Optymalizacja silników 3-fazowych klatkowych przy zastosowaniu algorytmu genetycznego

(1)

ZESZYTY N A U K O W E PO LITEC H N IK I ŚLĄ SK IEJ Seria: E L E K T R Y K A z. 171

2000 N r kol. 1466

Roman M IK SIE W IC Z

Katedra M aszyn i U rządzeń Elektrycznych Politechniki Śląskiej

O PT Y M A L IZ A C JA SILN IK Ó W 3-FA ZO W Y C H K L A TK O W Y C H PRZY Z A ST O SO W A N IU A L G O R Y T M U G E N ET Y C ZN EG O

Streszczenie.

W artykule, na przykładzie 3-fazow ego silnika klatkow ego, przedstaw iono m ożliw ości zastosow ania algorytm u genetycznego do optym alizacji jeg o obw odu elektrom agnetycznego. Sform ułow ano zadanie optym alizacji z ograniczeniam i, przyjm ując zew n ętrzn ą funkcję kary. D la opracow anego program u kom puterow ego w ykorzystującego A G istnieje m ożliw ość w yboru 8 zm iennych decyzyjnych oraz ogólnej postaci funkcji celu. D la analizow anego silnika pokazano zbiory rozw iązań dopuszczalnych (dla 2 zm iennych decyzyjnych) oraz w ybrane w ykresy funkcji celu.

Z am ieszczono w yniki obliczeń optym alizacyjnych d la różnych kryteriów jak o ści oraz przedstaw iono przebiegi procesu optym alizacji w kolejnych generacjach. Istotny w pływ na p rzebieg obliczeń m a ją param etry algorytm u genetycznego. N a podstaw ie w yników w ielu obliczeń przy tej samej funkcji celu stw ierdzono zadow alającą z praktycznego punktu w idzenia zbieżność algorytm u.

OPTIMIZATION OF 3-PHASE SQUIRREL-CAGE INDUCTION MOTORS USING GENETIC ALGORITHM

S u m m a ry . In the paper the possibilities o f G A application to optim ization o f the electrom agnetic circuit o f a 3-phase induction m otor are presented. T he problem o f optim ization w ith constraints w as form ulated using the m ethod o f the external penalty function. F or the developed com puter program there is possibility o f selection o f 8 independent variables and the m ultiobjective function. For analyzed m otor the feasible solution region (for tw o design variables) and the chosen diagram s o f the objective functions w ere show n. The results o f optim ization calculations fo r different objective functions and the calculations process in the successive generations are presented. The genetic algorithm param eters influence essentially the calculation process. B asing on the results o f m any calculations fo r the sam e objective function it w as stated that the algorithm convergence is satisfactory as far as practical applications are considered.

(2)

132 R. M iksiewicz

1. W STĘP

Tradycyjnie, do optym alizacji w technice stosuje się m etody determ inistyczne. Jest to najczęściej zadanie program ow ania nieliniow ego z ograniczeniam i. W metodach determ inistycznych efektyw ność algorytm u zależy od w ielu czynników : określenia w łaściw ego kierunku poszukiw ań (zastosow ania w łaściw ej m etody do danego zagadnienia), punktu startow ego, kryterium zatrzym ania. Przy zastosow aniu klasycznych algorytm ów optym alizacyjnych, aby spełnić w arunki jednoznacznego rozw iązania zadania optym alizacji i znaleźć ekstrem um globalne, zbiór rozw iązań dopuszczalnych oraz funkcja celu m u szą być w ypukłe. N a podstaw ie w ykonanych obliczeń m ożna stw ierdzić, że w przypadku optym alizacji obw odu elektrom agnetycznego silnika indukcyjnego te w arunki zw ykle nie są spełnione. P rzykładow o, na ry s.l przedstaw iono w ykresy w arstw icow e dla funkcji celu riNCOsepN oraz kilku funkcji ograniczeń. Funkcje ograniczeń w yznaczają zbiór rozw iązań dopuszczalnych (obszar zakreskow any). Z rysunku tego w ynika, że zbiór rozwiązań dopuszczalnych nie je s t zbiorem w ypukłym i w konsekw encji rozw iązanie m oże być niejednoznaczne.

