http://www.ftj.agh.edu.pl/∼malarz/fizyka/ Zestaw 7

http://www.ftj.agh.edu.pl/∼malarz/fizyka/ Zestaw 7

Odpowiedzi i wskazówki — Zestaw 7 Teoria obwodów

WMS — Matematyka, rok II 1.

I = ε

R 1 + R 2 + r w

U 1 = IR 1 = εR 1

R 1 + R 2 + r w

2. • z zasady superpozycji:



 

 

i ⁰ ₁ = i ⁰ ₂ + i ⁰ ₃ ε 2 + U 2 = U U = −U ₁ i ⁰ ₃ = ε ₂ R ₁

R 1 R 2 + RR 1 + RR 2



 

 

i ⁰⁰ ₁ = i ⁰⁰ ₂ + i ⁰⁰ ₃ ε 1 = U 1 + U U = U ₂ i ⁰⁰ ₃ = ε 1 R 2

R ₁ R ₂ + RR ₁ + RR ₂ i ostatecznie

i 3 = i ⁰ ₃ + i ⁰⁰ ₃ = ε 2 R 1 + ε 1 R 2

R 1 R 2 + RR 1 + RR 2

.

• metodą prądów oczkowych:

R ₁ + R −R

−r R 2 + R



· I ₁ I 2



=  ε ₁

−ε 2



Układ ten ze względu na prądy oczkowe I ₁ i I ₂ najwygodniej rozwiązać metodą wyznaczników:

I ₁ = (R + R 2 )ε 1 − Rε 2

R ₁ R ₂ + RR ₁ + RR ₂ I ₂ = −(R + R 1 )ε 2 + Rε 1

R ₁ R ₂ + RR ₁ + RR ₂ Prąd płynący w gałęzi R liczymy jako:

i ₃ = I ₁ − I 2 = ε ₂ R ₁ + ε ₁ R ₂ R 1 R 2 + RR 1 + RR 2

• metodą Th` evenina:

R AB = R 1 R 2

R 1 + R 2

( i ₁ = −i ₂

ε 1 − U 1 = ε 2 − U 2

U ₀ = ε ₁ − U ₁ = ε ₁ R ₂ + ε ₂ R ₁ R 1 + R 2

i 3 = U 0

R + R _AB = ε 2 R 1 + ε 1 R 2

R ₁ R ₂ + RR ₁ + RR ₂

3. Przy zrównoważeniu mostka prąd w gałęzi z galwanometrem nie płynie i punkty na obu jego końcach mają ten sam potencjał:

I 2 R a = I 1 R x

I 1 R = I 2 R b

R x = a b · R

Teoria obwodów 1

http://www.ftj.agh.edu.pl/∼malarz/fizyka/ Zestaw 7

4.

U _C = q

C , ε _L = −L di L

dt 1

C q = −L di _L dt

− 1

LC q = d ² q dt ² q(t) = A cos(ωt + ϕ 0 )

z warunkami początkowymi q(t = 0) = q 0 i (milczącym) ˙ q(t = 0) = 0 (nie płynie prąd w obwodzie) skąd A = q 0 i ϕ 0 = 0 więc q(t) = q 0 cos ωt.

Wprowadzenie do układu oporu zmienia równanie wynikające z II prawa Kirchhoffa na:

U C + U R = ε L

d ² q dt ² + R

L dq dt + 1

LC q = 0 Równanie charakterystyczne:

r ² + 2βr + ω ² = 0 którego rozwiązanie zależy od współzawodnictwa β i ω:

• jeśli β > ω to ∆ > 0 i rozwiązania postaci

q(t) = C 1 e ^r

^t + C 2 e ^r

^t r 1,2 = β ± p

β ² − ω ²

i mamy do czynienia z sytuacją aperiodyczną a stałe C ₁ i C ₂ zależą od warunków początkowych.

• w przeciwnym wypadku dostajemy drgania tłumione:

q(t) = C exp(−βt) sin(ωt + ϕ 0 ) gdzie stałe C i ϕ 0 zależą od warunków początkowych.

5. • dla cewki

0 = U + ε _L = U ₀ sin ωt − L di _L dt di _L

dt = U ₀ L sin ωt i _L = − U 0

ωL cos ωt = −I ₀ cos ωt = I ₀ sin(ωt − π/2) X L = U 0 /I 0 = ωL

• dla kondensatora: q

C = U C = U = U 0 sin ωt 1

C dq

dt = U 0 sin ωt

i _C = U ₀ ωC cos ωt = I ₀ cos ωt = I ₀ sin(ωt + π/2) X _C = U ₀ /I ₀ = 1/ωC

6.

U = U 0 sin(2πf t) z II prawa Kirchhoffa:

U + ε _L = U _C + U _R co prowadzi do (nieprzyjemnego) równania różniczkowo-całkowego:

U 0 sin ωt − L di dt = 1

C Z

idt + iR

Teoria obwodów 2

http://www.ftj.agh.edu.pl/∼malarz/fizyka/ Zestaw 7

Natomiast korzystając z metody liczb zespolonych mamy od ręki impedancję zastępczą układu (jak dla połączenia szeregowego)

Z = R + j ˆ



ωL − 1 ωC



i z prawa Ohma ˆ U = ˆ Z · ˆ I amplitudę prądu liczymy jako:

I = | ˆ U |/| ˆ Z|.

Stąd prąd w obwodzie ˆ I można przedstawić jako sumę geometryczną (wektor) prądów ˆ I = ˆ I R + ˆ I C + ˆ I L . Jest to wektor o amplitudzie

I ₀ = U ₀ /| ˆ Z| = U ₀ s

R ² +



ωL − 1 ωC

 2

wirujący z częstością kołową ω przesunięty w fazie w stosunku do wektora ˆ U = ˆ U R + ˆ U L + ˆ U C o

ϕ 0 = arctan

ωL − 1 ωC

R .

Wartość prądu będzie maksymalna przy minimalnym | ˆ Z| a dla więc ω = 1/ √ LC.

7. Ciepło które trzeba dostarczyć do ogrzania wody Q = mc w ∆T równa się pracy jaką wykona prąd elek- tryczny (zakładamy stałe napięcie sieci U ):

Q = U I 1 t 1 = U ²

R ₁ t 1 → R 1 = U ² Q t 1

Q = U I 2 t 2 = U ² R 2

t 2 → R 1 = U ² Q t 2

• przy połączeniu szeregowym R s = R 1 + R 2

Q = U ² R s

t _s = U ² R 1 + R 2

t _s t _s = t ₁ + t ₂

• przy połączeniu równoległym R ⁻¹ _r = R ⁻¹ ₁ + R ⁻¹ ₂

Q = U ²

R _r t r = U ² (R 1 + R 2 ) R ₁ R ₂ t r

t _r = t ₁ t ₂ t 1 + t 2

Krzysztof Malarz, Kraków, 30 maja 2003

Teoria obwodów 3