Complexe functietheorie Fourier- en Laplace-transformaties: Tentamenopgaven met uitwerkingen

Fourier- en Laplace-transformaties

Tentamenopgaven met uitwerkingen

H. Bavinck

libliotheek TU Delft

\\1\',lIl',I''11 \,I\\'1'1'II\"1'1

C OOOJlS1 J970

Delftse Universitaire Pers

2414

406

3

Bavinck, H.

Complexe functietheorie Fourier- en Laplacetransformaties : tentamenopgaven met uitwerkingen

IH.

Bavinck. - Delft: Delftse Universitaire Pers. - IJl.

Uitg. in opdracht van: Vereniging voor Studie- enStudentenbelangen te Delft. - Oorspr. uitg.: Delft: Delftse Uitgevers Maatschappij, 1989

ISBN 90-407-1153-4 NUGI 811 Trefw.: functietheorie ©VSSD Tweede druk 1995 Uitgegeven door: Delftse Universitaire Pers Stevinweg 1, 2628 CN Delft

tel. 015-783254, telefax 015-781661.

Inopdracht van:

Vereniging voor Studie- en Studentenbelangen te Delft Poortlandplein 6, 2628 BM Delft

tel. 015-(2)782124, telefax 015-(2)787585,e-mailVSSD@dutiws.twi.tudelft.nl

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

All rights reserved.No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher.

Voorwoord

Functietheorie TN 2 Functietheorie Et emMk0 2 3 4 Functietheorie Wi en In0 2 3 4 a 23B a 18

De vraagstukken in deze bundel zijn ontleend aan tentamens over Complexe Functietheorie en Fourier- en Laplacetransformaties die in de jaren 1987 t/m 1989 aan de Technische Universiteit te Delft zijn gehouden. Het betreft hier tentamens voor een aantal verschillende vakken bestemd voor studenten van diverse faculteiten, nl.

a 14A

a 180A Fourier- en Laplacetransformaties Mk: 4,LR: 4,Wb:,ST: 4,CT:,MT:

a 180B Complexe Analyse Mk: 4,LR: 4,Wb:,ST: 4,CT:,MT:

Ik ben me bewust van het gevaar dat studenten deze vraagstukkenbundel wellicht verkeerd zullen gebruiken. Indien men enig profijt van dit boekje wil hebben, zal men de opgaven eerst zelf moeten proberen te maken alvorens naar de uitwerkingen achterin te gaan kijken.

Als gebruikers van dit boekje fouten of kleine slordigheden mochten constateren, zou ik dat gaarne van hen vernemen.

Veel dank ben ik verschuldigd aan René Swarttouw die de tekst kritisch heeft bekeken, waardoor verschillende fouten konden worden hersteld.

Delft, november 1989 H. Bavinck

Bij de tweede druk is een aantal correcties aangebracht.

Inhoud

VRAAGSTUKKEN

1. Differentieerbaarheid 5 1.1

2. Functies. Conforme afbeeldingen 7

3. Singulariteiten. Laurentreeksen 10 4. Integratie. Residuenstelling 13 5. Nulpunten. Argumentenprincipe 19 6. Fourierreeksen 21 7. Fouriertransformatie 23 8. Laplacetransformatie 26 1.2 UITWERKINGEN 1.3 1. Differentieerbaarheid 29

2. Functies. Conforme afbeeldingen 32

3. Singulariteiten. Laurentreeksen 37 4. Integratie. Residuenstelling 41 5. Nulpunten. Argumentenprincipe 54 6. Fourierreeksen 59 _1.4 7. Fouriertransformatie 65 8. Laplacetransformatie 73 1.5

1 + i.

Vraagstukken

1. Differentieerbaarheid

1.1 (16-6-87) a18

z is een complex getal. Men stelt Re z

=

x: lm z

=

y. f is een analytische functie die aan het complexe getal z het comp l exe getal w= f(z) toevoegt. Gegeven is:

Re w

=

log (x2 + y2) + Y en f(i) Bereken lm w voor y ~ O.

1.2 (26-10 -87) a18

Onderzoek voor welke waarde(n) van z de functie g(z) analytisch is .

1.3 (14-6-88) a18

z+z e

De functie f is analytisch. We schrijven z

=

x + iy en f(z)

=

u(x,y) + i v(x,y). Er is gegeven dat

u(x,y)

=

sin x cosh y en f(O)

=

i. Bereken v Ix, y).

1.4 (12-6-89) a14A

De functie f is analytisch in het gehele complexe vlak. Men stelt f(z)

=

u(x,y) + i v(x,y), waarbij u en v reële functies zijn en x

=

Re z; y

=

lm z. Bereken

av

ax

=

12xy + 4x - Y

1.5 (15-6-87) a14A

u(x,y) en v(x,y) als nog gegeven is en f(O)

=

3 - 2i; feil

=

3~ - i.

2

z is een complex getal. Men stelt Re z

=

x: lm z

=

y.

f is een analytische functie die aan het complexe getal z het comp l exe getal w·

=

fez) toevoegt. Gegeven is:

2 2

Re w eX -y sin 2xy + y en f(O) =

o

.

Bereken lm w.

1.6 (Z5-8-87) aZ3B

Onderzoek voor welke z e e de functie f : C~ C gegeven door fez)

=

sin z differentieerbaar is.

(2

is de complex geconjugeerde van z ) ,

1.7 (13-6-88) aZ3B

Zij z

=

x + iy, x,y E ~. f is een analytische functie en w

=

fez). Gegeven is:

Im w

=

Z sin x cosh y + xy en f(O)

=

-Z. Druk w uit in x en y en druk w ook alleen uit in z ..

1.8 (14-8-89) a14A

Men definieert de complexe logarithme voor alle complexe getallen

Z.l

(Vermijd het gebruik van het met uitzondering van die op Voor welke waarden van z is

de negatieve 1 log (z +

z)

kenmerk van reële as en de oorsprong. analytisch? Cauchy-Riemann). 2. ;;

2.:

2. Functies. Conforme afbeeldingen

2.1 (16-6-87) a18

Men stel t z

=

x + iy me t re ë l e x en reël e y. In het z- v l a k is gege ven de hyperbool H bepa a ld doo r:

H

=

{z

I

x2 - y2

=

1}.

Hiervan beschouwt men de ta k T die in het rechterhalfvlak ligt. a. Geef ee n parametervoorstelling van T, alsook een

parameter-interval.

Men beeldt·het complexe z-vlak af in het complexe w-vlak door te stellen

w

b. Bepaal het beeld van T onder deze afbeelding en geef daarbij aan in welke richting dit beeld doorlopen wordt, wanneer T in een door u te kiezen richting wordt doorlopen.

Aanwijzing: voer de afbeelding in twee stappen uit.

2.2 (16-6-87) a18

De complexe variabele z loopt langs de geschetste kro~e van 0 naar 2.

(z i e figuur). Men stelt

f Iz )

=

I

(z2 + 4) (Z2 - 1) en spreekt af : f(O)

= -

~.

Welke waarde heeft deze functie aangenomen als z de kromme heeft doorlopen van 0 naar 2?

2

2.3 (26-10-87) a18

Het gebied G is gegeven door

G

=

{z E IC

I I

z

I

< 1 en 0 < arg z < ;}. Bepaal het beeld H van G onder de transformatie

1 - z3 f'{z ) =

-1 + z3

2.4 (14-6-88) a18

Het gebied G is gegeven door

2.9

G

=

{z E ij; (Re z)'(Im z) > 1 en Im z > Ol.

Bepaal het beeld van G onder de transformatie f Cz )

=

!.-

+ i.

2 Z

2.5 (14-6-88) a18

Men brengt in het complexe vlak een coupure aan en beschouwt D

=

ij; , {z

I

Im z

=

0 en Re < Ol.

w(z)

=

vz

is de tak van de wortelfunctie op Dbepaald door V+T

=

-1. Bepaal het beeld wel) van de rechte lijn

L

=

{z

I

Im z

=

2}.

2.6 (15-4-88) a180B

Men beschouwt de transformatie z - 1 w

=

log

Z"""+1 '

waarbij de hoofdwaarde van de logarithme wordt bedoeld.

a) Voor welke waarden van z is deze transformatie niet conform? b) Bepaal het beeld van het reële interval

-1 < Re z < I, Im z

=

O.

c) Bepaal het beeld van het bovenhalfvlak Im z > O.

2.7 (14-8-89) a14A

2.10

2.11

2.12

Los z op uit: cos z

2.8 (29-1-88) a180B

i sinh 1.

Z + 1

Men beschouwt de transformatie w =

z-=-r

a) Voor welke waarden van z is deze transformatie niet conform? b) Toon aan dat deze transformatie de cirkel Iz - 1\ =

V2

in

zichzelf overvoert (d.w.z. in de cirkel Iw - 11

=

V2 ).

Bepaal de punten z die onveranderd gelaten worden (d.w.z. waarvoor geldt w z).

c) Waar gaat het gebied Iz - 11 <

V2

in over? d) Bepaal de beeldfiguur van de cirkel Iz +

11

=

V2

2.9 (12-6-89) a23B

Bewijs voor reële x en y de volgende identiteit: Isin (x + i~)12

=

Isin x + sin iyl 2

2. 10 (12-6-89) a23B

De complexe variabele z loopt langs de geschetste kromme K van

o

naar -3. Men stelt fez)

=

~

z2+ 1 en

definieert f(O)

=

1. Schrijf de waarde die deze functie heeft aangenomen, als z de kromme K heeft doorlopen van 0 naar -3, in de vorm a + bi (a,b E ~).

2. 11 (19-6-87) a23B

-1 deze functie aangenomen als z de kromme K

heeft doorlopen van 0 naar -iY3 ?

De complexe variabele z loopt langs de geschetste kromme K van

o

naar -iY3. Men stelt Hz) =

~

z4 - 1 en

definieert: f(O)

=

-1. Welke waarde heeft

2.12 (14-1-88) a23B

-2

De complexe variabele.z loopt langs de geschetste kromme K van

o

naar 2. Men stelt fez) =

~(z

+ 1)(Z2 + 1)

en definieert f(O)

=

1. Schrijf de waarde die deze functie heeft aangenomen, als z de kromme K heeft doorlopen van 0 naar 2, in de vorm a + bi (a, b E IR).

3. Singulariteiten. Laurentreeksen

3.6

3. 1 (16-6-87) a18

3 Z f Iz )

De functie f is gedefin iee rd door:

1

2(ez - 1) sin2z

a. Geef de ligging en de aard van de singularit e i ten va n f, .

alsmede de ligging en de multipliciteit va n de nulpunten van f.

b. .In dit onderdeel wordt met E de eenheidsci rkel bedoeld .

