Kwantowa Teoria Pomiaru i Estymacji

(1)

Kwantowa Teoria Pomiaru i Estymacji

Seria 2

do oddania na 9.11.2012

Zadanie 1 (5 pkt) Sªabe pomiary Rozwa» ukªad kwantowy S znajduj¡cy si¦ w stanie |ψ⟩S oraz

urz¡dzeniem pomiarowe M które w chwili pocz¡tkowej przygotowane jest w stanie gaussowskim |0⟩M:

|0⟩M = 1 (2πσ_p²)^1/4

∫

dp e⁻^4σ2^p2^p|p⟩M. (1)

Rozwa»my obserwabl¦ ˆA = ∑

ia_i|ai⟩⟨ai| dziaªaj¡c¡ na S. Chcieliby±my dokona¢ sªabego pomiaru obser- wabli A na ukªadzie S tzn. takiego który daje nam pewn¡ informacj¦ (niedu»¡) o warto±ci oczekiwanej

⟨ψ|A|ψ⟩ ale pozostawia stan ukªadu S praktycznie niezaburzony.

Rozwa»my oddziaªywanie S i M poprzez operacj¦ unitarn¡ U = e^{i ˆ}^Aˆ^q^M, gdzie ˆqM jest operatorem poªo»e- nia na M (przyjmujemy wszystkie operatory jako bezwymiarowe, w szczególno±ci [q, p] = i). Po zadziaªaniu operacji unitarnej wykonywany jest pomiar warto±ci p¦du na M.

a) Poka», »e warto±¢ oczekiwana pomiaru p¦du na M jest równa warto±ci oczekiwanej obserwabli A na

|ψ⟩

b) Jaki warunek powinno speªnia¢ σp okre±laj¡ce stan pocz¡tkowy M aby pomiar mo»na byªo okre±li¢

jako sªaby. W jakiej granicy stan ukªadu S nie dozna praktycznie »adnego zaburzenia?

c) Wyobra¹my sobie, »e po wykonanym pomiarze sªabym obserwabli A jak wy»ej zmierzono bezpo±red- nio na stanie |ψ⟩ obserwabl¦ B (pomiar von Neumana). Postaraj si¦ oszacowa¢ jakie co najmniej zaburzenie wprowadziª sªaby pomiar obserwabli A na warto±ci obserwabli B jako funkcj¦ σp tu nie musi by¢ jakie± super ograniczenie, wystarczy co± sensownego ilo±ciowego z czego wida¢, »e im sªabszy pomiar A tym mo»emy oczekiwa¢ mniejszego zaburzenia B.

Uwaga: Mimo, »e wykonuj¡c sªabe pomiary w pojedynczym pomiarze dowiadujemy si¦ bardzo maªo, mo»emy powtórzy¢ pomiar na wi¦kszej liczbie tak samo przygotowanych stanów i w ten sposób do±¢

dobrze okre±li¢ warto±¢ oczekiwan¡. Jednocze±nie ka»dy z mierzonych egzemplarzy b¦dzie praktycznie nie zaburzony co jest przydatne w niektórych sytuacjach, gdy na tym samym stanie chcemy znów wykona¢

pomiar np. innej obserwabli. Pomysª wykorzystania pomiarów sªabych pojawiª si¦ w pracy: Aharonov, Albert, Vaidman, Phys. Rev. Lett. 60, 1351 (1988). Praca w której dzi¦ki sªaby pomiarom analizowane s¡ trajektorie w eksperymentach interferencyjnych: Sacha Kocsis et al., Science 332, 1170 (2011). Praca pokazuj¡ca, »e dzi¦ki sªabym pomiarom mo»na zmierzy¢ zaburzenia obserwabli takie jakie wyst¦puj¡ w zasadzie nieoznaczono±ci Ozawy: Lund, Wiseman, New J. Phys. 12, 093011 (2010).

Zadanie 2 (5 pkt) Pomiar jednoczesny poªo»enia i p¦du Rozwa»my cz¡stk¦ kwantow¡ S porusza- j¡c¡ si¦ w jednym wymiarze, z któr¡ zwi¡zane s¡ operatory poªo»enia i p¦du (bezwymiarowe) ˆqS, ˆpS, speªniaj¡ce [ˆqS, ˆp_S] = i. Cz¡stka w chwili pocz¡tkowej znajduje si¦ w stanie |ψ⟩S. Rozwa» protokóª jed- noczesnego pomiaru poªo»enia i p¦du w którym cz¡stka S oddziaªuje z dwoma urz¡dzeniami pomiarowymi

M₁ i M2 poprzez ewolucj¦ unitarn¡:

|Ψ⟩SM1M2 = U|ψ⟩S⊗ |0⟩M1,M2, U = e^−i(ˆq^S^p^ˆ^M1^−ˆp^S^q^ˆ^M2⁾, (2)

(2)

gdzie |0⟩M1,M2 jest stanem pocz¡tkowym urz¡dzenia pomiarowego. Po zadziaªaniu operacji U mierzone jest poªo»enie (qM1) i p¦d (pM2) odpowiednio urz¡dze« pomiarowych M1 i M2. W wyniku pomiaru uzyskujemy pewien ª¡czny rozkªad prawdopodobie«stwa pomiaru poªo»enia i p¦du p_joint(q, p) na stanie |ψ⟩S

Pami¦tamy z wykªadu, »e operatory szumu odpowiadaj¡ce pomiarowi q i p wynosiªy dla tego modelu odpowiednio: ˆN_q = ˆq_M₁ − ¹₂qˆ_M₂, ˆN_p = ˆp_M₂ − ¹₂pˆ_M₁. Stan pocz¡tkowy urz¡dze« pomiarowych |0⟩M1,M2

wybieramy tak aby precyzja pomiarów δq =

√⟨ ˆN_q²⟩ i δp =

√⟨ ˆN_p²⟩ byªy sobie równe i mo»liwie maªe.

B¦dzie to odpowiadaªo pomiarowi ª¡cznemu q i p który nie faworyzuje »adnej z obserwabli i jest mo»liwie precyzyjny.

Wyka», »e w tej sytuacji zbiór operatorów Πq,pdziaªaj¡cych na S reprezentuj¡ce taki pomiar uogólniony (czyli t.»e pjoint(q, p) = ⟨ψ|Πq,p|ψ⟩) jest postaci:

Πq,p = 1

2π|(q, p)⟩⟨(q, p)|, |(q, p)⟩ = 1 π^1/4

∫

dq^′e^{−(q′−q)2}² e^ipq^′|q^′⟩ (3) gdzie |(q, p)⟩ jest tzw. stanem koherentnym o ±redniej warto±ci poªo»enia i p¦du odpowiednio q i p. Tym samym mamy bardzo ªadn¡ interpretacj¦ ª¡cznego pomiaru poªo»enia i p¦du jako rzutowania na stany koherentne:

p_joint(q, p) = 1

2π|⟨ψ|(q, p)⟩|² (4)

Uwaga: w optyce kwantowej, taki rozkªad prawdopodobie«stwa pochodz¡cy z rzutowania stanu na stany koherentne nosi nazw¦ reprezentacji P Glaubera.