Twee watervoerende lagen met semi-doorlatende scheidings- en afdeklaag: Tijdsafhankelijke grondwaterstroming onder dijken ten behoeve van een peilbuizennet langs Nederlandse rivieren

BB 86.0;

GRONDMECHANICA

DELFT

debiet

±

/ / / y / / /Consoliderende otdejclopg 2 / / / d2

r

Watervoerende laag 2 C2. K2 Consoliderende atdeklaog I

bladnummer : 1

-ons kenmerk: CO-285690/6 datum : 1986-12-10

GRONDMECHANIC/

DELFT

Twee watervoerende lagen met semi-doorlatende scheidings- en afdeklaag

Tijdsafhankelijke grondwaterstroming onder dijken ten behoeve van een peilbuizennet langs nederlandse rivieren

Opgesteld in opdracht van: Dienst Weg- en Waterbouwkunde

begeleiding ir. J.B.A. Weijers

CO-285690/6 Grondmechanica Delft Wiskunde en Informatica Groep

ir. F.P.H. Engering ir. A. HJortnaes-Pedersen begeleiding dr ir F.B.J. Barends

laboratorium voer

grondmechanica

delft

(016)-M 9223 •s- .

I

VOORLOPIG

DEC.

bladnummer : 2

-ons kenmerk: CO-285690/6

datum : 1986-12-10

GRONDMECHANICA

DELFT

Lijst met symbolen

HiCx.t) potentiaal in de watervoerende zandlaag 1

H2(x,t) potentiaal in de watervoerende zandlaag 2

hj(x,z,t) potentiaal in de semi-afgesloten deklaag 1

h2(x,z,t) potentiaal in de semi-afgesloten deklaag 2

x,z de horizontale- en vertikale plaatskoordinaat

t tijd

s Laplace transformatie parameter

K

l tK2 permeabilitiet in watervoerende lagen

K[,K2 penneabiliteit in afdeklagen

Dl f

D2 dikte van de watervoerende lagen

d

lt

d

2

dikte van de afdeklagen

c

l fc2 consolidatie coëfficiënt in de watervoerende lagen

ci,c2 consolidatie coëfficiënt in de afdeklagen

S,,S2 bergingscoëfficiënt in de watervoerende lagen

Q debiet

q specifiek debiet

q1 2 specifiek lekdebiet van afdeklaag 1 in watervoerende laag

sinh(z) - (eZ-e~Z)/2 - -sinh(z)

cosh(z) - (ez+e~z)/2 - cosh(-z)

coth(z) » cosh(z)/sinh(z)

-st

Laplace transformatie: f(s) » ƒ f(t) e " dt

bladnummer : - 3 ~

ons kenmerk: CO-28569O/6 datum : 1986-12-10

GRONDMECHANICA

DELFT

Inhoud

Lijst met symbolen Hoofdstuk 1 Hoofdstuk 2 Hoofdstuk 3 Hoofdstuk 4 Hoofdstuk 5 5.1 5.2 Hoofdstuk 6 6.1 6.2 Hoofdstuk 7 7.1 7.2 7.4. Inleiding Probleembeschrijving Laplce transformatie

Oplossen stelsel differentiaal vergelijkingen Bepalen van de konstanten met behulp van de randvoorwaarden

Reële wortels Complexe wortels

Verschillende randvoorwaarden

Bron in de onderste watervoerende laag Bron in belde watervoerende lagen Axiaal symmetrisch stromingsprobleem Probleembeschrijving

Oplossen stelsel vergelijkingen Verifikatie met formules Huisman. Literatuur

bladnummer : ons kenmerk: datum : 4 -CO-285690/5 1986-12-10

GRONDMECHANICA

DELFT

Hoofdstuk 1 Inleiding

In het kader van het onderzoek van een peilbuizennet langs de

nederlandse rivieren, is er een studie uitgevoerd naar de effecten van een geinstalleerde bron in een twee-lagen systeem; een watervoerende zandlaag en een afdekkende klei- of veenlaag [2],[3].