Geef de waarde van

f

f(z) dz in de vorm va n ee n onei ndi g E+

voort lopende.reeks en geef daarvan de al ge mene term aan.

3. 7

3.2 (26-10-87) a18

Bepaal het residu in nul van de functie

3.8 1 . 2 Z SIn z gIz )

=

--=--3.3 (14-6-88) a18

Bepaal de Laurentontwikkeling van 1

f(z)

=

z(z _ 1) in het gebied G (z ]

I

zl

> H.

3.4 (14-6-88) a18

Bepaal de singulariteiten van de funct ie _3.9

f Iz )

=

3.5 (12-6-89) a14A

Bepaal de aard en de ligging van de singularite iten van

2iz

e - 1

z2 sin 3z

3.6 (14-8- 89) a14A

Men ontwikkelt

(z + i)(z 3iJ om het punt 4i in een

Laurent-reeks die conve r ge e r t in het gebied, bepaald door {z e"Cl 1 < Iz - 4il < S}

Geef de coëfficiënt van (z - 4i)n in deze ontwikkeling voor n ~ 0

en voor n < O.

3.7 (14-8-89) a14A

De functie f is gegeven door: fIz ) = (sin z)(sin

.!.).

z

Men ontwikkelt fez) in een Laurentreeks omO.

a) Toon aan dat in deze ontwikkeling geen termen voorkomen met

oneven machten van z.

in de vorm van

4

Z

en ook die van z

z

b) Geef de coëfficiënt van

een oneindige reeks.

c) Geef de coëfficiënt a van zzn in de gedaante van een

Zn

oneindige reeks, maar met behulp van het E-teken, voor n ~ O.

3.8 (12-6-89) a23B

De functie f is gedefinieerd door iz

f Iz ) = e - 1 z sin3 z

a) Bepaal de ligging en de aard van de si ngu l a r i t e i t en van f.

b) Bereken het residu van f in O.

3.9 (17- 8- 88 ) a23B

Bepaal de Laurentontwikkeling van 1 om het punt (Zz + l)(z - 1) 1 z

= -

2 '

geldig voor

o

< [z +

21

1 < 3

2

.

3. 10 (17- 8- 88 ) a23B g(z) _{, z '" O.} Zi j C = {z e Cl Izl = l }

Bep aal de Laurentreeks van

f

Z 6 g(z) dz C+ en g om z

=

0 3 Z en bereken

3.11 (14-1-88) a23B

4.1 2

Z

Men ontwikkelt in een Laurentreeks om het punt

(Z2 - 1)(z - 2)

z

=

1. Geef van deze reeksontwikkeling de algemene term en het gebied waar deze ontwikkeling geldig is.

3.12 (25-8-87) a23B

Geef de ligging en de aard van de singulariteiten van de functie f bepaald door:

fez) en bereken het

sin z z3(e 4Ï z - 1)

residu in elk der polen.

3.13 (25-8-87) a23B

Bepaal de Laurentontwikkeling van 1

Z2 - 4iz - 3

om het punt z = 4i, geldig voor 1 <

Iz

-

4il < 3.

4.2

vraagstukken 13

4. Integratie. Residuenstelling

4. 1 (16-6-87) a18

ill

bepaald wordt door:

Tl

2";

0 < 0 < RL de cirkelboog met Vii. co co en

_J

sin x dx.

o

vx

1

J

e-x x 2 dx

o

Hz) dz

=

O. Hz) dz O. co

J

cos x dx

o

vx

N.B. Gegeven is ook: c ) Bereken:

De contour K is de rand van het gebied G dat

G

=

{zl 0 < Izi < R; 0 < arg z <

De cirkelboog met straal R wordt Cl genoemd,

straal 0 noemt men C

2' Zie ook de figuur.

De functie f is gedefinieerd door:

-z

Hz)

=

e

vz

a) Toon aan: lim f+

R-)<O C

1

b) Toon aan: lim f_

0-1-0 C

2

4.2 (26-10-87) a18

Zij C+ de in positieve zin doorlopen eenheidscirkel.

f

dz

Bereken

.C+ z2 + 4z + 1

4.3 (26-10-87) a18

Zij a een reëel getal, a > O.

iaz

e

Hz) =

(1 + Z2)2

a. Bepaal de singulariteiten van f en bereken de residuen in de

De functie f is gedefinieerd door

singuliere punten.

b. Zij ~ de halve-cirkelboog in het bovenhalfvlak van R naar

co

J

cos ax dx.

c. Bereken

o

(l + X2)2 Licht uw antwoord kort toe.

-R, R > O. Toon aan dat lim f fez) dz

=

O.

R-)<O L

4.4 (14-6-88) a18 4.9 {zl + z cos z 3} linksom doorlopen. 4.5 (14-6-88) a18 <Xl Bereken dx - 2x + 4

Laat zien hoe u aan het antwoord komt.

4.6 (24-10-88) a18

De functie f is gedefinieerd door fez) 1 hierin

is ~ een getal met Im ~ > O.

a) Bepaal de singuliere·punten van f en he t residu van f in elk

van die punten. b) Bereken de waarde van

co P.V.

J

dx (x - ~)2(X

-

1) -<Xl cc 4.1 4.7 (24-10-88) a18 1 de functie f Iz )

=

-

- --

-z2 sin llZ

N is het vierkant met hoekpunten achtereenvolgens

Cl - il. QN = (N +

à)

Cl + L},

(- 1 + i) en 5

=

(N +~) (-1 - i). Hierin is N e ~.

N 2

singuliere punten van f en het residu in elk van die We bestuderen De contour C P (N 1 N +

2)

R (N 1 N +

2)

a. Bepaal de punten. 1

b. Toon aan dat

_I

_{s i n llZ}

_I

~ 1 voor alle z e C.

N

c. Bewijs dat lim § f {z ) dz

=

O.

N~ C N d. Toon aan da t co 2

L

(_1)n+l 2 1l12 n=l n

f

+ z2 - 4z + 1 C Bereken (21-8-89) a18.

Zij C+ de in positieve zin doorlopen eenheidscirkel.

dz 4.8

Men definieert

Hz)

4.9 (21-8-89 ) a18

Zi j p > O. De functie f is gedefinieerd door

2

z

4

z + p

voor iedere Rde contour Cdoor

dz.

31l

z <

2

C= C + C + C

1 2 3

lijnstuk + cirkelboog + lijnstuk

a. Bepaal de singuliere punten van f en het residu in elk van die punten.

b. Toon aan dat lim f Hz) dz O. R

R-)al C 2 _C2 m C3

J

2 c. Bereken _x_ _ dx 4 0 X + p 0 C, R 4. 10 (12-6-89) a14A

R en r zijn positieve getallen waarvoor geldt: 0 < r < 1 < R. De contour K wordt gevormd door:

-De halve-cirkelboog Cl' bepaald door Izi

=

R, Im

Z

~ O. -Het lijnstuk

t

1 op de reële as, dat -R verbindt met -r. -De halve-cirkelboog C

2' bepaald door Izi

=

r, Im z ~ O. -Het lijnstuk

t

2 op de reële as, dat r verbindt met R. De functie f is gegeven door

fez)

=

(in z)2

~

z2 + 1 Afgesproken wordt: n

- 2:

:5 arg a. Bereken § fez) K+

b. Toon aan: lim f+ fez) dz O. R-)al C

1

c. Toon aan: lim f+ fez) dz

=

O. r,J,O C

2

d. Bereken met behulp vàn a, b en c:

m m

J

(in x)2

.;x

dx en

J

(in x)

.;x

dx 2 + 1 2 + 1 0 x 0 X m als ook is

J

.;x

dx 1l gegeven 2 + 1 Y2 0 x

4.11 (15-6-87) a14A

De contour K wordt gevormd door:

ia

1. De halve-cirkelboog Cl waarop geldt: z

=

0 e en 0 ~ a ~ n.

2. De lijnstukken AB, BD en DE die resp. de punten A

=

0 met B

=

R;

B

=

Rmet D

=

R + i; D

=

R + i met E 0 + i verbinden .

3. De halve-cirkelboog C

2 waarop geldt: z

=

0 e

i a

+ i en -n

~

a

~

O.

4. De lijnstukken FG, GH en HK die resp. F

=

-0 + i met G

=

-R + i;

G

=

-R + i met H

=

-R; H -R met K

=

-0 verbinden.

Hierbij geldt steeds 0 < 0 < ~ <R. Zie ook de figuur.

2 4.1:: 4.14 F -R.~+:...i_-+-_--, G -RL..:.H.:...-~_~ R+i D B R nz 2

De functie f is gedefinieerd door fez) _{sinh nz}e

a. Bereken i+f(z) dz.

b. Toon aan: lim f fez) dz

=

O.

R~ BD

Daarna mag men aannemen dat ook lim f f(z) dz

R~ GH

O.

c. Bereken het residu van f in 0 en in i.

d. Bereken vervolgens lim f fez) dz en

o~O C 1

als Cl en C

2 in de aangegeven richting

e. Bereken met behulp van a, b, c, d:

Dl nx

J

sinh 2: sinh nx dx.

o

4.12 (29-1-88) a180B lim f f Iz ) dz , o~O C 2 worden doorlopen. Bereken de integraal

J~

lol eZ - 1

vraagstukken 17 4.13 (29- 1-88) a180B Bereken m.b.v. contourin t eg r a t i e CD

J

o

Aanwijzing : 2 (In x) dx 1 + x2

Neem als con t ou r twee halve-cirkelbogen van Izi

=

R en Izl

=

0, verbonden door twee stukken van de reële as.

4.14 (29-1-88) a180B

CD 1

Bereken \ -- door uit te gaan van de integraal

k~l

k4

J

,-,Il--=.c..:..~..:..t--,-,Il=z dz ,

C .z

1

waarbij C de cirkel Izi = N+

2

voorstelt.

N.B. Het feit dat Icot Ilzl op C uniform begrensd.is, behoeft niet te worden aangetoond.

