elke specialist zijn dccl van het totale vraagstuk kan uitwerken.
Een dergelijke algemene opbouw wil ik nu in het volgende behandelen; ik zal rnij daarbij houden aan de terminologie, die
mi. het meest algerneen gebruikelijk is. Op versehillende punten
kan deze terminologie echter afwijken van wat in de civiele techniek is ingeburgerd: orn verwarring te voorkornen vraag ik daarvoor wel Uw bijzondere aandacht.
X
c ont ru at re y
Fig. I. Schematische voorstelling van het probleeni.
Std hei probleem uiterst schematisch voor in de vorm van een soort blokschema (fig. 1): de constructie wordt voorgesteld door een blok. de ingang is een signaal x. de uitgang een sig-naal i. Als x constant is. is y dat ook : het probleem is statisch. Als x verandert met de tijd doct s dat evenzeer; aisdan betreft het ecn dynamisch probleern. De algemene betekenis van het
woord dynamisch is dat de verschillende grootheden veranderen
met de tijd. Als y de veranderlijkheid van x onvervormd en in
een vaste verhouding voIgt wordt het probleem wet
quasi-statisch genoemd, maar het voorvoegsel 'quasi' duidt al aan dat hei vraagstuk in feite niet statisch. maar dynamisch is. Het
dynamische karakter van r wordt beïnvloed door twee zaken:
de eigenschappen van x en de overdracht van .v naar r (de
responsie van y op x) die schematisch wordt voorgesteld door
de eigenschappen van het blok. In de gevallen die hier besproken
worden zijn de eigenschappen van het blok onafliankeijk van de tijd: de mechanische eigenschappen van de constructie zijn immers constanten; dat betekent dat de enige oor:aak van een
dynamisch probleern is dat x verandert met de'tijd. De gevolgen
daarvan voor r zijn echter afhankelijk van de eigenschappen
van x en van de eigenschappen van het blok.
Neem als voorbeeld de doorbuiging van een balk ander
in-vloed van een puntlast. Een stijve balk zal quasi-statisch reageren
op een veranderlijke belasting: op elk moment is de
door-buiging een vaste (veer-)constante maal de momentane
belas-ting: het gedrag van dergelijke constructies wordt voortaan
statisch-elastisch genoemd. De doorbuiging van ccii minder stijve balk zal echter een zekere opsiingering vertonen, terwijl
het tijdstip van maximale doorbuiging niet langer samenvalt met
bet tijdstip van maximale belasting. De vermenigvuldigings-factor voor de belasting is dan geen constante meer, maar ai-hankelijk geworden van de massaverdeling van de balk en de frequentie van de last. Men zegt dan dat de responsie van de
balk op de last dynamisch is; daar wij hier spreken over het
elastische gedrag van de constructie wordt de responsie jets
nader gepreciseerd door in het vervolg te spreken over dynamisch-elastische constructies.
In beide gevallen veranden de doorbuiging van de balk echter B 54 DE INGENIEUR / JRG 84 NR 28/29 / 14 JULI 1972
onverander4ijk met de tijd statische belasting ritatisch probleem
3tat inch -elastische
re spossie
© statische
analyse
D statische
dynamisch deel van
de belasting klein toe. stati!oh deel van de belasting belastirig taagste eigen-frequentie Wn))(ûe
statisch - elasti che respo nsia
dynamisch deel van
de belasting qroot t.o.e Statisch deet van de belasting I'quai' - statische. dus eenl ® dynamische analyse alleen be n vI sed door de dynamische e ig en nc hap pe n van de belastirig) verandenlijk mt de tijd Ifrequentíeomvarig Wb<W<Wel dynamische belanting dynamÇobieem voor minstens
e'n van de eigen-frequenties geldt
'b <("n <We
dynamisch1- elastische
re s po ris e
met de tijd: het betrefi dus een dynamisch probleem: daarmee
Sis
nog niet gezegd dai hei ook noodzakelijk is, het vraagstuk dynamisch te analyseren. Tensione gaat het bij nagenoeg elk
technisch vraagstuk orn een verantwoord schatten van de groot-heden: hei is zinloos. hei probleem ingewikkelder te maken dan
nodig is. Een zeer schematisch overzicht van de verschillende mogelijkheden bij een spanningsanalyse en van de daarbij
ge-volgde aanpak wordt gegeven in fig. 2.
Het probleem dat opgelost moet worden is in alle gevallen
twee-ledig: ten eerste hei bepalen van de eigenschappen van hei
in-gangssignaal x en ten tweede het bepalen van de overdracht van hei systeem van de ingang x op de uitgang r.
In fig. I is hei gehele probleem door middel van één blok
voorgesteld; dat geeft dus de totale overdracht van .v op y. In eenvoudige gevallen kan dit voldoende zijn. maar meestal is het nodig het probleem veel verder te detailleren: dit verge-makkelijkt de oplossing en komt tegemoet aan de eis van een
overzichtelijke schematisering voor de verlangde samenwerking van specialisten.
2.Algemene aspecten van het probleem
2. 1. Dererministische en .stochastische processen
Behalve in statische en dynamische kunnen wij allerlei ver-schijnselen ook onderscheiden in deterministische en
stochas-tische.
Van een determinisrischevariabele staat het verloop in de tijd
volledig vast op elk moment heeft zij één enkele. ondubbel-zinnig bepaalde waarde. Een stochastische variabele kan niet ondubbeizinnig als functie van de tijd worden bepaald: elke tijdsregistratie geeft een toevallige weergave van een
stochas-tische variabele: de variabele kan in statisstochas-tische zin slechts
worden beschreven d.m.v. kansverdelingen. Nu zijn zeegolven
wezenlijk stochastisch in karakter; d.w.z. dat het ingangssignaal
in fig. 1 stochastisch ofwel 'random' is (en dientengevolge he!
uitgangssignaal eveneens).
Voor de constructeur is deze constatering niet prettig: bu is
gewend te ontwerpen op een deterministische belasting. op een
'waarde'. een 'getal: met kansverdelingen wee! hij in hei alge-meen niet goed raad. Er is één moge!ijkheid orn te ontsnappen BOUW- EN WATERBOUWKUNDE 4 / 14 JULI 1972
dynamischE .
©
analyse I bein-vised door de dynamische eigen-schappen van de belasting ende dynamischerespon-sie van de constructiet
aile belyngrijke elge n - trequenties
W5 «Wb
dynamisch- elast i3che
responsie,die echter nagenoeg nul is
dysam sche analyse, die
em. de erwaarIoosbaar geringe
responsie
door-gaans echter geheel achterwege
blijft
Fig. 2. Schematische indeling van de uit te voeren spanningsanalyse van een constructie, afhankelijk van dc aard van de belastmg en dc aard van de elastische responsie.
aan het stochastische karakter: stel dat de constructie statisch-elastisch reageert op de willekeurig met de tijd variërende be-lasting. dan zou die belasting misschien kunnen worden ver-vangen door een maximale waarde. zodat het uitgangssignaal eveneens maximaal is. Het stochastische probleem is via zo'n schatting overgegaan in een deterministisch probleem; dit kan een goede benadering zijn voor problemen die tot een statisch vraagstuk kunnen worden teruggebracht.
Dit geldt voor constructies die thuishoren in groep 1 en groep
2 van fig. 2; in deze gevallen kan het stochastische karakier in praktische toepassingen wel worden ornzeild. Voor groep 3 is
dat naar mijn mening op zijn minst twijfelachtig, zoals ik in hei
vervoig nog hoop aan te tonen. Werkelijk onmogelijk wordt bet echter voor groep 4: als hier hei stochastische karakter van
de zee-in-beweging verwaarloosd wordt, verliest de analyse elk realisme. Zodra dynamische verschijnselen (en daartoe behoort ook vermoeiing) van de constructie zelfeen belangrijke rol gaan spelen moden wij tot een veel gedetailleerder behandeling over-gaan.
