Punkt skupienia zbioru

(1)

Zbiory domkni ¾ ete

(2)

Punkt skupienia zbioru

Mówimy, ·ze punkt x0 jest punktem skupienia zbioru E R je´sli ka·zdy przedzia÷otwarty zawieraj ¾acy x₀ zawiera te·z przynajmniej jeden punkt zbioru E ró·zny od x₀.

1) Punkt skupienia zbioru E nie musi nale·ze´c do E .

2) Je´sli x0 jest punktem skupienia zbioru E , to ka·zdy przedzia÷otwarty zawieraj ¾acy x₀ zawiera niesko´nczenie wiele elementów zbioru E . Elementy zbioru E , które nie s ¾a jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi zbioru E .

3) Je´sli x0 jest punktem izolowanym zbioru E , to istnieje przedzia÷otwarty I zawieraj ¾acy x0 taki, ·ze I \^E = f^x⁰g

() Zbiory domkni ¾ete 2 / 14

(3)

Punkt skupienia zbioru

(4)

Punkt skupienia zbioru

2) Je´sli x0 jest punktem skupienia zbioru E , to ka·zdy przedzia÷otwarty zawieraj ¾acy x₀ zawiera niesko´nczenie wiele elementów zbioru E .

Elementy zbioru E , które nie s ¾a jego punktami skupienia nazywamy punktami izolowanymi zbioru E .

(5)

Punkt skupienia zbioru

(6)

Punkt skupienia zbioru

(7)

Twierdzenie 1: Punkt x₀ jest punktem skupienia zbioru E , istnieje ci ¾ag (xn)_ró·znych elementów zbioru E taki, ·ze

x₀ = lim

n!∞x_n

Dowód: =)^Za÷^ó·^{zmy, ·}^{ze x}⁰ jest punktem skupienia zbioru E . Zde…niujemy indukcyjnie ci ¾ag(xn). Przedzia÷(x0 1; x0+1) zawiera punkt x1 2^En f^x⁰g^.

Przedzia÷ x₀ ¹₂; x₀+ ¹₂ zawiera niesko´nczenie wiele elementów zbioru E . Istnieje w´sród nich x22 ^En f^x⁰^{, x}¹g^.

Przypu´sćmy, ·ze wskazali´smy ju·z punkty x1, x2., ..., xn 2E . Przedzia÷ x₀ _n₊¹₁; x₀+_n₊¹₁ zawiera nieskończenie wiele elementów zbioru E . Istnieje w´sród nich xn+1 2Ên f^x⁰^{, ..., x}ⁿg^.

Oczywi´scie x0 =limn!∞xn.

(=wynika bezpo´srednio z de…nicji granicy ci ¾agu.

(8)

x₀ = lim

n!∞x_n

Dowód: =)^Za÷^ó·^{zmy, ·}^{ze x}⁰ jest punktem skupienia zbioru E . Zde…niujemy indukcyjnie ci ¾ag(xn).

Przedzia÷(x0 1; x0+1) zawiera punkt x1 2^En f^x⁰g^.

(9)

x₀ = lim

n!∞x_n

Dowód: =)^Za÷^ó·^{zmy, ·}^{ze x}⁰ jest punktem skupienia zbioru E . Zde…niujemy indukcyjnie ci ¾ag(xn). Przedzia÷(x0 1; x0+1) zawiera punkt x₁2 ^En f^x⁰g^.

(10)

x₀ = lim

n!∞x_n

(11)

x₀ = lim

n!∞x_n

Przypu´s´cmy, ·ze wskazali´smy ju·z punkty x1, x2., ..., xn 2^{E .}

Przedzia÷ x₀ _n₊¹₁; x₀+_n₊¹₁ zawiera niesko´nczenie wiele elementów zbioru E . Istnieje w´sród nich xn+1 2^En f^x⁰^{, ..., x}ⁿg^.

(12)

x₀ = lim

n!∞x_n

Przypu´s´cmy, ·ze wskazali´smy ju·z punkty x1, x2., ..., xn 2E . Przedzia÷

x₀ _n₊¹₁; x₀+_n₊¹₁ zawiera niesko´nczenie wiele elementów zbioru E .

Istnieje w´sród nich xn+1 2^En f^x⁰^{, ..., x}ⁿg^. Oczywi´scie x0 =limn!∞xn.

(13)

x₀ = lim

n!∞x_n

x₀ _n₊¹₁; x₀+_n₊¹₁ zawiera niesko´nczenie wiele elementów zbioru E . Istnieje w´sród nich xn+1 2^En f^x⁰^{, ..., x}ⁿg^.