W ostatnich latach nastąpił duży rozwój algorytm ów niedeterm inistycznych - w tym algorytm ów genetycznych (A G ) i ew olucyjnych, sym ulow anego w yżarzania. S ą one coraz częściej stosow ane przy rozw iązy-w aniu w ielu zagadnień technicznych. D la różnego typu m aszyn elektrycznych, zastosow ania tych m etod d o ty c z ą ja k w ynika z dotychczasow ych

publikacji, optym a-lizacji przy pro

jektow aniu i estym acji param etrów.

A lgorytm y genetyczne cechuje w ysokie praw dopodobieństw o znale

zienie optim um globalnego, s ą więc bardziej odpow iednie do zastoso

w ania w optym alizacji. A lgorytm y genetyczne korzy stają z w ielkości dyskretnych zm iennych decyzyjnych, co rów nież je s t w ażn ą ich zaletą przy projektow aniu m aszyn. Ze w zględu na konieczność w ykonyw ania dużej liczby obliczeń funkcji celu, model obliczeniow y z użyciem A G musi być tak skonstruow any, aby połączyć odpow iednio czas obliczeń z gw arancją znalezienia optim um globalnego.

R y s .l. W ykresy w arstw ie funkcji ograniczeń i funkcji celu (r|n cosep,,) dla zm iennych hr i b dr F ig .l. C ontour plots o f constraint functions and

objective function (p n coscpn) for tw o design variables: h r and bdr

(3)

O ptym alizacja siln ikó w 3-fazow ych klatkow ych p r z y zastosow aniu algorytm u . 133

2. S F O R M U Ł O W A N IE Z A D A N IA O PTY M A LIZA C JI

A by sform ułow ać zadanie optym alizacji, należy dokonać w yboru: zm iennych decyzyjnych, funkcji ograniczeń i funkcji celu (kryterium jakości). W ażnym zagadnieniem w projektow aniu m aszyn elektrycznych je s t fakt, że niektóre zm ienne decyzyjne m a ją postać dyskretną (np. liczba zw ojów , średnica przew odów ). Stosując m etody program ow ania nieliniow ego zakłada się, że w szystkie zm ienne p rzy jm u ją w artości ciągłe. W obec tego po przeprow adzeniu optym alizacji należy dokonać zam iany niektórych w ielkości ciągłych na w ielkości dyskretne i w ykonać obliczenia dla tych zm iennych.

D la opracow anego program u kom puterow ego istnieje m ożliw ość w yboru następujących zm iennych d ecyzyjn ych : średnica w ew nętrzna stojana - ds, długość pakietu stojana - ls, liczba zw ojów w zezw oju uzw ojenia stojana - N cs, średnica przew odu uzw ojenia stojana - c,„

głębokość żło b k a stojana - hs, szerokość zęba stojana - b js, głębokość żłobka w irnika - hr, szerokość zęba w irn ik a - b jr

O g raniczenia m o g ą dotyczyć: spełnienia określonych param etrów eksploatacyjnych, w arunków technologicznych zw iązanych z w ykonaniem silnika o raz w ym agań konstrukcyjnych. Przyjęto następujące fu n k c je ograniczeń,m inim alny m o m en t rozruchow y -

rnrmin, m aksym alny prąd rozruchow y - irmax, m inim alny m om ent krytyczny - m aksym alny w spółczynnik zapełnienia żłobka stojana - kqmax, m aksym alna gęstość prądu w uzw ojeniu stojana - j smax, m aksym alna gęstość prądu w prętach u w ojenia w irnika - j pmax,

m inim alna szerokość żłobka w irnika w dolnej części - br3min, m aksym alne indukcje w zębach stojana - Bdsmax i w irnika - B jrmax, m aksym alne indukcje w ja rz m a c h stojana i w irnika - Bysmax, Byrmax-

Z adanie o ptym alizacji polega na znalezieniu m aksim um tej funkcji w zbiorze rozw iązań dopuszczalnych. W opracow anym program ie w prow adzono u o g ólnioną fu n k c ję celu (1), będącą su m ą kryteriów częściow ych. Przyjm ując w artości zerow e w spółczynników w agow ych, odpow iednio: w ci, w^c2 lub w c3, m ożna w ięc zadaw ać następujące kryteria częściow e: m inim um m asy uzw ojenia i pakietu blach - m , m aksym alny iloczyn w spółczynnika m ocy i spraw ności dla dow olnego obciążenia - pcostp, m aksym alna dobroć rozruchu - mr/ i r *(i)„ cos(p,j

Fc( x ) = — — + wc2 r)„ ( x ) c o s<p„( x ) + w c3 — T]„ ( x ) c o s y n( x ) (1 )

m Ft( x ) + m J x ) ir

gdzie:

wci - w spółczynniki w agow e kryteriów częściow ych.

