Pokrycia i twierdzenie Borela

Niech E R za´sM ^{b ¾}edzie rodzin ¾a przedzia÷ów otwartych. Je´sli dla dowolnego x 2E istnieje przedzia÷I 2 M^{taki, ·ze x} 2^{I , czyli}

E ^[

I2M

I

to rodzin ¾e M nazywamy pokryciem otwartym zbioru E .

Uwaga: Je´sli M jest pokryciem otwartym zbioru E oraz A E . Wówczas M jest pokryciem otwartym zbioru A.

Je´sli M^A jest pokryciem otwartym zbioru A oraz M^B jest pokryciem otwartym zbioru B, to M^A[ M^B jest pokryciem zbioru A[^B. Twierdzenie Borela. Za÷ó·zmy, ·ze M jest pokryciem otwartym domkni ¾etego i ograniczonego zbioru F . Wówczas istnieje sko´nczona rodzina M M która te·z jest pokryciem zbioru F .

Inaczej mówi ¾ac: z ka·zdego pokrycia otwartego domkni ¾etego zbioru ograniczonego mo·zna wybra´c podpokrycie sko´nczone.

Pokrycia i twierdzenie Borela

Niech E R za´sM ^{b ¾}edzie rodzin ¾a przedzia÷ów otwartych. Je´sli dla dowolnego x 2E istnieje przedzia÷I 2 M^{taki, ·ze x} 2^{I , czyli}

E ^[

I2M

I

to rodzin ¾e M nazywamy pokryciem otwartym zbioru E .

Uwaga: Je´sli M jest pokryciem otwartym zbioru E oraz A E . Wówczas M jest pokryciem otwartym zbioru A.

Je´sli M^A jest pokryciem otwartym zbioru A oraz M^B jest pokryciem otwartym zbioru B, to M^A[ M^B jest pokryciem zbioru A[^B. Twierdzenie Borela. Za÷ó·zmy, ·ze M jest pokryciem otwartym domkni ¾etego i ograniczonego zbioru F . Wówczas istnieje sko´nczona rodzina M M która te·z jest pokryciem zbioru F .

Inaczej mówi ¾ac: z ka·zdego pokrycia otwartego domkni ¾etego zbioru ograniczonego mo·zna wybra´c podpokrycie sko´nczone.

() Zbiory domkni ¾ete 11 / 14

Pokrycia i twierdzenie Borela

Niech E R za´sM ^{b ¾}edzie rodzin ¾a przedzia÷ów otwartych. Je´sli dla dowolnego x 2E istnieje przedzia÷I 2 M^{taki, ·ze x} 2^{I , czyli}

E ^[

I2M

I

to rodzin ¾e M nazywamy pokryciem otwartym zbioru E .

Uwaga: Je´sli M jest pokryciem otwartym zbioru E oraz A E . Wówczas M jest pokryciem otwartym zbioru A.

Je´sli M^A jest pokryciem otwartym zbioru A oraz M^B jest pokryciem otwartym zbioru B, to M^A[ M^B jest pokryciem zbioru A[^B.

Twierdzenie Borela. Za÷ó·zmy, ·ze M jest pokryciem otwartym domkni ¾etego i ograniczonego zbioru F . Wówczas istnieje sko´nczona rodzina M M która te·z jest pokryciem zbioru F .

Inaczej mówi ¾ac: z ka·zdego pokrycia otwartego domkni ¾etego zbioru ograniczonego mo·zna wybra´c podpokrycie sko´nczone.

Pokrycia i twierdzenie Borela

Niech E R za´sM ^{b ¾}edzie rodzin ¾a przedzia÷ów otwartych. Je´sli dla dowolnego x 2E istnieje przedzia÷I 2 M^{taki, ·ze x} 2^{I , czyli}

E ^[

I2M

I

to rodzin ¾e M nazywamy pokryciem otwartym zbioru E .

Uwaga: Je´sli M jest pokryciem otwartym zbioru E oraz A E . Wówczas M jest pokryciem otwartym zbioru A.

Je´sli M^A jest pokryciem otwartym zbioru A oraz M^B jest pokryciem otwartym zbioru B, to M^A[ M^B jest pokryciem zbioru A[^B.

Twierdzenie Borela. Za÷ó·zmy, ·ze M jest pokryciem otwartym domkni ¾etego i ograniczonego zbioru F . Wówczas istnieje sko´nczona rodzina M M która te·z jest pokryciem zbioru F .