(14)

x₀ = lim

n!∞x_n

x₀ _n₊¹₁; x₀+_n₊¹₁ zawiera niesko´nczenie wiele elementów zbioru E . Istnieje w´sród nich xn+1 2^En f^x⁰^{, ..., x}ⁿg^.

(15)

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Zbiór E R jest ograniczony, je´sli jest zawarty w pewnym przedziale w÷a´sciwym.

Twierdzenie 2 (Bolzano-Weierstrassa) Ka·zdy ograniczony zbiór niesko´nczony E ma przynajmniej jeden punkt skupienia.

Dowód: Poniewa·z E jest ograniczony, wi ¾ec istnieje przedzia÷h^{a; b}i zawieraj ¾acy E . Rozwa·zmy przedzia÷y a;â⁺₂^b i â⁺₂^b; b . Przynajmniej jeden z nich musi zawierać nieskończon ¾a ilo´sć elementów zbioru E . Oznaczmy go przez hâ¹^{; b}¹i^.

Przynajmniej jeden z przedzia÷ów D

a₁;^a¹⁺₂^b¹E oraz D

a1+b1

2 ; b₁E musi zawierać nieskończon ¾a ilo´sć elementów zbioru E . Oznaczmy go przez hâ²^{; b}²i^.

W ten sposób de…niujemy zst ¾epuj ¾acy ci ¾ag przedzia÷ów domkni ¾etych h^{a; b}i h^a¹^{; b}¹i h^a²^{; b}²i ^{. . .}

o d÷ugo´sciach (bn a_n = ^{b a}₂n ) d ¾a·z ¾acych do zera.

(16)

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Dowód: Poniewa·z E jest ograniczony, wi ¾ec istnieje przedzia÷h^{a; b}i zawieraj ¾acy E .

Rozwa·zmy przedzia÷y a;â⁺₂^b i â⁺₂^b; b . Przynajmniej jeden z nich musi zawierać nieskończon ¾a ilo´sć elementów zbioru E . Oznaczmy go przez hâ¹^{; b}¹i^.

a1+b1

(17)

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

a1+b1

(18)

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

a1+b1

(19)

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

a1+b1

(20)

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Istnieje zatem punkt

x₀ = lim

n!∞a_n = lim

n!∞b_n 2

\∞ n=1

h^aⁿ^{; b}ⁿi^.

Jest to punkt skupienia zbioru E .

Rzeczywi´scie, we´zmy dowolny przedzia÷ (α; β)zawieraj ¾acy x0. Istnieje takie n 2N, ·ze

h^aⁿ^{; b}ⁿi (α; β). Wobec tego (α; β)\^E 6=^∅.

(21)

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Istnieje zatem punkt

x₀ = lim

n!∞a_n = lim

n!∞b_n 2

\∞ n=1

h^aⁿ^{; b}ⁿi^.

Jest to punkt skupienia zbioru E . Rzeczywi´scie, we´zmy dowolny przedzia÷

(α; β)zawieraj ¾acy x0. Istnieje takie n2 ^{N, ·}^ze h^aⁿ^{; b}ⁿi (α; β). Wobec tego (α; β)\^E 6=∅.

(22)

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa - wersja dla ciagów

Mówimy, ·ze ci ¾ag (xn)jest ograniczony, je´sli

K9>0 8

n2^Nj^xⁿj <^K czyli gdy zbiór wyrazów ci ¾agu (x_n) jest ograniczony.

Twierdzenie 2* (Bolzano-Weierstrassa) Ka·zdy ci ¾ag ograniczony zawiera podci ¾ag zbie·zny.

(23)

De…nicje

Niech E b ¾edzie dowolnym podzbiorem R.

1 Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru E nazywamy pochodn ¾a zbioru E i oznaczamy symbolem E^d.

2 Je´sli E^d E to zbiór E nazywamy domkni ¾etym.

3 Je´sli E E^d to zbiór E nazywamy w sobie g ¾estym.

4 Je´sli E =E^d to zbiór E nazywamy doskona÷ym.

5 Zbiór E [^E^d nazywamy domkni ¾eciem zbioru E i oznaczamy symbolem E .

(24)

De…nicje

(25)

De…nicje

(26)

De…nicje

(27)

De…nicje

(28)

De…nicje

(29)

Wlasnosci pochodnych

Dla dowolnego zbioru E R jego pochodna E^d jest zbiorem domkni ¾etym (czyli E^{d d} E^d).

Je´sli A B to

A^d B^d.

Dla dowolnych A, B R

(A[^B)^d =A^d [^B^d^.

(30)

Wlasnosci pochodnych

Je´sli A B to

A^d B^d.

(A[^B)^d =A^d [^B^d^.