4.15 (19-6-87) a23B

Bereken m.b.v. contour integratie CD -1 < a:< 3. a: x

J

0

-o

4.16 (14-1-88) a23B iz2

Integreer e langs een gesloten contour waarvan de in het z

eerste kwadrant gelegen kwartcirkels met middelpunt 9 en stralen E en R (0 < E < R) delen zijn en bereken

CD

J

sin x2 dx. x

o

4.17 (17-8-88) a23B co x1/3 s InIx + ~) Bereken

J

3 dx .

o

x2 + 1

4.18 (13-6-88) a23B <Xl

J

1/3 Bereken x dx door 2 0 X + x + de geschetste contour. integratie van 1/3 Z 2 Z + z + over R 5.1 5. 2 5.3 5.4

5. Nulpunten. Argumentenprincipe

5.1 (12-6-89) a14A

Gegeven is: g(z)

=

Z4 + iz3 + 1.

a. Toon aan dat g(z) geen nulpunten heeft op de reële as en ook

niet op de imaginaire as.

b. Het punt z doorloopt in het complexe vlak de volgende baan:

langs de reële as van 0 naar R (R > 0), vervolgens langs de

kwart-cirkel met middelpunt 0 en straal R van R naar Ri,

tenslotte langs de imaginaire as van Ri naar O.

Hoe verloopt arg g(z) als z deze baan doorloopt en R~ m ?

(arg 1

=

0)

Wat zegt dit over de nulpunten van g(z).

5.2 (14-8-89) a14A

De veelterm p(z) is gedefinieerd door P(z) = z5 - Z + 16.

Toon aan dat de nulpunten van P(z) liggen in de ring, bepaald

door 1 < Izi < 2.

5.3 (16-8-89) a23B

De functie f is gedefinieerd door fez)

Onderzoek hoeveel nulpunten f heeft a) op de reële en de imaginaire as. b) in het eerste kwadrant.

c) binnen de ring gegeven door R

=

{zl

Schets de ligging van de nulpunten..

1 3

Z < Izi <

z}.

5.4 (12-1-89 ) a23B

De functie f is gedefinieerd door f Iz )

Onderzoek hoeveel nulpunten f heeft

a) op de reële en de imaginaire as.

b) in het eerste kwadrant.

c) binnen de ring R, gegeven door R

=

{zl

Schets de ligging van de nulpunten van f.

Z4 + Sz + 1.

5.5 (17-8-88) a23B

Onderzoek hoeveel wortels de vergelijking

2ez + 2z3 - 1

=

0 6.1

heeft binnen het gebied bepaald door 5.6 (13-6-88) a23B

1

"3 <

Izl

<2.

Onderzoek het verloop van het argument van fez)

=

z3 + Z2 + 4z + 9,

als z de imaginaire .a s doorloopt van ioo naar -ioo. Leid hieruit af, hoeveel nulpunten f in het rechter halfvlak Re,z ~ 0 heeft. 5.7 (14-1-88) a23B

Bewijs dat de functie f'{z ) = ez

2"

1 z - 1 één nulpunt heeft in het halfvlak Re z < 0 en dat dit nulpunt reëel is.

Aanwijzing: Toon eerst aan dat f Lz) één nulpunt heeft in het halfvlak Re z < - c met

o

< c <

2"

1

6.2

6. Fourierreeksen

6.1 (12-1-89) a23B

Zij f:

~ ~ ~

gegeven door fIx) = Isin

~

xl , - rr

~

x < rr,

en fIx)

=

fIx + 2rr) voor alle x E ~.

a. Ontwikkel f in een Fourierreeks.

b. Sommeer m.b.v. deze Fourierreeks

co 1

L

2 n=l 4n - 1 co (_Un en

L

--'-=2--'--nei 4n - 1

c. Geef de formule van Parseval en sommeer hiermee

co 1

n~l

(4n2 - 1)2

6.2 (19-6-87) a23B

De functie f wordt gegeven door

fIx) cos ax, -rr < x ~ rr, ~ E ~ \ z,

fIx) fIx + 2rr) voor alle x E ~.

a. Ontwikkel f in een Fourierreeks.

b. Bereken met behulp hiervan

co 2 ~

L

2 2

n=l ~ - n

c. Bewijs dat termsgewijze integratie van de reeks onder b. naar ~

van 0 tot y met 0 <

d. Leid hieruit af: sin rr y

rry lim n~ < 1 n

rr

k=l is toegestaan. 2 (l -

l...).

k2 6.3 (16-8-89) a180A

Zij f op [-n, nl gegeven door

fIx)

=

rr2 - x2 en zij verder fIx + 2rr)

=

fIx).

a. Ontwikkel f in een FQurierreeks t.o .v . het stelsel

{1, cos x, sin x, ..., cos nx, sin nx, ...} .

b. Onderzoek of de Fourierreeks puntsgewijs convergent is op

[ -n,n].

Vul x

=

0 en x

=

rr in.

Welke reeksen kunt U dan sommeren?

co

c. Geef de formule van Parseval en sommeer hiermee

r

L 4

rr rr voor -2: ~ x ~ 2:

.

rr tt < voor - rr s x < - _2: en _2: x ~ rr. 6.4 (17-8-88) a180A

Op [-rr. rr] is de functie f gegeven door

f(x)

= {

~

a. Ontw i kk e l f in een Fourierreeks t. o.V. het stelsel

7.1

{ 1, cos x. sin x, • • •t cos nx • si n nx •. ..}

7.2

b. De functie g [- rr. rr] ~ IR wordt gegeven door

= { :

rr rr

g(x ) voor - 2: ~ x ~ 2: ,

rr n

voor - 1t :s x < - 2: en _2: < x ~ rr.

Bepaal de Fourier reeks van g t.o.v. het ste lsel {1, cos x. sin x • ...• cos nx. sin nx,... } .

c. Onderzoek of de Fourierreeks van g puntsgewij s converge er t op [-rr. rr]. Vul x rr_2: in.

6.5 (19-1-88) a180A

Op [-rr. rr] is de functie f gegeven door f(x) X2.

a. Ontwikkel f in een Fourierreeks t.o.v. het stelsel

{1. cos x. sin x • ...• cos nx. sin nx •. .. } .

b. Onderzoek of de Fourie r reeks uit a. puntsgewi js convergee rt op

rr

[- rr. rr]. Vul x = 2: in.

c. Pas de relatie van Parseval toe op de Four i e r r e eks uit a.

6.6 (19-8-87) a180A

Op [-rr, rr] is de functie f gegeven àoor f(x)= { -2 x + rr voor 0 ~ x ~ rr,

-2 x - rr voor -rr ~ x < O.

a. Ontwikkel f in een Fourierreeks t,o. v. het stelse l

{1, cos x, sin x, ..., cos nx, sin nx, .. .} .

b. Onderzoek of de Fourierreeks uit a. puntsgewijs conv e r gee rt op

[-rr, nl, Vul x _ rr

-"4

in.

c. Pas de relatie van Parseval toe op de Fourierreeks ui t a.

x

7.

Fouriertransformatie

Bereken de Fouriergetransformeerde van

7.1 (12-6-89) a23B

7.2 (17-8-88) a23B

Zij f : R ~ R gegeven door [(x) = {

a. Toon aan dat de

2 - lxi voor lxi ~ 2,

o

voor lxi > 2.

Fouriergetransformeerde van f gelijk is aan

b. Bereken

J

Ol • 2 sln 2 u cos u duo

o

u 0:>

c. Bereken

J

sin: u duo

o

u

7.3 (13-6-88) a23B

Zij f de functie gegeven door f(x) = x e -lxi .

a. Toon aan dat de Fouriergetransformeerde van f gelijk is aan

[(u) -1

.ff

2 u

1l

(l + u2 ) 2

b. Bepaal met behulp van de formule van Plancherel

0:>

J

U2

duo

0 (l + U

7.4 (14-6-89) a180A

Zij f de functie gegeven door

7.7 1 [(x)

= {

~1

voor 0 ~

lxi

~ i, voor 1 <

"

l

X

i

~ 2, voor

lxi

> 2.

a. Bepaal de Fouriergetransformeerde van f.

u b. Bereken co

J

.

3 SIn u u

o

COS u du _en co

J

.

3 SIn u

o

2 COS

met behulp van de omkeerstelling van de Fouriertransformatie.

met behulp van de stelling van

==---=.----::..:..:=---=u du

o

Plancherel.

J

sin6 u cos 2 c. Bereken 2 u 7.5 (17-8-88) a180A

Zij f de functie gegeven door f Ix ) = Cl +

lxi)

e-

1xl.

a. Toon aan dat de Fouriergetransformeerde van f gelijk is aan

7.8

[(u) = 2

ff

1

rr

Cl + u2_{) 2}

ee

b. Bepaal

_J

cos u duo

0 Cl + u 2 ) 2 \Xl c. Bereken

_J

duo 0 Cl + u 2 ) 4 7.9 7.6 (17-1-89) a180A

Zij f de functie gegeven door

f(x)

voor 0 < x < i,

voor -1 < x < 0,

elders.

a. Bepaal de Fouriergetransformeerde van f.

eo sin2 1 \Xl

J

"2

u

I

Si~3

t b. Bepaal sin u du en dt u 0 0 co Bereken

_J

sin 4 t dt. C. -0 t 2

7.7 (19-8-87) a180A

Zij f de functie gegeven door

2 [(x) = {

~

- lxi

voor

l

xi

~ 1,

voor 1 <

l

xi

< 3,

voor Ixl.~ 3.

a. Toon aan dat de Fouriergetransformeerde van f gelijk is aan

u cos U 2 U . 2 Sln 4

fT'

----::---J[ [(u) b. Bepaal c. Bereken al

'"

J

sin2

J

sin2 u _{cos u du} u duo en -2 2 0 U 0 U

'"

J

sin4 u cos2 u duo 4 0 U 7.8 (14- 6- 89 ) a180A

Zij h de reguliere distributie die correspondeert met

h(x) x cos x. Bereken de Fouriergetransformeerde van h.

7.9 (17-8-88) a180A

Zij g de reguliere distributie die correspondeert met de

functie g(x)

=

(1 + x) eix. Bepaal de Fouriergetransformeerde

8. Laplacetransformatie

8.7

8.1 (16-8-89) a23B

",- 1 (

Bepaal oL s - 1 ) met behulp van de comp l ex e

(s + 1)4

(l

+ 1)

omkeerformule van de Laplacetransformatie.

8. 8

8.2 (25-8-87) a23B

",-1 ( S )

Bepaal oL

(s2 + 2s + 2),(s + 1)4

met behulp van de complexe omkeerformule van de Laplacetransformatie.

voor s > 1. t > 0 a > -1, ta + x v(t,a) =

J

o rca

+ x + 1) 8.3 (16-8-89) a180A

Bepaal de Laplacegetransformeerde ~(s,a) van

co

8.4 (16-8-89) a180A

Bepaal met behulp van Laplacetransformatie de oplossing y(t)

van de differentiaalvergelijking

y" + 4 y

=

hftI, t ~ ₀

met h(t)

_{= {}

₀1 voor_voor II

_o

~_~ t_t ~_<II211,_{en t > 211,}

8·11

die voldoet aan y(O)

=

1,

v'

(0)

=

o

.