(4)

W program ie ograniczenia uw zględniono przyjm ując m etodę zew nętrznej funkcji kary.

F unkcja przystosow ania Fp(x) (2) algorytm u genetycznego je st w ięc sum ą funkcji celu F c(x) i zew nętrznej funkcji kary P(x):

F „ ( x ) = F c( x ) + P ( x ) (2)

gdzie:

P ( x ) = ± w , { P l ( x^{) ) 1} , (3)

1=1

0 g d y g , ( x ) < 0 g ,c ~ g , ( x )

P , ( x ) =

g d y g , ( x^{) > 0} gic

P i(x) - w zględna w artość i-tej funkcji ograniczeń, odniesiona do zadanej wartości ograniczenia gjc,

gt(x) - w artość i-tej funkcji ograniczeń dla w spółrzędnych x w ektora zmiennych niezależnych,

giC - zadana w artość ograniczenia dla i-tej funkcji ograniczeń, w, - w spółczynnik w agow y i-tej funkcji ograniczeń,

x - w ektor zm iennych decyzyjnych.

O dpow iednio dobrane w spółczynniki w agow e w, zapew niają znalezienie rozw iązania w zbiorze rozw iązań dopuszczalnych.

M odel m aszyny pow inien zagw arantow ać odpow iednią dokładność obliczeń.

Z astosow any algorytm obliczeń elektrom agnetycznych 3-fazow ego silnika klatkow ego bazuje na m odelu obw odow ym i uw zględnia nasycanie się obw odu od strum ienia głów nego i strum ieni rozproszeń oraz w ypieranie p rądu w klatce w irnika. P aram etry schem atu zastępczego silnika nie s ą w ięc stałe. O bliczenia w ielkości eksploatacyjnych silnika dla zadanego poślizgu s ą w ykonyw ane iteracyjnie.

O bliczenia w ykonano dla silnika 3-fazow ego klatkow ego o danych znam ionow ych:

p n=3 kW ; f„=50 H z; U„=380 V; p=2. D la tego silnika w yznaczono dla dw óch par zm iennych decyzyjnych (N c„ /,) i (N cs, cs), przykładow e w arstw icow e zbiory rozw iązań dopuszczalnych (rys.2 i 3), utw orzone przez zadane funkcje ograniczające.

(5)

O ptym alizacja siln ikó w 3-fazow ych klatkow ych p r z y zastosow aniu algorytm u 135

Is

[mm]

85

70

\ Y \m kr=2 .5 \ ' 1.35

\ B d = 0 .8 3 \ V \

\ mr=1.8 cs

\

^m ^y ^{kq=0.62 \} ^[mm]

\ V s

1.20 _

l n=6-2 \ ir=5.0-/ \

1.05 L

50 55 Ncs 60

I I \ \ v „ y i

\ \ ' \

I \ ' \

\ \ '

1 \ X

\ \ J

I

--- 0 .1 Q l

\ \

\ \ J

Ncs 55

Rys.2. Z b ió r rozw iązań dopuszczalnych oraz w ykresy w arstw icow e funkcji ograniczeń d la zm iennych decy

zyjnych: (N cs, U

Fig.2. F easible solution space and contour plots o f constraint functions for design param eters: (N cs> ls)

Rys.3. Z biór rozw iązań dopuszczalnych i w ykresy w arstw icow e funkcji celu (r|ncos<pn) dla zm iennych decyzyjnych:

(Ncs, Cs)

Fig.3. Feasible solution space and contour plots o f objective function (tincoscpn) for design param eters (N cs, cs)

Rys.4. W ykresy w arstw icow e (a) oraz odpow iadający im w ykres przestrzenny ogólnej funkcji celu Fc dla dw óch zm iennych decyzyjnych (N cs, ls)

Fig.4. C ontour plots (a) and surface plot (b) o f objective function Fc for tw o design param eters (NCS> I s )

(6)

136 R. M iksiewicz

N a rys.4^5 przedstaw iono w ykresy przestrzenne ogólnej funkcji celu dla następujących par zm iennych decyzyjnych: (Ncs, I j , (Ncs, Cs), (ls, d j . Stw ierdzono, że funkcja celu najczęściej nie posiada m aksim um w zbiorze rozw iązań dopuszczalnych. Rozwiązanie zadania optym alizacji w ystępuje w ięc zw ykle na granicy tego zbioru. W tym tkw i dodatkowa trudność znalezienia praw idłow ego rozw iązania zadania optym alizacji metodami determ inistycznym i.

