OPTYMALIZACJA NATĘŻENIA POLA ELEKTRYCZNEGO LINII ELEKTROENERGETYCZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO I ROJU CZĄSTEK

DOI 10.21008/j.1897-0737.2018.93.0011

__________________________________________

* Politechnika Poznańska

Krzysztof KRÓL^*, Wojciech MACHCZYŃSKI^*

OPTYMALIZACJA NATĘŻENIA POLA

ELEKTRYCZNEGO LINII ELEKTROENERGETYCZNEJ Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GENETYCZNEGO

I ROJU CZĄSTEK

W artykule przedstawiono optymalizację parametrów linii w celu minimalizacji war- tości natężenia pola elektrycznego pod napowietrzną linią elektroenergetyczną przy pomocy algorytmu genetycznego (AG) oraz roju cząstek (PSO). Uwzględnia się zmien- ność rozkładu ładunków wzdłuż przewodów linii oraz zwis przewodów, który aproksy- muje się krzywą łańcuchową. W obliczeniach wykorzystano metodę ładunków symula- cyjnych (CSM) oraz metodę odbić zwierciadlanych. Przykładowe obliczenia w układzie trójwymiarowym wykonano dla linii jednotorowej 220 kV. Dokonano porównania uży- tych algorytmów optymalizacyjnych.

SŁOWA KLUCZOWE: natężenie pola elektrycznego, napowietrzna linia elektroenerge- tyczna, metoda ładunków symulacyjnych, optymalizacja, algorytm genetyczny, algorytm roju cząstek.

1. WSTĘP

Rozwój urbanizacji doprowadził do budowania obiektów blisko napowietrz- nych linii elektroenergetycznych najwyższych napięć. Powoduje to zwiększone zainteresowanie oddziaływaniem pola elektromagnetycznego na organizmy żywe ze względu na jego potencjalnie szkodliwe działanie oraz zasięg występo- wania. Wartości natężenia pola elektrycznego oraz magnetycznego są uzależ- nione od warunków terenowych, kształtu słupów, rozmieszczenia przewodów, wysokości zawieszenia przewodów, odległości przewodów i kolejności po- szczególnych faz, napięcia fazowego oraz obciążenia linii.

Wykonywane do tej pory symulacje pola elektrycznego opierały się na zało- żeniach uproszczonych. Przyjmowano, że przewody są prostoliniowe i równole- głe do powierzchni ziemi, a ładunek wzdłuż przewodów linii jest stały. W litera- turze rzadko porusza się problem optymalizacji natężenia pola elektrycznego w doborze parametrów linii z uwzględnieniem zwisów przewodów oraz zmien- nej wartości ładunków symulacyjnych wzdłuż linii [9].

W artykule dokonano optymalizacji parametrów linii w celu zmniejszenia na- tężenia pola elektrycznego w otoczeniu linii elektroenergetycznej NN. Wyko- rzystano w tym celu algorytmy: genetyczny oraz roju cząstek. Obliczenia prze- prowadzono w układzie trójwymiarowym. Wyniki optymalizacji porównano dla linii 220 kV oraz porównano czas działania algorytmów.

Zaprezentowany artykuł jest kontynuacją badań [5, 6].

2. NATĘŻENIE POLA ELEKTRYCZNEGO LINII Z UWZGLĘDNIENIEM ZWISU PRZEWODÓW

Przewody linii elektroenergetycznych posiadają zwis, który zależy od wa- runków terenowych oraz od ukształtowania terenu. W celu uwzględnienia zwisu przewody znajdujące się między przęsłami o długości d należy podzielić na n segmentów o takich samych długościach (S₁, S₂, …S_i-1, S_i, S_i+1, S_n) jak pokazano na rysunku 1. H jest maksymalną wysokością zawieszenia przewodu, h jest mi- nimalną wysokością zawieszenia przewodu w połowie rozpiętości przęsła, S – zwisem przewodu, przy czym S=H-h.

W obliczeniach należy przyjąć zasadę, że liczba symulacyjnych ładunków musi odpowiadać liczbie zdefiniowanych segmentów.