In dit rapport wordt aan de hand van bovengenoemde studie, de

vergelijkingen beschreven van twee watervoerende zandlagen, gescheiden en afgedekt door consoliderende klei- of veenlagen (zie figuur 1). Het verkregen stelsel differentiaalvergelijkingen wordt Laplace getransformeerd en opgelost. De terug transformatie in de tijd moet dan gebeuren m.b.v- de direkte methode [2]. Aangetoond wordt dat de oplossing reële wortels heeft, zowel vlaksymmetrisch als axiaal symmetrisch.

bladnummer : - 5 ~ ons kenmerk: CO-285690/6 datum : 1986-12-10

GRONDMECHANICA

DELFT

Hoofdstuk 2 Probleembeschrijving

De geometrie van het probleem is beschreven in fig 1. Twee

watervoerende zandlagen hebben doorlatendheden Kx en K2 [m/s], dikte

Di en D2 [m] en een bergingscoëfficiënt S, en S2. Het verband tussen

de bergingscoëfficiënt S en de consolidatiecoëfficiënt van het zand c luidt : S =• KD/c.

De consoliderende scheidings- en afdeklagen (klei en veen) hebben

doorlatendheden K} en K2 [m/s], dikte d, en d2 [tn] en consolidatie

coëfficiënt c; en c2 [m2/s]. debiel / //Consoliderende otdefclcog 2 / / / , Z i Watervoerende laag 2 C2. K2

I I

I I

1

'

1 1 Watervoerende Vi l a a g 1 0 |

,OHdyrl,Und. J>.*™i*

V

5ö?>&CJS<S<S^^

fig 1. Een bron in de bovenste zandlaag van een systeem met twee watervoerende lagen.

Allereerst wordt het stromingsprobleem beschouwd met een bron in de bovenste van de twee watervoerende zandlagen, waarbij de volgende aannamen zijn gedaan:

Alleen vertikale stroming in de af.deklagen

Alleen horizontale stroming in de watervoerende zandlagen Het veld is homogeen

Het stroraingsgedrag is laminair

Voor de stroming in de watervoerende zandlaag 2 (met berging) kan de

bladnummer : - 6 - • — . GRONDMECHANICA

ons kenmerk: CO-285690/6 ^ É P ^ ~ D E L F T

d a t u m : 1 9 8 6 - 1 2 - 1 0

1 - H2 = H2 / c2 + q2 2/ D2K2 - q1 2/ D2K2 v o o r x , t > 0

, A A , U

met als randvoorwaarden:

2- H2(x,t) = H0 2 voor x»0, t>0

3- H2(x,t) - 0 voor x20, t-0

4- H2(x,t) - 0 voor t50, x+«

Langs de randen geldt voor het specifieke debiet :

5- q22 - -K2h2 voor z2-0, x.tSO

,z2

6- ql2 - -Kthi voor Z!-dlf x,t£0

De potentialen h1(x,z,t) en h2(x,z2,t) in de afdek- en scheidingslaag

moeten nog beschreven worden om vergelijking 1 te kunnen oplossen. Voor het consolidatie effect in afdeklaag 2, kan de potentioal

h(x,z2lt) beschreven worden met:

7- h2 - h2 /c2 voor x,z2,t20

met de randvoorwaarde :

8- h2(x,z2,t) - H2(x,t) voor z2-0, x,t20

9- h2(x,z2,t) - 0 voor t-0, x,z220

10- h2(x,z2,t) - 0 voor z2«d2, x,t20

Analoog geldt voor de afdeklaag 1:

11- hi « h! /c[ voor x,zl,tS_0

met de randvoorwaarde :

12- h J x . Z p t ) - H2(x,t) voor z^d,, x,t20

13" hitx.Zpt) - HL(x,t) voor z^O, x.tSO

14- h ^ x . Z p t ) = 0 voor t-0, x£0,

Vergelijking (13) geeft het verband aan van de potentiaal in de afdeklaag 1 met de potentiaal in de watervoerende laag 1 .

bladnummer : - 7 - M M* GRONDMECHANICA

ons kenmerk: CO-285690/6 ^ É T ? D E L F T

datum : 1986-12-10

Voor de stroming in de watervoerende laag 1 kan de p o t e n t i a a l H j ( x . t )

beschreven worden met:

15- Ht =• Hi /C! + q , , ^ ^ , voor x,

met de randvoorwaarden:

16- Hj (x,t) - 0 voor t>0, x»0 17- H^x.t) - 0 voor t-0, x^O 18- H^x.t) - 0 voor tSO, x*«