Hei is bekend dat golven beschreven kunnen worden door een stationair en ergodisch Gaussisch proces als mathematisch
model aan te nemen. Indien de overdracht tussen x en y bij
benadering lineair is. geldt dit kenmerk ook voor de uitgangs-grootheid r. welke deze dan ook mag zijn: kracht, beweging als star lichaam, elastische vervorming of spanning. Voor een dergelijk proces zijn de kansverdelingen van de momentane
waarden. van de toppen en van de extremen, die gedurende een
zekere tijdsduur optreden. bekend. Vooropgesteld dat de in-gang x in de vorm van golven. en de overdracht van x naar y kunnen worden bepaald. kan hei hele probleem dan volkomen worden vastgelegd. ñj hei alleen in statistische zin en niet in
deterministische.
2.2. Beschryving in hei ri/dsdo,nein en in her frequentiedo,nein
Een lineair proces dat afhankelijk is van de tijd (dus een dyna-misch proces) kan beschreven worden in hei tijdsdomein en
in het frequentiedomein 1].
In hei i(jdsdoniein worden de grootheden uiteraard vastge-legd als funche van de tijd; men maakt daarbij gebruik van de impulsresponsiefunctie. dai is de responsie (uitvoer) van bet
systeem op een eenheidsimpuls als invoer.
In betjrequenuiedonieinworden alle grootheden
seerd als functie van de frequentie w;men gaat na wat bij een
sinusvormig ingangssignaal de amplitude en fase van het
even-cens sinusvormige uitgangssignaal wordt: de amplitude- en
faseresponsie worden tezamen vastgelegd in de complexe over-drachtsfunctie.
Beide beschrijvingen zijn u iteindelijk nacuurlijk equivalent;
daar het mathematisch model van de golfbeweging in een
on-regelmatige zee gebruik maakt van de superpositie van een
oneindig aantal regelmatige. sinusvormige golven ligt het voor de hand. bij maritieme constructies gebruik te maken van de
beschrijving in het frequentiedomein.
3. De spectrale analyse van het dynamische gedrag van maritieme constructies onder invloed van golven
Bij de beschrijving van hei onregelmatige zee-opperviak is de
spectrale dichtheidsfunctie van de golven S(w)geïntroduceerd.
kortweg meestal golfspectruni genoemd; deze is gedefinieerd door:
S(w)dw =:::
(w)2
(3.1)Door de golven worden in elk punt onregelniatige spanningen opgewekt; wij kunnen daarvoor volkomen analoog een
span-ningsspectrum definieren:
S(w)dw
i{()}2
o-ldo 2
Dit kan worden geschreven als:
(a (w))2
S(cu) da,=E
I {(w). o,_!do t(w)j 2 o.do Ç (a,))2 S (w) =E
S(a,) a()
In plaats van de spanning in een bepaald punt kan elke andere
grootheid worden gekozen. mits die een direct gevoig is van de
golftoestand; de relatie van de vorm (3.3) blijit daarbij onver-anderd geldig. Op welke grootheid hei spectrum betrekking heeft wordt in het vervoig aangeduid door indexering.
Het spanningsspectrum wordt dus verkregen door bet golf-spectrum te vermenigvuldigen met bet kwadraat van de ampli-tuderesponsiefunctie. Elke regelmatige golf resulteert in een bepaalde sinusvormige spanning a in bet beschouwde punt; de
verhouding daarvan is de overdrachtsfunctie H,,. Daar er in
het algemeen niet alleen een amplitude-overdracht plaatsvindt,
maar ook een fasedraaiing, is H,, complex; de
amplitude-verhouding is IH,,l en de fase-responsie is arg(H,,). Natuurlijk
is H niet alleen afbankelijk van de golffrequentie a, maar bijv. ook van de richting van de golven t.o.v. de constructie.
De ingang van bet lineair veronderstelde systeem is een
statio-nair. ergodisch en Gaussisch proces met een nul-gemiddelde. Voor hei uitgangssignaal geldt dan precies hetzelfde; geheel
analoog aan de golfbeweging geldt dan ook dat bet gemiddelde
van de variërende spanning. veroorzaakt door de golven. nul
is, terwijl de significante spanningsamplitude is:
=2.jm0
(3.4)(3.2)
zodat:
(3.3)
en een maximale piekspanning:
?CJm
(3.5)waarbij C een factor is, afhankeijk van het aantal wisselingen (dus de tijdsduur) die men beschouwt en van hei waarschijn-lijkheidsniveau. Bij dezelfde uitgangspunten zijn het precies
dezelfde factoren als die, welke gelden voor de beschrijving van de golven.
De verdeling van de stochastische spanning g(i) is Gaussisch.
terwijl de schijnbare spanningsamplitudes c een Rayleigh-verdeling volgen; althans als bet spanningsspectrum smal is. Als dat niet zo blijkt te zijo. kan de breedte van bet spannings-spectrum worden bepaald en kunnen de factoren in de
verge-lijkingen (3.4.) en (3.5). evenals de verdelingsfuncties.
overeen-komstig worden gewijzigd. In vele praktische gevallen zal het
echter voldoende nauwkeurig ñjn. te werken met de statistische
relaties voor een oneindig smal spectrum. Voor meer gedetail-leerde informatie over de statistische relaties wordt o.a.
ver-wezen naar [21 ... [6].
Het voorgaande geldt voor de stationaire. toestand van de zee
gedurende één bepaalde storm; men noemt de daarbij hehorende
statistische verdelingen ook wel kortetijdsverdelingen
(short-term distributions).
Voor een volledige beschrijving van het gedrag van een con-structie tijdens haar Ievensduur moet men natuurlijk ook
be-schikken over de langetijdsverdelingen (long-term distributions), die de veranderlijkheid van de golftoestand opnieuw vastleggen
d.m.v. een statistische verdeling en niet als functie van de tijd (dus niet deterministisch). De long-term distributions' vormen een probleem op zichzelf. waarover het laatste woord nog lang niet is gezegd; daarom zullen wij ons bepalen tot het gedrag van een constructie in een stationaire zee. d.w.z. tijdens één
bepaalde storm. Voor bet ontwerp zal men dan de zwaarste
storm, die men binnen de levensduur van het beoogde object
redelijkerwijs kan verwachten, als uitgangspunt moeten nemen. Gegeven de zee. komt bet gehele probleem van de dynamische
analyse van constructies dus neer op het bepalen van de
over-drachtsfunctie. Dat is een volledig deterministisch deelprobleem:
bepaal het gedrag (de responsie) van de constructie onder in-vloed van een regelmatige, sinusvormige golf; dit deel van bet vraagstuk wordt nu eerst besproken.
4. De overdrachtsfuncties 4.1. Inleiding
Uit het tot nu toe behandelde is duidelijk dat het 'statisch'
ge-drag en bet 'dynamisch' gege-drag worden gescheiden en lijk worden geanalyseerd; vanzelfsprekend worden de
afzonder-lijke resultaten daarna weer gecombineerd orn een totaalbeeld
te leyeren.
Deze scheiding is geheel in overeenstemrning met een lineaire
benadering. Het statische gedrag wordt beheerst door bet eigen
gewicht. de opdrijvende krachten, de ankerlijnkrachten of grondreacties, de stroornkrachten en de windkrachten; bet
dynamische gedrag door golfkrachten. reactiekrachten van bet vloeistofmedium en traagheidskrachten, zo nodig aangevuld
met bet veranderlijke dccl van de ankerlijnkrachten of de grond-reacties.