Rys.1. Podział przewodu linii napowietrznej ze zwisem na n segmentów

Segmenty S1, …, Sn można opisać za pomocą równania krzywej łańcuchowej:

 

^{2 '}

' ' 2 ( )

2 z x h sinh x

   (1)

h/

 T w (2) gdzie: współczynnik  jest związany z mechanicznymi parametrami linii, Th

jest współczynnikiem naprężeń mechanicznych w połowie linii, w jest ciężarem na jednostkę długości linii. Współczynnik ten można obliczyć w sposób reku- rencyjny z zależności [5, 6]:

2 2( )

2 H h sinh d

   (3) Wyznaczenie rozkładu potencjału w dowolnym punkcie obserwacji wyzna- cza się ze wzoru:

 

Si

Si i

Si

C 0

λ l

V r' 4

d

 R





(4)

gdzie: ₀ 8,854 10 ^12 F/m jest przenikalnością elektryczną próżni, a λ jest gęstością liniową ładunku symulacyjnego segmentu S_i, całkę (3) oblicza się wzdłuż krzywej CSi (r’), R   (5), r’ jest współrzędną promieniową r r' punktu źródłowego na krzywej C_Si (r’), a r oznacza współrzędną promieniową punktu obserwacji. Wektor odległości punktu źródłowego danego segmentu do punktu obserwacji można zapisać jako:



^'

 

^'

 ^

^'

^

Si x y z

R  x x a  y y a  z z a

   

(6) natomiast dla odbicia zwierciadlanego segmentu:



^'

 

^'

 ^{ }

1 '

Si x y z

R  x x a  y y a  z z a

   

(7) gdzie: (x, y, z) są współrzędnymi punktu obserwacji P, a (x’, y’, z’) współrzęd- nymi punktu źródłowego N, jak na rysunku 2.

Rys.

Ostate

Dla po go się na p





 lub

przy czym

. 2. Geometria u

cznie potenc

VS

ojedynczego powierzchni

1

0

1 4

s s

sn

V V V



 

 



 



m całki I1 i I2

układu: przewó

cjał pola elek

 

0

' 1

Si 4

V r ^ 

przewodu b każdego seg

11 11

21 21

1 1

1 2

1 2

1_n 2_n

I I

I I

I I

 

 



 





2 mają następ

ód napowietrzny

ktrycznego dl

 

^'

0 si

Si si

r d R

 





o n segmen gmentu jest o

12 12

22 2

2

1 2

1 2

1_n 2_n

I I

I I

I I









[ ]V_s b [P pującą posta

y - odbicie zwie

la danego se



^'

'

1 1

si i

Si si

dl r

R





 ntach, potenc

obliczany [5,

2 1

2 2

2

1 1

1

n n

nn

I I I









bb b

] [ ]

s s

P 

ać:

erciadlane przew

gmentu wyn



' 1

dlsi 



cjał punktu z , 6, 7] z zależ

1 1

2 2

2 2

2

n s

n s

nn sn

I I I







  

   

  

  

 

wodu

nosi:

(8) znajdujące-

żności:







(9)

(10)

'

'

2 ' 2 2 2

' 1

( ') ( ) ( 2 )

2

Si

j j

ij

C j

i j i j i

cosh x dx I

x x y y z h sinh x



 

 

 

 

 

  

       

 



(11)

'

1 '

2 ' 2 2 2

' 2

( ') ( ) ( 2 )

2

Si

j

ij

C j

i j i j i

cosh x dx I

x x y y z h sinh x



 

 

 

 

 

  

       

 



⁽¹²⁾

Z równania (9) można wyznaczyć gęstość liniową ładunku dla poszczegól- nych segmentów:

1

1 11 11 12 12 1 1

2 1 21 21 22 22 2 2

0

1 1 2 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

4

1 2 1 2 1 2

s s n n

s s n n

sn sn n n n n nn nn

V I I I I I I

V I I I I I I

V I I I I I I



 



   

     

        

     

     

        

     





     



(13)

W przypadku, gdy linia elektroenergetyczna składa się z więcej niż jednego przewodu, ładunki wywołane na n segmentach B przewodów są obliczane z zależności (14):

   

 

     

     

     

   

 

11 12 1

1 1

21 22 2

2 2

0

1 2

1 4

s s s

s n s

s s s

s n s

s B s B s B s Bn s B

P P P

V

P P P

V

V P P P









 

   

 

   

 

    

   

 

   

 

   

    





     



(14)

gdzie: [Ps]ij jest macierzą współczynników potencjałowych między segmentami przewodu i a przewodem j, [λs]ij jest macierzą wyindukowanych ładunków mię- dzy segmentami przewodu i, a przewodem j, [Vs]ij jest macierzą napięcia między segmentami przewodu i, a przewodem j.

