Application de la theorie des vibrations non-lineaires sur le probleme du mouvement de lacet d'un vehicule de chemin de fer

APPLICATION DE LA THEORIE DES VIBRATIONS

NON-LINEAIRES SUR LE PROBLEME DU MOUVEMENT

DE LACET D'UN VEHICULE DE CHEMIN DE FER

PROEFSCHRIFT

TER VERKRIJGING VAN DE GRAAD VAN DOCTOR IN DE TECHNISCHE WETENSCHAPPEN AAN DE TECHNISCHE HOGESCHOOL TE DELFT OP GEZAG VAN DE RECTOR MAGNIFICUS IR. H. J. DE WIJS. HOOGLERAAR IN DE AFDELING DER MIJNBOUWKUNDE. TE VERDEDIGEN OP WOENSDAG 30 SEPTEMBER 1964 DES NAMIDDAGS

TE -4 UUR

DOO~

1.33

I~

PIETER VAN BOMMEL

71

WERKTUIGKUNDIG INGENIEUR GEBOREN TE WOERDEN

Dit proefschrift is goedgekeurd door de promotor prof. dr. ir. A. D. de PATER

Aan mijn ouder8 Aan mijn vrouw

SAMENVATTING.

Sinds zeer lange tijd houden diverse onderzoekers zich bezig met het probleem van de zgn. vetergang van een spoorwegvoertuig wanneer het over de spoorstaven zich voort beweegt. Deze vetergang is één van de vele '''parasitaire'' bewegingen die het voertuig naast de "hoofdbeweging" uitvoert. Eén van de eerste onderzoekers die het vraagstuk van de vetergang heeft onderzocht is Klingel, die in 1883 zijn bekende formule publiceerde voor de golflengte van de sinusloop van een enkele as.

Het vraagstuk is echter zeer gecompliceerd door de vele vrijheidsgraden en de vele niet-lineaire factoren die erbij een rol spelen. Wij spreken op dit moment nog niet eens van de invloed van de ligging van het spoor. Tot nu toe hebben de meeste onderzoekers zich moeten beperken tot een algehele linearisering van het vraagstuk, omdat een vraag-stuk waarin niet-lineaire factoren voorkomen nagenoeg onoplosbaar was. Thans ligt de situatie aanmerkelijk anders. Door het bestaan van zeer grote rekenmachines, zowel di-gitaal als analoog, is het mogelijk de problemen, betreffende de parasitaire bewegingen van een spoorwegvoertuig, nader te bestuderen.

In dit proefschrift wordt het probleem behandeld van de vetergang van een voertuig op 2 assen (men denke hierbij aan een draaistel), waarbij rekening wordt gehouden met enkele essentieel niet-lineaire elementen. Deze zijn de begrenzing van de beweging door de aanwezigheid van flenzen, hetgeen in wezen tot uitdrukking komt door de werkelijke profielvormen van wielband en spoorstaafkop in rekening te brengen, en de wrijvingswet die het verband legt tussen de tangentiële kracht en de normaalkracht in het contact-vlak. Er wordt veel aandacht besteed aan de opstelling van de bewegingsvergelijkingen voor dit propleem, waarbij de zgn. eerste orde theorie volledig wordt doorgevoerd.

Voor de oplossing worden twee methoden naast elkaar gebruikt, nl. de analytische methode, waarbij men zich uiteraard dient te beperken tot benaderings-berekeningen, en de numerieke integratie die in wezen een exacte oplossing geeft van de bewegings-vergelijking"en. Uitvoerig wordt ingegaan op enkele benaderingsmethoden, die zich lenen v~or het op analytische wijze oplossen van niet-lineaire systemen die aanleiding geven tot grenskringlopen, zoals de harmonische balans en de methode van equivalente verge-lijkingen.

Het in rekening brengen van de werkelijke profielvormen van wielband en spoor-staafkop bij de analytische berekeningen is vrijwel onmogelijk. Deze zeer belangrijke niet-lineaire factor wordt op de volgende wijze voor de berekening toegankelijk ge-maakt. Het gedeelte van de wielband en de spoorstaafkop waar het contact zich voor het grootste deel afspeelt kan zeer goed worden benaderd door de doorsnijdingskrommen van deze beide ruimtelijke oppervlakken met het vlak dat dwars op het spoor staat op te vatten als parabolen, hetgeen aanleiding geeft tot lineaire termen in de differenti-aalvergelijkingen. De begrenzing van de bewegingen van de wielassen, waarvoor de flenzen zorgen, wordt in rekening gebracht door het invoeren van een stootverschijnsel. Deze wijze van werken blijkt bijzonder bevredigend te zijn. Het is zelfs mogelijk hier-mede het systeem uit te breiden tot drie vrijheidsgraden. We denken hierbij aan de verplaatsingen van beide wielassen en bijv. de rolbeweging.

sche snelheden vindt die aanmerkelijk hoger zijn dan de in de praktijk voorkomende. Dit moet verklaard worden door de invloed van de ligging van het spoor. Teneinde enig inzicht te verkrijgen in çleze invloed, is een berekening uitgevoerd waarbij verondersteld is dát de uitwijkingen in horizontale richting van de beide spoorstaven sinusvormig zijn en waarbij de spoorbreedte evenwel constant is aangenomen. Dit leidt tot een niet-au-tonoom niet-lineair systeem. Oni op de hoogte te komen met het gedrag van dergelij-ke systemen, is een studie gemaakt van de bedergelij-kende differentiaalvergelijking van Van der Pol met harmonisch rechterlid. In de literatuur is vrij veel over dit probleem aan-gegeven, maar men treft nergens een oplossing c, q. een benaderingsoplossing aan die voor het gehele frequentiegebied geldig is en die men dan vergelijkt met de exacte op-lossing, d. w. z. de oplossing gevonden met behulp van numerieke integratie. Het is ge-bleken dat men een goede oplossing kan verkrijgen met behulp van 'benaderingsmetho-den die in wezen vrij eenvoudig zijn, en die zodoende toegepast kunnen wor'benaderingsmetho-den op in-gewikkelder systemen. Men treft in dit proefschrift derhalve een vrij uitvoerige studie aan van dit probleem.

De berekening voor het geval van sinusvormig spoor tonen aan dat amplituden van. 2 à 3 mm de kritische snelheid reeds aanmerkelijk kunnen verlagen. Daar de uitwijkin-gen van de beide spoorstaven in de praktijk, zelfs bij zgn. zeer goed spoor, minstens 3 à 5 mm bedragen, is het duidelijk dat de ligging van het spoor een zeer grote rol speelt. In de werkelijkheid zijn de uitwijkingen van de spoorstaven geenszins sinusvormig, maar hebben een min of meer willekeurig' karakter. Dit leidt ons tot het gebied van de sto-chastische verschijnselen. Over het g!;drag en de methoden van oplossen van dergelijke verschijnselen bij niet-lineaire systemen is nog niet veel bekend. Bij de verdere onder-zoekingen zal in het bijzonder de aandacht gericht zijn op' de invloed van de ligging van het spoor.

SOMMAIRE.

Divers chercheurs s'occupent, depuis très longtemps déjà, du problème du mouve-ment du "lacet" d'un véhicule ferroviaire roulant sur rails. Ce mouvement de lacet con-stitue l'un des nombreux mouvements "parasitaires" que Ie véhicule effectue en dehors

de son "mouvement principal". Klingel, l'un des premiers chercheurs ayant étudié Ie problème du mouvement de lacet, a publié en 1883 sa fameuse formule pour la longu-eur d'onde du mouvement sinusoïdal d'un seul essieu.