8.5 (14-6-89) a180A

O. y(O)

Bepaal met behulp van Laplacetransformatie de oplossing x(t), y(t)

van het stelsel

x" - 2x' + 3y' + 2y 4

2y' - x' + 3y

=

0

die voldoet aan x(O)

=

x'(O)

8.6 (17-1-89) a180A

B.7 (17- 8-88) a18üA

De func ti e erf'Lz) wordt gedefin i eerd door

z 2

erf Iz) = -2 J e-L dL.

-/Ti Ü

t

Bepaal de Laplacegetransformeerde va n [(t) e erf(v't).

B.8 (17-8-88) a180A

Bepaal met behulp van Laplacetransformatie de functie y(t) die voldoet aan en y(O) 2 2

~

- 4 Y dt2

=

v' (0)

=

1. t + 9 J y(t - L) sin 2L dL

o

2t B.9 (19-8-87) a180A

De Besselfunctie Jo(t) wordt gegeven door J (t) o

00 (_l)n t

\' (_2)2n. =

n~o

(n! )2 Bepaal de Laplacegetransformeerde van J (2 v't).

o

B.l 0 (19-1-88) a18üA

Zij f de periodieke functie met periode 2 bepaald door {

l voo r 0 S t S 1,

f(t)

=

0 voor 1 < t < 2.

Bepaal de Laplacegetransformeerde van f.

8.11 (19-1-88) a18ÓA

2t, dy dt

Bepaal met behulp van Laplacetransformatie de oplossing x(t), y(t) van het stelsel

{

3

::~

+

d2y _ 3 dx

₌

-10 , dt2 dt die voldoet aan de beginwaarden

Uitwerkingen

Notatie: Wij zullen, tenzij anders vermeld, steeds schrijven

z = x + iy en w = u + iv (x, y, u, veR).

1. Differentieerbaarheid

h'(x)

=

-I, 'dus u 2y + l. y 2 2 X + y 2y - 1 (2) 2 2 X + y dus en v x en 2x 2 2 X + y u x 2x ₍₁₎ 2 2 X + y - 2 arctan ~ + h(x) en y

Combinatie met (2) levert v

y

v(x,y)

fez) = log (x2 + y2) + y + i(- 2 arctan ~ - x + A).

y

f(il 1 + i. Invullen levert f(il = 1 + iA, dus A = l.

2 arctan x - x

7

1. Y Imw + h' (x). 2 y A. 2 X + -x + v x h(x) Gegeven was Derhalve is Cauchy-Riemann leert Uit (1) volgt 2y

1. 1 u(x ,y) = log (x2 + y2) + y, dus

1.2 gIz ) = eZ + z e2X= u(x,y) + iv(x,y). U

x = 2 e 2X~ 0 = vy' voor alle

x. Voor geen enkele (x,y) is aan de vergelijkingen van Cauchy-Riemann

voldaan.

1.3 _{u(x,y) = sin x cash y. Cauchy-Riemann leert v}

u = cos x cash y en

y x

dus v(x,y) = cos x sinh y + C(x) en v_x = - sin x sinh y + C'(x).

Maar u_y sin x sinh y en dus wegens Cauchy-Riemann is C'(x) = 0 en

C(x) = A. Dus v(x,y) cos x sinh y + A. Daar f(O) = i volgt A=l.

De gevraagde v(x,y) cos x sinh y + l.

1.4 _{Gegeven is v = 12xy + 4x - y, dus v = 6x}2y + 2x2 - xy + g(y) en x 6x2 -x + g'(y) v y u y (1). Cauchy-Riemann levert u = - v y X 2 1 2 - 12xy - 4x + y, dus u = - 6xy - 4xy +

2

y + h(x) en zodat _6y2 - 4y + h' (x) X + g/(y) X - h/(x)

(2) . Uit (1) en (2).volgt wegens Cauchy-R iemann

_6y2 - 4y + h' (x) oftewel

_6y2 - 4y - g'(y). In deze uitdrukking hangt het

linkerlid alleen van x af en het re ch t e r l i d alleen van y. Dit kan

slechts _{als ze beide gelijk zijn aan een constante K. Dus}

h' (x) 6x2 - K, zodat h(x) 2x3 _ 1 2

- Kx + Kl

- x

₂

_x en

g'(y) -6/ - 4y - K, zodat g(y) -2/- 2y2 - Ky + K

We vinden dus: u(x,y) 1.8 K = -5. 1 2

- 2

x + 5x + 3

zl

+ 5y - Z. 2 X - Kx + Kl) + = 3 - Zi, zodat Kl = 3 en i(-Z - Z - K - Z) = ~ - i, zodat 2 2 1 2 3 -6xy - 4xy +

2

y + Zx 6x 2y + Zx2 xy _ Zy3 -v(x,y) 2 1 2 3 1 = (-6xy - 4xy +

2

y + Zx -

2

+ i(6x2y + zx 2 - xy _Zy3_ Zy2 u + iv

=

Kl + _iKZ 1

=(2

+ 3) + f Iz ) [(0) en u y 1.5 2 2 2 2 2 2

u(x,y) = eX -y sin Zxy + y, dus u

x = Zx eX -y sin Zx~ + Zy eX -y cos Zxy

2 2 2 2

-Zy eX -y sin Zxy + Zx eX -y cos Zxy + 1. Cauchy-Riemann levert

2 2 2 2

V = Zx eX -y sin Zxy + Zy eX -y cos Zxy, dus Y

2 2

v(x,y) = - eX-y cos Zxy + h(x), zodat

2 2 2 2

V Zx eX -y cos Zxy + Zy eX -y sin Zxy + h'(x). Met Cauchy-Riemann

X

volgt dan h'(x) = -1, dus h(x) = -x + A. We hebben dus

2 2 2 2

fez) u(x,y) + iv(x,y) = eX -y sin Zxy + y + i(- eX -y cos Zxy - X+ A).

2 2

f(O) 0, zodat A = 1. Dus v(x,y) = - eX -y cos Zxy - X + 1.

1. 6 f Iz ) sin z sin (x iy) =.sin X cos iy - cos X sin iy =

sin X cosh y - i cos X sinh y. Nodigen voldoende voor differen-tieerbaar is u = v en u = -v ,dus cos X cosh y = -cos X cosh y

X Y Y X

en sin x sinh y = -sin x sinh y. Dit leidt tot: cos x 0 en sin _x sinh y = 0, waaruit volgt: y = 0, x = n

2

+ kn , k E 71..

+ e-y 1 2

Z +2 z _- Z

Zi sin z +

₂

1 _z2 - z. v(x,y) = Z sin x cosh y + xy. Dus v

x = Z cos x cosh y + Y en v Z sin x sinh y + x. Cauchy-Riemann levert dan

y u

x Z si n x sinh y + x en dus u = -Z cos x sinh y +

~

x 2

+ C(y), zodat u Z cos x cosh y + C' (y). Maar Cauchy-Riemann leert ook

y 1 2

U = -v -Z cos x cosh Y - y, zodat C' (y) = -yen C(y) = -

2

y + A.

y x 1 2 1 2

W= fez) = -Z cos x sinh y +

2

x

2

y + A+ i(Z sin x cosh y + xy ) . f(O) = -Z leidt tot A = -Z.

w.= -Z ei x + e-i x eY- e-y + Zi ei x - e-i x eY

Z Z Zi

i(x + iy) _ e-i(x + iy) 1 2

e +2 z _- Z

O. Het gaat er dus om: wanneer 1.8 log w

is z +

is analytisch, behalve als w ~

1 .

z ~ 0 ~ x + iy + X + iy ~ 0

-

x + iy + x - iy2 2 ~ 0

X + y

-x(1 1 2) iy(1

1

2) ~ 0, dus y(1 2)

=

0 ( llen

+ + -

-2 2 2

X + y x + y x + y

x(1 + ) ~ 0 (2) . Uit (1) volgt: y

=

0 V X2 + y2 1 ; uit (2)

2 2 X + y

volgt x ~ O. Dus als (y

=

0 A x ~ 0) V (x2 + y2 1 A X ~ 0), dan is f niet analytisch, elders wel.

2. Functies. Conforme

afbeeldinqen

2.1 a. Een parametrisering van T is x cosh t, Y sinh t, t door loop t ~ van - D ) naar D).

b. Zij s

=

1 - z2

=

1 - (cosh t + i sinh t)2

=

-2i sinh t cos h t -i sinh 2t i P met p lopend van D) naar -D) .

Verder is w

=

VS

.

2.4

z-vlak

l'

s-vlak w-vlak

2.2 fez)

=

~(z

+ 2i)(z - 2i)(z + l)(z - 1).

f(2)

=

If(2)1 ei arg(f(2))

I~~~~I

f(O) ei(arg f(2) - arg f(O)) Stellen we arg f(2) - arg f(O)

=

6 arg f, dan geldt:

1 .

6 arg f

=

3

(6 arg (z+2i) + 6 arg (z-2i) + 6 arg (z+l) + 6 arg (z -l))

1 7 7 _ Tl

1[(2)

I

=

IS.3

=

I;:

=

3

(ïlTl - ïlTl + 0 + Tl) -

3

Maar f(0) ~ , dus

3~ 3~ iTl/3 3~ 1 + iv'3 3~

[(2) = 'I' 6 (-'I' 4 ) e -2 'I' 3 ₂ - (l + iv'3) 'I' 3 .

t(z) 3 wet) 1

-

t 2.3 Zij

=

z en

=

_'1+t 1:=0 I' . 3 ':=0 I". 1

-

t

I

~=O'

1. z

₌

x => t

₌

x => w

=

_'1+t

11. z

=

ei</>

I

Tl_</>=0/3 => Il'. t

=

e 3i</>

I

Tl/3

=

eit/J

I~=o

</>=0

2. 5

11". w

Tl -e-it/J/2 + e it/J/2 -2i Tl

It/J=o

=

-it/J/2 it/J/22I

It/J=o

e + e t/J

I

Tl -i tan

2'

t/J=o' Il1. z = x ei Tl/3 10 lIl'. t _x3 10 = x3 10 x=l x=l x=-l III".w

=

~

10 . 1 + t t=-l

JálL

--r'

z-vlak t-vlak

2.4 _Zij t(z) = z,2 set ) _{- t}4 en w(s) = s + i.

t(z) = x2 - y2 + 2ixy, dus het beeld van 1.

