Tazwiª kiWªywddziaªywa«di

(1)

Wpªyw oddziaªywa« dipolowy h

na wªa± iwo± i

spinorowego kondensatu rubidowego

Rozprawa doktorska

napisana pod kierunkiem

do . dr. hab. Mariusza Gajdy

Instytut Fizyki Polskiej Akademii Nauk

Warszawa 2010

(2)

(3)

I Stresz zenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II Wstp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

III Rubid

87

Rb jako gaz dipolowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

III.1 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

IV Rezonanse magnety zne

wefek ieEinsteina-de Haasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

IV.1 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

V Stany topologi zne kondensatu Bosego-Einsteina

naplakiet e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

V.1 Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

VI Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

(4)

(5)

za wyrozumiaªo±¢

(6)

(7)

W poni»szej pra y przedstawi wyniki bada« wpªywu oddziaªywa« dipolowy h na dy-

namikspinorowego,rubidowegokondensatuBosego-Einsteina. Opiszwpªywzewntrznego

pola magnety znego na spinorowy kondensat dipolowy oraz wpªyw geometrii konden-

satu na efekty dipolowe. Przedstawi i omówi wyniki symula ji numery zny h poni»ej

wymieniony h zagadnie«. Pra a jest zorganizowana nastpuj¡ o:

WrozdzialedrugimopiszkondensatBosego-Einsteina,metodyjegowytwarzania. Przed-

stawi podstawowe równaniaopisuj¡ e kondensat spinorowy i dipolowy.

Wrozdzialetrze imzbadamtermaliza jkondensatuspinorowegoznajduj¡ egosipo z¡tkowo

wstanie o rzu ie spinu

m F = 0

^z uwzgldnieniem oddziaªywa«dipolowy h.

Wrozdziale zwartymprzedstawianalizrezonansówmagnety zny hwefek ieEinsteina-

de Haasa.

Wrozdzialepi¡tymopiszstanytopologi znekondensatuspinorowegopowstaj¡ ewefek-

ieEinsteina-de Haasa na plakiet e.

W rozdzialeszóstym podsumujgªówne wyniki pra y.

(8)

(9)

W 1924 rokuindyjski zyk Satyendra NathBose przedstawiªmetod wyzna zenia widma

promieniowania iaªa doskonale zarnego, traktuj¡ ukªad fotonów jak gaz identy zny h

z¡stek [1℄. Einstein uogólniªteoriBosego na przypadekgazu z¡stek obdarzony hmas¡

(w prze iwie«stwie do przypadku fotonów, tutaj li zba z¡stek jest za howana). W tym

samym roku przewidziaª, »e w wystar zaj¡ o niski h temperatura h wszystkie te z¡stki

obsadziªyby najni»szystankwantowyukªadu [2,3℄. Zjawiskoto,nazwane pó»niej konden-

sa j¡ Bosego-Einsteina (w skró ie BEC od ang. Bose-Einstein ondensation), za hodzi

jedyniedla bozonów z¡stek o spinie aªkowitym (równym aªkowitejwielokrotno± i

~

).

Kondensa ja atomówmamiejs e,gdy±redniaodlegªo±¢midzy atomamijestmniejsza,

ni»termi zna dªugo±¢ falide Broglie'a

λ _dB

^:

λ _dB = 2π ~ ² mk _B T

¹₂

,

^(2.1)

gdzie

~

jest staª¡Plan ka,

m

^jest^mas¡ ^atomu,

k _B

^-^staªaBoltzmanna,

T

^jesttemperatur¡

gazu atomowego. Dokªadniej rze z ujmuj¡ ,

nλ ³ _dB ≥ 2, 612 ,

^(2.2)

gdzie

n

^jest ^gsto±
i¡^z¡stek ⁽

n = N/V

^,^V ^- ^objto±¢). ^¡
z¡^ze ^sob¡ ^równania^(2.1)

i (2.2) otrzymujemy warunek natemperaturkryty zn¡ kondensa ji

T c

T _c = ~ ² 2πk _B m

n 2, 612

2/3

.

^(2.3)

Abydo±wiad zalniezrealizowa¢kondensa j,potrzebabyªowielulatbada«. Warunek(2.3)

narzu anaukªadograni zeniazwi¡zaneztemperatur¡ukªadu,jakrównie»nagsto±¢. Ty-

powegsto± ikondensatuto

n ∼ 10 ¹² −10 ¹⁵

^atomów

/

^m

³

^. ^Przy^tak^maªej^gsto±
i^atomów,

temperaturaprzej± iaw stan kondensa jijest niezwyklemaªa

T _c ∼ 10 ⁻⁷

^nK. ^Maªa ^gsto±¢

atomów jestpodyktowana konie zno± i¡ zminimalizowaniawystpowania zderze« trój ia-