Het tèit dat windkrachten hier als statische krachten worden
opgevat wekt misschien bevreernding; ik meen echter dat zulks
voor maritierne constructies in bet algemeen gerechtvaardigd
rucur) (
Çnt
-steady, wind velocity v steady wind force P gravity forces buoyancy forces pressure forces) rigid -body motions x hydrostatic response force response rigid -body response Hm ass di st r but ion
response H5 inertial Y5 F forces Fr e y3+y w y total dynamic loadingF + + structure response X54- u4 anchoring system or soil response steady external forces
/+i
P0/
'4total static/
loading R1 structural response I stiffness matrix) Y2 1+ [Ye force response fluid reaction response H3 stady current velocity v steady current force c steady environmental forcesstatic rigid body displacement
_A anchor or soit reaction force P0 + 4 +
total external fluid reaction
dynamic forcesFE us torces F0
4 us Yo Y4 anchor or soil reaction torces F0,5 total dynamic j displacements sou anchor or soil respon e H, 53 C E V h
is, gezien de onderlitige grootte-verhouding van de
verander-lijke aerodynamische en hydrodynamische belastingen [7. Voor
vaste. slanke constructies op het land gaat dit zeker niet meer
op[8].
4.2. Net statische probleem
Het statische probleem wordt schematisch weergegeven in fig. 3.
Voor een gegeven constructie. wind- en stroomsnelheid ieidt bet tot bepaalde. constante verplaatsingen en vervormingen en een constant spanningsniveau in elk punt van de constructie.
Daar fig. 3 verder voor zichzelf spreekt en het dynamische deel van het probleem veci interessanter is. zullen wij op het statische
probleem niet verder ingaan. 4.3. Hei dynamische pro/i/cern
Het dynamische probleem wordt schematisch voorgesteld door fig. 4: deze omvat in één schema de bewegingen van drijvende
booreilanden en de spanningen daarin. de vervormingen en
spanningen iii vaste platformen, met een statisch-elastische
responsie op de dynamische belasting en de trilvormen en
spanningen in vaste platformen. waarvan de constructie
dyna-misch-elastisch reageert op de belasting.
Als de ingang van een bepaaid blok in bet schema x1 is en de
complexe overdrachtsfunctie van dat blok H1. dan is de
uit-gang - = H1x1. De verschillende totaal-overdrachten kunnen
dan in de afzonderlijke overdrachtsfuncties worden uitgedrukt
door de relaties consequent uit te schrijven: bij wijze van voor-beeld geef ik U de volgende drie:
go lfkrach ten golf
bewegingen star lichaam
X -'2 golf ç- X H1 H2 spanpingen
-
fXI
HIHÓHO (l+H2H5) (4.3.3) l_(H3+H4)(H2+H+H2H0H4)Fig. 4 is een volledig algemeen schema. In ceo speciaal geval zijn
verschillende vereenvoudigingen mogelijk doordat hepaalde overdrachten H nul zijn of te verwaarlozen zijn toy, andere: wij zullen daarvan in de hoofdstukken 6 en 7 nog enkele
voor-beelden bespreken.
4.4. Hei structure/c dccl van de ana/yse
Het elastische gedrag van de constructie zelf is in fig. 4 een-voudig afgedaan met blok 6. Het gedeelte van het schema dat betrekking heeft op de toegepaste mechanica is veel minder gedetailleerd dan dat voor de hydromechanica. De reden daar-van is dat dit gedeelte voor bet onderwerp daar-van dit artikel geen belangrijke rol speeit (waarmee echter bepaald niet bedoeld wordt dat bet dynamisch-elastische gedrag geen constructief probleem zou zijn). Maar, gegeven de belasing. kunnen
ver-B 57 golf XI (4.3.2) 1(H3+H+)(H,+H6+H2H5H5) structural response Istiffness matrix) He dynamic deformations u Ye
a
stress resPnnseH]3 Y7dynamic stresses a'nominalI
Fig. 4. Schematische voorstelling van het dynamische dccl van het probleem voor de bepaling van de overdrachtsfunctics.
OUW- EN WATERBOUWKUNDE 4 / 34 JULI 1972
st at deformations U to at st at iç excu saris stress response X5 + u5 nominal) static stress level
Fig. 3. Schematische voorstelling van bet statische deel van bet pro-bÌcem voor de bepaling van het statische evenwicht.
=
(4.3.1) (wave regular wave component X3 force response wave forces F FR+FAS Ys+Yavormingen en spanningen min of meer met standaardprocedures
en standaardrekenprogrammas worden bepaald: men kan bijv. denken aan de eindige-elementenmethode volgens het principe van de verplaatsingsmethode. 1k laat dat gaarne aan de
specia-listen over.
Nog slechts één opmerking over de toegepaste-mechanicazilde
van bet probleem: zoals reeds vermeld wordt het gehele systeem
in eerste instantie lineair behandeld. Dat betekent ook een
lineair verband tussen belasting en vervorming en tussen ver-vorming en spanning; de elementen van de constructie en de materiaalsoort moeten hieraan voldoen. Het gebruikelijke staal voldoet in hoge mate aan deze eis (vooropgesteld dat de span-ningen beneden de vloeigrens en de vervormingen binnen het
elastische gebied blijven).
Deze veronderstellingen zijn uiteraard alleszins redelijk. maar misschien is het toch goed er nog cens uitdrukkelijk op te wijzen dat ook hier een meestal voetstoots aanvaarde linearisatie wordt toegepast. Spanningsconcentraties worden als een geheel apart. lokaal probleem gezien en niet in het geheel beschouwd; daarom
worden de resulterende spanningen aangeduid als nominale
spanningen. 4.5. Bes/uit
De verschillende overdrachten zijn nogal ingewikkeld door de
verschillende interactie-effecten. Overigens komen de
ver-schillende interactie-effecten niet uitsluitend tot uitdrukking in de gecompliceerdheid van de formules voor de overdrachts-functies. Een schematische voorstelling in een blokschema als fig. 4 is nl. niet finaal: het schema kan verder worden
gedetail-leerd Of worden vereenvoudigd door blokken samen te nemen.
zonder de opzet van het vraagstuk ook maar in bet minst te
wijzigen. De formules voor de overdrachtsfuncties worden dan
overeenkomstig gewijzigd, al is het eindresultaat uiteraard
identiek. Wij moeten dan ook altijd bedacht zijn op mogelijke interactié-effecten binnen een bepaald blok; dat is hier het ge-val in blok L waar een duidelijke interactie tussen de golven en de constructie optree4t. Anders gezegd: de golf'krachten
worden mede beïnvloed door de vorm van de constructie.
Aan de vorm van de overdrachtsfuncties kan min of meer worden gezien welke invloed elk effect op het eindresultaat
heeft; met bepaalde effecten is het eindresultaat recht evenredig.
terwijl andere alleen in combinatie of langs twee verschillende wegen in de totale overdracht voorkomen. In alle gevallen is
H1 (de krachtoverdracht van golven op de constructie) recht evenredig met het eindresultaat: daarom zal daaraan afzonder-lijk aandacht worden besteed in hoofdstuk 5. Voor drijvende constructies is een rekenmodel opgesteld voor H1. H, en H3. getoetst aan experimenten en in orde bevonden. Voor zover
van de tot nu toe zeer succesvol verlopen toepassingen op
drijvende booreilanden gegevens beschikbaar zijn zullen deze in hoofdstuk 6 worden besproken.
