41, s. 143-149, Gliwice 2011
SIŁY REAKCJI KÓŁ SAMOCHODOWYCH NA ZAKRĘCIE
JANUSZ JANKOWSKI, PIOTR KĘDZIA
Instytut Mechaniki Stosowanej
Politechnika Poznańska, Piotrowo 5, Poznań e-mail: janusz.jankowski@put.poznan.pl piotr.kedzia@put.poznan.pl
Streszczenie. W pracy przedstawiono modelowanie ruchu samochodu na zakręcie. Model samochodu składa się z pięciu elementów połączonych przegubami kulistymi. Wszystkie elementy są traktowane jako trójwymiarowe ciała sztywne. Kinematyka kół jest rozważana w ruchu kulistym, podczas gdy ruch głównej części samochodu (część resorowana samochodu) jest płaski.
Wyznaczono maksymalną wartość prędkości samochodu oraz siły reakcji w przegubach. W rozważaniach uwzględniono wpływ tarcia na ruch samochodu.
1. RUCH BEZWZGLĘDNY CZŁONÓW SAMOCHODU
Człony samochodu poruszają się jeden względem drugiego. Względność ruchu wymaga przyjęcia układu odniesienia [1], który jest traktowany jak nieruchome ciało sztywne (bryła) z „zatopionymi” w nim osiami układu współrzędnych. Wszystkie wielkości kinematyczne zdefiniowane względem tak przyjętego układu odniesienia nazywa się bezwzględnymi (absolutnymi).
Rys. 1. Naturalny układ współrzędnych dla samochodu.
Opis ruchu bezwzględnego polega na wyznaczeniu prędkości i przyspieszeń względem układu odniesienia we wszystkich miejscach A obszaru Ω zajmowanego w przestrzeni euklidesowej E przez model ciała w chwili 3 t>0, która jest elementem czasu
bezwzględnego )(0,∞ . W kinematyce bryły należy określić bezwzględne położenie i orientację dowolnego miejsca z obszaru
0 , ),
)(
, , ( ), )(
, ,
( 1 2 3 = 1 2 3 ∈Ω >
= x x x t A t A t
Ar o φ φ φ (1)
gdzie Ar,Ao∈E3, x są współrzędnymi miejsca A jako elementu obszaru , a i φ kątami, jakie i ten element tworzy z osiami układu współrzędnych. Pierwszą i drugą pochodną po czasie położenia bezwzględnego nazywa się bezwzględną prędkością liniową i bezwzględnym przyspieszeniem liniowym tego elementu
0 , ),
( ),
( = ∈Ω >
=A t A A t A t
Av r& a r&& (2)
a pochodne orientacji bezwzględnej - bezwzględną prędkością kątową i bezwzględnym przyspieszeniem kątowym
0 , ),
( ),
( = ∈Ω >
=A t A A t A t
Aw o& z o&& (3)
Prędkość bezwzględna dowolnego miejsca E∈Ω, które spełnia warunek )
, 0 ( , )
(t =const t∈ τ
AE (4)
gdzie τ jest chwilą końcową rozważanego procesu, ma postać ([2], str. 347) ) , 0 ( , , ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
(t =A t ⊕A t × t E t =A t AE∈Ωt∈ τ
Ev v w AE w w (5)
Tutaj znak ⊕ oznacza operację dodawania wektorów [3]. Model ciała nazywany jest bryłą, jeśli jego elementy spełniają wzór (5). Zbiór Ω~
wszystkich punktów O przestrzeni euklidesowej E , które spełniają wzór 3
) , 0 (
~, , ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( )
(t =A t ⊕A t × t O t=A t A∈ΩO∈Ω t∈ τ
Ov v w AO w w (6)
nazwano obszarem kinematycznym rozważanego ciała [4].
Różniczkowanie wzoru (5) pozwala wyznaczyć przyspieszenie bezwzględne
).
, 0 ( , , ),
( ) (
)], ( ) ( [ ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
τ
∈ Ω
∈
=
×
×
⊕
×
⊕
=
t E A t
t
t t t t t t t
A E
A A A
A E
z z
AE w w AE z a
a (7)
Wzory (1-7) obowiązują dla każdego miejsca w obszarze Ω zajmowanym w przestrzeni przez bryłę.