ªowy h, które s¡ odpowiedzialne za straty atomów, o w efek ie prowadzi do znisz zenia

kondensatu. Stworzenie kondensatu Bosego-Einsteina wi¡zaªo si wi z konie zno± i¡

opra owania puªapek,w który h mo»nabyªo uzyska¢wymagan¡ gsto±¢w przestrzenifa-

zowej, wyeliminowania przylegania atomów do wzgldnie gor¡ y h ± ianek puªapki, jak

równie»opra owaniawyranowany hte hnik hªodzenia. W elu unikni iaskraplaniasi

gazuatomowegona± ianka hna zynia(puªapki)wykorzystanopomysªuwizieniaatomów

wpolumagnety znym. Chªodzenieatomówponi»ejtemperaturykondensa ji(temperatury

kryty znej

T c ∼ 100

^nK)^przebiega^w^dwó
h^etapa
h. ^W^pierwszym^etapiewykorzystuje si

(10)

nia laserowego oraz kwadrupolowego pola magnety znego. Atomy emitowane ze ¹ródªa

hwytanes¡wpuªap emagnetoopty znej(MOT)przez trzyparyprze iwbie»ny hwi¡zek

laserowy h, które wstpnie s hªadzaj¡ atomy do temperatury rz¡du

T ∼ 0.1 − 1

^mK. ^W

elu dalszego hªodzenia, atomy s¡ przerzu ane do puªapki magnety znej. Puªapka ma-

gnety zna jest w stanie utrzyma¢atomy o okre±lonej orienta ji atomowego momentuma-

gnety znego. Me hanizm odpowiadaj¡ y za puªapkowanie magnety zne jest zwi¡zany z

siª¡ dziaªaj¡ ¡na spolaryzowane atomy wniejednorodnym polumagnety znym. Mo»liwe

s¡tutaj dospuªapkowania atomy,które s¡wstana hpod¡»aj¡ y hwobszarmaªegopola.

Naprzykªad,dla

87

Rbws¡tostany

|F = 2, m ^F = +1i

ⁱ

|F = 1, m ^F = −1i

^,⁽

F

^jest^spinem

stanupodstawowego strukturynadsubtelnej atomu). Na atomywty hstana hdziaªasiªa

skierowana w kierunku minimum pola magnety znego. Wª¡ zaj¡ zmienne pole magne-

ty zne o zsto± i radiowej mo»na rezonansowo odwró i¢ spin gor¡ y h atomów, które

u iekaj¡ zpuªapki. W puªap e pozostaj¡jedynieatomyonajmniejszejenergiikinety znej

- najzimniejsze. Atomy na skutek zderze« do hodz¡ dostanurównowagi oni»szej tempe-

raturze. W ten sposób uzyskuje si okoªo

N ∼ 10 ⁵ − 10 ⁶

^atomów ^o temperaturze okoªo

T ∼ 100

^nK. ^T^en ^etap ^hªodzenia ^nazywa ^si hªodzeniem przez odparowanie. Nastpnie, po wyª¡ zeniu puªapki, metodami obrazowania opty znego mo»na monitorowa¢ rozkªad

pdu atomów. Pozwala to na stwierdzenie, zy atomy s¡ w stanie termi znym zy ulegªy

kondensa ji. Caªy ykl trwaokoªodwó hminut. Sz zegóªy hªodzeniaatomóws¡opisane

s¡ w [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12℄. Osi¡gni ia w do±wiad zalny h pra a h nad hªodzeniem

atomów gazów alkali zny h spowodowaªy wielki rozwój bada« nad kondensatem Bosego-

Einsteina. Pierwsze do±wiad zenia, w który h uzyskano kondensat Bosego-Einsteina w

rozrzedzonym gazie atomów alkali zny h, zostaªy przeprowadzone niemal w tym samym

zasie w dwó h laboratoria h: JILA (Boulder, Kolorado, USA) oraz MIT (Cambridge,

Massa hussets,USA).WJILAuzyskanokondensatatomówrubidu

87

Rb,za±wMITskon-

densowano atomy sodu

23

Na. Rysunek 1 przedstawia zdj ie kondensatu atomów rubidu

87

Rbuzyskanego wJILA.

Dzikiintensywnympra omnaddoskonaleniemukªadówdo±wiad zalny h,zapanowano

nad kontrolowaniem wielu parametrów opisuj¡ y h ukªad. Badano solitony [13, 14℄, wiry

[15℄, wpªyw temperatury na za howanie si kondensatu [16, 17, 18℄. Rozwinito równie»

te hniki obrazowania. Odkryto istnienie rezonansów Feshba ha [12, 52℄, dziki którym

mo»na zmienia¢ siª oddziaªywa« kontaktowy h jak równie» i h znak, de yduj¡ y o tym,

zyoddziaªywanie jestprzy i¡gaj¡ e zyodpy haj¡ e. Dzikimanipula jioddziaªywania-

mikontaktowymi, mo»liwebyªobadaniekolapsui eksplozjiBEC[19℄. Kondensat Bosego-

Einsteina z oddziaªywaniami kontaktowymi byª wykorzystywany do bada« zagadnie« z

(11)