Rys.5. W ykresy przestrzenne ogólnej funkcji celu Fc dla dw óch par zm iennych decyzyjnych:

u) (N cs, cs)l b) (ls, ds)

Fig.5. Surface plots o f objective function Fc for tw o pairs o f design param eters a) (N cs, cs);

b) (ls, ds)

3. FU N K C JO N O W A N IE A LG O R Y TM U G EN ETY C ZN EG O

A lgorytm y genetyczne są heurystyczną techniką obliczeniow ą b a z u ją c ą na procesie ew olucyjnym podobnym do selekcji naturalnej, krzyżow ania i m utacji obserw ow anej w system ie biologicznym . Funkcja przystosow ania je s t m iarą adaptacji indyw idualnej chrom osom u do ich środow iska. AG d ziałają na w ielkościach dyskretnych, nie na liczbach rzeczyw istych, lecz zakodow anych, tw orząc łańcuch binarny (chrom osom ). C hrom osom y są w ięc reprezentow ane przez skończoną długość łańcucha utw orzonego z 0 i 1. K ażda zm ienna rzeczyw ista n a pew nym etapie obliczeń m usi zostać zakodow ana do postaci binarnej oraz przy obliczeniach funkcji przystosow ania - odkodow ana. do postaci rzeczyw istej. K odowanie pow oduje w ięc dyskretyzację param etrów . M ożna tak dobrać liczbę b itó w i przedział zm iennej, że np. liczba zw ojów w zezw oju będzie przyjm ow ać tylko w artości całkow ite.

P rzy k o d o w a n iu najczęściej je s t stosow ane liniow e odw zorow anie liczby z przedziału [a ,,b |] w zadany przedział [ o , D l a każdej zm iennej x, zakłada się liczbę znaczących

(7)

O ptym alizacja silników 3-fazow ych klatkow ych p r z y zastosow aniu a lg o r y tm u . 137

cyfr dziesiętnych l<ji. D any przedział zm iennej x* - [ a ^ b j należy podzielić na lO1"1 podprzedzialów , przy czym m usi być spełniony w arunek:

(b, - a i ) \ 0 ,JI < 2 " ' - 1 (4)

gdzie:

mj - najm niejsza liczba całkow ita spełniająca pow yższy w arunek o znacza rów nocześnie długość łańcucha binarnego dla tej zm iennej.

C ałkow ita długość chrom osom u (długość łańcucha odpow iadająca w szystkim zm iennym decyzyjnym ):

i» = 5 > , . (5)

Z nając w artość zm iennej Xj w postaci łańcucha binarnego o długości m b do jej odkodow ania należy zastosow ać wzór:

x. = a, +d ecim a l(\sx \1) (bi - a , )

2m ‘ - 1

(

⁶

)

gdzie:

d ecim a ljla m ) - o znacza d ziesiętn ą w artość łańcucha binarnego.

Rys.6. S chem at blokow y algorytm u genetycznego Fig.6. Flow chart o f the genetic

algorithm

A lgorytm y genetyczne w y m ag ają określenia schem atu postępow ania, jeg o param etrów , funkcji przystosow ania i zasady zatrzym ania algorytm u.

Z bieżność populacji do globalnego optim um uzyskuje się stosując sekw encyjnie trzy operatory genetyczne:

selekcję, krzyżow anie i m utację. Praw dopodobieństw o krzyżow ania pc i praw dopodobieństw o m utacji pm są dobierane w zależności od rodzaju rozw iązyw anego problem u. Schem at blokow y algorytm u genetycznego przedstaw ia rys.6. W spotykanych publikacjach stosuje się w iele różnych operatorów selekcji (np. ruletki, uszeregow ania, elitaryzm u, turniejow y, losowy), krzyżow ania (np. jednopunktow y, dw upunktow y, jednorodny, arytm etyczny, heurystyczny), m utacji (np.

bit przełączający, brzegow y, nierów nom ierny, rów nom ierny).