Bij de uitvoering van de berekeningen. die schematisch 4m
weergegeven in fig. 4. zijn faserelaties zeer belangrijk. Alle Alle x en hebben een bepaald faseverschil toy. ccii gekozen
referentie: zu zijn dus alle van de gedaante:
X1
= x sin(wI + c1) = x sin w! + x cos w!. met
= cos
= x. sin
Daarom ijn sonmaties in fig. 4 geen algebraische. maar vectoriële sommaties: door alle termen te splitsen in een
sin w!- en een cos wi-component gaan zu over in algebraIsche
sommen. Door dit voor elk onderdeel van de constructie t
doen wordt bereikt dat de constructie wordt belast door krach-ten die onderling allemaal dezeliUe fase hebben en dus
gelijk-tijdig werken. Als de responsie van de constructie
statisch-elastisch is kunnen de gebruikelijke statische sterkteprogramma's
achtereenvolgens tweemaal worden toegepast; éénmaal onder de sin wt-belasting en éénmaal onder de cos wt-belasting: de resulterende vervormingen en spanningen moeten vervolgens vectorieel worden samengesteld. Voor cli,namisc/i-elastische constructies zijn echter speciale computerprogramma's
nood-zakelij k.
5. De golflrachten
5.1. Dc herekening ran go/Jkrachíen
Onder golfkrachten worden per definitie de krachten op de
stilstaande en onvervormde constructie verstaan: de
starre-lichaamsbewegingen en de elastische vervormìngen worden dus
vastgehouden gedacht. De extra-krachten die ontstaan door-dat de constructie we! beweegt en vervormt komen tot uiting via blok 3 in fig. 4; dit blok produceert met de ingangsgroo beden y2 en th de uitgangskrachten die bij de golikracht worden opgeteld. rekening houdend met de juiste faserelaties.
Golfkrachten zijn bet gevolg van waterdrukken. die altijd
loodrecht op de oppervlakte van de constructiedelen werken.
Bij bekende druk zou bet vraagstuk vari de berekening van
golf-krachten eenvoudigweg gereduceerd worden tot hei integreren
van de druk over bet totale opperv!ak van de gehele constructie;
bet probleem is hier echter in feite het bepalen van de druk. In
een ideale vloeistof (homogeen. onsarnendrukbaar en
wrijvings-loos) is dit in principe mogelijk met behuip van de potentiaal-theorie: voor een werkelijke vloeistof kan de berekening zeer bemoeilijkt worden als de invloed van de viscositeit niet langer
kan worden verwaarloosd.
Een exacte oplossing (waarmee bet bepalen van de juiste potentiaalfunctie en daarmee van de druk op de constructie
wordt bedoeld) is voor enkele eenvoudige vormen zoals een
verticale. cirkelcilindrische paal en bui een gelineariseerde
theorie een klassiek en oplosbaar probleem. De potentiaal be-Staat uit twee delen. nl. de potentiaal P van de onverstoorde inkomende golven en de diffractie-potentiaal cPd. die de ver-storing van de golven door de aanwezigheid van de constructi'
representeert:
= q? + cpd (5.1.!)
De moeilijkheid schuilt uiteraard in die voor meer ingewik-kelde constructies al niet meer kan worden bepaald. Daar beide termen invloed hebben op de druk en daarmee op de golfkracht
is bet ontoelaatbaar, alleen met P te rekenen: voor een voor-beeld van de exacte methode wordt o.a. verwezen naar [12]. In de scheepshydromechanica is een benaderingsmethode in gebruik. gebaseerd op de zgn. relatieve-bewegingshypothese [13. 14]. die natuurlijk ook op maritieme constructies in meer :ilgcmene zin toepasbaar is. In principe wordt hiermee ook een exacte oplossing bereikt. al beperkt de praktische uitwerking de resultaten doorgatms tot het gebied waarun de golfiengten
grout zijn t.o.v. de doorsnede van de constructie. Bui deze
I) Met krachten worden hier steeds in het algemeen krachten of
momenten bedoeld.
5 i0 o 410° Za o 10106 rkgfmi L 510° Ka 4
aI
o 10106 5. 106 4 iO 2 1o Na o reLative-motion- -- 2 hypotheni: X=fdyj-pc Rd L Z=fdyff-psino+a V+bz,V } RdX equal to X=/d,[lp4+axI + bxxvxl Z=fdY[lPA+a1)Yz +bz,vz]Morrnon - equation X=fdJ'ICM P4x )+fdy
L L
Z=fdylCM'Mvz +fdyccotpEzIvzI2R)
s
L LFig. 5. Golfkrachten op een ondergedompelde cirkelcilinder met horizontale as. ji = 40° ji o ji = 40° 0 0.5 1.0
U
= 20°u...
....
ji = 50° p=30° u 60° 0 05 10 0 05 10-. w
[raiiJ
400 dog o-y 400 200 o 400 200 C-' o 400t
200 o 400 200 o 400 200 O o ji = 0° = 00 ji =40° o p = 20° p=5Qji20°r
ji = 50°p2 0°
-Li =-5011g. 6. Voorbeeld van bcrekende en gcmeten golfkrachtcn op het diep drijvende booreiland Stallo.
OUW- EN WATERBOUWKUNDE 4 / 14 JULI 1972
p 30° p =60° 0.5 10 0 05 10 0 0.5
-.-w
[radì = 30° 1.0 B 59methode bestaat de golfkracht uit drie componenten: de drukkracht in de ongestoorde golf
de toegevoegde massakracht (5.1.2) de dempingskracht
De eerste component is de resultante van de druk in de
onge-stoorde golf, dus afkomstig van cP. De tweede en derde term
tezamen vertegenwoordigen de invloed van de diffractie van de golven orn de constructie. De dempingscoefflcient in de laatste term heeft natuurlijk betrekking op de demping die veroorzaakt
wordt door golfuitstraling naar het oneindige. want de vloei-stof is immers wrijvingsloos verondersteld. De snelheden en versnellingen van de waterdeeltjes in deze termen moetert
be-puald worden in de ongestoorde golf: zu kunnen dus direct van de golfpotentiaal worden afgeleid.
Tenslotte noem ik de bij civiel-ingenieurs meer bekende manier orn golfkrachten te berekenen: de vergelijking van
Morisson e.a. [l5] in deze vergelijking is de invloed van de
viscositeit van het water verwerkt door invoering van een weer-standsterm met een empirische C0-coëfficient.
5.2. Voorbeelden en besluit
Voor het geval van een volledig ondergedompelde cilinder zijn in fig. 5 de golfkrachtformules volgens beide methoden
ge-geven. De plaats ontbreekt echter orn op een onderlinge ver-gelijking in te gaan. hoe interessant dat ook zou zijn: ik moet rnij beperken tot de opmerking dat naar mijn mening de
be-FORCE RESPONSE H1
F
w+
FE = Fw +FR-I
rekening met de relatieve-bewegingshypothese in haar opzet juister en meer universeel bruikbaar is. 1k meen dan ook dat
deze methode de voorkeur verdient boyen die van de Morrison-vergelijking: als de verwaarlozing van de viscositeit niet geoor-loofd is, kan er een empirische vierde component aan de kracht
worden toegevoegd. analoog aan de CD-term bij Morisson. De
voor Morrison bepaalde waarden zullen dan overigens niet
rechtstreeks bruikbaar zijn.
De berekenin van golftrachten met de relatieve bewegings-hypothese gaat uit van een gelineariseerd geva!; d.w.z. dat dan ook een lineaire golftheorie moct worden gebruikt. dus Airy-golven en geen hogere-orde-benaderingen zoals van Stokes.
Ook dit is geheel in overeenstemming met spectrale analyse. die
immers in principe alleen geldt voor een lineair probleem. Het zal een belangrijk punt zijn orn aan te tonen hoe nauwkeurig
(of onnauwkeurig) een lineaire benadering is. alvorens een
ver-fijning met niet-lineaire termen gerechtvaardigd wordt: met proeven op laboratoriumschaal zal dat moeilijk zijn in verband met de onrealistisch grote invioed van viscositeits-effecten bij lage Reynolds-getallen. Een voorbeeld van de goede
overeen-stemming van berekende en gemeten krachten op het drijvende
booreiland STAFLO van Shell UK Ltd. geeft fig. 6.
samenge-steld uit materiaal van [IO].