hmury atomów. Rysunek (A) przedstawia rozkªad prdko± i tu» przed pojawieniem si

kondensatu. Rysunek(B)przedstawiarozkªadprdko± itu»popojawieniusikondensatu,

któremutowarzyszydu»a hmura termi zna. Rysunek (C)przedstawianiemal zystykon-

densat. Koªowyrozkªad hmurytermi znej(kolory»óªtyizielony)wskazuje naizotropowy

rozkªadprdko± i, zgodny zrównowag¡termodynami zn¡. Frak jakondensatu (kolorybi-

aªy i niebieski) ma rozkªad elipty zny, o wskazuje na nietermi zny rozkªad. Podªu»ny

ksztaªt kondensatu wynika z geometriipuªapki. Pole widzenia marozmiar

200 × 270µ

^m.

Rysunek po hodzi zpra y [4℄.

zyki iaªa staªego, np. przej± ie izolator-nadprzewodnik [20, 21℄. W kondensa ie mo»na

pre yzyjnie kontrolowa¢wi ej parametrówukªadu, ni»w iele staªym.

W kondensa ie Bosego-Einsteina,oddziaªywanie midzyzimnymiatomamijest zdomi-

nowane przez oddziaªywania krótkozasigowe, które mo»na przybli»y¢ poten jaªem kon-

taktowym

V (r) = 4π~ ² a s /mδ(r)

^[22℄,^gdzie

a s

^jest^dªugo±
i¡ rozpraszaniafalitypu`s', za±

m

^jest ^mas¡ ^atomu. Przybli»enie takie jest mo»liwe, poniewa» w niski h temperatura h termi zna dªugo±¢ fali de Broglie'a jest du»o wiksza ni» zasig oddziaªywania Van der

Waalsa midzy atomami. Oddziaªywania kontaktowe s¡ odpowiedzialne za wiele wªa± i-

wo± i kondensatów atomowy h. Dynamikoddziaªuj¡ ego gazu opisuje równanie Grossa-

Pitajewskiego [12℄

i~ ∂Ψ

∂t =

− ~ ² ∇ ² 2m + 1

2 mω ² r ² + g|Ψ| ²

Ψ ,

^(2.4)

gdzie

m

^jest^mas¡^atomu,

ω

^-^zsto±¢^puªapkiharmoni znej,

g = 4π~ ² a s /m

^,^za±

R |Ψ| ² d ³ r = N

^, ^gdzie

N

^jest ^li
zb¡ ^atomów. ^Równanie^(2.4) ^jest ^sªuszne, ^je±li^prawie ^wszystkie ^atomy

opisanes¡ t¡sam¡ funk j¡ falow¡

Ψ

^. ^Wtedy

Ψ

^jest ^nazywane ^funk
j¡ ^falow¡ kondensatu.

(12)

tego,atomyalkali zneobdarzonespinemza howuj¡siwpuªap emagnety znejjak z¡stki

skalarne. Rozwini ie te hnik puªapkowania i hªodzena, w sz zególno± i konstruk ja

puªapkiopty znej,którejme hanizmpuªapkowaniawykorzystujegradientnat»enia±wiatªa,

pozwalanajedno zesneªapanieatomówwewszystki hstana hnadsubtelny hniezale»nie

odi h momentumagnety znego.

W 1997 roku grupie MIT udaªo si uzyska¢ kondensat BEC

23

Na w puªap e opty-

znej [23℄. To do±wiad zenie otworzyªo nowe kierunki w badaniu rozrzedzony h gazów

atomowy h. W puªapka h opty zny h spiny atomów s¡swobodne kierunek spinu mo»e

zmienia¢si naskutek oddziaªywa« midzy z¡stkami.

Puªapki opty zne pozwoliªyna badaniegazów spinorowy h. W takimprzypadku ope-

rator pola bozonowego jest spinorem i ma

2F + 1

skªadników. Dla

87

Rb w stanie

F = 1

operator polama trzyskªadniki:

Ψ = ˆ





 Ψ ˆ ₁ Ψ ˆ ₀ Ψ ˆ ₋₁







.

^(2.5)

W przypadku kondensatów spinorowy h oddziaªywania kontaktowe maj¡ bogatsz¡ stru-

kturizale»¡odwarto± irzutu aªkowitegospinuobuoddziaªuj¡ y hatomów,którymo»e

by¢ równy zero lub dwa (jeden ze wzgldu na symetri funk ji falowej nie jest mo»liwy).