W opracow anym program ie zastosow ano:

kodow anie liniow e, operator ruletkow y selekcji oraz przyjęto zasadę elitaryzm u (zachow ania najlepszego

(8)

138 R. M iksie w icz

chrom osom u) d la kolejnych etapów algorytm u genetycznego. Jako kryterium zatrzymania algorytm u przyjęto zad an ą liczbę generacji.

R ozm iar populacji i długość łańcucha chrom osom u m je s t zależna od liczby przyjętych zm iennych decyzyjnych oraz założonej liczby znaczących cyfr d la każdej zm iennej.

4. W Y N IK I O B L IC Z EŃ O PT Y M A LIZA C Y JN Y C H

Rys. 7 pokazuje przebieg procesu obliczeniow ego dla dw óch w ariantów uruchomień program u, dla w skaźnika energetycznego (t|n coscpN) jak o funkcji celu, przy tych samych param etrach AG. Jak w idać z przedstaw ionych w ykresów , proces obliczeniow y za każdym razem (przy tych sam ych param etrach A G ) przebiega inaczej, rów nocześnie jednak jest procesem zbieżnym . W yniki końcow e tych obliczeń przedstaw ione s ą w tabeli 2.

i --

0.8 - -

0.6

0.4 j

0 .2 - -

I w ariant obliczeń i --

o.8 -- 0.6 -j-

0.4

0.2

II w ariant obliczeń

200 ⁴⁰⁰ ²⁰⁰

(9)

Optymalizacja siln ikó w 3-fazow ych klatkow ych p r z y zastosow aniu a lg o r y tm u ... 139

Rys.7. Przebieg p rocesu obliczeniow ego w kolejnych generacjach dla najlepszego chrom osom u i dw óch w ariantów obliczeń. Funkcja przystosow ania Fp (funkcja celu r|N cos<Pn), zm ienne decyzyjne: ls, N cs, cs

Fig.7. O ptim ization results in the successive generations for the best chrom osom and two calculation variants. Fitness function Fp (the objective function r]N cos(Pn), design param eters: ls, N cs, cs

T abela 1 Parametry A G : p opulacja - 1 0 0 , pc=0.9; pm=0.02,

1.generacji - 2000 Zm ienne

decyzyjne

Funkcja celu kryterium ogólne

k [mm] 85.47 85.00 85.00 74.22

d., [m nij 125.04 124.07 125.00 126.91

bds [m m l 7.49 7.51 7.49 8.24

hs [m m | 18.16 19.38 19.14 16.61

Cs [mm] 1.46 1.50 1.50 1.31

Ncs f - 1 52 52 52 54

bdr [mm] 10.49 10.31 10.45 10.76

hr [mm] 12.02 12.00 12.00 12.42

Fp [ - 1 3.022 3.033 3.027 3.038

D la analizow anego silnika w ykonyw ano obliczenia dla różnych funkcji celu, przyjm ując różne param etry A G i funkcje ograniczeń.

Przykładow e w yniki końcow e obliczeń (4 w arianty obliczeniow e) dla 8 zm iennych decyzyjnych i ogólnej funkcji celu, p rzedstaw ia ta b .l, zaś dla 3 zm iennych decyzyjnych (w ybranych przy założeniu takiego sam ego w ykroju blach stojana i w irnika) i w skaźnika energetycznego ⁽^t^|ⁿ coscpn) ja k o funkcji celu, przedstaw ia tab.2 (3 w arianty obliczeniow e). Pow yższe w yniki

(10)

obliczeń w skazują, że przy zadanej dyskretyzacji zm iennych decyzyjnych (zadanych liczbach bitów dla tych zm iennych) i odpow iednio dużej liczbie generacji, algorytm wykazuje w ystarczającą zbieżność z praktycznego punktu w idzenia. Z w iększając liczbę generacji zw iększa się praw dopodo

bieństw o uzyskania rozw iązania globa

lnego. Z dużym praw dopodobieństw em m ożna . przyjąć, że uzyskiwane rozw iązanie były zbliżone do optim um globalnego.