2. KINEMATYKA PRZEGUBÓW
Rozważmy pojazd samochodowy jako mechanizm złożony z pięciu członów: części resorowanej samochodu i czterech jednakowych kół, zakładając, że wszystkie człony są ciałami sztywnymi, czyli bryłami. Przyjmijmy ciężary części resorowanej i koła jako
g q
Q= ⋅ i G=m⋅g odpowiednio, średnicę koła 2⋅h, szerokość osi samochodu 2⋅c, odległość między osiami 2⋅l oraz promień zakrętu w lewo r (rys. 2).
Rys. 2. Geometria samochodu i jego obciążenie.
Przyjmijmy obszar zakrętu jako układ odniesienia, który jest traktowany jak nieruchome ciało sztywne, ze środkiem w miejscu O . Niech środek A lewego tylnego koła porusza się po okręgu o promieniu r . Zwiążemy z miejscem A naturalny układ współrzędnych snbA . Jeśli ω oznacza wartość prędkości kątowej części resorowanej, to bezwzględną prędkość liniową miejsca A można wyznaczyć ze wzoru (6), jeśli miejsce O zaliczymy do obszaru kinematycznego dla tylnego koła
s v= r⋅ω
A (8)
Oznaczmy przez C środek masy części resorowanej, B środek prawego, tylnego koła, D środek lewego, przedniego koła, E środek prawego, przedniego koła. Wówczas, zgodnie ze wzorem (5), otrzymamy
] 2 ) 2 [(
] 2 [
] ) [(
) 2 (
n s v
n s v
n s v
s v
l c r
l r
l c r
c r
E D C B
⋅
⊕
⋅ +
=
⋅
⊕
=
⊕ +
=
⋅
⋅ +
=
ω ω ω
ω
(9)
Wzór (2) pozwala teraz otrzymać bezwzględne przyspieszenia liniowe tych środków masy poszczególnych członów samochodu
] 2 ) 2 [(
] 2 [
] ) [(
) 2 (
2 2 2
2 2
s n a
s n a
s n a
n a
n a
l c r
l r
l c r
c r r
E D C B A
⋅
⊕
⋅ +
=
⋅
⊕
=
⊕ +
=
⋅
⋅ +
=
⋅
=
ω ω ω
ω ω
(10)
Tutaj nakreślenie nad wektorem s oznacza wersor przeciwny do s .
3. SKŁADOWE NORMALNE SIŁ REAKCJI JEZDNI
Wyznaczone wzorem (10) bezwzględne przyspieszenia liniowe środków masy członów samochodu pozwalają zapisać pięć bilansów pędu
N T R G a
N T R G a
R R R R Q a
N T R G a
N T R G a
E E E E
D D D D
E D B A C
B B B B
A A A A
m m q m m
⊕
⊕
⊕
=
⊕
⊕
⊕
=
⊕
⊕
⊕
⊕
=
⊕
⊕
⊕
=
⊕
⊕
⊕
=
(11)
Tutaj wektory R oznaczają siły reakcji kół, a T,N siły tarcia i siły normalne tych kół na jezdni. Suma wektorowa tych równań jest postaci
N T N T N T N T Q G a a a a
a B D E C A A B B D D E E
A q
m( ⊕ ⊕ ⊕ )⊕ =4 ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ (12)
Równanie to w naturalnym układzie współrzędnych s,n,b przyjmuje postać
n s
b b
s n
) (
) (
) (
) 4 ( ] ) [(
) 4
( 2
n E n D n B n A s E s D s B s A
E D B A
T T T T T T T T
N N N N G Q l c r m q
+ + +
⊕ + + +
⊕
+ + +
⊕
⋅ +
=
⊕ +
⋅
⋅
+ ω
(13)
Rozwiązanie tego równania wektorowego jest układem równań algebraicznych
G Q N N N N
T T T T c r m q
T T T T l m q
E D B A
n E n D n B n A
s E s D s B s A
⋅ +
= + + +
+ + +
= +
⋅
⋅
⋅ +
+ + +
=
⋅
⋅
⋅ +
4 ) ( ) 4 (
) 4 (
2 2
ω ω
(14)
W układzie równań (14) występuje dwanaście niewiadomych. Wyznaczenie tych niewiadomych wymaga przyjęcia założeń upraszczających. Załóżmy, że część resorowana pojazdu nie obraca się wokół osi s . Wówczas można przyjąć dla samochodu warunek równowagi momentów wokół tej osi
) ( ) 2 ( ) ( ) ( 4 ) (
)
(r c k 2 g m g r c r N N r c N N
q⋅ + ⋅ ⋅ω + + ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ A +D + + ⋅ ⋅B +E (15)
Oznaczmy wN=AN+DN, zN=BN+EN. Nowe niewiadome można wyznaczyć z układu (14- 15)
2 2
) 1 / ( 4 2
) 1 / ( 4 2