Gaz spinorowyw stanie

F = 1

^ma^zatem ^dwie ^dªugo±
irozpraszania:

a 0 = 5, 387

^nm

i

a 2 = 5, 313

^nm ^[24℄. Hamiltonian ukªadu mo»na wtedy zapisa¢ w nastpuj¡ y sposób (u»ywaj¡ formalizmudrugiej kwantyza ji):

H = ˆ Z

d ³ r ˆ Ψ ^† _i (r)H ₀ Ψ ˆ _i (r) + 1

2 c ₀ Ψ ˆ ^† _j (r) ˆ Ψ ^† _i (r) ˆ Ψ _i (r) ˆ Ψ _j (r) + 1

2 c ₂ Ψ ˆ ^† _k (r) ˆ Ψ ^† _i (r)F ij F _kl Ψ ˆ _j (r) ˆ Ψ _l (r)

,

^(2.6)

gdzienale»ywykona¢sumowaniepopowtarzaj¡ y hsiindeksa h(przyjmuj¡ y hwarto± i

+1, 0, −1

^). Jedno z¡stkowyhamiltonian(

H 0

⁾^zawiera^energi^kinety
zn¡ⁱ^poten
jaª^puªap-

kuj¡ y,staªa

c 0 = 4π~ ² (a 0 + 2a 2 )/(3m)

^jest^staª¡ ^niezale»n¡ ^od^spinu ^oraz

c 2 = 4π~ ² (a 2 − a 0 )/(3m)

^staª¡ ^zale»n¡ ^od ^spinu ^[25℄. ^Znak ^staªej

c 2

^okre±la, ^zy ^mamy ^do ^zynienia

ze stanem ferromagnety znym (

c ₂ < 0

⁾ ^zy antyferromagnety znym (

c ₂ > 0

^).

F = (F x , F y , F z )

^, ^gdzie

F x , F y , F z

^s¡ ^ma
ierzami ^Pauliego

3 × 3

^. ^Operator ^pola

Ψ ˆ i (r)

^anihiluje

atom w stanie

|F = 1, m ^F = ii

^w ^punk
ie

r

. Oddziaªywania kontaktowe za howuj¡

aªkowity rzut spinu - magnetyza j. Je»eli dwa atomy s¡ po z¡tkowo umiesz zone w

(13)

stanie

m _F = 0

^, ^na^skutek oddziaªywa« kontaktowy h jeden z ni h mo»e przej±¢ do stanu

m F = 1

^a^drugi ^do

m F = −1

^lub ^oba ^pozostan¡ ^w^stanie

m F = 0

^. ^Kondensaty ^spinorowe

byªy is¡ badanezarówno teorety znie jak i do±wiad zalnie[26, 27, 28,29, 31,32℄.

Opró z oddziaªywa« kontaktowy h wa»n¡ rol mog¡ odgrywa¢ dªugozasigowe, ani-

zotropowe oddziaªywania dipolowe. Do tej pory, byªy one pomijane ze wzgldu na maªy

momentmagnety zny

∼ 1µ ^B

⁽

µ B

^jest^magnetonem^Bohra). ^Niektórzy^autorzypodkre±lali [33, 34℄, »e oddziaªywania dipolowe mog¡ prowadzi¢ do wielu iekawy h wªa± iwo± i kon-

densatówi mog¡prowadzi¢ donowy h,fas ynuj¡ y h i zasaminieo zekiwany h efektów.

Dla wzgldniemaªy hdªugo± irozpraszaniawkondensa ie mog¡zosta¢zauwa»one struk-

turyodzwier iedlaj¡ e oba rodzaje siª.

Energia oddziaªywa«dipolowy h dladwó h atomóww odlegªo± i

r

posiadaj¡ y hmo- mentmagnety zny skierowany wzdªu» wektorów jednostkowy h

e ₁

i

e ₂

, wyra»a siejako

V ^d (r) = µ 0 µ ² 4π

(e 1 · e ² )r ² − 3(e ¹ · r)(e ² · r)

r ⁵ ,

^(2.7)

gdzie

µ 0

^jestprzenikalno± i¡magnety zn¡pró»ni,

µ

^jest^momentemmagnety znymatomu,

r = |r − r ^′ |

^. Oddziaªywania dipolowe s¡ dªugozasigowe (skaluj¡ si jak

1/r ³

⁾ ^oraz ^ani-

zotropowe(siªa iznak oddziaªywa«zale»¡odk¡ta midzy osiamipolaryza ji i wzgldnym

poªo»eniem z¡stek). Hamiltonianuwzgldniaj¡ y oddziaªywania dipolowema posta¢

H = ˆ Z

d ³ r ˆ Ψ ^† _i (r)H ₀ Ψ ˆ _i (r) − γ ˆ Ψ ^† _i (r)BF ij Ψ ˆ _j (r) + 1

2 c ₀ Ψ ˆ ^† _j (r) ˆ Ψ ^† _i (r) ˆ Ψ _i (r) ˆ Ψ _j (r) + 1

2 c ₂ Ψ ˆ ^† _k (r) ˆ Ψ ^† _i (r)F ij F _kl Ψ ˆ _j (r) ˆ Ψ _l (r)

+ 1 2

Z

d ³ rd ³ r ^′ Ψ ˆ ^† _k (r) ˆ Ψ ^† _i (r ^′ )V _ij,kl ^d (r − r ^′ ) ˆ Ψ _j (r ^′ ) ˆ Ψ _l (r) ,