Le problème est toutefois fort compliqué vu les nombreux degrés de liberté et fac-teurs non-linéaires qui jouent ici un role, sans compter l'influence de l'état de la voie qu'on ne mentionne pas. La plupart des chercheurs ont dû se limiter jusqu'à ce jour à rendre Ie problème complètement linéaire, étant donné qu'un problème avec facteurs non-linéaires ne peut pratiquement pas être résolu. La situation s'est toutefois considé-rablement modifiée. Les machines à calculer digitales et analogiques dont on dispose actuellement, permettent de soumettre les problèmes concernant les mouvements "para-sitaires" d'un véhicule ferroviaire à une étude plus approfondie.

La présente étude traite du problème du mouvement de lacet d 'un véhicule à deux essieux (on song era ki à un bogie) compte tenu de divers éléments qui, pour l'essenti-el, ne sont pas linéaires. Ces éléments sont, d'une part la limitation du mouvement par la présence de boudins, ce qui revient à dire qu'on tient compte des profils effec-tifs du bandage et du champignon de rail, et d'autre part la loi de frottement qui éta-blit une relation entre I 'effort tangentiel et I 'effort normal dans Ie point de contact. Une grande attention est consacrée à I 'établissement des équations du mouvement, pour lesquelles la théorie di te du premier ordre, est appliquée dans son intégralité.

Pour la solution du problème, on utilise simultanérnent deux méthodes: la méthode analytique ou il faudra évidemment se limiter à des calculs approximatifs, et I 'intégra-tion numérique qui au fond conduit à une solu'intégra-tion exacte des équa'intégra-tions de mouvement. Diverses méthodes approximatives sont traitées en détail j ces méthodes, telles que la balanceharmonique et la méthode des équations équivalentes, permettent de résoudre, par voie d'analyse, des systèmes non-linéaires conduisant à des cycles-limites.

Il est presque impossible de tenir compte dans les calculs analytiques des profils ef-fectifs du bandage et du champignon de rail. Cet important facteur non-linéaire peut être rendu accessible au calcul de la fas:on suivante. La partie du bandage et du

cham-pignon de rail ou se produit pour I 'essentiel Ie contact, peut très bien être ca1culée par approximation si I 'on considère co mme des paraboles les courbes de sectionnement de ces deux surfaces spatiales avec Ie plan transvers al par rapport à la voie, ce qui con-duit, dans les équations différentielles, à des membres linéaires. La limitation des mou-vements des essieux par les boudins est obtenue par I 'introduction d'un phénomène de percussion. Cette procédure qui est très satisfaisante perm et même d'étendre Ie système à trois degrés de liberté. Nous pens ons ici aux déplacements des deux essieux etl) par

~xemple, Ie roulis •

Une grande partie des recherches a été effectuée pour une voie en alignement pur, de sorte que Ie système constitue un système autonome. Dans la plupart des cas, on trouve toutefois, des vitesses critiques considérablement plus élevées que celles rencon-trées dans la pratique, ce qui s'explique par l'influence de l'état de la voie. Afin de

mieux connaître cette influence, on a procédé à un ca1cul en partant de l'hypothèse que les déplacements des deux rails dans Ie sens horizontal ont une forme si nusoïdale , l'écartement étant considéré coÏnme constant. Cela conduit à un système non-linéaire et non-autonome. Pour connaître Ie comportement de ces systèmes, on a étudié l'équa-tion différentielle fort connue de-Van der Pol. avec un membre de droite harmonique. Bien qu 'il existe une abondante littérature sur ce problème, on ne trouve nulle part une solution définitive ou une solution approximative valable pour l'ensemble de la zone de fréquence et comparabIe à la solution exacte, c'est-à-dire la solution trouvée à l'aide de l'intégration numérique. On a constaté qu 'une bonne solution peut être obtenue à I' aide de méthodes d'approximation qui sont au fond très simples et peuvent donc être ap-pliquées à des systèmes plus compliqués. La présente thèse constitue donc une étude as-sez détaillée de ce problème.

Les calculs effectués pour Ie cas d'une voie sinusoïdale montrent que des amplitudes de 2 à. 3 mm peuvent déjà réduire considérablement les vitesses critiques. Comme dans la pratique, les déplacements des deux rails sont d'au moins 3 à 5 mm, même pour une très bonne voie, il est évident que l'état de la voie joue un très grand rêle. Dans la pratique, les déplacements des rails sont loin d'être sinusoidaux, mais présentent un caractère plus ou moins arbitraire, ce qui nous amène au domaine des phénomènes sto-chastiques. Peu de données existent sur Ie comportemeI!t de ces phénomènes dans les systèmes non-linéaires 'et sur les méthodes permettant de les résoudre. Dans les recher-ches ultérieures, on s'efforcera d'examiner tout particulièrement l'influence de l'état de la voie.

SUMMARY.

For quite some time various research workers have been occupying themselves with the problem of the so-called hunting movements of a railway vehicle, when it is mov-ing over the rails. This hunting move ment is one out of many "parasitic" movements performed by the vehicle in addition to the "main movement" . One of the research workers to investigate the problem of the hunting move ment was Klingel, who publish-ed in 1883 his well-known formula for the wave-length of the sinusoidal movements of a single axle.

The problem is however of a very complex nature owing to the numerous degrees of freedom and the numerous non-linear factors playing a part here. At this moment we shall even leave the influence exerted by the position of the track out of considera-tion. Hitherto, most research workers have had to restrict themselves to reducing the problem to a linear one because a problem containing non-linear factors was virtually insoluble. The situation is now quite different. Thanks to the availability of very large computers, both digital and analogue computers, it is possible to study prob-lems concerning the parasitic movements of a railway vehicle in greater detail.

This thesis deals with the problem arising from the hunting movement of a two-axled vehicle (one should. here think of a bogie) j in this thesis some essèntial non-linear elements are considered. These are the limitation of the movements owing to the presence of flanges, which is materialized by taking into consideration the real forms of the profile of the wheel tyre and the head of the rail and the law of friction estab-lishing the connection between the tangential force and the normal force prevailing in the contact surface. Much attention is paid to the compilation of the movement equa-tions regarding this problem, during which the first order theory has been adopted in

fuH.

For the solution, two methods are used simultaneaously viz. the analytical method during which one should of course restrict oneself to approximate calculations and the numerical integration, which supplies , in fact, an exact solution of the equations of motion. Elaborate attention is paid to some methods of approach, lending themselves to the solution, by means of analytical procedures, of non-linear 'systems, giving rise to limit-cycles, like the harmonic balance and the method of equivalent equations.

It is almost impossible to account for the real profile forms of wheel tyre and railhead during the analytical calculations. This very important non-linear magnitude is made accessible for calculation according to the following procedure. The parts of wheel tyre and railhead representing the main contact are as can be approached very well by assuming the curves intersecting these two spatial surfaces and the plane per-pendicularly to the track to be parabolae, which gives rise to linear terms in the dif-ferential equations~ The limitation of the movements of the wheel axles, provided by the flanges, is accounted for by introducing an impact phenomenon. This procedure proves to be particularly satisfactory. This even affords the possibility of' extending the system to three degrees of freedom. We are here thinking of the displacements of the two wheel axles and, for example, the rolling movement.

The studies largely concern purely straight track, so that the system is an autonom-ous one. However it then becomes obvious that in most cases critical speeds are founa

considerably higher than those prevailing in practice. This is to be explained from the influence exerted by the state of the track. In order to obtain some insight into this in-fluence, a calculation has been carried out during which it has been assumed that the deflectibns of the two rails in the horizont al direction are sinusoidal and during which the track width has however been assumed to be constant. This leads to a non-autonom-ous, non-linear system. In order to obtain data on the behaviour of such systems, the well-known differential equation of Van der Pol with harmonic right hand member has been studied. In the relevant literature this problem is rather frequently discussed, but nowhere a solution or approximate solution is given which is valid for the whole frequen-cy area and which is then compared with the exact solution, i. e. the solution found from numerical integration. It has proved that a good solution can be obtained by means of approximation methods which are, in fact, rather simple and which can thus be ap-plied to more complex systems. The thesis thus contains a rather elaborate study of this problem.