I' . t = x2 - 1 + 2i

_1:=0

₌

p + 2i

_{1:=_00}

_'

2 X en xy 1 bij t(z) is a=~ p2 + 4 -2 ~ Invullen levert b

O. Dit is een cirkel met

en dus p Zij s

=

a·+ ib. Dan is p

2

4(p - 2il p2 + 4 zodat

5

4 s

=

p + 2i -8 2 P + 4 -8 I" . b

=

b middelpunt (0,-1) en straal 1.

I''', w

=

s + i. Tr-ansl at Ie naar de eenheidscir~el u2 + v2 1.

o

z-vlak t-vlak

l.~

~i.

s-vlak w-vlak

2.5 _{We parametris e ren de lijn} L door

kan genomen worden arg 1

=

2rr en

z

=

x + 2i

,

-00

.

Aangezien

Y+f

=

x=oo

loopt arg z van 2rr naar 3rr.

-i ,

tak van de hyperbool in het der de

hyperbool, en omdat

w= u + iv =

I

x + 2i, dus u2 - v2 + 2iuv = x + 2i

Er volgt: uv

=

i, een orthogonale

rr naar ~rr, is het beeld van L de

2

kwadrant.

en arg w

=

2

1 arg z.

arg w 'l oop t van

2i

z-vlak w-vlak

2.6 a. De afbeelding w

=

log s , waarbij de hoofdwaarde van de log is

is de transformatie elders conform. ~ 0 - 1 ~ 0, 2 z2 - 1 y

=

0 A x2 (log

Z+1

z

1)'

bedoeld, is niet conform als s ~ O. Het gaat er dus om: wanneer is

~

<_ 0 (x - 1) + iy < 0 (x2 + y2 - 1) + 2iy <_ 0 dus

z + 1 *=* (x + 1) + iy - *=* 2 2 '

(x + 1) + y

X - l 1 x - i 1

b. w

=

log ---1_{x +}

I

_x=-l

=

log

1---

_{X + 11} + ni I_x=-l. Het beeld van

-1 < x < 1 , Y

=

0 is dus de lijn v_~,

=

ni.

1 -x - 1 1 X + 1 1

C. I. z

=

-x I ,I'. w

=

log - - - I

=

log --- I_x=- ' de reë l e

x=oo -x + 1 x=oo x - i ~

as doorlopen van 0 naar +00.

11. (zie b}. d. lIl. z

=

x 100 , 111'. W x=l -00 naar O. z-vlak

log x - i 100 , de reële as, door lope n van

i<"+1

x=l

2.7 cos z

=

i sinh 1

=

sin i

Alternatieve oplossing.. cos (~ - ij, 2 dus z

=

±(; - i) + 2kn, kE I . iz -iz -1 2iz iz e + e

₌

_i e

-

e

-

_e

_-

_He - e -l)e + 1

=

0, dus 2 2 He e-1) / -(e e-1)2 He -1 ±i / e2 -2 2 iz ±

-

-

4 - e ) + e + e _{2 2} He

-

e-l.) _± He ₊ e-1) 1 + ilU2

{

ie

=

e

=

-1 -1

-

inl2 2 -ie e Dus iz 1 + 1.n + 2kn:i n: i + 2kn:

2

q z

=

2

en iz -1 _{- 1}.n 2kn:i n: i 2kn: (k E.I).

2

+ q Z

=

-2

+ + 2.9

I

s

is alleen voor z = 1 niet conform.

2.8 a. Zij f(z)

z::-T '

z + 1 dan is f ' (z ) -2 ~ O. Dus de transforma t i e

b. We parametriseren de cirkel met z

=

1 +12 ei</>

I~:o'

2 + 12 ei</> _{12 e-}i</> + _{1, dus Iw - 11}

₌

_12.

w

=

_'</>

z

=

w

12 el i</>

e- i</>

-

_</>

₌

krr , De punten die onverande rd blijve n

_ e DI

Iw -

11

=

12 rechtsom doorlopen. Het gebied Iz -

1

1

<12 gaat

over,in Iw - 11 > 12.

zijn dus 1 + 12 en

c. Als de cirkel Iz - 11

1 - 12 .

d. We parametriseren de cirkel met -1 + VZ eil/> 1 2 1l Dan is z = 1/>=0' VZ eil/> 1 -VZ eil/>+ 1 w =

+ VZ eil/> e-il/> +

(-VZ

e-il/> + eil/>

-2 -VZ 1)

(-VZ

+ 1)

1 - VZ cos I/> - iVZ sin I/> 3 - 2VZ cos I/>

Dus VZ cos I/>

3 - 2VZ cos I/>

en v - VZ sin I/> 3 - 2VZ cos I/>

Omdat we uit de theorie van de gebroken, lineaire transformaties weten dat cirkels worden afgebeeld in cirkels of rechte lijnen, berekenen we

2 2

u + v 3 - 2VZ cos I/>

(3 - 2VZ cos 1/»2 3 -

2V2

cos I/>

1 - 2u of

(u + 1)2 + v = 2, dus het beeld van

Iz

+

11

Iw

+

11

=

vz.

VZ is

~.9 [sin (x + iy)12

l

e i (X+ iy) _ e-i(x2i + i Y)12=

e i x - y _ e- i x + y e-i x - y _ e i X+ y

2i -2i

e-2Y - e2i x - e-2i x + e2Y 1 2x)

4 =

2

(cash 2y - cos

Isin x + sin iyl2

-ix - e 2i + e-y - eY -2i ) Dus linkerlid

1 - e 2 i x _ e-2 i x + 1 + e i x-y _e i x+y _ e- i x-y + e- i x+y 4

e-y- i x _ e-y+i x _ ey- i x + e y+i x + e-2Y _ 1 _ 1 + e2Y

+ 4

1

2

(cash 2y - cos 2x). 1

rechterlid =

2

(cash 2y - cos 2x).

~.

lo

f{z ) =

I

(z - i)(z

i f(-3) = If(-3)1 e Stellen we arg

+ t ).

arg f(-3) = If(-3)1 f(O) f(O) f(-3) - arg f(O) = ~ arg f,

ei(arg f(-3) - arg f(O)) dan geldt:

Dus [(-3)

=

6 arg f _ 1

_{- 3}

_ 1

- 3

(6 arg (z - i) + 6 arg (z + i))

Srr 1 3rr 1 4rr

(- -z

+ arctan

3 - -Z -

arctan

3)

3 1 [( - 3 ) 1 [(0) e-4rri/3

₌

~(_.!.

+.!.i 113) [(0) Z Z . ,

..

a 3,---~

Z.ll fez) =

1

(z - il(z + i)(z - IIIz + 1).

f(-i1l3) If(-i1l3)I ei arg f(-i1l3)

=

'fl;~~l'

f(O) ei 6 arg f

waarbij 6 arg f

=

arg f(-i1l3) - arg f(O).

6 arg f

=

~ (6 arg (z-i) + 6 arg (z+i) + 6 arg (z-l) + 6 arg (z+l))

=

~

(-Zrr + rr +

j - j)

= -

j

.

1:

Dus f(-i1l3) Z (-1)

(~

₂1 i1l3) -1 + i1l3.

Z.lZ fez) =

ï

(z + 1) (z + i)(z - il.

ei arg [(Z)

I~I

i 6 arg f 3.2 ~

feZ) = I[(Z)1 _[(0) [(0) e

waarbij 6 arg f = arg [(Z) - arg [(0).

(6 arg (z + 1) + 6 arg (z + i) + 6 arg (z - i))

6 arg f

_{- "4}

_ 1 _ 1

- "4

(-Zrr + arctan .!. _ rrZ

2

arctan 2 + Z1 ~) rr

2' a

Dus feZ)

=

\f(Z)1 f(O)

[(0)

-rnzz

e

i~

.

3. Singularit

eiten.

Laurentreeks

en

f heeft een essentiële singulariteit in z . 2 SIn 2 (ez - 1) 3 z a. f(z ) _ =---'-=--_--,-::c-=--:....:..:.c.---'. z = 0, enkelvoudige nulpunten in z nulpunten in z = krr (k E I'{O}). 1 1

2krri (k E I'{O}) en tweevoudige

2 (ez - 1) b. 3 Z . 2 SIn z 1 (eZ - 1)(1 - cos 2z) 3 Z 1 (~ + _1_ + z 3 z 2! z 2 3! Z3

~!

fez) dz = a 2rrl

:r

-1 E+

Het gaat hier oma_I' dus omde coëffic iënt van z2 in (... )( ...).

_2 4 26 ₂8 00 (-1 )n- l 22n 2! 4! + 4! 6! -

~!+

= [ (2n - 2)! (2n)!' n=2 3.2 _g(z) 1 2 z sin z 2z 1 2 (2Z)4 1 2 1 - cos ((2z)

_..

_.

₎ 2 (l 2 ...L sin z = + z _{- 3 z} + 2

"2

2! 4! g(z) 1 - -1 (a + a z + a z2 +

...

). 3 1 1 2 3 0 1 2 Z

-3 z + ... z 1 1 a 1, a = O. a _{- 3} Dus Res g(z) _{- 3} 0 1 2 z=o 3.3 _Als

Izi >

.

dan is 1 < 1. We schri jven dus

TZT

00 fez) 1 (l 1

...

) _{=[ z}-2-n _Izl > 1. z(z - 1) + + + , z2(l

-

~) Z2 Z Z2 n=o z z = 2krri (k E I). Dus z = O. De teller heeft een enke l voud i g nulpunt als

z

eZ - 1

De noeme r heeft enkelvoudige nulpunten voor

fez)

fez) heeft in z = 0 een ophefbare singularitei t en voor z ='2krri (k E I'{O}) polen van de eerste orde.

3. 5 _{fez )} e2iz - 1 _{. De teller heeft enkelvoudige nul punten als z = krr}

z2 sin 3z

(k E I) en de noemer heeft een drievoudig nulpunt als z = 0 en enk e l

-voudige nulpunten als z = k; • (k E I'{O}). Dus f(z) heeft een poo l van

1

c. zLfk + ~)1[ e 3 - 1

..

.

). Dus 2i a z + a _:3 en ~1 -2 2i(k + ~)1[ 3 1 e - _{3.8 a.} 3(k +

.!.)