^(2.8)

gdzie

V _ij,kl ^d

^dane^jest^przez^(2.7)^a

γ

^jest^zynnikiem»yromagnety znym. Hamiltonian(2.8) uwzgldnia oddziaªywanie zzewntrznym polemmagnety znym

B

. Podobniejak w przy- padkujednoskªadnikowegokondensatu,je±liwszystkieskªadowespinora

Ψ ˆ

^s¡makroskopowo obsadzone, mo»emy dokona¢ przybli»enia i operatory pola skªadowy h spinorowy h za-

st¡pi¢ przez funk je falowe:

Ψ ˆ _i (r) → Ψ i (r)

^. ^W ^moi
h ^badania
h ^opisany
h ^w ^kolejny
h

rozdziaªa hbdzastpowaªoperatory

Ψ ˆ i (r)

^przezmakroskopowefunk jefalowe. Przyjm,

»e funk je

Ψ i (r)

^s¡ ^unormowane ^do ^li
zby ^atomów

N i

^w ^danym ^stanie ^spinowym:

Z

|Ψ ⁱ (r)| ² d ³ r = N i .

^(2.9)

Do±wiad zalneosi¡gni iekondensa jiatomów, które maj¡stosunkowodu»y magnety-

znymomentdipolowy,byªowielkimwyzwaniem. Wko« upopokonaniuwielutrudno± i,

(14)

skondensowano atomy hromu

52

Cr [35℄. Inne atomy, takie jak erb, europ zy dyspoz

maj¡ w stanie podstawowym magnety zny moment dipolowy rzdu kilku magnetonów

Bohra. Ze wzgldu nadu»y momentmagnety zny hromu -

6µ B

^, oddziaªywania dipolowe w hromie s¡ zna znie wiksze od oddziaªywa« dipolowy h w atoma h alkali zny h, o

pozwalanaobserwa j efektów dipolowy h[36℄. Dziki wzgldnie silnymoddziaªywaniom

dipolowymipre yzyjnej kontrolipolamagnety znego mo»epojawi¢ simo»liwo±¢ realiza-

ji spektakularnego efektuEinsteina-de Haasa [37℄ wdipolowymkondensa ie spinorowym

[30, 38, 39℄. Pra e teorety zne pokazuj¡, »e u»ywaj¡ rotuj¡ ego spolaryzowanego pola

magnety znego mo»liwe jest strojenie oddziaªywa« dipolowy h - zredukowanie i h siªy a

nawetznaku [40℄. Wdo±wiad zeniuprzeprowadzonymwStuttgardzie[35℄,otrzymanogaz,

w którymoddziaªywania dipolowe byªy dominuj¡ e. Przy pomo y rezonansów Feshba ha

oddziaªywania kontaktowe zostaªy prakty znie wyª¡ zone i otrzymano zysty kondensat

dipolowy[41℄. Trwaj¡ te»intensywne badanianaduzyskaniem kondensatu molekularnego

[42, 43,44℄. Molekuªy polarneze wzgldu nai hzªo»on¡wewnetrzn¡ struktur s¡obie u-

j¡ ymikandydatamidobada« silnieskorelowany h ukªadów[45, 46℄, mog¡by¢ przydatne

w kwantowej informa ji [47℄, oraz pozwoli¢ na kontrolowane reak je hemi zne (ultra-

zimna hemia) [48, 49℄ i ultra pre yzyjne pomiary [50℄. Ostatnio byªy obserwowane kon-

trolowane reak je hemi zne molekuª KRb [49℄, oraz wpªyw oddziaªywa« dipolowy h na

zderzenia ty h molekuª [51℄. Zewzgldu nadu»y elektry zny moment dipolowymolekuªy

s¡doskonaªymikandydatamidowytwarzaniakondensatówzdominuj¡ ¡rol¡oddziaªywa«

dipolowy h.

Spinorowe kondensaty dipolowe mog¡ znale¹¢ poten jalne zastosowania w kwantowej

metrologii, informa ji kwantowej, badaniu efektu magneto-kalory znego. Kondensat w

sie ia h opty zny h mo»na wykorzysta¢ do badania ró»ny h efektów zwi¡zany h z zyk¡

iaªastaªegotaki hjakprzej± ieizolatorMotta-fazanad iekªa[20,52℄,nadprzewodni two

wysokotemperaturowe [53℄ zy kwantowy efekt Halla[54℄.

W hwili obe nej pra e nad kondensatami prowadzone s¡ w kilkudziesi iu labora-

toria h na aªym ±wie ie, w tym równie» w Pols e, w Krajowym Laboratorium Fizyki

Atomowej,Molekularnej i Opty znejw Toruniu.

(15)

III Rubid

87

Rb jako gaz dipolowy

W tym rozdziale rozprawy wyka», »e oddziaªywania dipolowe w mog¡ prowadzi¢ do ob-

serwowalny h efektów w spinorowym gazie rubidowym. Przedstawi wpªyw oddziaªywa«

dipolowy h na dynamik spinów i zas do hodzenia kondensatu spinorowego do stanu

równowagitermodynami znej.