Natężenie pola elektrycznego w dowolnym punkcie nad powierzchnią ziemi przedstawia wzór (15):

 

 

 

 

 

' '

1

' '

' '

2 2 1

0 1

' 1

4 si si

si si

si si

si si

C r C r

r r

E r dl dl

R R

 



 

 

 

 



 

 (15)

Całkowite natężenie pola elektrycznego w punkcie obserwacji dla wszystkich przewodów można przedstawić wzorem (16) [1, 2, 3, 5, 6, 7]:

 

3 4

1 0

, , 1 [ ]

4

B

c b b

b

E x y z I I

 





 (16) gdzie

      ^{ }

     

' ' '

/2 '

3 /2 ' 2 ' 2 ' 2 3

( ' )

'

( )

x y z

d

b Sn

d

x x a y y a z z a cosh x

I r dx

x x y y z z

 



       

  

    



  

   (17)

      ^{ }

     

' ' '

/2 '

4 /2 ' 2 ' 2 ' 2 3

( ' )

'

( )

x y z

d

b Sn

d

x x a y y a z z a cosh x

I r dx

x x y y z z

 



       

  

    



  

(18)

3. OPTYMALIZACJA NATĘŻENIA POLA ELEKTRYCZNEGO ZA POMOCĄ ALGORYTMU GENETYCZNEGO

W celu zredukowania natężenia pola elektrycznego pod linią najwyższych napięć wykorzystano algorytm genetyczny, który miał dobrać następujące para- metry: wysokość zawieszenia przewodów fazowych i odgromowych, wysokość minimalną w połowie rozpiętości przęsła dla przewodów fazowych i odgromo- wych oraz odległość między przewodami. Wymienione parametry (chromoso- my), zostały ograniczone zgodnie z dopuszczalnymi wartościami.

Obliczenia wykonano w przestrzeni trójwymiarowej pod przęsłem linii d oraz w odległości ±25 metrów od osi linii w 20000 punktów. Punkt obserwacji znajduje się na wysokości 2 metrów. Początkowa populacja chromosomów składa się z wybranych losowo liczb rzeczywistych. Dokonywana jest ocena przystosowania chromosomów poprzez obliczenie natężenia pola elektrycznego zgodnie ze wzorem (14) oraz znalezienie jego maksimum dla poszczególnych populacji i zapisanie wszystkich danych do tablicy wyników. Kolejnym etapem jest przeszukanie tablicy w celu znalezienia minimum natężenia pola elektrycz- nego oraz dokonania selekcji osobników, które będą brały udział w tworzeniu potomków dla następnego pokolenia. Selekcja odbywa się za pomocą koła rulet- ki, gdzie każdemu chromosomowi przydzielono wycinek koła o wielkości pro- porcjonalnej do wartości funkcji przystosowania danego chromosomu. Im więk- sza jest wartość funkcji tym, większy jest wycinek koła ruletki, natomiast całe koło odpowiada sumie wartości funkcji przystosowania wszystkich chromoso- mów rozważanej populacji. W wyniku zostaje utworzona populacja rodzicielska.

W operacji krzyżowania wybierane są chromosomy z populacji rodzicielskiej i tworzone są pary w sposób losowy. Następnie dla każdej pary losuje się pozy- cję genu w chromosomie, natomiast podczas mutacji zmianie ulega wartość

wybranego losowo genu w chromosomie na przeciwny. Chromosomy otrzymane w wyniku działania operatorów genetycznych wchodzą w skład nowej populacji.

Populacja ta staje się tzw. populacją bieżącą dla danej iteracji algorytmu gene- tycznego. W każdej kolejnej iteracji oblicza się wartość funkcji przystosowania każdego z chromosomów w populacji bieżącej. Kolejnym etapem jest spraw- dzenie warunku zatrzymania algorytmu i podanie wyniku o najlepszym przysto- sowaniu wartości otrzymanej ze wzoru (14), albo przejście do kolejnego kroku algorytmu genetycznego, tzn. selekcji [8]. Schemat blokowy działania AG przedstawia rysunek 3.

Rys. 3. Schemat blokowy działania algorytmu genetycznego (AG)

4. WYKORZYSTANIE ALGORYTMU CZĄSTEK ROJU DO OPTYMALIZACJI POLA ELEKTRYCZNEGO

Kolejnym algorytmem, którym dokonano optymalizacji parametrów linii najwyższych napięć był algorytm roju cząstek (PSO). Pracuje on ze zbiorem, który nazywamy rojem, a każdego osobnika cząstką. W trakcie kolejnych kro- ków cząstki przemieszczają się do nowych położeń, symulując adaptację roju do środowiska. Każda cząstka c jest opisana przez swoją pozycję Xc=(xc1, xc2,…, xcm) oraz prędkość Vc=(vc1, vc2,…, vcm), a rozwiązanie funkcji (16) w m wymiarowej przestrzeni jest reprezentowane przez wektor Xc. Rój składa się z n cząstek. Wyszukiwanie optimum funkcji wykonuje się iteracyjnie.