The calculation relative to the case of sinusoidal track shows that amplitudes of 2 - 3 mm can already appreciably reduce the critical speed. Since the deflections of the two rails are in practice at least 3 - 5 mm, even in the case of excellent track, it is obvious that the state of the track plays an important part. In reality, the deflec-tions of the rails are by no means sinusoidal, but they are of a more or less irregular character. This takes us to the field of stochastic phenomena. About the behaviour and the methods to solve such phenomena for non-linear systems little is known as yet. During further research, special attention will be paid to the influence exerted by the state of the track.

ZUSAMMENF ASSUNG.

Seit sehr langer Zeit widmen sich verschiedene Forscher dem Problem der sogenann-ten Schlingerbewegung eines über die Schienen rollenden Eisenbahnfahrzeuges. Diese Schlingerbewegung is eine der vielen "parasitären" Bewegungen, die das Fahrzeug ausser der "Hauptbewegung" ausführt. Einer der ersten Forscher, der das Problem des Schlinger-bewegung untersucht hat, ist Klingel, der 1883 seine bekannte Formel für die Wellen-länge des Sinuslaufs einer einzigen Achse veröffentlichte.

Das Problem ist jedoch sehr verwickelt wegen der vielen Freiheitsgrade und der vie-len nichtlinearen Faktoren, die dab ei eine Rolle spievie-len. Es sei an dieser Stelle nicht einmal der Einfluss der Gleislage erwähnt. Die meisten Forscher haben sich bisher auf eine völlige Linearisierung de~ Problems beschränken müssen, da ein Problem mit nicht-linearen Faktoren nahezu unlösbar war. Die Situation hat sich aber erheblich geändert. Mit Hilfe der jetzt bestehenden sehr grossen Digital- und Anlog':'Rechenmaschinen können die Probleme der parasitären Bewegungen eines Eisenbahnfahrzeuges eingehender untersucht werden.

In der vorliegenden Dissertation wird das Problem der Schlingerbewegung eines zwei-achsigen Fahrzeuges (man denke hierbei an ein Drehgestell) behandelt, und zwar unter Be-rucksichtigung einiger im wesentlichen nichtlinearer Elemente. Diese sind die Begrenzung der Bewegung durch das Vorhandensein von Spurkränzen, was im Grunde dadurch zum Ausdruck kommt, dass man die wirklichen Radreifen- und Schienenkopfprofile beruck-sichtigt sowie das Reibungsgesetz, das die Tangentialkraft und die Normalkraft in der Beruhrungsfläche verbindet.

Grosse Aufmerksamkeit wird der AiIfstellung der Bewegungsleichungen für dieses Pro-blem gewidmet. Dabei wird die sogenannte Theorie erster Ordnung in ihrer Gesamtheit durchgeführt.

Für die Lösung werden zwei Methoden nebeneinander verwendet, und zwar die ana-lytische Methode, wobei man sich selbstverständlich auf Annäherungs-Berechnungen be-, schränken solI, und die numerische I ntegrati on, die im, Grunde zu einer exakten Lösung der Bewegungsgleichungen führt. Ausführlich wird auf einige Annäherungsmethoden ein-gegangen, die sich fiir eine analytische lösungsweise nichtlinearer Systeme eignen, wel-che zu Grenzzyklen führen. Es sind dies beispielsweise die harmonische Bilanz und die Methode äquivalenter Gleichungen.

Die Berucksichtigung der tatsächlichen Radreifen- und Schienenkopfprofile bei den analytischen Berechnungen ist nahezu unmöglich. Diese sehr wichtige nichtlineare Grösse wird in der nachstehend angegebenen Weise der Berechnung zugänglich gemacht. Der Teil des Radreifens und des Schienenkopfes, an dem die Beruhrung grösstenteils stattfin-det, lässt sich sehr gut dadurch annähern, dass man die Schnittkurven dieser zwei räum-lichen Oberflächen mit der quer zum Gleis befindräum-lichen Fläche als Parabeln betrachtet. Dies ruhrt in den Differentialgleichungen zu linearen Gliede'rn. Die Begrenzung der Rad-satzbewegungen durch die Spurkränze ist gekennzeichnet durch eine Stosserscheinung. Die-se ArbeitsweiDie-se hat sich als besonders zufriedenstellend erwieDie-sen. Hiermit kann sogar das System auf drei Freiheitsgrade ausgedehnt werden. Es sei an dieser Stelle an die Bewe-gungen beider Radsätze und beispielsweise an die Rollbewegung gedacht.

so dass das System autonom ist. Es erge ben sich dann aber in den meisten Fällen kriti-sche Geschwindigkeiten, die erheblich höher sind als die in der Praxis auftretenden. Ei-ne Erklärung hierrur bildet der Einfluss der Gleislage. Urn diesen Einfluss etwas besser kennen zu lernen, wurde ei ne Berechnung angestellt, bei der davon ausgegangen wurde, dass die Ausweichungen in waagerechter Richtung der beiden Schienen sinusförmig sind, die Spurweite jedoch als kO.llstant angenommen wurde. Dies fiihrt zu einem nichtautono-men nichtlinearen System. Urn das Verhalten derartiger Systeme kennen zu lernen, wur-de die. bekannte Differentialgleichung von Van der Pol mit harmonischen rechten Glied einer Untersuchung unterzogen. Es besteht zwar ein ziemlich umfangreiches Schrifttum über dieses Problem, aber man findet nirgends eine Lösung bzw. eine Annäherungslösung, die rur den ganzen Frequenzbereich gültig ist und die man dann der exakten Lösung, d. h. der mit Hilfe numerischer Integration gefundenen, gegenüberstellt. Es hat sich gezeigt, dass eine gute LQsung mit Hilfe von Annäherungsmethoden möglich ist, die im Grunde ziemlich einfach sind und daher bei verwickelteren Systemen angewandt werden können. Die vorliegende Dissertation enthält somit eine ziemlich ausruhrliche Studie über dieses

Problem. Die Berechnungen für den Fall ei nes sinusförmigen Gleises zeigen, dass Ampli-tuden von 2-3 mm die kritische Geschwindigkeit bereits erheblich senken ~nnen.Da die Ausweichungen der beiden Schienen in der Praxis, sogar bei sog. sehr gutem Gleis, min-de stens 3 - 5 mm betragen, ist es klar, dass die Gleislage eine sehr grosse Rolle spielt. In der Praxis sind die Ausweichungen der Schienen keineswegs sinusförmig, haben dage-gen einen mehr oder weniger willkürlichen Charakter. Dies ruhrt uns in den Bereich der stochastischen Erscheinungen. Über das Verhalten solcher Erscheinungen und über die Methoden zu ihrer Lösung bei nichtlinearen Systemen ist noch nicht viel bekannt. Bei den weiteren Untersuchungen wird sich die Aufmerksamkeit insbesondere auf den Ein-fluss der Gleislage richten.

T ABLE DES MA TIERES

1.

Introduction

.!.!.

Généralités

E.

Sommaire historique

11.

Définition du modèle 14. Aperçu de la dissertation

1.

Notations et signes

1.

Observations fondamentales

11.

Méthode de Lagrange

32. Méthode du bilan harmonique 33. Méthode des équations équivalentes 34. Processus d'intégration numérique

.1;. Etablissement des équations de mouvement 4.1. Coordonnées

42. Observations géométriques et cinématiques 421. Transformation des trièdres

422. Coopération entre caisse et essieu 423. Coopération entre voie et essieu 424. Déplacements virtuels

425. Observations cinématiques

43. Formes des profils du bandage et du rail 44. Observations dynamiques

441. Energie cinétique 442. Energie potentielle 443. Forces généralisées

45. Relation entre les forces au point de contact rail - roue 46. Equations de mouvement

461. Cas général 462. Vitesse constante

~. Recherches ~ 1 'aide des méthodes approximatives : système autonome ~. Système ~ deux degrés de liberté

ID

.