Dynamika spinów w rubidzie w stana h

F = 1

ⁱ

F = 2

^oraz ^tworzenie ^kondensatu ^w

posz zególny h stana hzeemanowski h byªy badanedo±wiad zalnie [26, 55℄. W do±wiad-

zeniu Chapmana [55℄, w którym kondensat przygotowano w skªadniku magnety znym

m F = 0

^, zaobserwowano transfer atomów do po z¡tkowo pusty h skªadników

m F ± 1

^.

Badania teorety zne zwi¡zanez tym do±wiad zeniembyªy przeprowadzane dlaprzypadku

jedno- i dwuwymiarowego [28, 29, 32℄. W badania h ty h nie brano jednak pod uwag

oddziaªywa«dipolowy h. Autorzytªuma zylitoprzybli»enieodwoªuj¡ sidoniewielkiego

stosunku energiidipolowejdokontaktowej. Energidipolow¡mo»naosza owa¢wnastpu-

j¡ y sposób:

E d = µ ² n ,

^(3.1)

gdzie

µ = ¹ ₂ µ B

^jest^momentemmagnety znym

87

Rbwstanienadsubtelnym

F = 1

^,

µ B

^jest

magnetonem Bohra, za±

n

^jest ^gsto±
i¡ ^atomów ^w ^puªap
e. ^Energi ^kontaktow¡ ^mo»na

osza owa¢ przez:

E c = (4π~ ² a s /m Rb )n ,

^(3.2)

gdzie

a s

^jest ^dªugo±
i¡ rozpraszaniafali `s', a

m Rb

^jest^mas¡ ^rubidu. ^Stosunek ^ty
h ^dwó
h

harakterysty zny h energii(3.3) pokazuje, dla zego oddziaªywaniadipolowe w

87

Rb byªy

zaniedbywane

E _d /E _c = 4, 2 × 10 ⁻⁴ .

^(3.3)

Zdrugiejjednakstrony,niektórepra edo±wiad zalneiteorety znepokazaªy,»ewpewny h

warunka hoddziaªywaniadipolowewspinorowymkondensa ierubidowymmog¡dawa¢za-

uwa»alneefekty. Przykªademjestdo±wiad zenie [56℄pokazuj¡ enisz zeniespiralnejstruk-

turymagnetyza ji, zyte»pra eteorety zeopisuj¡ eefektEinsteina-de Haasa[30,38℄. W

pra a h ty h badanodynamikspinów. Po hodz¡ y ododdziaªywa« kontaktowy h wyraz

zwi¡zany z przekr aniem spinów jest zna znie mniejszy, ni» (3.2). Jest on propor jon-

alny do

E s = 4π~ ² (a 2 − a ⁰ )n/(3m Rb )

^(gdzie

a 0 = 5, 387

^nm,

a 2 = 5, 313

^nm). ^Dlatego ^te»,

stosunekenergiidipolowejdoenergiizwi¡zanejzoddziaªywaniemprowadz¡ ymdozmiany

spinunie jesttak maªy, jak w (3.3) iwynosi

E d /E s = 0, 09 .

^(3.4)

(16)

ró»ne stany spinowe wspóªdziel¡t¡ sam¡ funk j falow¡.

Wyka» poni»ej, »e oddziaªywania dipolowe maj¡ istotne zna zenie w osi¡ganiu stanu

równowagitermodynami znejspinorowego kondensatu rubidowego.

Nie h po z¡tkowo ukªad znajduje si w stanie wzbudzonym, ze wszystkimi atomami

umiesz zonymi w skªadniku

m F = 0

^. ^Skªadniki

m F = ±1

^nie ^s¡ ^obsadzone. ^W ^pier-

wszymkrokumetod¡ zasuurojonegowyzna zamstanonajmniejszejenergiitakzadanego

ukªadu. Otrzyman¡ w taki sposób funk j falow¡ nastpnie zaburzam w elu uzyskania

okoªo

10%

^wzbudzenia energety znego. Na mo y przybli»enia pól klasy zny h powoduje towprowadzeniedostanupo z¡tkowegoatomówtermi zny h. Wewszystki hsymula ja h

w tej z± i pra y okoªo

20%

^wszystki
h ^atomów ^stanowi ^hmur ^termi
zn¡, ^o^na ^mo
y

N ₀

N = 1 − T c

T

3

(3.5)

(gdzie

T

^jest temperatur¡ kondensatu,

T c

^jest temperatur¡ kryty zn¡,

N 0

ⁱ

N

^s¡ ^li
zb¡

z¡stek skondensowany h i li zb¡ wszystki h z¡stek w ukªadzie) odpowiada w przy-

bli»eniu

T /T _c ≈ 0, 58

^. ^Sz
zegóªy przybli»enia pól klasy zny h s¡ opisane w pra y [18℄.