N a podstaw ie uzyski

w anych w yników obliczeń stw ierdzono, że dla odpowiednio dobranych w spółczynników W a

gow ych funkcji kary, poszu

kiw ane rozw iązanie znajduje się zaw sze w zbiorze rozwiązań dopuszczalnych.

W tab.3 przedstaw iono w yniki końcow e obliczeń opty

m alizacyjnych silnika przy różnych kryteriach jakości dla 8 zm iennych decyzyjnych.

Tabela zaw iera w artości zm ie

nnych decyzyjnych oraz podsta

w ow e param etry eksploatacyjne (nikr krotność m om entu m aksy

m alnego, m r - krotność mom entu rozruchow ego, ir-krotność prądu rozruchow ego, m - m asa m ateriałów czynnych) w ariantu optym alnego rozw iązania.

U zyskane rozw iązania optym alne przy różnych kryteriach jak o ści odpow iadają interpretacji fizykalnej postaw ionego zadania optym alizacji.

5. W N IO SK I

Pokazano, że program optym alizacyjny bazujący na algorytm ie genetycznym jest skutecznym narzędziem do optym alizacji silników indukcyjnych.

T abela 3 P aram etry AG: populacja - 100, pc=0.9; p m=0.02,

1.generacji - 1000

Z m ienne decyzyjne

Funkcja celu ogólna dobroć

rozruchu

m asa On

COSCPn

ls [mm] 85.47 96.29 70.00 100.00

d s [mmj 125.04 119.07 121.24 130.65

bds [mm] 7.49 7.00 7.34 9.145

hs [mml 18.16 19.84 20.00 18.26

cs [mm] 1.46 1.50 1.21 1.42

N cs f - 1 52 50 59 51

bdr [mm] 10.49 10.76 9.41 10.64

hr [mm] 12.02 13.20 20.58 20.99

Param etry eksploatacyjne silnika

On [-] 0.844 0.850 0.842 0.877

COSCPn [-] 0.807 0.807 0.775 0.833

m kr [-] 3.01 2.99 2.54 2.35

m r [-] 2.94 2.91 2.18 1.85

ir [-] 5.00 5.01 4.69 5.00

m fkgl 19.35 22.06 15.72 22.68

T abela 2 Param etry A G: populacja - 50, pc=0.9;

p ra= 0 .0 2 ,1.generacji - 500 Zm ienne

decyzyjne

F unkcja celu w skaźnik energetyczny t|n

COSCPn

ls [mm] 100.000 99.824 99.766

Cs [mm] 1.233 1.195 1.195

Ncs [ - 1 53 53 53

Fr [ - 1 0.6972 0.6949 0.6949

(11)

O ptym alizacja silników 3-fazow ych klatkow ych p r z y zastosow aniu algorytm u ...__________ 141

W celu uzyskania zadow alającej skuteczności A G należy odpow iednio dobrać param etry tego algorytm u (liczbę populacji, praw dopodobieństw a k rzyżow ania i m utacji, liczbę generacji). N a podstaw ie w ykonanych obliczeń dla w ielu zadanych param etrów AG m ożna stw ierdzić, że niezbędna liczba generacji w zależności od postaw ionego zadania optym alizacji pow inna w ynosić od kilkuset do kilku tysięcy. O znacza to, przy złożonym m odelu obliczeniow ym m aszyny, długi czas trw ania obliczeń. Zależy on bow iem od liczby generacji i w ielkości populacji.

N ależy je d n a k stw ierdzić, że w ogólnym przypadku, przy zastosow aniu AG rozw iązanie znajduje się w p obliżu rozw iązania optym alnego.

W g autorów niektórych publikacji, aby zapew nić w ięk szą dokładność rozw iązania, m ożna zastosow ać m etodę determ inistyczną, przyjm ując jak o punkt startow y rozw iązanie uzyskane m e to d ą AG.

L IT E R A T U R A

1. B ianchi N ., B olognani S.: D esign optim isation o f electric m otors by genetic algorithm s.

IEE P roceedings Electric Pow er A pplications, v o l.145, N o 5, Septem ber 1998, ptf)475+483.

2. G oldberg D .E.: A lgorytm y genetyczne i ich zastosow ania. W N T, W arszaw a 1995.

3. Jażdżyński W.: M ulticriterial optim isation o f squirrel-cage induction m otor design. IEE P roceedings, vol. 136, N o 6, N ovem ber 1989, str.299+307.