Het lekdebiet is gedefinieerd met (zie vergelijking 6 ) :

18a qxl - -K^i voor z^O, x.tèO

Vergelijking (16) betekent dat er geen debiet i s i n x-0, op elk

t i j d s t i p (symmetrie rond x - 0 ) . De v e r g e l i j k i n g e n 1 t/m 18 vormen nu

het s t e l s e l d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n waarmee het systeem i s

beschreven.

bladnummer : - 8 - *£? GRONDMECHANICA

ons kenmerk: CO-285690/6

^

^ DELFT

datum : 1986-12-10

Hoofdstuk 3 Laplace transformatie

De laplace transformatie van de potentialen ziet er alsvolgt uit:

19- M x . s ) - /°'exp(-st)Hl(x,t)dt o 20- h,(x,z,,s) «• ƒ exp(-st)hl(x,z1 ,t)dt o 21- H2(x,s) - /%xp(-st)H2(x,t)dt o 22- h2(x,z2,s) - /c°exp(-st)h2(x,z2>t)dt o

De gevonden vergelijkingen uit het vorige hoofdstuk worden nu een voor een getransformeerd, om zo doende het stelsel differentiaal

vergelijkingen te kunnen oplossen.

Vergelijking (1) wordt met de randvoorwaarde (3):

23" H2 - sH2/c2 + q2 2/D2k2 - ql 2/D2k2 f AA met de randvoorwaarden: 24- H2(x,s) - H02/s voor x-0 .25- H2(x,s) - 0 voor x+» waarbij ql2 - - K ^ ! voor zl"dl, x>0 q22 - -K2h2 voor z2»0, x>0 »Z2

De potentiaal hl f vergelijkingen (11)-(14), wordt:

26- hl » sn\/cj voor x.z^O

met de randvoorwarden:

27- h|(x,zl(s) - H^x.s) voor z^O, x^O

28- h!(x,zlfs) - H2(x,s) voor z^d,, xiO

De potentiaal h2, met vergelijkingen (7)-(10), wordt:

29- h

2

- s h

2

/ c

2

voor x,

bladnummer : 9 -o ns kenmerk: CO-285690/6 datum : 1986-12-10

GRONDMECHANICA

DELFT

met de randvoorwaarden: 30- h2(x,z2,s) - H2(x,s) voor z2-0, 31- h2(x,z2,s) voor z2-d2, x£0

De differentiaal vergelijking (26) kan opgelost worden door te veronderstellen dat de oplossing te schrijven is als:

n\ - exp(Azt)

Ingevuld levert dit de karakteristieke vergelijking:

\

2

- s/c', of: * - i'As/cp

De algemene oplossing luidt dan met glV(s/c[):

32- h, - A ^ x p C z ^ i ) + Blexp(-zlg1)

Randvoorwaarde (27) en (28) invullen in deze algemene oplossing levert

twee vergelijkingen op, waaruit kl en Bt opgelost kunnen worden:

ki - CH2(x,s) - H1(x,s)exp(-dlgl)]/2sinh(dlgl) Bt - [H1(x,s)exp(d,g1) - H2(x,s)]/2sinh(d1g1) Aj en Bj ingevuld in (32) l e v e r t : M x . Z p S ) - [ H2( x , s ) e x p ( zlg1) - Hl( x , s ) e x p ( zIgl- dlgl) + Hl( x , s ) e x p ( < llgl- z1gl) - H2( x , s ) e x p ( - zlgl) ] / 2 s i n h ( d1gl) ofwel: 3 3 - hl( x , zl fs ) - [ H2( x , s ) s i n h ( z1gl) - Hl( x , s ) s i n h ( ( zl- dl) gl) ] / s i n h ( d1gl)

Om uiteindelijk vergelijking (23) te kunnen oplossen moet ql 2 met

Zi-di (6 ) opgelost worden. Differentiatie van (33) naar zx geeft:

31*- h^x.Zps) o

gl[H2(x,s)cosh(zlgl)-Hl(x,s)cosh((z1-d1)gl)]/sinh(d1g1)

hladnu p 10

-

;

- r GRONDMECHANICA

bladnummer : - 10 - ^^^^flÉi nCI CT ons kenmerk: CO-28569O/6 ^ W P DcLt" I datum : 1986-12-10