ω ω
⋅
⋅ +
⋅ +
⋅ +
=
⋅
⋅
⋅ +
⋅
−
⋅ +
=
⋅
k c r q G Q N
k c r q G Q N
z
w (16)
Jeśli przyjmie się założenie upraszczające AN=DN, BN=EN, to otrzyma się
2 2
) 1 / ( 4
) 1 / ( 4
ω ω
⋅
⋅ +
⋅ +
⋅ +
=
⋅
⋅ +
⋅
−
⋅ +
=
k c r q G Q N
k c r q G Q N
B A
(17)
Zauważmy, że składowe normalne sił reakcji jezdni dla kół wewnętrznych mogą przyjmować wartości niedodatnie dla bezwzględnej prędkości liniowej miejsca A o wartości
) (
4 c r k q
G r Q
Av
+
⋅
⋅
⋅
⋅ +
≥ (18)
Jest to warunek odrywania się kół wewnętrznych od jezdni. Jednak założenie, że część resorowana samochodu nie obraca się wokół osi s wyklucza osiąganie takich szybkości przez miejsce A . Otrzymane siły normalne reakcji jezdni dla wszystkich kół pozwalają skorzystać z praw tarcia ślizgowego.
4. MAKSYMALNA SZYBKOŚĆ SAMOCHODU
Jeśli obszary bryły i więzów stykają się w miejscu E , to operacja uwolnienia z więzów wprowadza do rozważań siłę reakcji RE . Wektor ten można rozłożyć na składowe normalną i styczną do więzów ([3], str. 49)
n s
ER=bN⊕sT ⊕nT (19)
Jeśli samochód jedzie bez poślizgu, to miejsca styczności kół z jezdnią mają bezwzględne prędkości liniowe równe zeru. Prawo spoczynkowego tarcia ślizgowego pozwala oszacować długość wektora tarcia ([3], str. 50-52)
N T
Ts2+ n2≤rμ⋅ (20)
Tutaj rμ jest współczynnikiem spoczynkowego tarcia ślizgowego. Prawo kinetycznego tarcia ślizgowego ma postać równości
N T
Ts2+ n2=kμ⋅ (21)
gdzie kμ jest współczynnikiem kinetycznego tarcia ślizgowego. Jeśli siła normalna przyjmuje wartość zerową, to następuje odrywanie. Natomiast dla dodatnich wartości tej siły otrzymuje się przyleganie. Wówczas o zachowaniu się bryły względem więzów decyduje prawo tarcia w miejscu styku E . Jeśli nie jest spełnione prawo spoczynkowego tarcia ślizgowego, to występuje poślizg. Oczywiście brak spełnienia prawa tarcia spoczynkowego w warunkach przylegania skutkuje spełnieniem prawa tarcia kinetycznego.
Koła samochodu przylegają do jezdni na mocy założenia, że składowe normalne sił reakcji jezdni mają wartości dodatnie. Ze wzoru (17) widać, że siły normalne dla kół wewnętrznych nie mogą mieć wartości większych od wartości sił normalnych dla kół zewnętrznych. Dlatego można założyć, że prawa spoczynkowego tarcia ślizgowego dla kół zewnętrznych mogą być spełnione nawet wtedy, gdy koła wewnętrzne stracą przyczepność i gdy spełniony będzie warunek
N T N
T k A D k D
A = μ⋅ , = μ⋅ (22)
Można wówczas wyznaczyć sumę pozostałych sił tarcia ze zmodyfikowanego wzoru (13) T
T T T s
n l A B D E c
r m
q+4⋅ )⋅ [( + ) ⊕ ]= ⊕ ⊕ ⊕
( ω2 (23)
Przyjmując założenie upraszczające, że wszystkie siły tarcia mają ten sam kierunek
] ) 2 2 / 2 (
[ )
( ) 4
( 2 2 2 k 2 q m g
c c q r l
c r m
q T
T E k
B ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅
⋅
⋅ +
⋅ + + +
⋅
⋅
⋅ +
=
+ ω μ ω (24)
Samochód wpadnie w poślizg, jeśli tak wyznaczona suma sił tarcia na kołach zewnętrznych osiągnie wartość maksymalną i spełnione będą prawa tarcia analogiczne do (21). Otrzyma się wówczas maksymalną wartość bezpiecznej szybkości samochodu na zakręcie
2 2
maxCv= kμ⋅g⋅ (r+c) +l (25) Bezpieczeństwo jazdy samochodem na zakręcie wzrasta zatem wraz z jego rozstawem osi, długością osi oraz przyczepnością kół.