6. Toepassing op het dynamische gedrag van drijvendc constructies
6.1. Inleiding
-Volgens de hier beschreven methode zijn reeds verschillende berekeningen voor drijvende booreilanden uitgevoerd: deze zou ik nu willen gebruiken orn de juistheid en bruikbaarheid van de methode te demonstreren voor de blokken 1, 2 en 3 uit
fig. 4.
Wij zullen alleen aandacht besteden aan bet dynamische deel
van hei. probleern onder invloed van golven. Alle grootheden
bewegen zich dus orn een gemiddelde. dat zonder beperking van
algerneenheid = O gesteld kan worden. Voor scheepsvormige
lichamen is de theorie gedurende de laatste 15 jaar ontwikkeld:
voor andere drijvende constructies. zoals booreilanden. is de
ontwikkeling veel recenter: met name J. P. Hooft van het
Nederlandsch Scheepsbouwkundig Proefstation te Wageningen
heeft hierin de laatste paar jaar goede resultaten geboekt.
AVE)
±
- 1-/1H3 [eq 4.3 2 1 without anchor lune retraint and neqlecting /u]Fig. 7. Schematische voorstelling van het deelprobleem van de be-wegingen van drijvende platforms.
Voor dc bepaling van de overdrachtsfuncties van de bewegingen
van vrij drijvende booreilanden in regelmatige golven kunne wij volstaan met het schema in fig. 7. hetwelk eert onderdeel i
van het volledige schema in fig. 4: de krachtoverdracht van
golven op de constructie hebben wij al besproken. Voor drijvende
constructies zal in bijna alle gevallen een nauwkeurige bereke-fling met een lineaire theorie mogelijk zijn; voor min of meer scheepsvormige constructies wordt verwezen naar [9] en voor diepdrijvende booreilanden naar [lOI. Achtereenvolgens zullen
wij dan nude reactiekrachten van de vloeistof ende bewegingen behandelen.
6.2. De reactiekrachien van de vloeisîof FR
In overeenstemming met de lineariteit is hei. probleem van een
bewegende constructie in golven geijk aan de som van de
stil-gehouden constructie in golven en de bewegende constructie in
stil water. Het tweede dccl van hei. probleern levert de reactie-krachten FR: in de scheepshydromechanica is dit een kern-probleem en er zijn zeer vele onderzoekingen ter hepaling van FRgedaan: een overzicht (zij het niet volledig) vindt men in [91-De reactiekracht is bekend als men de toegevoegde massa's. de
dempingscoefficienten en de hydrostatische coëfficiënten in all
richtingen kan bepalen: de koppelcoëfficiënten van de ene b
wegingsrichting met de andere zijn daarbij in het algemeen zee belangrijk, ziì mogen beslist niet worden verwaarloosd.
Voor constructies die zieh in of dichtbij de vrije oppervlakte bevinden zijn deze grootheden afhankelijk van de frequentie van beweging. Voor constructies die zieh geheel en voldoende
diep onder water bevinden verdwijnt de frequentie-afhankelijk-heid: alsdan worden deze grootheden constanten: diepdrijvende
booreilanden bevinden zieh tussen beide situaties in. Het is
gebleken dat de frequentie-athankelijkheid voor booreilanden verwaarloosbaar klein is. zodat de berekening met aanzienlijk
eenvoudiger middelen kan geschieden [IO. Il].
Uit de voor schepen en booreilanden uitgevoerde onderzoe-kingen is gebleken dat lineaire berekening van FR voor zeer verschillende soorten maritieme constructies goed mogeijk is
en goed met metingen overeenstemt. Daarom kan met
ver-trouwen gezegd worden dat voor ingenieurstoepassingen lineaire
berekening van de overdrachtsfunctie H3 en van de reactie-krachten FR mogelijk is.
6.3. De bewegingen van drijvende boorei/anden
De enige onbekende in de berekening van de ovcrdrachtsfuncties
voor de bewegingen van drijvende booreilanden in regelmatige golven is dan nog H2. die onmiddellijk voigt uit de hoofdwet
van de theoretische mechanica (de wet van Newton): voor
rdatief kleine bewegingen en de daardoor mogeijke linearisatie -kunnen de uiteindehjke bewegingsvergelijkingen dan direct
worden opgeschreven.
Berekeningen van de overdrachtsfuncties en metirigen aan modellen in goiftanks toñen een goede overeenstemming: dit moge blijken uit de voorbeeIden. gegeven in fig. 8. Daarrnee is de basis gelegd voor het dynamische bewegingsgedrag in
on-regelmatige golven op zee: de behandeling is volkomen analoog nan die. vermeld in hoofdstuk 3. waar de spanning als voorbeeld
is genornen: de enige verandering is dat de spanning ir door de
betreffende beweging x1 moet worden vervangen. Men kan hei.
probleem ook omkeren: std dat uit geijktijdige metingen op
zee het bewegingsspectrum S, en bet golfspectrum S; bepaaid zij n.
dan voigt de modulus van de overdrachtsfunctie (de
amplitude-B 60 0E INGENIEUR / JRG. 84/ NR. 28/29 / 14 JULI 1977
RIGID BODY FLUID REACTION
I
2.0
o 05 1.0 1.5 0
- ¿:0 = 2L [rad/sJ
r
ierhouding) volgens vergelijking (3.3) uit:
X.a(Q))
/s,(w)
C(w) V S (w)Dit is uitgevoerd voor de verticale beweging van de draaitafel
aan boord van bet booreiland STAFLO in de Noordzee hei
resultaat wordt gegeven in fig. 9. Als conclusie mag worden
ge-zegd dat berekeningen volgens de beschreven methode goed
overeenkomen met zowel modelproeven als met ware-grootte-metingen.
6.4. De vervormingen en nominale spannin gen ¡n dri/vende boor-eilanden
Na de zo succesvolle berekening van de golfkrachten. de reactie-krachten van de vloeistof en de bewegingen als star lichaam is bet een logisch vervolg, het schema van fig. 4 te voltooien en de
ver-JUW- EN WATERAOUWKUNDE 4 / 14JULI 1972
2.0 10 OQQO Q vs O LÊ5.C') N 1 ti 0.5 10 15 2Tt »_ & = - [rad/s] T QQS m wave periodT[s]
Fig. 8. Voorbeeld van be-rekende en gemeten over-drachtsfuncties voor
debe-wegingen van een diep
drijvcnd booreiland.
vormingen en nominale spanningen in alle gewenste punten te berekenen: de andere blokken bieden geen bijzondere
pro-blemen meer. Dit werk wordt momenteel dan ook door het
Nederlandsch Scheepsbouwkundig Proefstation te Wageningen
uitgevoerd op verzoek van en in nauwe samenwerking met
Shell Internationale Petroleum Maatschappij: resultaten kunnen op bet ogenblik nog niet worden gegeven.
Maar als de overdrachtsfuncties bepaald zijn kunnen de door
de dynamische golfbelasting veroorzaakte dynamische span-ningen in elk golfspectrum worden berekend. Op deze manier kan bet stochastische karakter van de zee-in-beweging en bet overeenkomstige stochastische karakter van de spanningen in rekening worden gebracht daarmee is de basis gelegd voor een
realistisch sterkteonderzoek van drijvende booreilanden en
wordt informatie verkregen over aantal en grootte van de
span-ningswisselingen voor een vermoeiingsonderzoek.