Equations de base 512. Cas linéaire

513. Solution du problème non-linéaire 514 .. Percussion de I 'essieu arrière

515. Percussion ~ 1 'endroit des deux essieux 516. Bandages coniques et cylindriques 517. Stabilité des cycles-limites 518. Observations supplémentaires 519. Résultats de calculs numériques

pag. 1 1 4 6 8 11 17 17 18 25 32 38 39 40 41 44 45 52 53 57 73 73 74 75 77 80 81 83 86 86 87 92 95 106 108 109 110 117 119

52. Influence du roulis 521. Equations de base-522. Solution

523. Conditions accessoires 524. Observations sur la stabilité 525. Résultats de calculs numériques

53. Influence d'une masse qui exécute un mouvement latéral 54. Approximation des profils par des polynömes

541. Equations de base 542. Solution

543. Résultats de calculs numér-iques 55. Observations sur la loi de frotte ment

551. Loi de frottement linéaire 552. Loi de frotte ment non-linéaire

56. Influence d'un couple élastique et d'un couple de frotte ment 561. Couple élastique

562. Couple d'un amortissement linéaire 563. Couple d 'un amortissement sec

pag. 126 127 129 136 146 147 157 159 159 161 163 165 166 169 173 174 176 177

.§. Recherches à l'aide des méthodes approximatives: système non-autonome 183

.21..

Equation différentielle de Van der Pol avec un membre de droite 184

62.

ID.

Système autonome 184

. 612. Système non-autonome ' 188

ID.

Cas spéciaux 197

614. Discussion de diverses méthodes Voie sinusoidale

621. Equations . de base 622. Solution

623. Bandages cylindriques

624. Ca1culs concernant la stabilité 625. Résultats de ca1culs numériques

205 209 209 211 220 222 225

1.

Ca1culs à l'aide d'une intégration numérique 233

235 235 238 242

x

71. Bogie sur une voie parfaitement droite et avec des profils d'usure

lli.

Equations de base

712. Programme 713. Résultats

72. Bogie sur une voie parfaitement droite et avec des bandages neufs 252

721. Equations de base 253

722. Programme 256

723. Résultats 256

73. Bogie sur une voie parfaitement droite et avec des profils d'usure (deuxième série)

74. Bogie sur une voie sinusoidale

75. Calcul numérique du problème dans Ie cas de percussions 751. Equations de base et méthode de résolution 752. Résultats

76. Système avec trois degrés de liberté 761. Equations de base

762. Résultats

~. Recherches expérimentales

JU

.

Description de la m.éthode

82. Résultats obtenus et comparaison avec ,les résultats du calcul

2.

Observations finales 91. C onclusi ons 92. Recherches ultérieures 93. Remerciements Littérature pag. 274 276 276 280 283 283 284 288 288 290 297 297 298 299 301

.Ll!.:.

1..:..

INTRODUCTION.

Lorsqu 'un véhicule ferroviaire se déplace sur une voie en alignement on peut. con .. sidérer, en premier lieu, Ie mouvement translatoire Ie long de la voie. On pourrait I' appeler Ie mouvement fondamental. Déjà depuis Ie début de la technique ferroviaire on a étudié ce mouvement. En particulier les problèmes qui sont liés aux résistances, aux accélérations et aux freinages ont été examinés sérieusement. En outre,les calculs des temps de parcours sont effectués à l'aide d'intégration de l'équation de mouvement.

Mais en dehors de ce mouvement fondamental il peut se présenter des mouvements parasites en plusieurs directions, à cause du fait qu 'il existe un certain jeu entre les es-sieux montés et les rails, et entre les eses-sieux montés et la calsse (Ie jeu de ressorts par exemple). Ces mouvements parasites peuvent donner lieu à des forces indésirables et ils conduisent souvent à une diminution du confort pour les voyageurs. En rapport avec l'amélioration de la sécurité et du confort, et à cause de l'augmentation de la vitesse, il est très désirable d'étudier de façon plus approfondie les mouvements para-sites. L'étude de ces mouvements donne lieu à l'intégration d'un système d'équations différenti elles.

La circulation en courbe nécessite une étude séparée. Lorsque Ie rayon de la cour-be et la vitesse sont constants, il peut se présenter un mouvement stationnaire compa-rable au mouvement fondamental et pour l'étude de cette question il faut résoudre un système d'équations algébriques. Ces problèmes sont déjà examinés dès Ie début de ce sièc1e, en particulier en Allemagne, par Uebelacker [1) , Heumann [I,2J et d'autres investigateurs. En plus, aussi en courbe des mouvements parasite.s peuvent se présenter en quelque sorte, et ensuite il y a des problèmes séparés concernant les courbes de rac-cordement. Dans cette dissertation. nous ne traiterons pas la marche en courbe.

Nous n'attirerons pas non plus spécialement l'attention sur Ie fait que pour les vé-hicules ferroviaires il est fréquent que les essieux ne soient pas assemblés directement à la caisse, mais qu 'il y a des bogies séparés. Les problèmes qui intéressent les loco-motives sont souvent encore plus compliqués. Etant donné que Ie traite ment théorique du problème est très difficile nous nous limiterons en général au problème d'un véhi-cule simple tel qu'un wagon de marchandises ou, contrairement à la réalité, Ie jeu entre essieux montés et caisse est négligé aussi bien dans la direction longitudinale que dans la direction transversale.

Nous faisons ces simplifications étant donné que, contraire ment à d'autres investi-gateurs, nous ne nous contentons pas de traiter Ie problème linéarisé. La linéarisation du problème apprend seulement si Ie mouvement fondamental est stabie ou non. Le comportement réel du véhlcule peut toutefois être déterminé uniquement en considé-rant les équations différentielles complètes, qui sont fortement non-linéaires. .

.!.b..

Généralités.

Un véhicu1e ferroviaire est composé d~ quelques masses individuelles, qui en géné-ral sont couplées par divers éléments élastiques comportant un amortissement plus ou moins grand. Comme déjà mentionné ci~avant, à cause des jeux entre les diverses mas-ses, un véhicule ferroviaire peut exécuter des mouvements parasites, qui sont superposés

au mouvement fondamental. Ces mouvements peuvent être causés par Ie fait que chac-une des deux files de rails présente des déviations géométriques (ces déviations étant faibles par' rapport à l'écartement de la voie). Dans ce cas Ie tem ps se présente expli-eitement dans les équations différentielles, et on parle d'un système non-autonome. Les mouvements parasites sont alors des oscillations forcées. En l'absence de ces déviations Ie temps ne se présentera pas dans les équations différentielles qui gouvement les mou-vements parasites. Le système est alors autonome. Des moumou-vements parasites peuvent se produire également dans ce cas dans certaines eirconstances, à cause du phénomène de "génération"; ces mouvements sont alors des auto-oscillations. Toutefois, un tel phéno-mène ne peut se produire que lorsqu'une certaine s~ce d'énergie se présente dans Ie système. Mais en réalité les mouvements ne peuvent pas augmenter de fayon illimitée, étant donné que quelques facteurs non-linéaires sont présents et l'on est alors en présen-ce d'un problème .non-linéaire. Les non-linéarités les plus importantes pour notre pro-blèI\le sont les formes des profils du rail et du bandage, et Ie frotte ment au point de contact rail- roue .

En pratique (voir par exemple Sperling [1]) on part souvent des résultats d'une é-tude simplifiée, basée sur des considérations très simples pour déterminer la longueur d' onde du mouvement de lacet d'un essieu ou bien d'un cadre avec deux essieux. On ar-rive alors à une valeur de la longueur d'onde qui ne dépend pas de la vitesse de mar-che. Le calcui de la sUspension de la caisse est alors considéré comme un problème c1assique de vibrations forcées d'un système linéaire, constitué de masses, de ressorts et d'amortisseurs. Une telle méthode n'est pas illogique pour des problèmes compliqués, mais il est connu que la concordance avec Ie pratique n'est pas bonne. C 'est pourquoi nous voulons étudier plus profondément Ie caractère du mouvement de lacet.