5. SIŁY REAKCJI KÓŁ
Jest oczywiste, że siły reakcji kół samochodowych podczas jazdy na zakręcie powinny być różne w poszczególnych kołach. Wartości tych sił w warunkach bezpiecznej jazdy samochodu można jedynie oszacować na podstawie praw spoczynkowego tarcia ślizgowego.
Dopiero gdy samochód osiągnie szybkość maksymalną (25), można wyznaczyć siły reakcji kół jednoznacznie, jeśli założy się dodatkowo
T T E
B = (26)
Wówczas wektory sił reakcji przyjmą postać
] )
( / ) [(
) ( / )
(
2 2 2
2 2
ω μ
μ
⋅
− + +
⋅
⋅ +
⊕
+ +
⋅
⋅
⊕
−
=
r l c r N c r
l c r N l G N
A k
A k A
A
n
s b
R
(27)
] ) 2 ( ) ( / ) [(
) ( / )
(
2 2
2
2 2
ω μ
μ
⋅
⋅ +
− + +
⋅
⋅ +
⊕
+ +
⋅
⋅
⊕
−
=
c r l c r N c r
l c r N l G N
B k
B k B
B
n
s b
R
(28)
] )
( / ) [(
] ) ( / [
) (
2 2 2
2 2 2
ω μ
μ ω
⋅
− + +
⋅
⋅ +
⊕
+ +
⋅
−
⋅
⊕
−
=
r l c r N c r
l c r N l
G N
D k
D k D
D
n
s b
R
(29)
] 2 ( ) ( / ) [(
) ( / )
(
2 2
2
2 2
ω μ
μ
⋅
⋅ +
− + +
⋅
⋅ +
⊕
+ +
⋅
⋅
⊕
−
=
c r l c r N c r
l c r N l G N
E k
E k E
E
n
s b
R
(30) Występujące w powyższych równaniach wartości sił normalnych dane są wzorem (17).
6. PODSUMOWANIE
Wyznaczone wzorami (27-30) siły reakcji poszczególnych kół mają wartości maksymalne dla szybkości samochodu wyznaczonej wzorem (25). Większe wartości sił normalnych dla kół po zewnętrznej stronie samochodu dają również większe wartości sił reakcji dla tych kół.
Warto zauważyć, że koła wewnętrzne mogą tracić przyczepność przy mniejszych szybkościach samochodu, ale pomimo tego samochód nie musi wówczas wypadać z zakrętu.
Bezpieczna jazda samochodu na zakręcie zależy od rozstawu osi i kół.
Praca powstała w ramach projektu 21-363/2011 DS
LITERATURA
1. Skalmierski B.: Mechanika. Warszawa: PWN, 1977.
2. Banach S.: Mechanika. Warszawa: PWN, 1956.
3. Jankowski J.: Statyka techniczna. Poznań: Wyd. Pol. Pozn., 2003.
4. Jankowski J.: Motion equations for continuous media and for rigid Dobies. In: Proc.
“Vibrations in Physical Systems”. Vol. XXIII. Poznan 2008.
5. Arczyński S.: Mechanika ruchu samochodu. Warszawa: WNT, 1994.
6. Minchejmer A.: Teoria ruchu samochodów. Łodź-Warszawa: PWN, 1960.
THE REACTION FORCES OF THE CAR WHEELS ON THE BEND Summary. The paper presents a model of the car motion on the bend. The model is composed of five elements connecting by the ball joints. All the elements are treated as the 3D rigid bodies. Kinematics of the wheels is considered as a spherical movement while the coachwork motion is plane. The greatest velocity values of the car and the reaction forces of the wheels are determined. Influence on the car motion of the friction is being utilized.