Inaczej mówi ¾ac: z ka·zdego pokrycia otwartego domkni ¾etego zbioru ograniczonego mo·zna wybra´c podpokrycie sko´nczone.

() Zbiory domkni ¾ete 11 / 14

Pokrycia i twierdzenie Borela

Niech E R za´sM ^{b ¾}edzie rodzin ¾a przedzia÷ów otwartych. Je´sli dla dowolnego x 2E istnieje przedzia÷I 2 M^{taki, ·ze x} 2^{I , czyli}

E ^[

I2M

I

to rodzin ¾e M nazywamy pokryciem otwartym zbioru E .

Uwaga: Je´sli M jest pokryciem otwartym zbioru E oraz A E . Wówczas M jest pokryciem otwartym zbioru A.

Je´sli M^A jest pokryciem otwartym zbioru A oraz M^B jest pokryciem otwartym zbioru B, to M^A[ M^B jest pokryciem zbioru A[^B.

Twierdzenie Borela. Za÷ó·zmy, ·ze M jest pokryciem otwartym domkni ¾etego i ograniczonego zbioru F . Wówczas istnieje sko´nczona rodzina M M która te·z jest pokryciem zbioru F .

Inaczej mówi ¾ac: z ka·zdego pokrycia otwartego domkni ¾etego zbioru ograniczonego mo·zna wybra´c podpokrycie sko´nczone.

Pokrycia i twierdzenie Borela

Dowód: Za÷ó·zmy nie wprost, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie M ^pokrycia M ^{zbioru F .}

Zbiór F jest zatem niesko´nczony.

Zbiór F jest ograniczony, wi ¾ec istnieje przedzia÷h^{a; b}i^{zawieraj ¾acy F .} Rozwa·zmy przedzia÷y a;^a+₂^b oraz ^a+₂^b; b . Przynajmniej dla jednego z tych przedzia÷ów

F \ ^a;a+b

2 i F\ ^a+b 2 ; b nie istnieje sko´nczone podpokrycie pokrycia M^.

Oznaczmy ten przedzial h^{a1; b1}i. Oczywi´scie, zbiór F\ h^{a1; b1}i^jest niesko´nczony.

W ten sposób de…niujemy zst ¾epuj ¾acy ci ¾ag przedzia÷ów domkni ¾etych h^{a; b}i h^{a1; b1}i h^{a2; b2}i ^{. . .}

takich, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F\ h^{an; bn}i^.

() Zbiory domkni ¾ete 12 / 14

Pokrycia i twierdzenie Borela

Dowód: Za÷ó·zmy nie wprost, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie M ^pokrycia M zbioru F . Zbiór F jest zatem niesko´nczony.

Zbiór F jest ograniczony, wi ¾ec istnieje przedzia÷h^{a; b}i^{zawieraj ¾acy F .} Rozwa·zmy przedzia÷y a;^a+₂^b oraz ^a+₂^b; b . Przynajmniej dla jednego z tych przedzia÷ów

F \ ^a;a+b

2 i F\ ^a+b 2 ; b nie istnieje sko´nczone podpokrycie pokrycia M^.

Oznaczmy ten przedzial h^{a1; b1}i. Oczywi´scie, zbiór F\ h^{a1; b1}i^jest niesko´nczony.

W ten sposób de…niujemy zst ¾epuj ¾acy ci ¾ag przedzia÷ów domkni ¾etych h^{a; b}i h^{a1; b1}i h^{a2; b2}i ^{. . .}

takich, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F\ h^{an; bn}i^.

Pokrycia i twierdzenie Borela

Dowód: Za÷ó·zmy nie wprost, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie M ^pokrycia M zbioru F . Zbiór F jest zatem niesko´nczony.

Zbiór F jest ograniczony, wi ¾ec istnieje przedzia÷h^{a; b}i^{zawieraj ¾acy F .} Rozwa·zmy przedzia÷y a;^a+₂^b oraz ^a+₂^b; b . Przynajmniej dla jednego z tych przedzia÷ów

F \ ^a;a+b

2 i F\ ^a+b 2 ; b nie istnieje sko´nczone podpokrycie pokrycia M^.

Oznaczmy ten przedzial h^{a1; b1}i. Oczywi´scie, zbiór F\ h^{a1; b1}i^jest niesko´nczony.