35- ^ . ( x . d p s ) =• g1[ H2( x , 3 ) c o t h ( dlgl) - Hl( x , s ) / s i n h ( dlg1) ] >z i

Substitutie van (35) in (6) geeft het specifieke debiet langs

36- q\ - -K[gl[H2(x,s)coth(digl) - H1(x,s)/sinh(dlg1)]

Op identieke wijze wordt nu de potentiaal h2 afgeleid, waarmee dan

q22 bepaald kan worden. Uit (29) volgt met g2- A s / c2) :

37- h2(x,z2,s) - A2exp(z2g2) • B2exp(-z2g2)

Met de randvoorwaarden (30) en (31 ) kunnen de konstante A2 en B2

opgelost worden; ingevuld in (37) levert dit:

38- h2(x,z2,s) - H2(x,s)sinh(d2g2-z2g2)/sinh(d2g2)

Het specifieke debiet q2 langs de rand z2-0 kan nu bepaald worden.

39- h2 - -g2H2(x,s)cosh(d2g2-z2g2)/sinh(d2/g2)

|Z2

Voor z2-0 wordt dit:

U0- h2 - -g2H2(x,s)coth(d2g2)

>z2

en het lekdebiet wordt:

*»1- Q2 - K2g2Hl(x,s)coth(d2g2)

Invullen van (36) en (41) in (23) l e v e r t nu:

42- H2 - H2(x,s)Cs/c2*coth(d2g2)Kagr/D2K2+coth(dlg1)Klgl/D2!C2]

- H1(x,s)CK[g1/(D2K2sinh(dlg1)]

ofwel anders opgesgreven:

43- H2(x,s) - H2(x,s)f22 - H1(x,s)f2l

b l a d e r : - 11 - - P I T . GRONDMECHANICA

ons kenmerk: CO-28569O/6 M9@ DELFT

datum : 1986-12-10

Een zelfde soort afleiding wordt er nu gegeven voor de potentiaal in de watervoerende laag 1. Vergelijking (15), (19) en (17) geeft weer:

44- M x . s ) - H1(x,s) s/Cj + q'n/D^,

i X X

met de randvoorwaarden:

45- H^x.s) - 0 voor x-0 46- Hj(x,s) - 0 voor x+»

Vergelijking (44) kan opgelost worden als qw bekend is. Vergelijking

(26) beschrijft de laplace getransformeerde van h^x.z.t). De randvoorwaarden zijn beschreven in (27) en (28). Dé oplossing (34)

hiervan kan nu gebruikt worden voor qlt bij Zj-O. Vergelijking (34)

geeft met z^O:

47- h^x.O.s) - gtCHaCx.s) - Hl(x,s)cosh(dlg1)]/sinh(dlgl)

>z i

Ingevuld In q

t l geeft:

48- q

s i - -K'1gl[H2(xfs)/sinh(d1gl)-H1(xts)coth(dlg1)

Invullen van (48) in (44) geeft:

49- H,(x,s)- - H i ( x , s ) [ s /C l + K[glcoth(d1gl)/D1Kl]

f X X

-Ha(x,s)[K;g1/(DlKlsinh(d1g1))3

Of anders geschreven:

50- H^x.s) •H,(x,8)f11 - Ha(x,s)fia

Samengevat, luiden nu de twee differentiaal vergelijkingen die het systeem beschrijven; 51- H^x.s) - Hl(x,s)fll - Ha(x,s)fla i X X

52- Ha(x,3) v v- H2(x,s)f2 2 - Ü

l

U,s)T

il i X X 53- H2(x,s) - H02/s voor x=0

bladnummer : - 12 - ^ ^ ^ « 8 r%El E T

ons kenmerk: CO-28569O/6 ^•Pei DELFT

datum : 1986-12-10

GRONDMECHANICA

54- H ^ x . s ) - O voor x=0

> x

55- H2(x,s) = 0 voor x*«

56- H ^ x . s ) =• 0 voor x+«

57- fa a - s/c2 + coth(d2g2)K2g

2/D2K2 + coth(d,gl )K'lgl/DaKa

58- f

u = s/Cx + coth(dlgl)K'1g1/DlK1

59- f

2 1 - Kflgl/(Dak1slnh(dlg,)) met gx« /s/ci

60- f

l 2 - K'1gx/(D,klsinh(dlgl)) met ga- /s/ci

„ i . d » _ r , - ,3 - - _ - = . GRONDMECHANICA

ons kenmerk: CO-285690/6 ^ • • ^ DELFT

datum : 1986-12-10

Hoofdstuk 4 Oplossen stelsel differntiaal vergelijkingen Het stelsel differentiaal vergelijkingen (51) en (52) kan nu

