Kolokwium z analizy funkcjonalnej czerwiec 2Ot4

f ---

-a Imię

i

nazwisko Numer indeksu

Studia stacjonarne, specjalność ...,

Kolokwium z analizy funkcjonalnej czerwiec 2Ot4

Kńdę

zadanie jest oceniane w skali od ⁰ do 5 punktów-

1. Wykaaać, że _ll ^. _|| jest

nolmą

w m2

i

wyznaczyć kulę domlmiętą

B(0,1)

dla tej normy, jeŚli

||{a,rz)l| ::

max

{|rl,|rz|,|r, - ^rrl}

dla

(r1, 12)

e

^R.2.

2. Niech E :

^LL(0,4).

Określmy operator A ^jako (a/Xr) : (4r - ^{g)/(r) dla} / ^{€ ,E.}

^Po-

kazń,

ze (i)

,a: E

^--,+

E;

(ii) A

^jest

liniowy i

ograniczony;

(iii)

obliczyć normę

dla A.

3.

Niech

'l'

będzie zbiorem

niepusĘm. Dla l e 'l' ozlasz,uny

f t dla s:t.

et(s)

- l

I o dla s€T _\{t}.

Spravrdzić, że

{et}r.rjest

^układem ortonorma}nym w

przestrzeń l2(T)

-tzw. przestrzeń z mi,arq li,czqą.

(Wsk.

Dla r,

_u

ę tz(T)

okreslamy

{x,a) ,-!,,ęrx(r)y{r) oraz

_||r||

,: ft-nr*'a.)

4.Niech H:L2(0.,1)

(i)

Zastosować

ortonormalizacjęGrama-Schmidta

^{do wektoróvr}

fr(x):r,, fz(r) : -łz ^H-

(i1) Zna\eźć wektor

z przesttzeń M

rozpiętej na wektorach _f

, ⁱ f,

najbtizej położony wektora

g(r) :2u -

^3_

(iii) Obliczyć

długość w przestrzeni

J/

znalezionego urektora.

5. F\rnkcję

r

^: _[0, ^{rr] ---+ R,} olceśloną jako

z(t) :

t przedstawić w postaci flrmy szeregu

DŁo

oecos(&t), uźywając rozwinięcia ^{w szeleg} Fouriera względem trygorrometrycznego układu ortonormalnego zupełnego vr

przestrzeni,L2([-r,

^zr]),

3n'łJ:3

Ę (r)*.f.(r}= x ls,lŁ

$ ^u,r,lad,*.

€łfr)=ffi| ₌ 6= ^fir

b*tr)= {-fu) * 1t ^(Ą€r(,)) ć,b)

⁼

-}ł -ę ,Ę|* _*

"'*,

{ {e(r}l(r(.ry- §'-ro. Srotr Brł}rłŁ'='*

illo.|iŁ _!u' 6r,-Fłr, Ł'ęr", ^lołn=

o

ń= ^{ft^} tfr, ł*3- ^tto _t ^f,, e.t , ^{rrn)ęłyl ń§Ięł|L} _xbĘLrn ^aa,,

x/1,łlo;Łfrń U

h(r} = 11(r)prfi)} J'ge e{r) ł ^<$ (r),eł{r}) _{er_(x) =}

z {rr*.ri ^{xdx .{$* +} {{-rl ^{Wtąx_xe) drffft**ł*}

= 1rL ^I.U fi.ć-łr)*rl ^{+ 6o[Ęr,xł)} _{[ I'6*-ł}{} łr-*ło*J :

(

( Y-

Ęl Ęł

Nq

Ł .ż

2J

rt

x-]

) ,?

nĄ

4, Ę

"i

+

,Ii ttL

*,(

(

9. 8

w

1.x

Lr

,*)

r- 3

,Fł

{

+

(

)

x L 1 bq ,?

,+

-x

|0

,(

x t

lO

ż ż

|Ą

,łl

){

6r

l(ż

a

+" rh

+

8t ^€

4

-.q f

b.- ł

l

-.(

l

3 :

Ir

*

),

Ykr-Ą'*Łl}*łr}d*}

*

łonął -f ,*)},l-

x ,Ł

-- )Y

)

=

ź,,

&,

) fu 'r, ł

- -tl-ry /.l

?

-Ęl _{t Eo} (f,r*,1 (b)=

i

llhłl=W

+\.j/Ź!\- -/

[ildĘ- ^at.

{ctłoł't ^do ilnrrŁ

:, :i : h*,, ^,.1 ,-.-."Ji

Ffifi.|'e ,

^..,.1

.ł,3i-i.,f,l

._

iro-ąe;ył)ltx=

-!

= ń ^{(* f:t rlr:*,(f }|ł- nńt} _{*-. "g)} ⁼

tlo*,tc ft,F"{-

t&ffłłrs ^aŁnntm,ąe.

ąrymdłd=.

' 1 ] .:,:'