(31)

Wlasnosci pochodnych

Je´sli A B to

A^d B^d.

(A[^B)^d =A^d [^B^d^.

(32)

Wlasnosci zbiorow domknietych

Dla dowolnego E R zbiór E jest domkni ¾ety.

Zbiór E jest domkni ¾ety , ^E =E . Dla dowolnego E R E =E .

Suma sko´nczonej ilo´sci zbiorów domkni ¾etych jest zbiorem domkni ¾etym.

Suma przeliczalnej ilo´sci zbiorów domkni ¾etych mo·ze nie by´c zbiorem domkni ¾etym.

Przekrój dowolnej ilo´sci zbiorów domkni ¾etych jest zbiorem domkni ¾etym

(33)

Wlasnosci zbiorow domknietych

Zbiór E jest domkni ¾ety , ^E =E .

Dla dowolnego E R E =E .

(34)

Wlasnosci zbiorow domknietych

(35)

Wlasnosci zbiorow domknietych

(36)

Wlasnosci zbiorow domknietych

(37)

Wlasnosci zbiorow domknietych

(38)

Kresy

Je´sli zbiór E jest ograniczony z góry, to zbiór jego ogranicze´n górnych ma element najmniejszy, który nazywamy kresem górnym zbioru E i oznaczamy sup E

β=sup E () _x8

2^Eβ x ^ 8

ε>0_x9

2^Eβ ε<x

Dla dowolnego zbioru E ograniczonego z góry (z do÷u) sup E 2 ^E (inf E 2^{E ).}

Je´sli domkni ¾ety zbiór F jest ograniczony z góry (z do÷u), to F posiada element najwi ¾ekszy (najmniejszy).

(39)

Kresy

β=sup E () _x8

2^Eβ x ^ 8

ε>0_x9

2^Eβ ε<x

(40)

Kresy

β=sup E () _x8

2^Eβ x ^ 8

ε>0_x9

2^Eβ ε<x

(41)

Kresy

β=sup E () _x8

2^Eβ x ^ 8

ε>0_x9

2^Eβ ε<x

(42)

Kresy

β=sup E () _x8

2^Eβ x ^ 8

ε>0_x9

2^Eβ ε<x

(43)

Pokrycia i twierdzenie Borela

Niech E R za´sM ^{b ¾}edzie rodzin ¾a przedzia÷ów otwartych. Je´sli dla dowolnego x 2E istnieje przedzia÷I 2 M^{taki, ·}^{ze x} 2^{I , czyli}

E ^[

I2M

I

to rodzin ¾e M nazywamy pokryciem otwartym zbioru E .

Uwaga: Je´sli M jest pokryciem otwartym zbioru E oraz A E . Wówczas M jest pokryciem otwartym zbioru A.

Je´sli MÂ jest pokryciem otwartym zbioru A oraz M^B jest pokryciem otwartym zbioru B, to MÂ[ M^B jest pokryciem zbioru A[^B. Twierdzenie Borela. Za÷ó·zmy, ·ze M jest pokryciem otwartym domkni ¾etego i ograniczonego zbioru F . Wówczas istnieje skończona rodzina M M która te·z jest pokryciem zbioru F .

Inaczej mówi ¾ac: z ka·zdego pokrycia otwartego domkni ¾etego zbioru ograniczonego mo·zna wybra´c podpokrycie sko´nczone.

(44)

Pokrycia i twierdzenie Borela

E ^[

I2M

I

Je´sli MÂ jest pokryciem otwartym zbioru A oraz M^B jest pokryciem otwartym zbioru B, to MÂ[ M^B jest pokryciem zbioru A[^B. Twierdzenie Borela. Za÷ó·zmy, ·ze M jest pokryciem otwartym domkni ¾etego i ograniczonego zbioru F . Wówczas istnieje skończona rodzina M M która te·z jest pokryciem zbioru F .

(45)

Pokrycia i twierdzenie Borela

E ^[

I2M

I

Je´sli M^A jest pokryciem otwartym zbioru A oraz M^B jest pokryciem otwartym zbioru B, to M^A[ M^B jest pokryciem zbioru A[^B.

Twierdzenie Borela. Za÷ó·zmy, ·ze M jest pokryciem otwartym domkni ¾etego i ograniczonego zbioru F . Wówczas istnieje sko´nczona rodzina M M która te·z jest pokryciem zbioru F .

(46)

Pokrycia i twierdzenie Borela

E ^[

I2M

I

(47)

Pokrycia i twierdzenie Borela

E ^[

I2M

I

(48)

Pokrycia i twierdzenie Borela

Dowód: Za÷ó·zmy nie wprost, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie M ^pokrycia M ^{zbioru F .}

Zbiór F jest zatem niesko´nczony.