vereenvoudigd worden door H2(x,s) te elimineren. Vergelijking (51)

wordt hiermee: 61- H \ ( X , S ) v v - (fll+faa)Hl(x.s) - •(faifia-fiafll)Hx(x,s) - 0 fAAAA f AA Of anders geschreven:

62- M x . s ) - F ^ U . s ) - FaH^x.s) - 0

9AAAA f AA met: 63- Ft - fx l • f2 2 64- F2 - f2 1f1 2 - f2 2fl t

Omgekeerd krijgen we door H (x,s) te elimineren:

65- H2(x,s) - FlH2(x,s) - F2H2(xfs) - 0

IAAAA f AA

De beide vergelijkingen (62) en (65) hebben dezelfde vorm en dus dezelfde algemene oplossingen. De karakteristieke vergelijking van

(62) en (65) ziet er alsvolgt uit:

66- X* - F ^ * - Fa - 0 of anders geschreven: 67- (X2 - f22)(X* - flt) - f2 lfl 2 De d i s c r i m i n a n t van van v e r g e l i j k i n g ( 6 6 ) i n X2 i s : D - F2 + 4F2 - ( f2 2 * fl t)2 * M f1 2f2 l - f2 1fM) 6 8 - D - ( f2 2 - fw)2 • 4 fl 2f2 l

Uit (57) t/ra (60) blijkt dat de discriminant D positief is, en dus kan

bladnummer : - ,4 - C ^ GRONDMECHANICA

ons kenmerk: CO-28569O/6 . ^ B ^ DELFT

d a t u m : 1 9 8 6 - 1 2 - 1 0

6 9 - A2 = ( Ft + / D ) / 2 of X2 = ( Fl - / D ) / 2

De eerste uitdrukking is altijd positief, terwijl voor de tweede uitdrukking niet duidelijk is of deze positief of negatief is. Stel: F, J /D

70- \i - /((Ft + /D)/2) en X2 - -X j

71- X, - /((F! - /D)/2) en X„ - -X,

Als Fx < /D dan zijn X3 en X„ zuiver complex:

72 X, X„

-De oplossing van de differentiaalvergelijking (61) voor de getransformeerde potentiaal in laag 1 luidt:

73- H^x.s) - Glexp(X1x) + G2exp(X2x) + G3exp(Xax) + G„exp(XHx)

waarin Glf G2, Gs en G„ konstanten zijn. Voor de getransformeerde

potentiaal in de tweede permeabele laag geldt:

74- H2(x,s) - J1exp(Xlx) + J2exp(X2x) + J,exp(X3x) + J1,exp(X^x)

waarin JpJj.J, en J„ konstanten zijn.

Invullen van (73) en (74) in de oorspronkelijke tweede orde differentiaal vergelijking (52) geeft:

GlXfexp(Xlx) + G2X|exp(X2x) + G3X2exp(X,x) + G^X^exp(X^x) =

fll[Glexp(X1x) + G2exp(X2x) + G3exp(X3x) + G^exp(X^x)]

-fl2[Jlexp(X1x) + J2exp(X2x) + J3exp(X3x) + J„exp(X„x)]

Hieruit volgt dat voor alle x met (70) en (71) geldt:

75- Ji- -GX(X2 - fx l)/fl 2

76- ja- -Gt(X2 - fl t)/fl 2 - -Gt(X2 - fl t)/f1 2 77- J3- - G ^ X2 - fl t)/f1 2

bladnummer : - 15 - - — GRONDMECHANICA

ons kenmerk: CO-285690/6 ^Mr DELFT

datum : 1986-12-10

7 8 - J „ - - G ^ X * - f u J / f , , - - G x U ? - fM) / fu

Uit (67) volgt, of door (73) en (7*0 in (51) in te vullen dat ook geldt :

79- Jj- -G,f2l/(\\ - fa a) etc.