₃ 21[2 cos 3(k + 3)1[1 lim (z-(k +

~)1[)

fez) 2 3 z-Hk+-) 1[ 3 lim (z-(k + !)1[) fez) 1 3 z-Hk+-)1[ 3 (_llk(_9 + 3iV3) 2(3k + 1)2 1[2 Res Hz) 2 z= (k+-)1[ 3 Res Hz) z= (k+!.)1[ 3 4z2 2iz -

-zT

+ ...

=

(3z-~~3

fez)

=

a_₁

~

. 2 en z

=

(k + 3)1[, (k E I). We schrijven nu

e 2i z _ 1

=

z2 sin 3z (a

-!

+ a - + ...) hetgeen leidt tot

-2 2 -1 Z z 9 3

2

z + ...)(a_ 2+ (_1)k-l(9 + 3iV3) 2(3k + 2)2 1[2 b.

3.6 Stel z - 4i

=

h, dan 1 <

Ihl

< 5. 1 . 1 i 1 41 4 1 1 1 1 (z + i)(z 3i) z + i z - 3i - 4 i h + Si 4 i

~

---41 i 1 -.!.i 1 5i(1 +

5~)

4 h(l +

~)

1

r (_

~)n

hn _ .!.

~

r

(_On = 20 n~o 51 4 h n~o h n '" n+l co 1 \ (-i) +

-! \ ( _

~)n hn 4 n~o h n+1 ₂₀ n~o ₅₁ 1

r'"

~

+ 1

r (_

-!)n hn

- 4

L 20 L Si . n=-l (_i)n n=o Dus a n 1 1 .n _ (- 51.)n - _1__ n 2:: 0 en a 20 Sn 20 ' n 1 lon 0

4

, n < .

f

c

3.10 g 1 + ...J. 7! z7 + 1 1 3! z3 5! z5 1 - 5! 7! 1 + 9! 5! + coëfficiënt van z2: - 1 1

3T1T

3! 5! coëfficiënt van z4: 1 1 5T1T + 7! 3! 3.7 Hz) = (sin z )(sin

.!.).

z

a. In de Laurentontwikkeling van f om 0 komen geen oneven machten van

Z voor, omdat f een even functie is.

z3 z5 z7 1

c. f'Lz ) Eis:

= (.[

(_lli 1=0 2i + 1 - 2t z2i +1 ) ( !Xl t 1 (2i+ll! t t (-ll (2t+ll! - 1 2n , d.w.z. i

=

t + n. Dus !Xl (_lln a 2n

=

Jo (2t + 2n + ll! (2t + ll! . 3.8 a. f fz ) iz e - 1 . 3 Z Sin z

. De teller heeft enkelvoud ige nulpunten als z 2kll (k e I), de noemer heeft een viervoudig nulpunt al s z

=

0 en drievoudige nulpunten als z

=

kll (k e I\{O} ). Dus fez ) heeft in z

=

0 een pool van de derde orde, in z

=

(2k + 1) 1leen pool van de derde orde (k e I) en in z

=

2kll een poo l van de tweede orde

(k e I\{O}). b. eiz

-

1 z si n3 Z (a z-3+ a z-2+ a z-1+ a +

.

. .

). Dus -3 -2 -1 ·0 2 iz3 3 5 iz

-

z (z z z ...)3(a z-2 -1 ...) 2T

F

+ ... 3f + 5! - -3 + a-2z + a-1+ 5 (z3

-

3 z .. . )(a -2 -1

...

)

6

+ -3z + a-2z + a-1+ 2 (a 1a Jz3 a z + a z + - +

...

-3 -2 -1 2 -3 Dus i a _2:1

=

a - 1 i 1 i.

6"

=

a - 2: -3 -2 -1 Res f'{z ) a ₃1 i.. z=o -1 Dus a _-31 , a -1 n 2

-

cos 3.10 gIz ) z 3 z 1 1 -- - + 3 h 3.9 _{We schrijven h} 1 (Zz + tl Iz - II

!

Z6 gIz ) dz

T+

C 1 3 z + 2:' 0 <

Ih

l

<.2: . 2 1 1 1 -3 2Z+1 + 3

"Z=1

1 ( !Xl n 1

3"

1 -

L

(-ll (2n)! z n=o !Xl 22n \' (-1)n-1 -2n-3 L (2n)! z n=l 4

3

rri , 1 1 3 h _ ~ 2 -1 2 (1 + 2h 3 + 4h2 h - 9 9 + " ')

a

4

4.1 2 Z (z - 1)(z + 1)(z - 2) .

en passen we breuksplitsing toe, dan vinden we

en 2 Z a -1 Dus 3.11 f'{ zl = (z2 - tlïz - 2) Stellen we z - 1

=

h , (h + 1)2 fez)

=

h(h + 2)(h - 1)

De afstand van 1 tot de dichtstbijgelegen singula\iteit (n.l. 2) is I, zodat de Laurentontwikkeling geldig is voor 0 < Iz -

11

< 1.

b (-1)k-1 2i (2k + 1)3rr3 sin z z

-

-c=---==-3 Z lim z~(2k+1) rr/2

sin z _{. 'De teller heeft enkelvoudige nulpunten als z = krr} z3(e 4i z - 1)

(k EZ). De noemer heeft een viervoudig nulpunt als z

=

0 en enkelvou-dige nulpunten als z

=

k ; (k E Z,{O}). Dus fez) heeft in z

=

0 een pool van de derde orde , ophefbare singulariteiten als z

=

krr (k E Z,{O}) en polen van de eerste orde als z

=

(2k + 1)~₂ (k EZ).

(2k + 1)~ 2 3.12 f Lz) Als f Iz ) a z + a z-3 -2 + a z + a +-1 -3 -2 -1 0 dan is c 3 Z (z - 3' + ...) Dus a -3 i 4 ' (4iz)2 (4iz)3

(4iz + - -2-'-- + --3-'-- + ..._{) (a_ 3+ a_2z} 4ia z + (4ia - Sa-)z2 + (4ia - Sa --3 -2 -3 - 1 -2 1 3 a_ 2

= - '2

'

a_1 ~;5f(z)

S i .

+ a z2 + ...) -1 32 ia )Z3 + .. "3 -3

u

(z - 3U 1 00 _-È.)n 00 _{~) n} 00

L

(-

L

(-

₌

L

6 3i 2h h n=o n=o n=o 00 Dus al s f'Ïz)

=

L

an (z - 4Un n=-oo 1 1 i 1 i 1

'2

~

- '2

z - 3i

)

hO +

h)

i 1 _{(~)n (z - 4U}n .

6'

3 (z - 4i)n+1 dan is < 3, dan is .( 1 1 h

air

i + 3i) 1 (_un+1

'2

1 (z 4i, 1 <

Ihl

h :

i)

i

3.13 f Ïz ) = z2 - 4iz - 3 Stellen we h

=

z fez)

=

i

i( 3i1+ h a n voor n 2: 0 en an voor n < 0 (n EZ) .

4. Integratie. Residuenstelling

4. 1 _{a. We parametriseren}

_c

_:

_z

=

_Reia

I

rr/2. 1 0:=0 rr

"2

_{-R(cos a + i sin a)} IJ Hz) dz

I

_IJ e _ia/2 R eia i dal s C 0

v'R

e 1 n n n - - -2 2 2 _~R{3 oSJ e-R cos a

v'R

da J -R sin _f3

_v'R

df3 J rr

v'R

as

e oS e 0 _-R 0 0

-

~

v'R

(e - 1) 0 als R ~ eo, 2R ~ b_. We parametriseren C: z₂

=

ö ei a

la

_o:=rr/2' 0 _{-ö(cos a + i sin a)} IJ Hz) dz

I

_IJ e ö eia i dal s ..f5eia/2 C 11: 2 -2 rr 2 J -ö cos _{a ..f5 d«} oS ; ..f5 ~ 0 als ö .,1. O. oS e 0 c. Op R -x

J

~

dx. ö

YX

en O. Dus als R~ <Xl dy. e- i Y i J~~ rri/4 vy e I I I _z

₌

_iy

I

Ö

J

--=---~

y=R R

Er zijn geen polen dus

f

fez) dz

K+ Op <Xl -x

J

e

dx-YX

o

-rri/4 e dy 0, waaruit volgt co -x rri/4J e d e - x

oYX

- i <Xl J cos y - i sin y dy

o

..;y

o

en dus

If·

dy, zodat <Xl J sin y dy

o

..;y

co 1 + i - - ..fT[ = i J cos y dy + J sin y IZ

0 ..;y

O..;y

<Xl <Xl J cos y

j1f'

dy

=

2: en

o

..;y

4.5 " (z + 2 + 13)(z + 2 - 13)

Z2 + 4z + 1 f'{z )

=

-4.2

Binnen C ligt dus in z = -2 + 13 één pool van de eerste orde. Re s c fez) = lirn r» 1 _1_

z=-2+V3 z~-2+V3 Z + 2 + 13 213

i

fez) dz = 2rri Res oC fez ) = rri

r,

z=-2+V 3 13 C F

_,

4.3 f'{ z) iaz e 16 4.6 d ( iaz ) a (a - 1) Res f Iz ) = lirn _ e = - i e ₄ z=-i z~-1 dz, (z _ i)2 b. We pararnetriseren

_~

z = R e i4>

I

n . 4>=0 n iaR(cos 4> + i sin 4»

IJ

f'{z ) dz ]

IJ

e iR ei4> d4>1 :s rrR ~ 0 .~ 0 Cl + R 2 e2i4»2 (R2 _ 1)2 als R~ 00. R 0 iax R iax

J

f(x) dx

_J

e dx +

_J

e dx c. -R -R Cl + x2)2 0 Cl + x2)2 R -iax R iax R

~

J

e dx +

_J

e dx 2

_J

cos ax dx . 0 Cl + x 2)2 ·0 Cl + x2)2 0 Cl + x 2)2 Als R ~ 00 dan vinden we

00

J

cos ax dx = -21

i

fez) dz = -21 2rri Res fez)

(1 + x 2)2 j z=1

o

-a

rre (a+l).