Une autre manière d'aborder Ie pi'oblème consiste en une linéarisation complète du système: voir par exemple Carter [1] et Rocard [1 J •. On doit alors se limiter à des calculs de stabilité et d'instabilité. Toutefois il n'est pas sûr que, si pour Ie système linéarisé Ie mouvement fondamental est stabie, les mouvements parasites du système réel s'amortiront également. En outre, à l'aide de considérations linéaires on n'obtient pas d'informations concernant la longueur d'onde, la fréquence, etc. d'un mouvement périodique éventuel des mouvements parasites. Dans Ie cas d'un problème non-linéaire les mouvements parasites peuvent donner lieu à des mouvements périodiques, soit à des cyc1es-limites. Dans ce cas il est bien possible de calcu1er la longueur d'onde, la fré-quence, etc.

Nou~ avons déjà mentionné deux facteurs non-linéaires qui se pi'ésentent dans Ie.

problème. Ce sont en particulier les formes des pi'ofils du rail et du bandage qui jou-ent Ie rêile Ie plus important. D'une part Ie boudin limitera sans plus les mouvements des essieux, et d'autre part les formes des profils du rail et du bandage ne sont pas cylindriques ou coniques. Le bandage présente déjà après quelques milliers de kilomètres de parcours une forme creuse qui s'écarte considérablement du profil cylindrique ou co-nique. Il y a, par nature, encore quelques autres facteurs non-linéaires dans un problè-me de tel voluproblè-me, mais les deux non-linéarités problè-mentionnées ei-avant constituent en particulier Ie caractère non-linéaire du mouvement de lacet.

Dans la dissertation présente il s'agit en particulier d'étudier Ie problème non-liné-aire. Nous Ie ferons de plusieurs manières. En premier lieu nous tacherons d'examiner 2

Ie problème à l'aide d 'une des méthodes approximatives usuelles pour la détermination des solutions périodiques ou cycles-limites. Une telle méthode a un caractère analyti-que et, dans la suite, nous·l'indiquerons par "méthode analytique". Il est apparu qu'il est possible de Ie faire pour certains systèmes avec deux et même avec trois degrés de liberté. Selon cette méthode on admet qu 'un cyc1e-limite a été atteïnt, et i1 faut ex-aminer les conditions pour qu'un tel cycle-limite puisse exister, ainsi que les quantités qui correspondent au cycle-limite. D'autte part nous étudierons Ie problème à l'aide d' intégrations numériques; Ie modèle peut alors être assez compliqué. Bien qu 'une telle méthode ne soit pas tout à fait exacte, pour simplifier Ie langage dans cette disserta-. tion nous l'appellerons "méthode exacte ".

A l'aide de la méthode analytique on obtient des formules algébriques (simples ou non) par lesquelles la solution pour plus de combinaisons de paramètres peut être déter-minée Ie plus souvent assez rapidement. On trouve à l'aide de cette méthode outre I' un ou plusieurs cyc1es-limites stables également les cycles-limites instables pour autant que ces derniers sont aussi présents. La stabilité demande toutefois une considération sé-parée. Si l'on veut examiner dans Ie cas de plusieurs cycles-limites stables quel cyc1e-limite sera atteint en partant de certaines conditions initiales, il faut appliquer la mé-thode exacte. La mémé-thode analytique est seulement utilisabie pour des systèmes simpli-fiés.

Il est c1air que la méthode exacte de mande beaucoup d'attention et, même à I' aide d'une calculatrice de grande capacité; Ie calcul peut être assez long. Après un grand nombre de calculs on obtient les valeurs des quantités qui correspondent à un seul cycle-limite si Ie cycle-limite existe pour les valeurs choisies des divers paramètres. Il est donc assez difficile d'examiner l'influence d'une variation d'un certain paramètre. En utilisant un machine analogique on n'a pas, en général, cette objection. Un cycle-limite trouvé est certainement stabie, mais on ne sait pas au préalable si ce cyc1e-li-mi te est Ie seul cyc1e-licyc1e-li-mite stabie. Il est bien possible qu'en partant d'autres conditi-ons initiales on trouvera un autre cyc1e-limite. La méthode est également utilisabie pour des systèmes plus compliqués, bien que cela dépend de capacité de la calculatri-ce (digitale et analogique). En pratique il est Ie plus efficacalculatri-ce d'appliquer les deux mé-thodes susmentionnées afin de rechercher les propriétés d'un système. C'est ce que nous avons fait dans la présente dissertation.

De nouvelle études concernant Ie mouvement de lacet ont été possibles par la cré-ation de l'Office de Recherches et d 'Essais (ORE, 8,Oudenoord, Utrecht) de I 'Uni on In-ternationale des Chemins de Fer (UIC). A I 'ORE, beaucoup. de problèmes sont exami-nés par des Comités d 'Experts. Les dépenses pour les recherches sont payées par les di-vers es Administrations-Membres. C 'est ainsi que Ie Comité d'Experts C 9 s'occupe du problème d'interaction entre les véhicules et la voie, et l'étude du mouvement de la-cet est un des problèmes de ce Comité d'Experts. Au sein du Comité d'Experts BS2 on étudie expérimentalement les comportements d'un véhicule. A cet effet, un troisième bogie supplémentaire est placé sous un véhicule expérimental et remplira la fonction

du véhicule d'experimentation dont les caractéristiques de construction peuvent être mo-difiées. L'étude qui fait l'objet de la présente dissertation a également pour but de trou-ver une concordance entre les résultats de la théorie et celles obtenues experimentale-ment.

Pour les divers calculs de cette étude plusieurs calculatrices électroniques ont été utilisées: machines IBM 650 et IBM 704, machines Gamma ET et Gamma 30 de la mai-son Bull et X 1 de la Société: Anonyme "Electrologica" à Amsterdam. Les programmes pour ces calcuis ont été préparés par l'auteur et ses collaborateurs.

Faisons remarquer, pour terminer, que nous appliquerons les unités "techniques" pour les diverses grandeurs numériques. Toutefois, pour les forces, nous utiliseroDs couram-ment I 'unité "tonne", et non kgf (kilogrammeforce ), étant entendu que 1 t = 103 kgf ti: 1,02 104. N.

12. Som m a i r e h is tor i q u e .

Depuis que les premiers véhicules ferroviaires circulent sur la voie on a dû considé-rer certains mouvements "parasites" qui sont superposés au mouvement fondamental du véhicule Ie long de la voie. 11 s'agit en particulier du mouvement de lacet. Ce mou-vement de lacet est en premier lieu causé par les bandages coniques qui, au début de l'évolution de la technique ferroviaire, ont été introduits au lieu des bandages cylindri-ques en rapport avec la marche en courbe. Toutefois la forme des bandages coniques (et Ie cas échéant des bandages cylindriques) est mÇ>difiée après un assez court laps de temps. Après un parcours de 3000 km par exemple la forme est tout à fait changée et après 20000 1an environ la forme ne se .modifiera plus beaucoup.

En 1887, Klingel [1] . a déjà indiqué la formule

). a2Tt

V

rb _Y

o

•

(1)

par laquelle la longueur d'onde A peut être calculée pour Ie mouvement d'un seul essi-eu à bandages coniques. Dans cette formule r représente Ie rayon de roulement, b re-présente Ie demi-écartement de la voie, _{et Yo représente la conicité (constante) du} ban-dage. Ce résultat exact est basé sur des considérations pure ment cinémaiiques; un seul essieu peut en effet exécuter un roulement pur si les files de rails d'une voie en alig-nement ont été supposées être des lignes mathématiques. Puis quelques investigateurs se sont occupés du problème d'un bogie à deux essieux (voir l'article synoptique de Koff-man

ti] ).

