• Nie Znaleziono Wyników

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego — część korespondencyjna (1 września – 21 października 2013 r.)

N/A
N/A
Info
Pobierz
Protected

Academic year: 2021

Share "IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego — część korespondencyjna (1 września – 21 października 2013 r.)"

Copied!
1
0
0

Ładowanie.... (Zobacz pełny tekst teraz)

Pobierz teraz ( 1 Stron )

Pełen tekst

(1)

www.omg.edu.pl

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

Zawody stopnia pierwszego — część korespondencyjna (1 września – 21 października 2013 r.)

1. Do pociągu, który może pomieścić co najwyżej 404 pasażerów, wsiadła na począt- kowej stacji pewna liczba podróżnych. Na następnej stacji liczba pasażerów tego pociągu zwiększyła się o 1, 5%. Ilu podróżnych wsiadło do pociągu na początkowej stacji? Odpowiedź uzasadnij.

2. Czy istnieją takie liczby całkowite a, b, c, d, że liczby a − b , b − c , c − d , d − a ,

wypisane w podanym porządku, są kolejnymi liczbami całkowitymi? Odpowiedź uzasadnij.

3. Punkty E i F leżą odpowiednio na bokach BC i CD pro- stokąta ABCD, przy czym trójkąt AEF jest równoboczny. Punkt M jest środkiem odcinka AF . Wykaż, że trójkąt BCM jest rów- noboczny.

A B

C D

E F

M

4. Rozwiąż układ równań:

(

2x

2

+ y

2

= 4 2xy − 2x = −5 .

5. Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Punkty K i L są środkami odpowiednio boków AB i CD. Wykaż, że jeżeli pola czwo- rokątów BCLK i DAKL są równe, to czworokąt ABCD jest tra- pezem.

6. Punkt P leży na sferze opisanej na sześcianie. Wykaż, że suma kwadratów odległości punktu P od wierzchołków sześcianu nie zależy od wyboru punktu P .

A B

C D

K L

7. Czy kwadrat o wymiarach 2013 × 2013 można podzielić na prostokąty o wymiarach 1 × 3 w taki sposób, aby liczba prostokątów ułożonych pionowo różniła się o 1 od liczby prostokątów ułożonych poziomo? Odpowiedź uzasadnij.

Rozwiązania powyższych zadań (wszystkich lub części z nich) należy przekazać szkol- nemu koordynatorowi OMG lub przesłać bezpośrednio, listem poleconym, do Komitetu Okręgowego OMG właściwego terytorialnie dla szkoły, najpóźniej dnia

21 października 2013 r. (decyduje data stempla pocztowego).

Uczestnik przesyłający prace bezpośrednio do Komitetu Okręgowego powinien umieścić na kopercie swoje imię i nazwisko oraz dokładne dane szkoły, w tym adres placówki wraz z nazwą powiatu oraz województwa.

Szczegółowe wytyczne dotyczące sposobu redakcji rozwiązań oraz regulamin OMG

znajdują się na stronie internetowej Olimpiady: omg.edu.pl.

Cytaty

Pobierz teraz ( PDF - 1 Stron - 165.02 KB )

Powiązane dokumenty

XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego — część korespondencyjna (1 września 2017 r. – 16 października 2017 r.)

3.. Podobnie, ponieważ pewne dwie z liczb a, b, c dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 4, więc pewna spośród z liczb a−b, b−c, c−a jest podzielna przez 4. Ponadto

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego — część testowa (24 września 2015 r.)

Niech A będzie dowolnym punktem okręgu ω oraz niech ABCDEF będzie sześciokątem foremnym wpisanym w ten okrąg (rys. Stąd wniosek, że trójkąt ABO jest równoboczny, więc AB

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów (2015/16) Zadania konkursowe zawodów pierwszego stopnia — część korespondencyjna (1 września – 12 października 2015 r.)

Rozwiązania powyższych zadań (wszystkich lub części z nich) należy przekazać szkolnemu koordynatorowi OMG lub przesłać bezpośrednio, listem poleconym, do Komitetu Okręgowego

XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego — część korespondencyjna (1 września 2015 r. – 12 października 2015 r.)

Prosta k jest styczna do okręgu ω, wtedy i tylko wtedy, gdy odległość punktu I od prostej k jest równa promieniowi tego okręgu.. Trójkąt IBX jest więc równo- ramienny, w

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego – część korespondencyjna (10 listopada 2014 r. – 15 grudnia 2014 r.)

Jeżeli wyróżnimy 247 pól, jak pokazano na rysunku 5, to każdy prostokąt o wymiarach 1 × 3, złożony z pełnych pól, będzie zawierał parzystą liczbę wyróżnionych pól.. W

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego – część testowa (3 października 2013 r.)

a), c) Rozpatrzmy trójkąt ostrokątny ABC, w którym AB 6= BC. Niech D będzie obrazem symetrycznym punktu B względem prostej AC. Wówczas czworokąt ABCD jest wypukły, a

IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego – część korespondencyjna (1 września 2013 r. – 21 października 2013 r.)

Ponieważ liczba 2013 jest podzielna przez 3, więc pól (kwadratów jednostkowych) każdego koloru jest tyle samo. Zauważmy, że każdy prostokąt ułożony poziomo pokrywa jedno

VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego – część testowa (18 października 2012 r.)

Liczby 13 i 10 są względnie pierwsze (tzn. ich największy wspólny dzielnik jest równy 1). Wobec tego 10 jest dzielnikiem liczby d. Ponieważ d jest dzielnikiem liczby a, więc