De algemene oplossing van (51) en (52) is nu:

80- H^x.s) - Glexp(Xlx) + G2exp(-Xlx) + G3exp(X3x) + G„exp(-X,x)

8 1 - H j ( x . s ) - - e x p ( Xlx ) G1( X ? - fl l) / fl 2 - e x p ( - Xlx ) Gï( X ? - fX 1) / fl 2

- e x p ( X , x ) G , ( X ^ - fl l) / fl 2 - e x p ( - X , x ) G j X * - fl l) / fl 2

Om de konstante Glf G2, G3 en GH te kunnen bepalen, moeten de vier

randvoorwaarden (53) t/m (56) ingevuld worden in (80), (81). Daarvoor is het echter noodzakelijk onderscheid te gaan maken of X,,„ reële of complexe wortels heeft.

= ,6 -ons kenmerk: CO-285690/6 datum : 1986-12-10

GRONDMECHANICA

DELFT

Hoofdstuk 5 Bepaling van de konstanten m.b.v. de randvoorwaarden 5.1 Reële wortels

Om de konstante GlfG2,G3 en G„ te kunnen bepalen wordt eerst

verondersteld dat vergelijking (69) reële wortels heeft.

Randvoorwaarde (56), met Xl > 0 en X3 > 0 :

H^x.s) » Glexp(X1x) * G3exp(X3x) - 0 voor x+°»

Hieruit volgt 82- G1 - G3 - ' 0 Randvoorwaarde ( 5 3 ) : 8 3 - H2( x , s ) - - (Gt + G2) ( Xt 2 - fn ) / f „ - (G, + G j ( X3 2 - f u) / f u - H0 2/ s voor x-0 Randvoorwaarde (54): , x ^ ! - G 2X2 + G,X3 - G,,X _{voor x-0} V e r g e l i j k i n g e n (82) en (84) geven: 8 5 - G2XX • GHX3 - 0 V e r g e l i j k i n g e n (82) en (83) geven: 8 6 - G2. Ut 2 - fl t) + G„(X3a - rlx) - - f12 H0 2/ s

Met de twee vergelijkingen (85) en (86) kunnen de konstanten G2 en G„

opgelost worden© C 2 ^ I-1 7 H a ? X f 1 ! f H a ? ~A ; I i i H s ( X3 - X J ( X3XX + fl x) ~X t f i ? Ha ? s [ ( X3 2- f1 1) Xl - X3( Xt 2- f n ) ] s ( X3 - Xt) ( X3Xt • ft l)

De oplossing v a n de getransformeerde potentialen in d e watervoerende lagen i s :

bladnummer : 17 -ons kenmerk: CO-285690/6 datum : 1986-12-10

GRONDMECHANICA

DELFT

87- _{H ^ x . s ) -} 3 ( A i . " ; ï < ^ Ax * ft l) [ * 3 e x p ( - Xl X) - Xi ex p ( - X3x ) ] 8 8 - H , ( x , s ) s(X3 - \1){\i\l * f\b) * - ( X ^ - fl l) X , e x p ( - XlX) + (X,2 - f1 1) \le x p ( - X , x ) ]

met:

X, - / ( ( Fv - / ( D ) ) 2 ) met Fx > /(D) g! - / ( s / c l ) g2 - / ( s / c j )

en verder met (72) k r i j g e n we:

89- D - [ g i2 - g2 2 - Kig2coth(d2gï)/D2K2 - K'lglcoth-(d1g1)(D1Kl-D2K2)/DlKlD2K2]2 + 4 ( K 'lgl)2/ ( D1K1D2K2[ s i n h ( dlgl) ]2) 90- i2 • g2 2 + K 'lglc o t h ( d1gl) / DlKl + K2glcoth(d2g2)/D2K2 K'lg,coth(dlgl)/D2K2 Door de o p l o s s i n g (87) en (88) i n t e vullen in de d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g (51) en (52) en de randvoorwaarden (53) t/m (56) i n de o p l o s s i n g , kunnen er nog twee l a a t s t e kontroles worden u i t g e v o e r d . Het b l i j k t allemaal t e kloppen.

De p o t e n t i a l e n h i ( x , z , s ) en h2( x , z , s ) beschreven i n v e r g e l i j k i n g

(33) en ( 3 8 ) , z i j n nu ook v o l l e d i g beschreven m.b.v v e r g e l i j k i n g (87) t/m ( 9 0 ) .