Aby zaini jowa¢ dynamik spinów, niezbdne jest wprowadzenie do skªadników

m F =

±1

niewielkiego zarodka. W moi h ra hunka h przyjmuj, »e po z¡tkowo okoªo

0, 3%

atomów znajduje si w stana h

m F = ±1

^. ^Moim ^elem ^jest ^badanie ^dynamiki ^konden-

satu, prowadz¡ ej do stanurównowagi termodynami znej. W symula ja h u»ywam siatki

42 punktów w ka»dym kierunku z krokiem przestrzennym

dx = 0, 6µ

^m ^oraz ^kroku ^za-

sowego

dt = 8 × 10 ⁻⁷

^s. ^Rozwa»am ^ukªad, ^w ^którym ^atomy umiesz zone s¡ w sfery znie symetry znej puªap e , zyli

β = ω z /ω r = 1

^(gdzie

ω r

^jest ^zsto±
i¡ ^radialn¡, ^za±

ω z

^jest

zsto± i¡osiow¡puªapki). Wukªadzietymwstaniepo z¡tkowymznajdujesi

N = 3×10 ⁵

atomów. Czsto±¢ radialnapuªapki wynosi

ω r = 2π × 100

^Hz ⁱ ^na^tej ^zsto±
i ^oparta ^jest

jednostka dªugo± i

a ho = p~/(mω r )

^. ^Zewntrzne ^pole magnety zne wynosi

B = 0

^. ^Ze

wzgldunaoddziaªywania, po z¡tkowopusteskªadniki magnety zne

m _F = ±1

^zostaj¡^ob-

sadzone, anastpnie li zbaatomówtermi zny hwszystki hskªadnikówos yluje wokóªtej

samejwarto± i oozna za, »eukªad znalazªsiwrównowadzetermodynami znej. Zostaªo

to pokazane narysunku 2.

Wstanierównowagi,obsadzenia hmurytermi znejskªadników

m F ±1

^uktuuj¡^nieza-

le»nie (rys. 2). Obsadzenia skªadników

m F = ±1

^nie ^musz¡ ^by¢ ^identy
zne ^w ^obe
no±
i

oddziaªywa«dipolowy h. Natomiastwprzypadkuoddziaªywa«kontaktowy h,po z¡tkowa

magnetyza ja jest za howana. Ku zasko zeniu, mimo tego, i» oddziaªywania dipolowe

s¡ du»o mniejsze od oddziaªywa« kontaktowy h, zna z¡ o zmniejszaj¡ zas termaliza ji

ukªadu. W obe no± i oddziaªywa« dipolowy h ukªad do hodzi do stanu równowagi po

(17)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 CZAS@sD

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

FRAKCJATERMICZNA

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

CZAS@sD 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

FRAKCJATERMICZNA

Rysunek 2: Obsadzenia hmurytermi znejstanów

m F = +1

( zerwony),

m F = 0

^(
zarny)

i

m F = −1

^(zielony) ^w ^funk
ji ^zasu ^z oddziaªywaniami dipolowymi (po lewej) i bez oddziaªywa«dipolowy h(po prawej) dlanastpuj¡ y h parametrów:

N = 3 × 10 ⁵

^,

β = 1

^,

B z = 0

^.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

CZAS@sD 0

10 20 30 40

ENERGIAKINETYCZNAH104ÑΩL

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

CZAS@sD 0

10 20 30 40

ENERGIAKINETYCZNAH104ÑΩL

Rysunek 3: Energiekinety zneskªadników

m F = +1

( zerwony),

m F = 0

^(
zarny)ⁱ

m F =

−1

^(zielony) ^w^funk
ji ^zasu ^zoddziaªywaniamidipolowymi(polewej) i bez oddziaªywa«

dipolowy h (po prawej) dla

N = 3 × 10 ⁵

^oraz

β = 1

^. ^Zewntrzne ^pole magnety zne jest równe

B z = 0

^.

zasie

t ≈ 0, 35

^s, ^pod
zas ^gdy ^przy wyª¡ zony h oddziaªywania h dªugozasigowy h zas ten wynosi

t ≈ 1, 2

^s. ^Energie ^kinety
zne ^ka»dego ^skªadnika ^wyrównuj¡ ^si ^(rys. ^3). ^Za-

uwa»my, »e wyrównanie energii kinety zny h skªadników za hodzi w tym samym zasie,

owyrównanie obsadze«.