Vanzelf-sprekend moeten de statische spanningen niet worden vergeten: zij bepalen het gemiddelde niveau waaromheen de stochastische spanningsvariaties plaatsvinden. B 61 Model tests in 140 o 4.5
+ 90105m
JJ= 7.5 m waterdepth U m waves waves 51L o 0 + 4. w Model tests n 140m o 4,5 -'7.5 9.0 -10.5to .#-p=U waterdepth m waves waves Model tests ri 140 o 4.5 --- 7.5 + 9.0- 10.5 ni waterdepth ni waves in waves o + n OO o ¿ Model tests iv 140 ro45 .75
9.0---lo5rnwaves P waterdepth in waves o + 4 o o to/1
05 10 o 05 10 1.5 ,_ w 2 [radis] w = [radis] Q QQ Q o vs QQS vs -. vs vs N I 11 I I wave period T [s] 2.0 10 2.0 r 1.0 wI
E "s E B 62 0 300 0.5 05 aves o 1.0 1.5 1.5
Fig. 9. Vcrgelijking lussen berekeningen en ware-grootte-metingen voor de verticale beweging van de draaitafel op bet booreiland Staflo.
F1 STRUCTURAL RESPONSE (STIFFNESS MATRIX) H6 *-e SOI L RES
PONSj
FORCE RESPONSE H1 FR o,Response of the structure
dynamic elastic 0.5 tO 15
.-..-
w [rad Is FLUID REACTION RESPONSE H3L__
I Fr+tF5 caIu taled, water'depth 80m measured 4 lehr 1971, 02,40 03 00 hr waterdepth 85m I F) F5 HH6H 1-(H+H4) H6staticelastic
w. -2=
H H6H7 )eq.4 3.3.1 with H2 O1-H4H
and y3 = /13x 3 0
teq.4.3.3.) with /12 0
7. Toepassing op de analyse van een vast platform 7.1. Algemene besehouwing
Evenals bij drijvende constructies wordt alleen aandacht be-steed aan bet dynamische dee! van het volledige probleem. Het algernene schema van fig. 4 wordt voor een vast platform
ver-eenvoudigd tot fig. 10.
De totale belasting is de vectorsom F + +F9. Het is hier
niet de plaats (noch ben ik de man) orn over de grondkrachten
F5 te praten. Bij een statisch-elastische responsie van de con-structie speelt FR verder helemaal geen rol: daarorn wil ik mij beperken tot bet stochastische karakter van de golfkrachten:
omdat zowel FR alsF5een direct gevolg is van F. verandert dit
niets aan de eigenschappen die ik onder de aandacht wil brengen. In het hierna volgende worden twee eenvoudige gevallen van een vast platform beschouwd. die verondersteld worden
statisch-elastisch op de belasting te reageren: het eerste is een enkele,
verticale paal, het tweede een hefeiland op vier poten. Wij zullen de golfbelasting bepalen met de methode van de 'maximale golf'
als ontwerpgolf en met een spectrale analyse bij bet volledige golfbeeld. Een vergelijking van beide methoden geeft een goed en overzichtelijk beeld van de invloed van bet stochastisch karakter van het probleem.
7.2. De goifbelasting op een enkele paul
Voor een enkele ronde paal van 4.50 rn diameter U5 ft) in een waterdiepte van 60 m (200 ft) wordt de horizontale kracht en bet moment orn de voet van de paal als gevolg van de golftoe-stand berekend (fig. li). De zee wordt beschreven door een
Pierson-Moskowitz golfspectruni met:
- significante golflioogte H = 2& -= 13.10 m (43 ft)
- gemiddelde periode Tm.n = 13 s
AL
, '-.,
AAAIAA
. tD=4.50m I lSft) 2amax24.3Om (Soit) 15= 163 H=13.lOm{431t) ïmn=135 s calculated by eq. d dl o Iw)dw oa°'}
fMwalWl[2 w)dw Wa.5= ia(WtJ '4
irregular wayesYVL
I,
L A A A A NA A A A L A £
y y y y vv y
y y i
2ar24.3Om 8011) T 16,F.« is calculated by eq. 5.1 2.1; TMw =1 IdF=
Design wave
15.1 2.1; aaI
''I
Mwa /a = j lFDE INGENIEUR / JRG 84/NR. 28/29 / 14 JULI19 Fig. 10. Schematische voorstelling van bet spanningsprobleem in Fig. 11. lllustratie van de berekening van krachten co momenten
een vast platform. op een enkele paal.
STRESS RESPONSE H7 15 1 .0 E E 05 t
rtf Lm a [m2 s 1w) 50 r ro L
iio
ca o 30106 D 2rn2's] 20-S,4fw)W) f ioio650 period of design wave
acfua) transfer function
approximated transfer function fordesign wave method
0.5 10 15
actual farce spectrum
approximated force spectrum far design wave method
Fig. 12. Bepaling van heI krachtspectrum op eon enkek paal.
2-10g period of design wave
actual transfer function
approximated transfer
function for desìgn wave method
appruoimated moment spectrum for design wave method
0.5 1.0 15
-. w [rad/o]
Fig. 13. Bepaling van bet momentspcctrum orn de vocE van ceo enkele paal.
OUW- EIS WATERBOUWKUNDE 4 / 14JULI 1972
Dit correspondeert niet een zgn. ontwerpgolf met een h.00gte. gelijk aan de meest waarschijnlijke maximale hoogte in 1000
golven:
2a=2=24,30m(80ft)
en een periode. gelijk aan de significante periode:
T = T,, = 16 s
De keuze van de ontwerpgolf is dus in leite het resultaat van een statistische beschouwing en daarmee verbonden aan een
waarschijnlij kheidsniveau.
Deze goiftoestand zou bijv. karakteristiek kunnen zijn voor de zgn. 100-jaars storm in bepaalde delen van de Noordzee: de werkelijke toestand van de zee en de benaderende ontwerpgolf zijo schematisch aangegeven in fig. Il: de golfkrachten worden
berekend met de relatieve bewegingshypothese. De overdrachts-functie vail de golfkraeht Fwu/ is gegeven in fig. 12a. bet
golf-spectrum in 12b en bet door de in hoofdstuk 3 beschreven
methode verkregen krachtspectrum verkregen in fig. 12e. Voor bet moment orn de voet van de paal is hetzelfde gedaan
in fig. 13; de resultaten van de berekeningen met de
ontwerp-golf en volgens de spectrale mars icr zijn samengevat in tabel I.
Met de ontwerpgolf vindt men natuurlijk één vaste waarde
voor de golibelasting. die vergeleken moet worden met de meest
waarschijnlijke maximale waarde van de spectrale methode orndat die in leite van hetzelfde waarschijnlijkheidsniveau
uit-gaat.
Tabel I. Vergelijking van de golf'belasting op een enkele paal
bij gebruik van de ontwerpgolf en van hot volledige golfspectrum. amplitude van I ontwerpgolf 335 98 Il 200 90 2 significante waarde 184 6680
-3 nicest waarsehijnlijke maximale waarde (63 kans op overschrijding) 342 100L4()
100 4 maximum met 5ì kansop overschrijding 408 119 14 4() 119
De ontwerpgolf-methode is essentieel een deterministische en
geen stochastische methode: zo men wil kan men echter de
resultaten van een stochastische interpretatie voorzien. Als men
in gedachten gebruik maakt van bet volledige golfspectruni in plaats van één golf betekent de ontwerpgolf-methode in feite dat men de overdracht voor één bepaalde golfperiode bepaalt en de overdrachtsfunctie vervolgens als een constante over het volledige frequentiegebied beschouwt. Zuiks is aangegeven in fig. 12a en 13a: hot kracht- en momentspectrunl. dat daarmee
zou ontstaan . is gegeven in fig. 12e en 13e. Hot zal duidelijk zijn
dat bet zuiver toeval is dat de oppervlakken van werkelijke en benaderde spectra vrijwel geijk zijn. wat tot uiting komt in de
overeenstemming tussen de waarden sub i en 3 in tabel I.