Dans ce cas on n'a pas un roulement pur, mais il se présentera des glis-sements, et il faut faire un calcul dynamique. Lorsqu 'on considère Ie problème comme linéaire et qu'on supprime l'influence des forces d'inertie, ce qui est Ie cas quand la vitesse tend vers zéro, on trouve que la longueur d'onde ). ·selon (1) doit être multipliée par un certain facteur d'allongement E, dépendant du demi-empatte.ment a et du demi-. écartement b. Les investigateurs Carter [1] ,Cain [1] , Rocard [1] ,Davies [1] et d 'autres ont trouvé

EaV1+~

.

(2)

Cette formule a déjà été indiquée en 1887 par Booecker . [ 1] ., mais il a pris une loi de frottement sec pour Ie rapport entre les forces au point de contact rail-roue. Proba-blement à cause du fait que son calcul est difficilement pénétr·able son résultat est tombé dans I 'oubli. Mauzin [1] partait également d 'une loi de frotte ment sec et il a 4

trouvé la même formule.

Heumann [3] a pris en considération un certain creux des

conicité doit être remplacée par une conicité effective Y_H' ou

p~ YH = p. - p Y 0

o

0

bandages. Pour cela la

(3)

Dans cette expression Po représente Ie rayon de courbure du rail et P~ celui du bandage à l'endroit du point de Contact dans la position centrale. Il y a lieu de faire remarquer

que pour un bandage neuf, c'est-à-dire un bandage conique,

p;=oo

et que pour un

ban-dage creux P~ est du mêine ordre de grandeur que Po' par nature bien un peu plus grand. En outre, une telle formule conduit à la conclusion que des bandages usés

don-nent des qualités de marche plus mauvaises que des bandages neufs. Car, à cause des

bandages creux, la conicité effective Y_{H est plus grande que Yo} ' et la fréquence et les accélérations des mouvements latéraux seront alors plus fortes, alors que nous avons

supposé que les formules données restent valables pour une vitesse quelconque. Ce

phé-nomène est aussi Ie plus souvent constaté en pratique. Toutefois, la considération don-née ci-avant n 'est correcte que dans Ie cas d 'Uh seul essieu qui exécute un roulement pur. Le problème a un caractère cinématique. Lorsque des glissements peuvent se pré-senter , donc dans Ie cas de deux essieux danS un' cadre ou d 'un seul essieu oU une loi de frotte ment linéaire est valable poUr Ie rapport entre la force tangentielle et la force

normale, Ie problème a alors un caractère dynamique. Dans ce cas on ignore Ie plus

sciuvent qu 'un certain creux du bandage exécute une influence stabilisante , puisque dans Ie cas de bandages creux Ie centre de gravité d 'un essieu se déplacera verticalement en -fonction du déplacement latéral; pour des bandages coniques Ie déplacement vertical

peut être négligé en pratique. 11 n'est pas permis d'expliquer, comme nous l'avons fait ci-avant" qu 'en pratique des bandages coniques ont une qualité de marche meilleure que des bandages creux. A cet effet, d'autres facteurs, comme l',état de la voie, doi-vent être, pris en considération et Ie problème devient plus complexe.

Dans divers calculs ultérieurs Heumann [4] a intr<;>duit des forces de glissement en appliquant la loi de frotte ment sec. Il en résulte alors une expression plus compliquée pour Ie facteur E. Heumann a publié beaucoup de calculs, qui sont tous basés sur des considérations statiques, voir par exemple Heumann ,[5] - [7] • D'autres investigateurs ont également introduit les forces de glissement à l'aide de la loi de frotte ment ~ec. Des recherches de Carter [1] , Rocard [1] sont basées sur une étude de la stabili-té du mouvement fondamental et elles sont donc, plus fondamentales que les études de Heumann, etc. Les deux 'partent d'une loi de frottement linéaire, exprimant que les forces de glissement sont proportionnelles à la vitesse relative de la roue par rapport .. au rail.

Il y a encore plusieurs autres investigateurs qui se sont occupés de ce problème. Ci-tons l'étude de Langer [1] , qui a pris en' considération un ressort non-linéaire peur re-présenter la force exercée par Ie rail contre la roue, et l'étude de Chartet [1] , qui a introduit une loi de frotte ment non-linéaire. On peut dire toutefois que presque toutes les études citées ont été effectuées dans Ie domaine linéaire et, en outre, des banda-ges coniques ont été admis.

En 1953 Ie Comité d 'Experts C 9 de l'ORE a organisé un concours pour l'étude du mouvement de lacet. Trois propositions ont été primées, à savoir celles de De Possel, de Boutefoy et de Matsudaira, et elles ont été publiées par l'ORE [1].

La plupart des études, quoique représentant en soi une valeur réelle, ne sont pas très appropriées pour servir de point de départ à des études ultérieures et plus détail-lées. Ces dernières recherches ont été possibles par application des calculatrices élec-troniques. C 'est pourquoi De Pater [1] a fait une étude pour établir les équations de mouvement d'une manière plus exacte; un tel système peut être résolu à l'aide d'inté-gration numérique. Antérieurement déjà De Pater [2,3] avait étudié Ie problème pour la première fois comme un problème non-linéaire en appliquant la méthode de Krylov et Bogoljubov. Dans une solution primée d'un conco~s lancé par l'Institut Colombo à Gênes (Van Bommel [1]) et dans la dissertation présente, l'auteur a étendu les études de De Pater.

Enfin nous mentionnons encore Ie travail très étendu de Borgeaud [1]. Dans cette étude il s'agit principalement de la grandeur des forces en courbe. 11 a indiqué une méthode pour déterminer les forces à I' aide d 'intégration numérique d 'un grand nombre d'équations différentielles non-linéaires.

13. Définition du modèle.

Etant donné la complication des problèmes concernant Ie comportement dun véhi-cule ferroviaire circulant sur la voie, il nous faudra nous restreindre à un modèle sim-plifié.

Dans la figure 1 nous avons indiqué schématiquement"Ie modèle du problème que nous voulons étudier. Le véhicule est composé des deux essieux et d'une caisse qui est

6

"

1 1 1 1 1 1 1 1 / ~-/ / / / I 1 I la C\,o ~~ .L~- -_..1._--.1----;,,~ I / /

L~--'---Ac~---I

':n

I / ' I

\,,1.-

'//

I

supportée à l'aide. de

r

~~

et d'am

~

eurs,

qui sont tous supposés linéaires. Nous ad-mettrons que Ie véhicule est symétrique par rapport à un plan vertical longitudinal aussi bien qu 'à un plan vertical transvers al et que les jeux entre boîtes d 'essieux et les glis-sières sont négligeables. Nous tiendrons compte des formes des profils du bandage et du .

ra.il comme ils se présentent en pratique. En outre, nous partirons d 'une relation entre la force de friction et la force normale aux points de contact rail-roue qui est plus gé-nérale que celle d'un frotte ment sec (Heumann) ou que celle d'un frottement proportion-nel à la vitesse relative de la roue par rapport au rail (Carter, Rocard). Nous simplifi-erons toutefois cette supposition dans divers cas afin d'empêcher que les calculs analy-tiques deviennent trop compliqués.

Nous admettrons que la t'bie est parfaitement rigide et qu 'elle est affectée par des déviations de la forme parfaitement droite dans la direction latérale. Lors de la déter-mination analytique des solutions des équations différentielles nous nous resteindrons au cas oU ces déviations font défaut ou qu'elles présentent un caractère périodique. Dans ce dernier cas nous supposerons que les deux rails ont une forme sinusoi"dale, l'écarte-ment de la voie restant constant.

Une force de traction L s'applique au véhicule en un point de la caisse. Lors des calculs du mouvement de lacet nous supposeroDs que la vitesse de marche est constante; or, dans ce cas la force de traction s'établit de telle sorte que cette vitesse reste con-stante.