W każdej iteracji cząstka roju przesuwa się do nowej pozycji uwzględniając

Inicjacja populacji początkowej

Wybór najlepszych rozwiązań

Krzyżowanie

Mutacja

Czy ostatnia generacja?

Zwróć najlepsze rozwiązanie NIE

Ustawienie wartości początkowych parametrów w, ,

Wygenerowanie roju

Dla każdej cząstki oblicz wartość funkcji celu

Zwróć najlepsze rozwiązanie

Zapamiętaj najlepszą cząstkę oraz zapamiętaj aktualnie najlepszą pozycję

Czy stop?

NIE

swoją starą pozycję i poprzednią prędkość, a także swoją najlepszą pozycję zna- lezioną do tej pory Pc=(Pc1, Pc2,…, Pcm ) oraz najlepszą pozycję znalezioną w całym roju Gc=(gc1, gc2,…, gcm ). Prędkość każdej cząstki można obliczyć z wzoru:

   

1 1 1

, 1 1 2 2

i i i i

c j cj cj cj cj cj

v wv^ c r P x^ c r G x^ (19) dla j=1,…, m, gdzie w jest współczynnikiem wagowym, określonym na pozio- mie i-tej cząstki, c c są współczynnikami uczenia, ₁, ₂ r r – liczbami losowymi _{1 2}, z przedziału [0,1]. Pozycja cząstki wyznaczana jest ze wzoru:

1 ,

i i i

c j cj cj

x x^ v (20) Schemat działania algorytmu PSO przedstawia rysunek 4.

W początkowej implementacji pozycja szukanych zmiennych wylosowano i sprawdzano z przyjętymi założeniami, a prędkość początkowa ustawiono na 1.

Rys. 4. Schemat blokowy działania algorytmu cząstek roju (PSO)

5. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY

Obliczenia wykonano dla linii najwyższych napięć o napięciu znamionowym 220 kV, przewody fazowe AFL-8 525 mm², przewody odgromowe 2 x AFL-1,7 70 mm², konfiguracja napięć U₁ = 220 e^-j120° kV, U₂ = 220 kV, U₃ = 220e^j120° kV.

Długość przęsła linii d = 400 metrów. Wybrany słup typu H52 charakteryzuje

się następującymi parametrami: odległość między przewodami fazowymi a = 7,6 m, wysokość zawieszenia przewodów fazowych HL = 26,5 m, wysokość przewodów fazowych w połowie rozpiętości przęseł SL = 6,7 m, wysokość za- wieszenia przewodów odgromowych HG = 30,6 m, wysokość przewodów od- gromowych w połowie rozpiętości przęseł SG = 10,8 m, odległość między prze- wodami odgromowymi a osią słupa o = 5,6 m. Geometrię lini przedstawia rysunek 5. Badania natężenia pola elektrycznego wykonywano na wysokości 2 m, w odległości ±25 metrów od osi linii w 20000 punktów.

Rys. 5. Parametry linii 220 kV

Maksymalne natężenie pola elektrycznego obliczone wg wzoru (16) wynosi 5035,75 V/m. Rozkład pola elektrycznego przedstawia rysunek 6.

Rys. 6. Wykres trójwymiarowy natężenia pola elektrycznego pod linią 220 kV

Optymalizację wykonano w granicach parametrów budowy linii:

‒ 6 m a 9 m,

‒ 18 mH_L26,5 m,

‒ 6 mS_L 12 m,

‒ 4 m o 7 m,

‒ 28 mH_G34 m,

‒ 10 mS_G12 m.

Maksymalne natężenie pola elektrycznego obliczone przy pomocy algorytmu genetycznego wynosiło 1685,3 V/m. Tabela 1 przedstawia parametry linii po zoptymalizowaniu.

Tabela 1. Zoptymalizowane parametry linii przy pomocy algorytmu genetycznego.

o [m] a [m] SL [m] HL [m] SG [m] HG [m] E max [V/m]

5,501 6,346 11,989 24,810 13,989 26,810 1685,302 Optymalizacji dokonano również za pomocą algorytmu roju cząstek. Mak- symalne natężenie pola elektrycznego było porównywalne do wartości pola uzy- skanej przy zastosowaniu algorytmu genetycznego i wyniosło 1657,243 V/m, wyniki przedstawiono w tabeli 2.