4

-4.4 fLz) 1 _ cos z . fez)1 + Z heeft in z=O een pool van de tweede orde en verder geen polen binnentC. Als 'fez) = a z-2+ a Z-l+ a + ...• dan is

-2 -1 0 1 + z Dus Cl - cos z)(a z-2+ a z-1+ a + ...) = -2 -1 0 2 4 Z Z -2 -1 I (2 - 24 + ... )(a_ 2z + a_1z + ao + ...)

i

1 + Z j .,....::..--=-- dz = 2rri a = 4rri. c+1 - cos z -1 + ... I 4.7

1

4.5 Zij Hz)

=

--~-­

Z2 - 2z + 4

Zij C de contour bestaande uit:

I. de reële as van -R tot R, R ~ 3. 11. de halve-cirkelboog /zl

=

R, arg z

I:

.

fez) heeft binnen C een pool van de eerste orde in z

=

1 + il3.

1 1

~;r+lV3

Hz) =

1~T+IV3

Z _ 1 + il3 2i13

IJ

Hz) dz ] :s rrR ~ 0 als R~ co.

I! R

2 _{- 2R - 4} co

Dus als R ~ co dan geldt

J

dx _{2rri ~;r+lV3 Hz)} rr 2 - 2x + 4 13 x -co Im 0: > O. z

=

0:, z

=

1. en R > 1. in 1 R, R uit: tot -R

een pool van lim

~

(Z -z~ dz C de contour bestaande de reële as van Hz) heeft Res Hz) = z=o:

van de eerste orde in Res fez)

=

lim (z - 1) fez)

=

1

z=l z~l (1 _ 0:)2 de tweede orde 0:)2 HZ)) = b. Zij 1. Hz) = 1 (z - 0:)2(Z - U

a. fez) heeft een pool

11. de halve-cirkelboog Izi

=

R, Im z ~ O.

Volgens de formule van Plemelj is

PV

f

fez) dz

=

2rri

~;~

fez) + rri

~;r

fez)

K

We parametriseren 11: z

=

R

ei~ I~o'

rr

IJ

Hz) dz ] I! als R~ co. - rri rrR ~ 0 co Dus PV

J

f(x) dx - rri

r

i _ oc)2 -co 4.7 _Hz) = 1 2 sin z rrz

a. In z = k (k E Z,,{O}) heeft f een

Res fez)

=

lim z - k

z=k z~k z2 sin rrz

pool van de eerste orde. (_Uk

c. b. a. I 4.9 f( i t

I

'

= cosh t 2: 1 sin

het vierkant parametriseren we door

a Res fez)

=

~

-1 z=O 6

vierkant parametriseren we door

a = 0

-:2

zijden van het 1 + i t It=N+

₂

1 t=-N--2

~)

cos it + cos Tr(N +

~)

fez) Tr a + n a z + (n a -3 -2 -1 1

z

=

0 heeft f een pool van de derde orde.

-3 -2 -1 a_ 3z + a_2z + a_1z + ao + .. .• dan is 3 3 2 n Z -3 -2 -1 Z (TrZ -

--:n-

+ ...)(a_ 3z + a_2z + a_1z + ao + ...) 3 rr a )Z2 + ...

"6

-3

Isin TrZI = Isin Tr(N +

en dus 1 < 1

I

sin TrZ

I -

.

De horizontale zijden van

1 1

I

t=N+-21 z

=

t ± i(N + 2) t=-N--2 In Als 1 z

=

±(N + ~) 2 Dus a -3 Tr b. De verticale Trit + (N + ~)Tr -Tr i t ± (N + ~)Tr Isin TrZI = Ie 2 2i- e 2 1 2: Isinh (N +

2

1) In 2: integrand ~ 4 (2N + 1) (N + ~)2 2 en dus

o

1 Isin TrZI ~ 1. Tr/2 -Tr/2 2: Isinh ~I =

I

e ; e

I

2: 1

c. Met behulp van b. vinden we

I

f

fez) dz I

~

weglengte x max.

C N

als N7 00.

Res f Iz )

z=k

d. Uit de residuenstelling volgt: lim

N700 00

Dus n Res f Iz )

- L

Res f Lz)

6' z=O z=k k=-OO k;<O 00 _{(_ll k+}1 2 waaruit volgt

L

Tr k2 12 k=1 N

L

k=-N 00 - 2

L

k=1 Res f Iz ) z=k

o

.

00 2

L

k=1 4.10 f a 4.8 fez)

=

1 1 Z2 - 4z + 1 (z - 2 - V3)(Z - 2 + 13)

Binnen C heeft f een pool van de eerste orde in z

=

2 - 13.

b ~~~-i3 f Iz )

=

U~-i3

- -

1 z

-

2 -13 -213 Dus

(

dz

=

2Tr i 1 -Tri 2 4z 1 -213 13 z - + C

a. f heeft polen van de eerste orde in z

=

z k

k E {O, 1, 2, 3}.

2 2

Res f Lz) = lim (z - z ) - - -z lim z

z=z z--)z k 4 z--)z

4z3

k k Z + p k

Alleen z ligt binnen C. 0 4.9 I

I

I

f(z) 2 Z 4 Z + p , p > O. ï ; ' ie.!!. + .!!. k) 4 2 e -i(.!!. + rr k) 1 4 -2 - - e 4 ï ; ' iy 10_y=R' z

=

C met 3 R --)co. dx . als dan is R-700 als

J

C 3 Dus 2 R2 b.

I

J

_ z _ dz

I

s .!!. R --) 0 CZ4 + P 2 R4 -

I

p

I

2 R 2 c.

J

fez) dz

=

J

-4-x- - dx . We parametriseren C O x + p 1 0

- J

-l

fez) dz i dy / + p R zodat 1 -irr/4 2rri - - e 4 ï ; ' irr/4 e 2rri Res f Iz ) z=z o 1 4 ï ; ' co 2 Cl + ij

J

-f--

dx

o

x + p co 2 IZ irr/4

J

x dx 2rr e x4 + p

o

co 2

J

-f--

dx

o

x + p Dus

!

f Ïz ) dz

J+

C 4.10 f'{z ) On z)2

..;z

z2 + 1

a. f heeft polen van

rr 3rr

- 2

~ arg z <

:z

.

de eerste orde in z

=

i en· z = -i. Alleen z

=

i

ligt binnen K.

i (i .!!.)2 rr/4

On Z)2

..;z

On iJ2 vT e rr2(-1 ij

Res fez)_z=i

=

_z--)ilim _{Z + i 2i} 2 _2i +

IZ

rr3 IZ

8

Dus

f

fez) dz

=

2rri Res fCz ) _{- 8-} ( 1 + ij. z=i

K+

R ei</J b. We parametriseren C door z

=

I~o·

a t 4.11 f r-l-O . R~. als als ~ 0 ~ 0 r + 2n

Iln

rl

+ n2) 1 - r2 i (i n R+ it/» 2 YR e R2 e 2i t/> + 1 rr n

J

~---::..;.~---=--­

o

n r3 /2 0 n2 :S _ _ ----'- L...:..:C'----...L-_'----_

J

Hz) dz

I

c

2

J

Hz) dz

I

C t

J

_o

n R3/2(ln2 R + 2n in R + n2) :S---'---'--'---'-:..:...-=-...::..:....-'---- :..-R2 - 1 c. We parametriseren C

2 door z = .r eit/>

In

t/>=o

.

i

p.

(in r + it/»2

vr

e 2 _{ir e}i~ 'I' dt/> r2 e2it/> + 1 d.

J

Hz) dz

t

2

J

Hz) dz

t

t R

=

J

r r =

J

R

=

i (in x + in)2 i IK (_dx) K2+ 1 R

J

(in x)2 IK + 2ni in x IK - n2 IK dx . x2 + 1 A 00 2

J

On x) IK dx x2 + 1

o

=

~

.

Stellen we VZ dan is 00 00 2n

J

in x IK dx 2.

J

2IK dx - n 1 2 _{+ 1} 0 x

o

x + 1 00

J

2 IK dx

o

x + 1 (1 + il. 00 {1+ilJ

o

n3 VZ 8 -Gegeven is dat r

Dus als R ~ 00 en r -I-0

n3 VZ + - -2- i n3 VZ . - 8 - 1 3n3 VZ - - 8 - i. n3 VZ 8 -n3 VZ - - - + 8 2n B (1 + il A en

J

in x IK dx B dan vinden we: x2 + 1

o

_ 3n3 VZ Dus A - - 8 - - en _ n 2 _VZ B 4

-z = R + iy 11

y=o'

rrz/2

4.11 f(z)

=

si~h

rrz

a. f(z) heeft polen als z

=

ki (k E I), dus geen polen binnen K, zodat i+.f(z) dz

=

O. b. We parametriseren BD met

IJ

Hz) dz ] BD 1 2 err(R+iY)/2

IJ

rr(R+iy) -rr(R+i y )

o

e - e idyl :s 2 errR/ 2 rrR -rrR ~ 0 als R ~ 00. e - e rr:Z/2 c. Res f(z)

=

lim z ~e-,-~ z=o z~o sinh rrz

1

rr

rrz/2 Res f(z)

=

lim (z - i) ~e-,-~

z=1 z~1 sinh rrz

i

n

1 -i

d. Op Cl: fez)

=

rrz + g(z) en op C₂: fez) rr(z _ i) + h(z),

met g en h analytisch, dus begrensd in een omgeving van 0 resp. i, dus J g(z) dz en J h( z ) dz naderen na a r 0 als 0 ~

o.

C C 1 0 2

J

d

J

i 0

»

dt/> Rest dan z - -i en rrz - it/> C rr·rroe 1 -rr eit/>dt/>

J

rr(~

dz

J

-i 0 i -1. Derhalve is - i j rr 0 eit/> C 0 2 lim {

'( J

+

J

+

J

+J

)

Hz) dz - i - 1 } O. R~ o~o AB DE FG HK R

J

Hz) =

J

rrX/2 dz e dx. e. sinh nx AB 0 0

Op DE: z

=

i + X

I

sinh rrz

=

-

sinh rrx. x=R 0 R

J

H z)

J

i rrX/2

J

rrX/2 dz _- e dx i e dx. sinh rrx sinh rrx DE R 0 rri-rrx -rri+rrx R e - e Op FG: z

=

i - x _Ix=o sinh rrz

=

2 sinh nx. R R

J

J

-rrxza

J

-rrX/2 fez) dz i e dO - x) - i e dx , sinh rrx sinh rrx FG 0 0 0 Op HK: z = - x

_I

x=R sinh rrz - sinh rrx.

0 R

J

'[( z )

J

-nx/a

J

-rrX/ 2 dz e de- x ) e - sinh rrx sinh rrx dx. HK R 0 Dus als 0-1-0 en R~ is al al al al

J

errX/2

J

rrX/2

J

-rrx za

J

-rrX/2 dx + i e dx - i e dx e dx 1

sinh rrx sinh rrx sinh rrx sinh rrx + i.