W ten sposób de…niujemy zst ¾epuj ¾acy ci ¾ag przedzia÷ów domkni ¾etych h^{a; b}i h^{a1; b1}i h^{a2; b2}i ^{. . .}

takich, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F\ h^{an; bn}i^.

() Zbiory domkni ¾ete 12 / 14

Pokrycia i twierdzenie Borela

Dowód: Za÷ó·zmy nie wprost, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie M ^pokrycia M zbioru F . Zbiór F jest zatem niesko´nczony.

Zbiór F jest ograniczony, wi ¾ec istnieje przedzia÷h^{a; b}i^{zawieraj ¾acy F .} Rozwa·zmy przedzia÷y a;^a+₂^b oraz ^a+₂^b; b . Przynajmniej dla jednego z tych przedzia÷ów

F \ ^a;a+b

2 i F\ ^a+b 2 ; b nie istnieje sko´nczone podpokrycie pokrycia M^. Oznaczmy ten przedzial h^{a1; b1}i^.

Oczywi´scie, zbiór F\ h^{a1; b1}i^jest niesko´nczony.

W ten sposób de…niujemy zst ¾epuj ¾acy ci ¾ag przedzia÷ów domkni ¾etych h^{a; b}i h^{a1; b1}i h^{a2; b2}i ^{. . .}

takich, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F\ h^{an; bn}i^.

Pokrycia i twierdzenie Borela

Dowód: Za÷ó·zmy nie wprost, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie M ^pokrycia M zbioru F . Zbiór F jest zatem niesko´nczony.

Zbiór F jest ograniczony, wi ¾ec istnieje przedzia÷h^{a; b}i^{zawieraj ¾acy F .} Rozwa·zmy przedzia÷y a;^a+₂^b oraz ^a+₂^b; b . Przynajmniej dla jednego z tych przedzia÷ów

F \ ^a;a+b

2 i F\ ^a+b 2 ; b nie istnieje sko´nczone podpokrycie pokrycia M^.

Oznaczmy ten przedzial h^{a1; b1}i. Oczywi´scie, zbiór F\ h^{a1; b1}i^jest niesko´nczony.

W ten sposób de…niujemy zst ¾epuj ¾acy ci ¾ag przedzia÷ów domkni ¾etych h^{a; b}i h^{a1; b1}i h^{a2; b2}i ^{. . .}

takich, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F\ h^{an; bn}i^.

() Zbiory domkni ¾ete 12 / 14

Pokrycia i twierdzenie Borela

Dowód: Za÷ó·zmy nie wprost, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie M ^pokrycia M zbioru F . Zbiór F jest zatem niesko´nczony.

Zbiór F jest ograniczony, wi ¾ec istnieje przedzia÷h^{a; b}i^{zawieraj ¾acy F .} Rozwa·zmy przedzia÷y a;^a+₂^b oraz ^a+₂^b; b . Przynajmniej dla jednego z tych przedzia÷ów

F \ ^a;a+b

2 i F\ ^a+b 2 ; b nie istnieje sko´nczone podpokrycie pokrycia M^.

Oznaczmy ten przedzial h^{a1; b1}i. Oczywi´scie, zbiór F\ h^{a1; b1}i^jest niesko´nczony.

W ten sposób de…niujemy zst ¾epuj ¾acy ci ¾ag przedzia÷ów domkni ¾etych h^{a; b}i h^{a1; b1}i h^{a2; b2}i ^{. . .}

takich, ·ze nie istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F\ h^{an; bn}i^.

Pokrycia i twierdzenie Borela

×atwo sprawdzi´c, ·ze x0 jest punktem skupienia F . Rzeczywi´scie, dla dowolnego przedzia÷u otwartego(α; β)istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i (α; β). Poniewa·z F\ h^{an; bn}ijest zbiorem niesko´nczonym, wi ¾ec istnieje

x 2^F \ h^{an; bn}i^{rózne od x0}. W takim razie x 2^F n f^x0g^. Poniewa·z F jest zbiorem domkni ¾etym, wi ¾ec x₀ 2^{F .}

Poniewa·z M jest pokryciem F , istnieje przedzia÷otwarty I₀ 2 M zawieraj ¾acy x0.