Er r e s t nog s l e c h t s de terug t r a n s f o r m a t i e m.b.v de d i r e k t e methode door s u b s t i t u t i e van s - 1 / ( 2 t ) ( z i e [ 2 ] )

bladnummer : - 18 - • £ » g

t

GRONDMECHANICA

ons kenmerk: CO-28569O/6 ^ f ü DELFT

datum : 1986-12-10

5.1 Complexe wortels

Anders wordt de oplossing als blijkt dat vergelijking (69) een zuiver complexe wortel heeft (72). Algemeen kunnen we opschrijven dat de karakteristieke vergelijking er dan als volgt uit ziet:

\l - -X2 - a en X3 - -X,, « ib

De algemene oplossing voor de getransfonneerde potentiaal in de watervoerende lagen heeft dan de volgende gedaante:

91- H, - ^ e " * G2e"aX+ G,elbX+ G.e

92- H2 - - G lA ea x- G2Ae-a X- G lB ei b X

-met A - (a2 - ft l)/fl 2 en B - (b2 - fll)/fla

Of anders geschreven:

93- Ht - G!eaX+ G2e"aX+ (G3+G„)cosbx • i(G3-G„)sinbx

™ 3 V "~fl Y

Ha - - GxAe - G2Ae - (G3>GjBcosbx - i(G3-G„)Bsinbx

Uit bovenstaande blijkt dat G3 en G^ eikaars complex toegevoegde

zijn, aangezien (G3 + G„) en i(G„ - Gh) beide reëel zijn.

Stel Gs - p + iq en dus G„ » p - iq

ofwel: i(G3 - G„) » -2q en G3 + G„ - 2p

Wetende dat p cosa + q sina » /(p2 +q2) cos(a-Q) met 9 - atan(q/p)

krijgen we voor de potentialen H, en H2:

Hx - G;eax + G2e"aX+ 2/(p2+q2)cos(bx-9)

bladnummer : - 19 - » * * GRONDMECHANICA

ons kenmerk: CO-28569O/6 ^ ^ £ - D E L F T

datum : 1986-12-10

Invullen van de randvoorwaarde (55) en (56) met de limiet voor x naar oneindig volgt dat:

Gt • p = q - 0

Randvoorwaarde (54):

Hx(x,s) - aGje^ voor x - 0

geeft aan dat: G2 - 0

De randvoorwaarden (53) t/m (56) met de konditie (72) dat de karaktaristieke vergelijking twee r e ë l e en twee zuiver complexe

bladnummer : - 20 - M'ÊÊÊ G R O N D M E C H A N I C A

ons kenmerk: CO-28569O/6 ^fcflT D E L F T

datum : 1986-12-10

Hoofdstuk 6 Verschillende randvoorwaarden .

Bij de probleem beschrijving in hoofdstuk 2 is als randvoorwaarde aangenomen dat er een bron met een konstante potentiaal aanwezig is in de bovenste watervoerende zandlaag en dat de stroming in de andere watervoerende zandlaag symmetrisch is t.o.v. van de z-as (vergelijking (16)).

In dit hoofdstuk worden nog twee andere mogelijkheden bekeken. Ten eerste wordt de bovengenoemde randvoorwaarden voor beide lagen

omgedraaid, d.w.z. dat verondersteld wordt dat de bron met konstante potentiaal in de onderste watervoerende laag zit. Ten tweede dat in beide watervoerende lagen een bron aanwezig is met ieder een ander konstante potentiaal.

6.1 Bron in de onderste watervoerende laag

Wanneer de bron in de onderste watervoerende laag zit, dan veranderen de randvoorwaarden (2) en (16). De afleiding van de vergelijkingen

blijft identiek, alleen de konstante Glf G2, G3, en G„ in hoofdstuk 5

moeten opnieuw bepaald worden. Randvoorwaarde (2) en (16) worden respecti evelij k:

95- H2(x,t) - O voor x-0, t>0

96- Hx(x,t) - H0 1 voor x-0, t>0

De Laplace transformatie van de randvoorwaarden (24) en (45) wordt nu:

97- H2(x,s) - 0 voor x-0

98- Hjx.s) - H0l/s voor x-0

De randvoorwaarde (55) en (56) blijven ongewijzigd. Dit betekent voor

de algemene oplossing (80) en (81), dat Gl - G, - 0 .