Een aspect dat bij de methode van de ontwerpgolf vaak in het
geheel niet aan de orde komt. is bet zieh bewust zijn van bet
te lopen risico. De ontwerpgolf geeft ceri kracht en cen moment B 63 Nr. moment om kracht de voet (ti') (tf m) 0//0 0.5 1.0 w [rad/sj 0.5 1.0 1.5
dat doorgaans als de maximale belasting wordt beschouwd die in de gegeven golfcondities kunnen optreden. Niets is echter minder waar: indien men gebruik maakt van spectrale analyse
\45.
wave direction
Fig. 14. Voorbeeld van een hefeiland met vier poten.
period of design wave
1,00
rif
Lm 100 Fwa 0.5 lo 15-b.
w [radis] = 00 0.5 1.0 1.5 w [rad/sJFig. 15. Overdrachtsfuncties voor de golfkrachi en hei golfmoment toy, de zeebodem voor een heleiland met vier polen.
B 64
450
= 0°
approx I'm oled
en statistische theorie ontkomt men niet aan het doen van een
keuze voor de overschrijdingkans. In het geval van doze enkel paal in de gegeven storm is cr63 °/ kans dat de ontwerpbelasting
wordt overschreden; er is zeifs flog een 5% kans dat eon 22%
hogere kracht en een 32 hoger moment dan de
ontwerp-belastino wordt overschreden. 7.3. De goljbelasiing op een hefi'i!and
Op precies dezell'de manier als voor de enkele paal geschiedde is de goifbeiasting op een vierpoots hefeiland berekend voor golven in de lengterichting van het eiland (p = 00). De situatie is in fig. 14 geschetst; de waterdiepte is in dit geval op 90 m
(300 ft) verondersteld. De bestand van de zee is dezelfde als die voor de enkele paal.
De overdrachtsfuncties voor de totale kracht en moment
hebben nu ecu veci wisselender verloop. zoals blijkt uit fig. 15; dit wordt veroorzaakt door de faseverschillen tussen de krachten
op elk van de vier poten afzonderlijk: de resultaten van de
be-rekeningen zijn samengevat in tabel 2.
Tabel 2. De goifbelasting op een vierpoots-hefeiland bij gebrui
van de ontwerpgolf en van het volledige goifspectrum p = O
amplitude van
Dat ook voor hot hefeiland de ontwerpgolf-methode zo goed overeenkomt met het meest waarschijnlijke maximum bij ¿ spectrale methode is opnieuw toeval. Hot resultaat hangt vol1e'. dig af van de vorm van de overdrachtsfuncties en van de golf-toestand: d.w.z. van de plaats waar de ontwerpgolf de over-drachtsfunctie aansnijdt en van het golfspectrum. Het is dan ook interessant, hot hefeiland eons in een ander golfspectrum te plaatsen. gekenrnerkt door ecu significante golfhoogte van
5.75 m (19 ft) en een gemiddelde periode van 8.9 s. Dai corres-pondeert met een meest waarschijnlijke golfboogte van 10.70 in (35 ft) bij een significante periode T, = 11 s; dit zou de 100-jaars
storm in de Perzische Golf kannen voorstellen. De ontwerpgolf heeft dan een frequentie van 0.57 rad/s en de benaderde over-drachtsfuncties kornen overeen met een punt op de flank van
de eerste tak (fig. l6a): tabel 3 geeft de resultaten van de
bereke-fingen voor de golfrichting p = 00. Voor hetzelfde eiland en
hetzelfde waarschijnlijkheidsniveau geeft de
ontwerpgoll-methode nu 12 tot 13° lagere waarden voor de golfbelasting
dan de spectrale methode. in tegenstelling tot de 8 tot 12°/0
hogere waarden in bepaalde Noordzee-condities (vergehjk
tabel 2 en 3). DE INGENIEUR JRG 84 ¡NR 28/29/ 14 JULI 197 kracht (tI) (0/j) moment orn de voet (tf m) (%) 1307 112 74000 108 629 36950 1170 lOO 68700 100 1396 119 82000 119 Nr. I ontwerpgolf 2 significante waarde 3 meest waarschijnIijke maximale waarde (63°/0 kans op overschrijding) 4 maximum met 5 kans
Tabel 3. De golfbelasting op een vierpoots-hefeiland bij gebruik
van de ontwerpgolf en van bet volledige spectrum; p = 0.
Het is duidelijk onmogelijk orn vooraf te bepalen of de
ontwerp-golf een te conservatieve of een te optimistische schatting van de belasting zal geven. Veronderstel dat de ontwerpgolf een
Speriode
van 10 s i.p.v. 11 s zou hebben de benaderde.
con-stante overdrachtsfunctie zou dan overeenkomen met een nog lager punt op de flank bij w = 0.63 rad/s: als gevolg daarvan
zouden de verschillen nissen beide methoden nog groter worden. nl. een 40 geringere kracht en moment met de ontwerpgolf!
10 l0 - r-Mwa
o-5010 f2. SFWIW) amplitude vanFig. 16. Bepaling van de kracht- en momentspectra voor een hefeilarid met vier poten.
BO(JW- EN WATERBOUWKUNOE 4 / 14 JULI 1972
Een paar algemene opmerkingen over te verwachten effecten
kunnen nog wel worden gemaakt:
- In verband met bet feit dat de golfenergie snel afneernt met
toenemende frequentie w zal doorgaans de eerste tak van de overdrachtsfunctie de belasting domineren. De tweede tak kan
echter zeker belangrijk worden bij dynamisch-elastische
respon-sies van de constructie; uit fig. lôa blijkt dat de tweede tak in dit geval een hoge top heeft bij een periode van 6 s. d.w.z. dat betrekkelijk korte golven met geringe energie een redelilke
be-lasting zullen opleveren. zoals blijkt uit bet kracht- en
moment-spectrum in fig. 16c. Als de eigen periode van bet eiland in de buurt van 6 s gaat komen geeft bet gedwongen trillingsgedrag ongetwijfeld aanleiding tot belangrijke vervormingen en
span-ningen.
- De nulpunten van de overdrachtsfuncties zijn afhankelijk
van de afmetingen van het eiland en van de golfrichting. Voor p = 0 en een waterdiepte van 90 m verschuift bet eerste nul-punt naar w 0,635 rad,/s bij ceri lengte van 75 m (250 ft) en
naar w = 0,580 radis bij een lengte van 90 rn (300 ft). Daar het
niet onwaarschijnlijk is dat de afmetingen van de eilanden zullen toenemen. komen de ontwerpgolven dan dus in een steeds ongunstiger positie van de flank van de
overdrachts-functie terecht.
- De zgn. lOO-jaars-condities geven niet noodzakelijkerwijs de
zwaarste belasting. Voor stormen met een minder lange
her-halingstijd zijn de golfhoogten kleiner en de perioden nemen af.
Het golfspectrum is dus lager. maar schuift tevens naar rechts; bet zal dan mogelijk gecombineerd moeten worden met een ongunstiger dee! van de overdrachtsfuncties. Het is dan maar
de vraag. welk effect belangrijker is!
8. Besluil
In bet voorgaande is een misschien wat ongebruikeijke
be-nadering gegeven van de analyse van maritieme constructies in
de meest algemene zin. De beschreven methodiek plaatst die
analyse echter in een veci breder perspectief: voor elk type
maritierne constructie zoals schepen, dnijvende booreilanden en vaste platforms, is bet onderzoek niets anders dan een speciali-satie van de algemene methode. Ook het doe! van het onderzoek
- of het nu belastingen. bewegingen van drijvende constructies of spanningen betreli - is alleen maar een meer of mindere mate van beperking van de omvang van bet volledige schema van de analyse.