Z drugiej strony, istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i ^I0. To znaczy, ·ze istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F \ h^{an; bn}i. Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

() Zbiory domkni ¾ete 13 / 14

Pokrycia i twierdzenie Borela

×atwo sprawdzi´c, ·ze x0 jest punktem skupienia F . Rzeczywi´scie, dla dowolnego przedzia÷u otwartego(α; β)istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i (α; β). Poniewa·z F\ h^{an; bn}ijest zbiorem niesko´nczonym, wi ¾ec istnieje

x 2^F \ h^{an; bn}i^{rózne od x0}. W takim razie x 2^F n f^x0g^. Poniewa·z F jest zbiorem domkni ¾etym, wi ¾ec x₀ 2^{F .}

Poniewa·z M jest pokryciem F , istnieje przedzia÷otwarty I₀ 2 M zawieraj ¾acy x0.

Z drugiej strony, istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i ^I0. To znaczy, ·ze istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F \ h^{an; bn}i. Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

Pokrycia i twierdzenie Borela

×atwo sprawdzi´c, ·ze x0 jest punktem skupienia F .

Rzeczywi´scie, dla dowolnego przedzia÷u otwartego(α; β)istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i (α; β). Poniewa·z F\ h^{an; bn}ijest zbiorem niesko´nczonym, wi ¾ec istnieje

x 2^F \ h^{an; bn}i^{rózne od x0}. W takim razie x 2^F n f^x0g^. Poniewa·z F jest zbiorem domkni ¾etym, wi ¾ec x₀ 2^{F .}

Poniewa·z M jest pokryciem F , istnieje przedzia÷otwarty I₀ 2 M zawieraj ¾acy x0.

Z drugiej strony, istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i ^I0. To znaczy, ·ze istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F \ h^{an; bn}i. Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

() Zbiory domkni ¾ete 13 / 14

Pokrycia i twierdzenie Borela

×atwo sprawdzi´c, ·ze x0 jest punktem skupienia F . Rzeczywi´scie, dla dowolnego przedzia÷u otwartego(α; β)istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i (α; β). Poniewa·z F\ h^{an; bn}ijest zbiorem niesko´nczonym, wi ¾ec istnieje

x 2^F \ h^{an; bn}i^{rózne od x0}. W takim razie x 2^F n f^x0g^.

Poniewa·z F jest zbiorem domkni ¾etym, wi ¾ec x₀ 2^{F .}

Poniewa·z M jest pokryciem F , istnieje przedzia÷otwarty I₀ 2 M zawieraj ¾acy x0.

Z drugiej strony, istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i ^I0. To znaczy, ·ze istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F \ h^{an; bn}i. Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

Pokrycia i twierdzenie Borela

×atwo sprawdzi´c, ·ze x0 jest punktem skupienia F . Rzeczywi´scie, dla dowolnego przedzia÷u otwartego(α; β)istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i (α; β). Poniewa·z F\ h^{an; bn}ijest zbiorem niesko´nczonym, wi ¾ec istnieje

x 2^F \ h^{an; bn}i^{rózne od x0}. W takim razie x 2^F n f^x0g^. Poniewa·z F jest zbiorem domkni ¾etym, wi ¾ec x₀ 2^{F .}

Poniewa·z M jest pokryciem F , istnieje przedzia÷otwarty I₀ 2 M zawieraj ¾acy x0.

Z drugiej strony, istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i ^I0. To znaczy, ·ze istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F \ h^{an; bn}i. Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

() Zbiory domkni ¾ete 13 / 14

Pokrycia i twierdzenie Borela

×atwo sprawdzi´c, ·ze x0 jest punktem skupienia F . Rzeczywi´scie, dla dowolnego przedzia÷u otwartego(α; β)istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i (α; β). Poniewa·z F\ h^{an; bn}ijest zbiorem niesko´nczonym, wi ¾ec istnieje

x 2^F \ h^{an; bn}i^{rózne od x0}. W takim razie x 2^F n f^x0g^. Poniewa·z F jest zbiorem domkni ¾etym, wi ¾ec x₀ 2^{F .}

Poniewa·z M jest pokryciem F , istnieje przedzia÷otwarty I₀ 2 M zawieraj ¾acy x0.