Tabela 2. Zoptymalizowane parametry linii przy pomocy algorytmu roju cząstek.

o [m] a [m] SL [m] HL [m] SG [m] HG [m] E max [V/m]

4 6 12 25 14 27 1657,243

Wykres 3D natężenia pola elektrycznego dla obydwóch sposobów optymali- zacji jest podobny i przedstawiony na rysunku 7.

Rys. 7. Wykres trójwymiarowy natężenia pola elektrycznego pod linią 220 kV przy zoptymalizowanych parametrach

Czas obliczeń natężenia pola elektrycznego za pomocą algorytmu genetycz- nego wyniósł 9560,88 sekund, natomiast algorytm PSO wykonał obliczenia w krótszym czasie 3543,48 sekund. Obliczenia dla 20000 punktów wykonano na maszynie Intel Core I7-6820HK z czterema rdzeniami o ośmiu wątkach z szyb- kością 2,7 GHz oraz z 16 GB pamięci RAM.

6. WNIOSKI

W artykule dokonano optymalizacji parametrów linii najwyższych napięć z zastosowaniem algorytmu genetycznego oraz roju cząstek w taki sposób, aby uzyskać jak najmniejsze natężenie pola elektrycznego pod linią elektroenerge- tyczną NN. Wartość natężenia pola elektrycznego po optymalizacji jest trzy- krotnie mniejsza niż w przypadku rzeczywistego obiektu obliczonego metodą CSM. Stosując badane algorytmy otrzymano zbliżone wyniki optymalizacji, ale algorytm PSO pozwala uzyskać wynik w czasie trzykrotnie krótszym niż AG, ponieważ cząstki pamiętają informację o gradiencie położenia w poszukiwanej przestrzeni. Szybkość obliczeń zależy również od sprzężonych układów równań aktualizacji, ponieważ cząstki wymieniają się informacją.

W następnym etapie badań uwzględniony będzie również rozkład natężenia pola magnetycznego w doborze optymalnych parametrów linii elektroenerge- tycznej NN.

LITERATURA

[1] Adel Z. El Dein: Optimal Arrangement of Egyptian Overhead Transmission Lines’

Conductors Using Genetic Algorithm, Electrical Engineering, 2013, p.1049-1059 [2] Adel Z. El Dein: Parameters affecting the charge distribution along overhead

transmission lines’ conductors and their resulting electric field, Electrical Power and Energy Systems, 2014, p. 198-210

[3] Amiri R., Hadi H., Marich M.: The influence of sag in the electric field calculation around high voltage overhead transmission lines. In: Conference of Electrical Insu- lation and Dielectric Phenomena, Kansas City, Missouri USA, 2006,p. 206–209 [4] Foryś P.: Numerical optimization with particle swarms, Proc. of 10th International

Conference on Numerical Methods in Continuum Mechanics, Zilina, August 23–26, 2005, (CD-ROM), 13

[5] Król K.: Natężenie pola elektrycznego przewodu linii napowietrznej z uwzględnie- niem zwisu, Zastosowania Komputerów w Elektrotechnice, 2016, p. 117-126 [6] Król K.: Symulacja 3-wymiarowego natężenia pola elektrycznego linii elektroener-

getycznej, Zastosowania Komputerów w Elektrotechnice, 2017, p. 245-254

[7] Machczyński W.: Zastosowanie "charge simulation method" (CSM) w analizie zagadnień uziomowych, XII Seminarium z Podstaw Elektrotechniki i Teorii Obwo- dów, Gliwice-Wisła, 1989, p. 278-286

[8] Wierzchon S:, Sztuczne systemy immunologiczne. Teoria i zastosowania, Akade- micka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 2001

[9] Zeńczak M.: Estimation of electric and magnetic field intensities under power transmission lines in real country conditions, Przegląd Elektrotechniczny nr 7, 2008, p. 174–177.

OPTIMIZATION OF ELECTRIC FIELD INTENSITY UNDER POWER TRANSMISSION LINE WITH USE OF GENETIC ALGORITHM

AND PARTICLE SWARM

The paper presents optimization of line parameters aimed at reducing the intensity of the electric field under overhead power line by taking into account the variation of charge distribution along the conductors as well as sag of overhead line with the use of genetic algorithm (AG) and particle swarm optymalization (PSO). The conductor sag was approximated by chain curve. The charge simulation method (CSM) and the method of images were used in the simulations. Sample calculations in a three-dimensional sys- tem were made for 220 kV single - circuit transmission line. A comparison of used opti- mization algorithms was made.

(Received: 18.01.2018, revised: 12.03.2018)