De Pater [1] adéduit pour un pareil véhicule les équations de mouvement en par-tant d 'une "théorie de deuxième ordre". Cette méthode revient à la supposition que les forces .s'appliquent au système dévié. Toutefois les calculs ultérieurs deviendraient très compliqués et, étant donné Ie fait que les valeurs des coordonnées restent faibles pendant les mouvements, on peut s'attendre à ce que Ie calcul puisse être simplifié. En exécutant des simplifications de ces équations de mouvement il a déduit dans Ie rapport cité également les équations de mouvement se Ion une "théorie de premier or-dre". Les forces s'appliquent alors au système non-dévié. Afin que la présente disserta-tion forme un tout cohérent, nous établirons encore une fois complètement les équati-ons de mouvement selon une théorie de premier ordre, qui est toutefois un peu plus étendue que cellé de De Pater. Au début du chapitre

.1

nous examinerons encore cette question de plus près.

Lors des calcuis concernant la détermination des solutions des équations différentiel-les, nous étendrons quelques fois les équations de mouvement établiés au chapitre

.1 ,

à certains points. Les essais qui sont effectués au sein du Comité d 'Experts B 52 de I' ORE (voir la partie

11),

sont faits à l'aide d run bogie spécial qui sert de véhicule d' étude, ou l'influence de la caisse est introduite par une force verticale constante au centre du bogie. Afin de pouvoir comparer ies résultats nous introduirons cette force dans notre modèle chaque fois que cel a paraît nécessaire.

Les équations de mouvement appartenant au modèle donné peuvent être utilisées aussi peur Ie cas oU nous considérerons un bogie sans traverse danseuse et ou l'influen-ce de roulis de la caisse est portée en compte. A eet effet, neus remplas:ons Ie poids et Ie moment d'inertie auteur d'un axe longitudinal par les demi-valeurs des quantités correspondantes de la caisse d 'un véhicule à deux bogies, et neus supposons en plus

que cette caisse reste paraIlèle à la voie. II est évident que cette méthode n 'est pas parfaitement correcte, mais en première approximation elle nous permet d 'étudier l'in-fluence du roulis de la caisse sur Ie comportement d'un bogie.

De la même manière il est possible d 'étudier Ie cas ou Ie bogie a une traverse danseuse, mais oU les ressorts à pincettes sont infiniment rigides. La caisse peut alors exécuter seulement un mouvement latéral et nous supposerons que la caisse reste paral-lèle à la voie. Les équations de mouvement de ce problème ont la même constitution qu.e celles du problème du roulis, et nous les déduirons dans la partie correspondante. II est opportun de répéter l'observation faite à la partie

1.!

que deux facteurs non-linéaires se présentent dans notre modèle, à savoir les formes des profils et la loi de frottement pour Ie rapport entre les forces de friction et la force normale à l'endroit des points de contact rail-roue. Cependant, nous sommes en présence d'autres non-liné-arités. Les forces normales, par exemple, ne sont pas constantes et ce fait cause aussi une non-linéarité. Toutefois, de teIl es non-linéarités ne sont pas d'importance essenti-elle et Ie caractère non-linéaire de notre problème sera gouverné principalement par les deux facteurs non-linéaires nommés ci-dessus.

14. Aper~u de la dissertation.

Dans Ie chapitre

1

nous consacrons quelque attention à un nombre de sujets fonda-mentaux, notamment:

- la méthode de Lagrange, que nous utiliserons en établissant les équations de mouve-ment;

- des méthodes pour étudier d'une faron approximative ceux des problèmes non-linéai-res, pour lesquels la solution peut être présentée par une fonction harmonique; nous y trouvons aussi bien la méthode du bilan harmonique que la méthode d'établissement des équations équivalentes; De Pater [3] était Ie premier qui a appliqué ces métho-des aux problèmes du mouvement de lacet;

- des processus de l'intégration numérique.

L'établissement des équations de mouvement du véhicule dont Ie modèle a déjà été défini dans la partie

lJ,

est donné dans Ie chapitre

1"

oU une théorie complète de pre-mier ordre sera établie.

Dans les chapitres ~ et .§. nous ferons suivre les calculs approximatifs, qui sont tout à fait analytiques. Par rapport à un calcul à l'aide d'une intégration exacte, cette mé-thode a l'avantage de conduire à des formules, avec lesquelles on peut trouver facile-ment l'influence d'un certain paramètre. Le chapitre ~ traite Ie problème autonome, ou nous supposons que la voie est parfaitement droite; puis Ie chapitre .§. est consacré au problème non-autonome, oU la voie est affectée par des déviations périodiques,

présen-~ant une forme sinusoïdale. La non-linéarité qui est considérée en particulier, consiste

dans la forme des profils et nous utiliserons une loi de fl'ottement linéaire.

II est évident qu 'il est impossible d 'introduire dans un calcul analytique les formes exactes des profils, mais nous ferons une approximation tant peur Ie rail que pour Ie bandage à l'aide d'une-par-abole, et l'influence du boudin est introduite pour ainsi dire par un galet; au moment oU la déviaiion d'un essieu est égale au demi-jeu de la voie

Ie rail produira une percussion contre Ie galet. 11 appara1'tra qu 'il est plus commode de remplacer chacune des grandeurs qui déterminent l'influence des formes des profils par une fonction parabolique de la déviation de l'essieu; spécialement pour des profils usés cette méthode convient bien, mais pour d~s profils neufs cela ne va pas si correcte ment. L'introduction de la percussion donne aussi une très bonne approximation ainsi que nous Ie verrons plus tard.

La partie 51 traite en principe Ie problème essentiel du mouvement de lacet d'un véhicule ferroviaire ou deux degrés de liberté sont considérés, à savoir Ie déplacement latéral du centre et Ie déplacement angulaire autour d 'un axe vertical. 11 y a toUtefois quelques autres degrés de liberté qui influencent Ie .mouvement de lacet; proprement dit. A cet effet nous donnerons dans la partie 52 l'influence du roulis de la caisse sur Ie mouvement de lacet. Les équations différentielles tenant compte de cette influence peu-vent être interprétées de deux manières comme· indiqué déjà dans la partie

11

.

Dans la partie 53 nous examinerons Ie cas ou une masse est placée sur Ie· bogie de telle sorte que la masse peut exécuter seulement un mouvement latéral par rapport ·au bogie: Le modèle pour ce calcul représente un bogie avec une traverse danseuse ou les ressorts à pincettes ont une rigidité infinie.

Dans la partie 54 nous approcherons Ie mouvement de lacet avec deux degrés de li-berté aussi selon une deuxième méthode. Nous n'introduirons pas Ie phénomène de la percussion comme facteur non-linéaireJmais les profils seront représentés approximative-ment par des polynomes d'un degré élevé. 11 apparaîtra que cette méthode est moins fa-vorable, certainement pour des systèmes plus compliqués. Dans la partie 55, nous · exa-minerons pour Ie système autonome jusqu 'à quel point la supposition d'une loi de frotte-ment linéaire est admissible. Bien que dans cette dissertation des problèmes non-linéai-res seront étudiés, nous donnerons toutefois dans la partie 56 quelques calculs concernant les systèmes linéaires. Nous y examinerons l'influence d'uil couple élastique et d'un cou-: ple de frottement s'opposant au pivotement de lacet d'un bogie. Le cas d'un frotte ment sec (facteur non-linéaire) sera également traité.

Le comportement d'un véhicule avec deux degrés de liberté, qui se déplace sur une voie affectée de déviations latérales sera étudié dans Ie chapitre

&.