0 0 0 0

al _{2 . h rrx} al

2 sinh rrx

J

sin

2

J

2

sinh rrx dx + i sinh rrx dx 1 + i. Dus

0 0 al sinh rrx

J

2

dx 1 sinh nx

"2

0

J

]

IJ

]

IJ

]

. f heeft in 0 een pool van de tweede orde.en heeft een

bevat enk el z = 0 (k E 1\{0}). Binnen W zlJn er

.;zrr

irr/ 4

-.;zrr

3irr/4 1l e ' Z 2 - 1l e , 2krri 2 Z 1 2 eZ - 1

pool van de eerste orde als

vier polen van de eerste orde nl zl z

=.;zrr

e-3i rr/4 z

=.;zrr

e-i rr/4:

3 ' 4

f is een even functie, dus de Laurentreeks van f om

4.12 f Iz )

lim (z z~z

k even machten van z, zodat

Voor k E {1, 2, 3, 4} is Res f Lz)

=

O. z=o Res fez) z= z k z ) k 1 1

2Z

k 4.14 O. 1 2

.;zrr

2rri dz 1

t

-=---W Dus

4.13 Zij fez) = (log

1 +

We kiezen voor

2

z) ,waarbij voor de log de hoofdwaarde

Z2

C de contour die bestaat uit:

wordt genomen.

I. De reële as van <3 tot R (0 < 0 < 1 < R). II. De halve-cirkelboog [z ] R, arg z

I:

II I. De reële.as van -R tot -0. _R

IV. De ha l ve - c i r ke l boog [z ]

=

0, arg z

I~

f heeft binnen C een pool van de eerste orde in z

=

i.

(log z)2 (irr/2)2 2

Res fez)

=

lim rr .

z=1 z~1 Z + i ~

=8

l.

t

(log z)2 2 3

Dus dz

=

2rri

₈

rr_i

= -

rr_4:'

1 + Z2

R 0

J

f Iz ) dz

J

(l og x)2 dx

J

f(z) dz

~

J

(log x +1li)2 elli dx

1 + 2 1 2

I 0 x III R + x

1l

IJ

f'{z) _dzl

IJ

(log R + i4»2 R. ei4> d4>1 :s llR (log R·+ 1l)2 ~ 0 als R ~ co.

1 + R2 2i4> 1 R2 _

I l 0 e

0

IJ

fLz) dzl

IJ

(log 0 + i4»2 oi ei4> d4>1 :s 110 (log 0 + 1l)2 ~ 0 als 0 .J-

o

.

1 + 02 e 2i4> 1 - 02

IV 1l

Als R~ co en o .J- O dan geldt dus

co co co (log 2 + 21li

J

log 11 2

J

1 3 2

J

x) dx x dx - dx 1l 1 + 2 1 + 2 1 2

4·

0 x 0 x 0 + x

De laatste integraal is gelijk aan 2:1l Dus

co co (log . 2

J

log 3 3 3 2

J

x) x 1l 1l 1l dx + 21li dx

=

2:

_{4 -4·}

1 + x2 1 + x2 0 0 Dus is co co

J

(log x)2 3

J

log dx 1l Bovendien vinden we x dx O. 1 + X2 S· 1 + x2 0 0

4.14 fez) 1l ca t llZ • f heeft in z = 0 een pool van de vijfde orde en in

4

z

z

=

k (k E 1\{O}) polen van de eerste or de . Res fez)

z=k

lim ~ 1l cos llZ = ~

z~k Sin llZ Z4 k4

Omdat f oneven is komen in de Laurentontwikkeling van f slechts oneven

a

=

Res f(z) -1 z=O 1 2

- 3"

1l en 3 1l - 2: a -3 1, 1l

=

1l a -5 Dus zodat a -5

machten voor. Schrijven we

2 2 4 4 1l Z 1l z 1l(1 -

-zT

+ ~ -..)

=

(llZ -O. Res f'{z ) z=k Uit de residuenstelling volgt: ~~

Aangezien gegeven is dat op de cirkel Izi

=

N +

à

geldt Icot llZI :s M +

voor zeke r e ME ~ die niet van N afhangt, geldt

If

1l

co~

llZ dzl :s 2 1l2(N +

à)

M

~

0 als N

~

co.

c+ z (N +

à)4

N

[

k=-N

Dus 4 rr 45 00 - Res f(z)

= \

Res f(z) z=O L z ek k= -oo k"O 00 2 [ k=1 Res f(z) z=k 00 2 [ k=1 waaruit volgt 00

[

k=1 4 _ rr - 90 Cl

4.15 f(z) = (1 : Z2)2 ' -1 < Cl < 3. Voor ZCl nemen we de hoofdwaarde .

We kiezen voor C de con t ou r die bestaat uit: I. De reële as van 0 tot R (0 < 0 < 1 < R).

II. De halve-cirkelboog

lil

=

R, arg z

I:

lIl.De reële as van -R tot -0.

IV. De halve-cirkelboog Izi

=

0, arg z

I~

.

R 4.16 • Cl-I Cl 1 Res f(z)

=

lim

~

z=1 z~1 dz i tweede orde. 2 ZCl ) (z + U3

₌

i (Cl-Ilrr/2 e -8i -4 in (z + U2,

~=

(2U3 i (Cl-Ilrr/2 e C f heeft binnen Cl .!.(l i(Cl- ll rr/2 iClrrn Dus

f

z dz

=

2rri - Cl) _e rr (1 -Cl) 2: e C+ (1 + z2)2 4 R J J Cl f(z) dz x dx I 0 (l + X2)2 0 _iClrr R J f'Lz ) J Cl rri iClrr J Cl dz x e e dx e x dx III R

r

i + x 2)2 0 (l + x2)2 rr _Ix. iClI/> . IJ f Iz ) dz ] _IJ rr RCl+I R e . Rie 11/> dl/> I ::s ~ 0 als R~ 00, Cl <>3 II 0 (l + R2 e211/»2 (R2 _ 1)2 0 eiClI/> IJ f Iz ) dz] _IJ oCl oieil/> dI/>l rr oCl+1 ~ 0 als 0 -l-0, >- 1 + 02 e2il/»2 ::s Cl (1 (1 _ 02)2 IV rr

Dus als R ~ 00 en 0 -l-

o

geldt: 00 eiClrr)J Cl iClrrn

u

₊ x _dx

₌

_2:n (l -Cl) _e 0 (1 + x2 )2

iaTt/2

Tt e __Tt (1 - a)

Cl - a)

2

1 + e i a Tt _{4 cos} (_a Tt)

₂

Voor a = 1 vinden we voor de integraal de waarde

2

1 door limietover

-gang of door de volgende elementaire berekening:

'"

'"

iz2

4.16 f Iz )

=

~.

z

We kiezen voor C de contour die bestaat uit:

l. De reële as van E tot R (0 < E < 1 < Rl.

Il. De kwart-cirkelboog _Izi = R

.

arg z

1:/2·

IIl.De imaginaire as van Ri tot Ei.

IV. De kwart-cirkelboog _Izl .= E

.

arg z

1~/2'

1

2

Binnen C heeft f geen singulariteiten en dus is f+ f Iz ) dz

=

O.

R 2 E C R -iy2 -ix2

J

J

ix

J

f'{z ) f Iz ) dz _e_ dx. dz

J

\ y i dy =

J~dX.

x I E III R E Tt -iR 2e2iI/J 2

IJ

f'{z ) dz]

IJ

e Ri R eiI/J II 0 Tt -2

J

2 ::s e -R sin l/Jdl/J 0

eiI/J dI/J1 ::s

J

e-R2sin 2I/J.dI/J

=

~

J

e-R2sin l/J dl/J

o

0 n 2 We kunnen schrijven: . 2 IZ ~= Z Tt -2 ::s

J

2 e -R 2l/J/Ttdl/J 0 2 iz - 1 e + en z z rr _R2 Tt (1 - e ) ~ 0 als R ~ '"

2It

de laatste term is begrensd

1 dz\ ::s

i

E M

~

0 als E

~

0 en

J

~

dz

II

en E ~ 0 dan geldt:

+

J

fez) dz ) - i

i

=

III

in een omgeving van 0

• 2

J

IZ

I

e ~ II Dus als R~ '"

Um (

J

f'{z ) dz E~O I zodat

o .

zodat Tt -i

2

'" ._IX2

J

~

dx

o

ce • 2 -IX

J~dX

o

J

'" .

2 Tt SlnxX dx i

2 .

waaruit volgt

o

Tt 4

IV. De halve-cirkelboog

f heeft binnen C in

1/3 i (Z+II/ 3)

4.17 fez)

=

z e , voor Z1/ 3 kiezen we de hoofdwaarde.

Z2 + 1

We kiezen voor C de contour die bestaat uit:

I. De reële as van 0 tot R (0 < 0 < 1 < R).

11. De halve-cirkelboog Izi

=

R, arg z I~

III.De reële as van -R tot -0.

o

Izl

=

0, arg z

lil

z

=

i een pool van de eerste orde.

R 4. 18 -1 e

2

2i ill/6 -1+i lI/ 3

e e i (Z+II/3) e z + i 1/ 3 Res f(z ) = lim _z -r-t-_ _ z=! z-H

(

1/3 i (Z+II/3) -1 IIi Dus z e dz

=

2IIi ₂e -2 ₊ 1 e C z R _{i (X+II/3)}

J

J

1/3 f'{z ) dz x e dx . 2 _{+ 1} I 0 x O·

1/3 ill/3 i (-X+II/3) R -i (X+II/3) IIi

J

f Iz )

J

x

_J

1/3 dz e e de-x) x e e dx 2 ₊ 1 2 + 1 III R x 0 x

IJ

f Iz ) dz] I l II

IJ

R 1 / 3

o

i~/3 iRei~ ill/3

e e e R2 e21~ + 1 IIR4/3 S - - - ~ 0 ·a l s R ~ 00. R2 - 1

IJ

fez) dzl IV

i~/3 ·ioei~ ill/3

e e e

02 e2i~ + 1 II 04/3

S - - - ~ 0 als 0 ~

o

.

1 - 02

Dus als R ~ 00 en 0 ~ 0 geldt:

00 1/3 i (X+II/3)

J

x e x2 + 1

o

00

J

1/3 -1 (X+II/3) dx- x e dx

o

x2 + 1 00 X1/3s i n (x + II/3) dx x2 + 1 IIi e 00

J

x1/3 sin (x + II/3) Dus dx

o

x2 + 1