Vergelijking (81) in (97) ingevuld levert:

99- G j X ^ X ^ - fM) / f „ + G„X,(X32 - fM) / fl 2 - 0

Vergelijking (80) in (98) ingevuld levert: 100- G2 + G„ => H0l/s

bladnummer : - 21 - - — ' GRONDMECHANICA

ons kenmerk: CO-285690/6 ^ É ^ DELFT

datum : 1986-12-10

Vergelijking (99) en (100) vormen een stelsel-van twee vergelijkingen

en twee onbekenden G2 en G„ en heeft als oplossing:

101- G„ - Hol/s

1 0 2 " G 2 - - H0 1 / s , / > 2 _ f i - 1 ( 1 ï — f )

A tU i r l W A3 ^A3 M l '

Invullen van Gl f G2, G3 en G„ in vergelijkingen (80) en (81) geeft de

oplossing van de getransformeerde potentialen in beide watervoerende lagen.

6.2 Bron in beide watervoerende lagen

Wanneer in de beide watervoerende lagen een bron met een verschillende konstante potentiaal aanwezig is, veranderen randvoorwaarden (2) en (16) in:

103- M x . t ) - H0 l voor x-0, t>0

104- H2(x,t) - H0 2 voor x-0, t>0

De Laplace transformatie voor beide randvoorwaarden wordt nu:

105- H^x.s) - Hol/s voor x-0

106- H2(x,s) - H02/s voor x-0

De randvoorwaarde (55) en (56) blijven ongewijzigd, en zorgen ervoor

dat voor de algemene oplossing (80) en (81) geldt Gx - G, - 0.

Vergelijkingen (80) en (81) ingevuld in (105) en (106) geven twee

vergelijkingen en twee onbekenden (G2 en G„)

G2(Xl 2 - fl x) + G,(X,2 - fw) = - fl2H02/s

G2 + Gv - H0l/s

opgelost geeft dit:

bladnummer : - 22 - M — GRONDMECHANICA

ons kenmerk: CO-285690/6 ^tf^ DELFT

datum : 1986-12-10

108- G,

Invullen van G

lf

G

2

, G

3

en G„ in v e r g e l i j k i n g (80) en (81) geeft weer

de getransformeerde p o t e n t i a l e n in de watervoerende l a g e n .

Nul s t e l l e n van H

02

in v e r g e l i j k i n g (107) en (108) l e v e r t n i e t d i r e c t

de oplossing van Gj en G„. van (101) en (102) op. De randvoorwaarde

(97) of (16) i s daar de oorzaak van. I n t e r e s s a n t i 3 nog wel om t e zien

hoe deze k o n d i t i e er nu u i t z i e t met bovenstaande o p l o s s i n g . Invullen

van (107) en (108) in (80) en (81) en d i f f e r e n t i e r e n naar x l e v e r t ,

in x-0 :

109- M O . s ) - [-Hoafla - Hol(XlX,-fll)]/(s(XJ - X J )

110- Ha(0,s) - H0l(X12-fll)(Xl2-fll)/[sf12(X3+Xl)] + ,x

Geen van beide termen is gelijk aan nul. Wordt aan een van beide termen echter deze konditie opgelegd, dan volgt hieruit rechtstreeks

bladnummer : - 23 - *_** G R O N D M E C H A N I C A

ons kenmerk: CO-28569O/6 ^fcÉF D E L F T

datum : 1986-12-10

L i t e r a t u u r l i j s t

1- Elements of v i b r a t i o n a n a l y s i s , Leonard Meirovitch 2- Verslag bijeenkomsten LGM-DWW 1985,

t i j d s a f h a n k e l i j k e grondwaterstroming onder dijken t . b . v . een peilbuizennet langs nederlandse r i v i e r e n , CO-279350 ,1985 M.Vlaar en F.B.J.Barends

3- Uitloop effekt b i j hoogwater onder dijken,

t i j d s a f h a n k e l i j k e grondwaterstroming onder d i j eken t . b . v . een peilbuizennet langs de nederlandse r i v i e r e n , CO-285690 ,1986 D r . i r . F . B . J . B a r e n d s