Z drugiej strony, istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i ^I0. To znaczy, ·ze istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F \ h^{an; bn}i. Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

Pokrycia i twierdzenie Borela

×atwo sprawdzi´c, ·ze x0 jest punktem skupienia F . Rzeczywi´scie, dla dowolnego przedzia÷u otwartego(α; β)istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i (α; β). Poniewa·z F\ h^{an; bn}ijest zbiorem niesko´nczonym, wi ¾ec istnieje

x 2^F \ h^{an; bn}i^{rózne od x0}. W takim razie x 2^F n f^x0g^. Poniewa·z F jest zbiorem domkni ¾etym, wi ¾ec x₀ 2^{F .}

Poniewa·z M jest pokryciem F , istnieje przedzia÷otwarty I₀ 2 M zawieraj ¾acy x0.

Z drugiej strony, istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i ^I0.

To znaczy, ·ze istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F \ h^{an; bn}i. Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

() Zbiory domkni ¾ete 13 / 14

Pokrycia i twierdzenie Borela

×atwo sprawdzi´c, ·ze x0 jest punktem skupienia F . Rzeczywi´scie, dla dowolnego przedzia÷u otwartego(α; β)istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i (α; β). Poniewa·z F\ h^{an; bn}ijest zbiorem niesko´nczonym, wi ¾ec istnieje

x 2^F \ h^{an; bn}i^{rózne od x0}. W takim razie x 2^F n f^x0g^. Poniewa·z F jest zbiorem domkni ¾etym, wi ¾ec x₀ 2^{F .}

Poniewa·z M jest pokryciem F , istnieje przedzia÷otwarty I₀ 2 M zawieraj ¾acy x0.

Z drugiej strony, istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i ^I0. To znaczy, ·ze istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F \ h^{an; bn}i^.

Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

Pokrycia i twierdzenie Borela

×atwo sprawdzi´c, ·ze x0 jest punktem skupienia F . Rzeczywi´scie, dla dowolnego przedzia÷u otwartego(α; β)istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i (α; β). Poniewa·z F\ h^{an; bn}ijest zbiorem niesko´nczonym, wi ¾ec istnieje

x 2^F \ h^{an; bn}i^{rózne od x0}. W takim razie x 2^F n f^x0g^. Poniewa·z F jest zbiorem domkni ¾etym, wi ¾ec x₀ 2^{F .}

Poniewa·z M jest pokryciem F , istnieje przedzia÷otwarty I₀ 2 M zawieraj ¾acy x0.

Z drugiej strony, istnieje n taka, ·ze h^{an; bn}i ^I0. To znaczy, ·ze istnieje sko´nczone podpokrycie zbioru F \ h^{an; bn}i. Otrzymana sprzeczno´s´c ko´nczy dowód.

() Zbiory domkni ¾ete 13 / 14

Pokrycia i twierdzenie Borela

1 Istnieje pokrycie zbioru domkni ¾etego N , z którego nie mo·zna wybra´c podpokrycia sko´nczonego

(a_n; b_n) = n 1 4; n+¹

4

2 Istnieje pokrycie zbioru ograniczonego (0; 1), z którego nie mo·zna wybra´c podpokrycia sko´nczonego

(a_n; b_n) = ¹ n; 1

Pokrycia i twierdzenie Borela

1 Istnieje pokrycie zbioru domkni ¾etego N , z którego nie mo·zna wybra´c podpokrycia sko´nczonego

(a_n; b_n) = n 1 4; n+¹

4

2 Istnieje pokrycie zbioru ograniczonego (0; 1), z którego nie mo·zna wybra´c podpokrycia sko´nczonego

(a_n; b_n) = ¹ n; 1

() Zbiory domkni ¾ete 14 / 14

Pokrycia i twierdzenie Borela

1 Istnieje pokrycie zbioru domkni ¾etego N , z którego nie mo·zna wybra´c podpokrycia sko´nczonego

(a_n; b_n) = n 1 4; n+¹

4

2 Istnieje pokrycie zbioru ograniczonego (0; 1), z którego nie mo·zna wybra´c podpokrycia sko´nczonego

(a_n; b_n) = ¹ n; 1

Pokrycia i twierdzenie Borela

1 Istnieje pokrycie zbioru domkni ¾etego N , z którego nie mo·zna wybra´c podpokrycia sko´nczonego

(a_n; b_n) = n 1 4; n+¹

4

2 Istnieje pokrycie zbioru ograniczonego (0; 1), z którego nie mo·zna wybra´c podpokrycia sko´nczonego

(a_n; b_n) = ¹ n; 1

() Zbiory domkni ¾ete 14 / 14

W dokumencie Punkt skupienia zbioru (Stron 43-66)