4. K im M .K ., Lee C .G ., Jung H.K. M ultiobjective optim al design o f three-phase induction m otor using im proved evolution strategy. IEEE T ransactions on M agnetics, vol. 34, N o 5, Septem ber 1998, £^.2980+2983.

5. M ichalew icz Z.: A lgorytm y genetyczne + struktury danych = program y ew olucyjne.

W NT, W arszaw a 1996.

6. O h Y .H ., C hung T.K ., K im M .K ., Jung H .K.: O ptim al design o f electric m achine using genetic algorithm s coupled w ith direct m ethod. IEEE T ransactions on M agnetics, vol. 35, N o 3, M ay 1999, stt. 1742-1745.

7. Śliw iński T.: Suboptim al induction m otors. Z eszyty N aukow e Pol. Ł ódz., E lektryka, z.91, Ł ódź 1998, p(Łł. 19-5-25.

8. U ler G .F., M oham m ed O.A., K oh C.S.: D esign optim ization o f electrical m achines using genetic algorithm s. IEEE T ransactions on M agnetics, vol. 31, N o 3, M ay 1995, S tj.2 0 0 8 + 2 0 1 1.

9. W ieczorek J.P., G ól Ó. M ichalew icz Z.: A n evolutionary algorithm for the optim al design o f induction m otors. IEEE T ransactions on M agnetics, vol. 34, N o 6, N ovem ber 1998, Str.3882+3887.

10. W urtz F., R ichom m e M ., B igeon J., Sabonnadiere J.C.: A few results for using genetic algorithm s in the design o f electrical m achines. IEEE Transactions on M agnetics, vol. 33, N o 2, M arch 1997, str.1892+1895.

(12)

142 R. M iksiew icz

Recenzent: Prof, dr hab. inż. R om an N adolski

W płynęło do R edakcji dnia 5 m aja 2000 r.

Abstract

In th e p ap er the possibilities o f GA application to optim ization o f the electrom agnetic circuit o f a 3-phase induction m otor are presented. The problem o f optim ization o f m otor electrom agnetic circuit is a constrained optim ization problem . Figs 1-F2 show results o f the m otor calculations for tw o design param eters exem plary contour plots for several constraint functions and the m ultiobjective function (Fig.2). From them it follow s that the feasible solution d om ain (see dashed area) is not convex.

The used algorithm o f electrom agnetic calculations o f a 3-phase induction m otor (Pn=3 kW ; f„=50 Hz; U n=380 V; p=2) is based on the circuit m odel. It takes into account saturation o f the circuit by the m ain flux and leakage fluxes as w ell as deep-bar rotor effects.

In case o f the developed com puter program there is possibility o f selection o f the follow ing independent variables: ds -stator inner diam eter, ls - stator core length, N cs - num ber o f turns in stator w inding coil, cs - diam eter o f stator w inding conductor, h s - stator slot depth, bdS. - stator tooth w idth, h r - rotor slot depth, bdr. - rotor tooth w idth.

It is possible to select the follow ing objective functions in the developed program : m inim um m ass o f active m aterials o f w inding and core, m axim um energetic factor, m axim um quality factor at the locked rotor, m ultiobjective criterion (1) containing the m entioned above partial criteria.

G A s require determ ination o f the strategy, specification: o f the design param eters, o f the objective function and the algorithm stopping criterion. The convergence o f the population to the global optim um is obtained using sequentially three genetic operators: selection, crossover, m utation (Fig.5). The population size, the chrom osom e string length (bit num ber), the crossover probability p c, and the m utation probability p m are selected in dependence on the kind o f a solved problem . T he constraints have been taken into account in the program using the m ethod o f the external penalty function (3).

The exem plary calculations process in the successive generations for the objective function and three variab les ls is presented in Fig.6.

The results o f optim ization calculations for the m ultiobjective function are presented in the Tab. 1 and fo r different quality criteria in the Tab.2.

B asing on the perform ed calculations for m any given param eters o f GA one can state that the n ecessary n um ber o f generations is several thousand. The program at each run found solutions included in the feasible space. O ne can state w ith high probability that the obtained solutions are close to the global optim um

It has been p roved that the optim ization program basing on GA is potent tool for induction m otor optim ization. To obtain the satisfactory efficiency o f G A one should appropriately select param eters o f this algorithm .