Bovendien benadrukt de beschreven schematische werkwijze
bet gemeenschappelijke karakter van de materie.
Civiel-inge-nieurs. werktuigbouwers. scheepsbouwers. vliegtuigbouwers en
anderen zullen er veci van hun eigen specitieke problemen in terugvinden en daardoor een basis van samenwerking vinden.
De werkwíjze lokaliseert de verschillende deeiproblenien: zij plaatst deze ook in hun onderlinge samenhang. Daarmee wordt
de rnogelijkheid geschapen van ceri vruchtbare samenwerking
van specialisten op het gebied van de hydrodynamica. de
theoretische en toegepaste mechan ica. de regeltechniek. enz.:
een ieder kan zijn eigen inbreng geven en daarmee bijdragen tot de oplossing van bet uiteindelijke probleem.
Het is mijn persoonlijke overtuiging dat bet steeds
belang-rijker zal worden orn het stochastische karakter van allerlei
met zeegolven verband houdende verschijnselen natuurgetrouw
in rekening te brengen. De aanloop. waarbij technische
schat-ting. resp. aanname, van eenvoudige gevallen nog verantwoord B 65 kracht (tI) (%) moment om de voet
(tfm)
(%) 377 87 25700 88 232 15660 431 lOO 29150 100 515 119 34800 119 0.5 1.0 1.5 a- w [radh]©
Nr. I ontwerpgolf 2 significante waarde 3 meest waarschijnlijke maximale waarde (63% kans op overschrijding) 4 maximum met 5 kanswas. wordt snel verleden tijd: dat geldt voor vele soorten
mari-tieme constructies. Naar mijn mening is spectrale analyse daar-bij een zeer goede en geschikte - zo niet de enige - methode die
theoretische ondergrond en praktische bruikbaarheid op
gun-stige wijze combineert.
Natuurlijk zijn de problemen op dit moment nog niet alle-maal opgelost; met name de linearisatie za! voor velen we!
moeilijk te aanvaarden zijn. De veronderstelling wordt op vele
plaatsen gemaakt. maar het moeilijkst za! bet we! vallen orn de
invloed van de viscositeit op de golfkrachten (die tot de ver-trouwde C D-term !eidt) te verwaarlozen bij onderdelen met
kleine diameter. 1kWi! ook nadrukkelijk stellen. dat ik niet
be-weer dat dat geoorloofd is: ik weet bet eenvoudig niet: maar 1k
meen dat ook niemand overtuigend bewijs voor het tegendeel
heeft. 1k stel s!echts voor. het eerst met zuivere lineaire theorie
en verwaarlozing van de viscositeit te proberen en, als dat
on-toereikend blijkt. een gelineariseerde vorm van een
weerstands-term in de formuleririg op te nemen. Op vele gebieden is de ervaring met een dergelijke procedure gunstig en ik zie niet in
waarom dat hier a priori niet zo zou kunnen zijn. Dit punt vormt een duidelijk gebied voor toekomstig onderzoek: daarbij za! het
eindresultaat van de gehele spectrale analyse in vergelijking met goed gecontroleerde experimenten bet antwoord moeten
geven.
Een ander punt waarop het nodige onderzoek za! moeten
worden gedaan is een betrouwbare statistische voorspelling van
de golftoestand op langere termijn, de zgn. 'long-term distribu-tions'. Alleen hiermee kan de nodige informatie t.a.v. aantal en grootte van de spanningswisselingen worden verkregen, die het uitgangspunt moeten zijn voor een vermoeiingsonderzoek. Tenslotte wil ik er op wijzen dat de statistische voorspelling van de 'maximale' golfhoogte met een bijbehorende periode in vele gevallen niet voldoende zal zijn. Voor de bepaling van dijkhoogten en de hoogte van het dek van een vast platform
boyen bet stille (in rust zijnde) wateroppervlak is deze 'maximale'
golflioogte vanzelfsprekend een duidelijk criterium: maar voor elk dynamisch onderzoek - of dat nu de bewegingen van een drijvend platform of de spanningen in drijvende of vaste plat-forms betreft - is een volledige beschrijving van de zee d.m.v. het go!fspectrum noodzakelijk. Wat dat betreft zou het onder-zoek voor de long-term distributions zich meer moeten richten op de significante go!fhoogten en op de daarbij behorende
ge-middelde perioden.
*
Literatuur
CooL, J.C., SCHIJFF, F. J. en VIERSMA, T. J.: 'Regeltechniek', Hoofdstuk 15 en 16: uitgave Agon Elsevier. Amsterdam/Brussel,
1969.
CARTWRIGHT, D. E., and LONGUET-HIGGINS, M. S. 'The statis-tical distribution of the maxima of a random function'; Proc. Royal
Soc. of London, A, Vol. 237, 1956.
LONGUET-HIGGINS, M. S.: 'Qn the statistical distribution of the heights of sea waves'; J. of Marine Research, Vol. XI, No. 3, 1952. CARTWR1GHT, D. E.: 'On estimating the mean energy of sea waves from the highest waves in a record': Proc. Royal Soc. of London,
A, Vol. 247, 1958.
DORRESTEIN. R.: 'Inleiding over de eigenschappen van lineaire systemen': voordraclit Vreedenburgh-dag, 18 november 1971 'De Ingenieur' 1972, nr. 27. blz. B 38 .,. 43.
16] BATTJES, J. A.: 'Enigc statistische cigenschappen van stationaire Gaussische processen' : voordracht Vreedenhurgh-dag, iS november 1971: 'Dc Ingenieur' 1972, nr. 27, blz. B 44 ... SI.
VUGTS. J. H.: 'The role of model tests and their correlation with full-scale observations': Proc. Symposium on Offshore Hydro-dynamics, Wageningen, 25 .,. 26th August 1971.
KOTEN. H. VAN: 'Een lichtmast als voorbeeld van het berekenen van een eenvoudige, door wind belaste constructie'; voordracht Vreedcnburgh-dag, 18 november 1971: 'Dc Ingenieur' 1972, nr. 28/29, blz. B 67 ... 75.
VUGTS, J. H.: 'The hydrodynamic forces and ship motions in waves'; dissertatie, Delft, 1970; uitgave Waltman, Delft.
HOOFT, J. P.: 'Mathematical method of determining hydro-dynamically indiced forces on a semi-submersible': presented at a meeting of the Soc. of Nava! Arcl. and Mar. Eng., New York, November 1971.
[Il] HooFr, J. P.: 'Hydrodynamic aspects of semi-submersible plat-forms': to be presented as N SMB-publication, Wageningen. in 1972.
OORTMERSSEN. G. VAN: 'The interaction between a vertical cylinder and regular waves'; Proc. Symposium on Offshore Hydro-dynamics, Wageningen, 25 ... 26th August 1971.
MOTORA, S., and KOYAMA, T.: 'On wave-excitation free ship
forms': Proc. 6th Naval Hydrodynamics Symposium (ONR),
Washington. 1966.
1-IOOFT, J. P.: 'Distribution of wave forces on structural parts
of ocean structures'; Proc. Symposium on Offshore Hydrodynamics, Wageningen, 25 ... 26th August 1971.
MoRRIsoN, J. R.: O'BRIEN, M. P.: J0FINs0N, J. W., and SCI-IAAF. S. A.: 'The force exerted by surface waves on piles': Petroleum Trans.. Am. Inst. of Mining. Met, and Petroleum Engr., Vol. 1 89. 1950.
*
!["Un préfet d'Egypte frappé de damnatio memoriae sur le règne d'Hadrien", Jacques Schwartz, "Chronique d'Egypte", no 53, 1952 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)