On est alors en pré-sence d'un système non-autonome. Peur un tel système la solution est en général, com-posée de plus d'un seul terme, et plusieurs fréquences joueront un role. Le traitement de ces problèmes est évidemment assez difficile. En plus, Ie comportement des systèmes non-linéaires non-autonomes est peu connu. Pour nous mettre au courant des calculs de systèmes non-autonomes, nous avons exécuté une étude préliminaire, en choisissant un

système un peu plus simpIe, notamment l'équation différentielle de Van der Pol avec membre de droite. 11 est vrai que Ie comportement du système a été déjà étudié par divers investigateurs, entre. autres Van der Pol ,[I] ,Andronov et Witt [I] ,mais dans la littérature on trouve peu de renseignements sur la comparaison des résultats d'un cal-cul approximatif et ceux obtenus à l'aide d'une intégration numérique. L'étude que nous avons fait nous montre qu 'il est possible d 'obtenir une très i?onne compréhension à l'aide d'une méthode assez simpIe. En outre, nous donnerons un grand nombre de valeurs nu-mériques précises qui nous permettent de faire une bonne comparaison de la solution ap-proximative avec la solution exacte. Ces motifs justifient que l'étude de ce problème

est introduite dans la présente dissertation, et elle se trouve dans la partie 61. Le problème ferroviaire sera examiné dans la partie 62. Les résultats obtenus du problème de Van der Pol justifient qu 'en première instance on peut se limiter au cas oU la solution peut être représentée par un seul terme, ayant la même longueur d'onde que les déviations des files de rails. Nous examinerons les conditions qui doivent être remplies pour que cette supposition soit admissible. Dans Ie chapitre

Z,

ou nous donne-rons des résultats obtenus par intégration numériques; nous recherchedonne-rons brièvement ce qui se passe lorsque ces conditions ne sont pas remplies.

Dans Ie chapitre

Z

les résultats d 'une intégration numérique de diverses équations différentielles ont été présentés. Dans ces calculs les formes complètes des profils sont prises en considération, ainsi que la loi de frotte ment non-linéaire. Nous donnerons aus-si les organigraI:\1mes et les programmes en langage FORTRAN qui ont été utilisés pour les calculs numériques. Les organigrammes et Ie programme serviront certainement pour les calculs ultérieurs à l'aide d 'une intégration numérique. D 'autre part, nous avons effec-tué quelques intégrations numériques pour un modèle simplifié afin d'étudier à quel point les résultats obtenus par des méthodes approximati yes correspondent à ceux trouvés par une intégration numérique.

Enfin, dans Ie chapitre .§ sont donnés les résultats obtenus par des essais du bogie spécial et nous les comparerons avec les résultats des études effectuées.

b.NOTATIONS ET SIGNEs.

Les quantités qui se rapportent à un certain essieu sont affectées de l'indice i; i .= 1 indique l,'essieu avant et i = 2 indique l'essieu arrière. En outre, nous ajouterons l'in-.dice j si la quantité se rapporte à un certain coté; j = 1 indique Ie coté droit (vu dans

Ie sens de marche) et j

=

2 indique Ie coté gauche. Une combinaison ~ ou .. de signes signifie que Ie signe supérieur se réfère au coté droit et Ie signe inférieur au cêté gau-che.

Un vecteur est indiqué par une lettre surmontée d'un trait. Lorsqu'une quantité est soulignée cela veut dire que cette quantité est sans dimension. En général nous avons supprimé cette indication.

Les notations de presque ·toutes les quantités utilisées sont données ei-dessous. Les quantités qui se présentent une seule fois ne sont toutefois pas mentionnées. Un nombre entre parenthèses indique Ie chapitre oU la quantité se présente pour la première fois . 11 y a plusieurs quantités qui ont été essentiellement définies par une formule; dans ce cas Ie numéro de la formule est indiqué et, dans quelques càs, par deux formules lors-que la définition est différente.

al = coordonnée

o· x·

du centre o~ de l'essieu par rapport au trièdre (0· .

x·

,y.

,z· )

(41)

b = demi-distance des points de contact A_ij (42)

b_r

=

demi-distance entre les deux boîtes d'un essieu; nous admettons (42) que la demi-distance entre les deux ressorts et entre les deux

amortisSeurs est aussi égale à b_r

C = rigidi té totale des ressorts (44)

C

=

rigidité d 'un couple élastique (56)

Ckl,c~1

=

coefficients particuliers apparaissant dans les équations équivalentes (33) Cv = rigidité latérale de la voie; les résultats obtenus sont valables (51)

pour cv-co

déviation latérale de la ligne centrale de la voie à l'endroit de (42) l'essieu i

.0 = écart de l'écartement constant de la voie (43)

ei

=

écart de l'écartement de la voie à l'endroit de l'essieu (42)

, (11) = fonction déterminant Ie profil du rail (42)

'·(11·)= fonction déterminànt Ie profil du bandage (42)

'ij = flexion sous charge d 'un ressort (42)

9 accélération de la force de gravité (44)

h di stance du centre de masse de la caisse jusqu 'au plan (x· ,0· ,y.) (42)

indice de l'essieu (41)

indice du coté (42)

k

=

indice d'une coordonnée nécessaire (31)

k = amortissement total des amortisseurs (44)

k

=

amortissement d'un amortisseur de remplacement d'un couple (56) de frottement

=

longueur de comparaison

m = nombre de coordonnées nécessaires

m_kl = facteur de masse

n ij = normale au rail au point de contact

n~. = 'normale au bandage 'au point de contact IJ

0,0·= voir x,x· 0i = voir xi

o~ centre de masse de I 'essieu i I

P

vecteur avec les composantes 0,

v,

W

Pi vecteur avec les composantes ui,V i

,w

i qk coordonnée nécessaire

r

= rayon du cercle de roulement

ro,r,

= amplitudes dans la solution de l'équation de Van der Pol

r

=

vecteur avec les composantes x

,y

,Z

F·

=

vecteur avec les composantes

1t:

,y. ,.z·

Fi

=

vecteur avec les composantes _{xi 'Y i ,Zi}

-.

I · ·

·

r , == vecteur avec es composantes _{Xi 'Y i 'Zi}

F··= vecteur avec les composantes x~·,y~·,z··

I I I I

r·_IJ . = quantité se rapportant à la loi de 'frottement non-linéaire

r k = amplitude dans la solution pour qk

S = abcisse Ie long de la voie

s·

= somme de S et U

SgC,Sgl= déplacements se rapportant respectivement aux forces Ge et G i

t

=

temps

tXij't_yij

=

tangentes au rail au point de contact

u

=

quantité auxiliaire se rapportant au déplacement dans la di-rection OX

Ui ,Vi 'W_i

=

composantes du déplacement de o~ par rapport au trièdre

(oi,xi'Yi'Zi) Uxöj'U:

ij = coefficients dans 1 'expression

u .. ,ü·,.

=

coefficients dans l'expression

YIJ Y.J . - '1' .

pour _{u xij} pour u .. Y'J u . u . = quantites aUXl laues

XYI' XYI •

v,w déplacements de 0 dans les directions oY et .zo

X,y,Z axes d'un trièdre de référence d'origine 0 se mouvant Ie long de la voie

X· ,y·

,z·

Xi,yi,Zi

axes d 'un trièdre d 'origine 0·' fixé à la caisse

axes d'un trièdre de référence d'origine

o,

se mouvant Ie long de la voie

x~,y~,z~= axes d'un trièdre d'origine

07

dont l'axe 07Y~ coïncide avec l.'axe de révolution de I 'essieu i

x~·,y~·, z· .. ·= axes d lun trièdre d 'origine o~ fixé à l'essieu i

I I I I

12

xk'Yk = coefficients de cos wt et sin wt dans la solution pour qk

Y

=

déplacement absolu latéral d 'u ne masse placée sur Ie bogie Yij

=

différence entre '!J;j et ''!Jij

(§..!..16a ) (31 ) (31 )

(42)

(42)

(41) (41) (41)

(42)

(42)

(31)

(42)

(61)

(42)

(42)

(42)

(42)

(42)

(55) (32) (41) (46)

(44)

(31)

(42)

(12; 3)

(42)

(55) (55) (55)

(42)

(41) (41) (41) (41) (41) (32) (53}

(42.45)