Zbiór F jest ograniczony, wi ¾ec istnieje przedzia÷h^{a; b}i^{zawieraj ¾}^{acy F .} Rozwa·zmy przedzia÷y a;^a⁺₂^b oraz ^a⁺₂^b; b . Przynajmniej dla jednego z tych przedzia÷ów

F \ ^a;^a+b

2 i F\ ^a+b 2 ; b nie istnieje sko´nczone podpokrycie pokrycia M^.

Oznaczmy ten przedzial hâ¹^{; b}¹i. Oczywi´scie, zbiór F\ hâ¹^{; b}¹i^jest nieskończony.

takich, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F\ h^aⁿ^{; b}ⁿi^.

(49)

Pokrycia i twierdzenie Borela

Dowód: Za÷ó·zmy nie wprost, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie M ^pokrycia M zbioru F . Zbiór F jest zatem niesko´nczony.

F \ ^a;^a+b

(50)

Pokrycia i twierdzenie Borela

F \ ^a;^a+b

(51)

Pokrycia i twierdzenie Borela

F \ ^a;^a+b

2 i F\ â+b 2 ; b nie istnieje skończone podpokrycie pokrycia M^. Oznaczmy ten przedzial hâ¹^{; b}¹i^.

Oczywi´scie, zbiór F\ h^a¹^{; b}¹i^jest niesko´nczony.

(52)

Pokrycia i twierdzenie Borela

F \ ^a;^a+b

(53)

Pokrycia i twierdzenie Borela

F \ ^a;^a+b

(54)

Pokrycia i twierdzenie Borela

Zauwa·zmy, ·ze d÷ugo´sci przedzialów h^aⁿ^{; b}ⁿi^(bⁿ ^aⁿ = ^{b a}₂n ) d ¾a·z ¾a do zera.

Oznaczmy

x0 = lim

n!∞an = lim

n!∞bn.

×atwo sprawdzić, ·ze x0 jest punktem skupienia F . Rzeczywi´scie, dla dowolnego przedzia÷u otwartego(α; β)istnieje n taka, ·ze hâⁿ^{; b}ⁿi (α; β). Poniewa·z F\ hâⁿ^{; b}ⁿijest zbiorem nieskończonym, wi ¾ec istnieje

x 2^F \ h^aⁿ^{; b}ⁿi^{rózne od x}⁰. W takim razie x 2^F n f^x⁰g^. Poniewa·z F jest zbiorem domkni ¾etym, wi ¾ec x₀ 2^{F .}

Poniewa·z M jest pokryciem F , istnieje przedzia÷otwarty I₀ 2 M zawieraj ¾acy x0.

Z drugiej strony, istnieje n taka, ·ze hâⁿ^{; b}ⁿi Î⁰. To znaczy, ·ze istnieje skończone podpokrycie zbioru F \ hâⁿ^{; b}ⁿi. Otrzymana sprzeczno´sć kończy dowód.

(55)

Pokrycia i twierdzenie Borela

Oznaczmy

x0 = lim

n!∞an = lim

n!∞bn.

(56)

Pokrycia i twierdzenie Borela

Oznaczmy

x0 = lim

n!∞an = lim

n!∞bn.

×atwo sprawdzi´c, ·ze x0 jest punktem skupienia F .

Rzeczywi´scie, dla dowolnego przedzia÷u otwartego(α; β)istnieje n taka, ·ze hâⁿ^{; b}ⁿi (α; β). Poniewa·z F\ hâⁿ^{; b}ⁿijest zbiorem nieskończonym, wi ¾ec istnieje

(57)

Pokrycia i twierdzenie Borela

Oznaczmy

x0 = lim

n!∞an = lim

n!∞bn.

x 2^F \ h^aⁿ^{; b}ⁿi^{rózne od x}⁰. W takim razie x 2^F n f^x⁰g^.

Poniewa·z F jest zbiorem domkni ¾etym, wi ¾ec x₀ 2^{F .}

(58)

Pokrycia i twierdzenie Borela

Oznaczmy

x0 = lim

n!∞an = lim

n!∞bn.

(59)

Pokrycia i twierdzenie Borela

Oznaczmy

x0 = lim

n!∞an = lim

n!∞bn.

(60)

Pokrycia i twierdzenie Borela

Oznaczmy

x0 = lim

n!∞an = lim

n!∞bn.

Z drugiej strony, istnieje n taka, ·ze h^aⁿ^{; b}ⁿi ^I⁰^.

To znaczy, ·ze istnieje skończone podpokrycie zbioru F \ hâⁿ^{; b}ⁿi. Otrzymana sprzeczno´sć kończy dowód.