W elu lepszego zrozumienia tak silnego udziaªu oddziaªywa« dipolowy h w pro esie

termaliza ji,dokªadniejzbadam przestrzenn¡ strukturskªadników magnety zny h opisy-

wanego ukªadu. Rysunek 4 przedstawia typowe przekroje gsto± i spinorowej funk ji

falowej. W hwili

t = 250

^ms ^przekroje ^gsto±
i ^wskazuj¡ ^na ^istnienie bezrdzeniowy h wirów o ªadunka h

+1, 0, −1

^w ^stana
h

m F = +1, 0, −1

^(rys. ^4, ^sekwen
ja ^górna). ^Wiry

te, zanikaj¡ na skali zasu rzdu milisekund. Nale»y podkre±li¢, »e przekroje gsto± i w

Tazwiª kiWªywddziaªywa«di

87

m F = 0

~

λ dB

λ dB =  2π ~ 2 mk B T



,

~

m

k B

T

nλ 3 dB ≥ 2, 612 ,

n

n = N/V

T c

T c = ~ 2 2πk B m

 n 2, 612

 2/3

.

n ∼ 10 12 −10 15

/

3

T c ∼ 10 −7

T c ∼ 100

T ∼ 0.1 − 1

87

|F = 2, m F = +1i

|F = 1, m F = −1i

F

N ∼ 10 5 − 10 6

T ∼ 100

87

23

87

200 × 270µ

V (r) = 4π~ 2 a s /mδ(r)

a s

m

i~ ∂Ψ

∂t =



− ~ 2 ∇ 2 2m + 1

2 mω 2 r 2 + g|Ψ| 2



Ψ ,

m

ω

g = 4π~ 2 a s /m

R |Ψ| 2 d 3 r = N

N

Ψ

Ψ

23

2F + 1

87

F = 1

Ψ = ˆ







 Ψ ˆ 1 Ψ ˆ 0 Ψ ˆ −1









.

F = 1

a 0 = 5, 387

a 2 = 5, 313

H = ˆ Z

d 3 r  ˆ Ψ † i (r)H 0 Ψ ˆ i (r) + 1

2 c 0 Ψ ˆ † j (r) ˆ Ψ † i (r) ˆ Ψ i (r) ˆ Ψ j (r) + 1

2 c 2 Ψ ˆ † k (r) ˆ Ψ † i (r)F ij F kl Ψ ˆ j (r) ˆ Ψ l (r)



,

+1, 0, −1

H 0

c 0 = 4π~ 2 (a 0 + 2a 2 )/(3m)

c 2 = 4π~ 2 (a 2 − a 0 )/(3m)

Tazwiª kiWªywddziaªywa«di

λ _dB

λ _dB = 2π ~ ² mk _B T

k _B

nλ ³ _dB ≥ 2, 612 ,

T _c = ~ ² 2πk _B m

n 2, 612

2/3

n ∼ 10 ¹² −10 ¹⁵

³

T _c ∼ 10 ⁻⁷

|F = 2, m ^F = +1i

|F = 1, m ^F = −1i

N ∼ 10 ⁵ − 10 ⁶

V (r) = 4π~ ² a s /mδ(r)

− ~ ² ∇ ² 2m + 1

2 mω ² r ² + g|Ψ| ²

g = 4π~ ² a s /m

R |Ψ| ² d ³ r = N

 Ψ ˆ ₁ Ψ ˆ ₀ Ψ ˆ ₋₁

d ³ r ˆ Ψ ^† _i (r)H ₀ Ψ ˆ _i (r) + 1

2 c ₀ Ψ ˆ ^† _j (r) ˆ Ψ ^† _i (r) ˆ Ψ _i (r) ˆ Ψ _j (r) + 1

2 c ₂ Ψ ˆ ^† _k (r) ˆ Ψ ^† _i (r)F ij F _kl Ψ ˆ _j (r) ˆ Ψ _l (r)

c 0 = 4π~ ² (a 0 + 2a 2 )/(3m)

c 2 = 4π~ ² (a 2 − a 0 )/(3m)

c ₂ < 0

c ₂ > 0

|F = 1, m ^F = ii

m _F = 0

∼ 1µ ^B

e ₁

e ₂

V ^d (r) = µ 0 µ ² 4π

(e 1 · e ² )r ² − 3(e ¹ · r)(e ² · r)

r ⁵ ,

r = |r − r ^′ |

1/r ³

d ³ r ˆ Ψ ^† _i (r)H ₀ Ψ ˆ _i (r) − γ ˆ Ψ ^† _i (r)BF ij Ψ ˆ _j (r) + 1

2 c ₀ Ψ ˆ ^† _j (r) ˆ Ψ ^† _i (r) ˆ Ψ _i (r) ˆ Ψ _j (r) + 1

2 c ₂ Ψ ˆ ^† _k (r) ˆ Ψ ^† _i (r)F ij F _kl Ψ ˆ _j (r) ˆ Ψ _l (r)

d ³ rd ³ r ^′ Ψ ˆ ^† _k (r) ˆ Ψ ^† _i (r ^′ )V _ij,kl ^d (r − r ^′ ) ˆ Ψ _j (r ^′ ) ˆ Ψ _l (r) ,

V _ij,kl ^d

Ψ ˆ _i (r) → Ψ i (r)

|Ψ ⁱ (r)| ² d ³ r = N i .

E d = µ ² n ,

µ = ¹ ₂ µ B

E c = (4π~ ² a s /m Rb )n ,

E _d /E _c = 4, 2 × 10 ⁻⁴ .

E s = 4π~ ² (a 2 − a ⁰ )n/(3m Rb )

N ₀