METODA FUNKCJI WPŁYWU W ANALIZIE CZĘSTOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH

METODA FUNKCJI WPŁYWU W ANALIZIE CZĘSTOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH

ELASTYCZNIE PODPARTEGO PRĘTA OBCIĄŻONEGO CIĘŻAREM WŁASNYM

Jerzy Jaroszewicz

^1a

, Krzysztof Kamil Żur

^1,2b

1

Wydział Zarządzania, Politechnika Białostocka

2

Wydział Mechaniczny, Politechnika Białostocka

a

j.jaroszewicz@pb.edu.pl,

^b

k.zur@pb.edu.pl

Streszczenie

W pracy zastosowano metodę funkcji wpływu do rozwiązania zagadnienia brzegowego drgań giętnych pionowego pręta obciążonego wzdłużnie ciężarem własnym. Wyprowadzono równanie charakterystyczne pozwalające obliczyć podstawowe częstości drgań własnych pręta. Wyższe częstości drgań można oszacować, stosując wzory i tablice Bersteina-Kieropiana. W celu pokazania możliwości prezentowanej metody zamodelowano stalowy komin o stałej grubości obciążony ciągłym rozłożonym wzdłuż osi ciężarem własnym. Obliczono podstawowe częstości drgań ko- mina oraz pokazano wpływ ciężaru własnego na ich wartość.

Słowa kluczowe: funkcja wpływu, drgania własne, podparty pręt

THE METHOD OF INFLUENCE FUNCTION

IN FREE VIBRATION ANALYSIS OF SUPPORTED BAR WITH LOADED DEADWEIGHT

Summary

In this work method of influence function in solution of boundary value problem of free vibration of elastic loaded bar was used. Characteristic equation for solution of basic frequency was achieved. Tables and equations of Berntein and Kieropian in calculation of higher basic frequency was presented. Chimney with constant thickness with continuous loaded by deadweight was modeled. Basic frequency of free vibration of chimney was calculated.

Influence of deadweight on value of basic frequency of chimney was presented.

Keywords: influence function, free vibrations, supported elastic bar

1. DEFINICJA FUNKCJI WPŁYWU

Z literatury [1,2,3] wiadomo, że liniowe równanie różniczkowe n rzędu:

L[ ] ≡ ( ) ^{( )}+ ( ) ^{( )}+ ⋯ + = ( − ) (1) Dla którego < < i < < oraz ( ) > 0, posiada następującą ostać rozwiązania standardowego (fundamentalnego):

∅

( , ) ≡ ( , )Θ( − )

(2) które można nazwać funkcją wpływu.

We wzorze (2) ( , ) – jest funkcją Cauchy^’ego, tj.

rozwiązaniem równania jednorodnego L[ ] = 0 odpowia- dającego równaniu (1), które spełnia następujące warun- ki:

( , ) = 0, ( , ) = 0, …,

^{( )}

( , ) = 0,

( )

( , ) =

( ) (3)

Właściwość tę udowadnia się, korzystając ze znanych zależności [13]:

Θ ( ) = ( ), ( ) ( − ) = ( ) ( − )

(4) jeśli ( ) = 0 to ( ) ( − ) ≡ 0 i wykorzystując warunki (3), otrzymano kolejno:

( , ) = ( , )Θ( − ),…,

^{( )}

( , )Θ( − ), ( , ) = ( , )Θ( − ) +

_{( )}

( , )

(5) Podstawiając (5) do (1), ostatecznie otrzymano:

L[ ] = (

−

) [ (

,

)]

+

(

−

)

= ( − )

(6) Stąd wniosek, że podstawowe rozwiązanie ( , ) jest dowolnym rozwiązaniem równania L[ ] = 0.

W pracach [1, 4] pokazano również, że jeśli z prawej strony równania (1) występują kolejne pochodne od delty Diraca, to równanie wyjściowe ma postać:

L[ ] = (

−

)

, ( = 1,2,3, … , )

(7) a rozwiązaniami tego równania są cząstkowe pochodne rozwiązania podstawowego (2) względem parametru :

= (−1) ^∅ (8)

Właściwość tę udowadnia się następującymi zależno- ściami:

= (−1) ^∅ = (−1) ^∅ ,

[∅] = (−1) ( ( − )) = ( − ) , (9) Autor pracy [5] udowodnił, że jeśli z prawej strony równania występuje dowolna funkcja ( ):

L[ ] ≡ ( ) ^{( )}+ ( ) ^{( )}+ ⋯ + ( ) = ( )(10) to rozwiązanie ogólne tego równania można przedstawić za pomocą funkcji K(x,) w następującej postaci:

= ∑ + ∗ ( , ) , (11)

gdzie: – dowolne stałe, ∗ ( , ) – rozwiązanie szcze- gólne równania (10), dla którego jest znany wzór Cau- chy^’ego [6]:

∗ ( , ) = ∫ ( , ) ( ) (12)

2. ELASTYCZNIE PODPARTY PRĘT O STAŁYM PRZEKROJU OBCIĄŻONY CIĘŻAREM

WŁASNYM

Dla elastycznie podpartego pręta, układ współrzęd- nych umieszczono na swobodnym jego brzegu (rys. 1).

Pozwala to na znaczne uproszczenie równania charakte- rystycznego.

N(x)

1

Cp

 EI(x)

0 y

l

x

Rys. 1. Model elastycznie podpartego pręta o stałym przekroju, obciążonego ciężarem własnym

Dalsze uproszczenie uzyskano w szczególnym przy- padku stałego przekroju pręta tzn. ( ) = , ( ) = . Elastyczne zamocowanie pręta może być scharakteryzo- wane za pomocą współczynnika sprężystości podpory:

= (13)

gdzie oznacza stałą sprężystości.

Zależnie od wartości stałej sprężystości przegubu uzy- skano różne warunki sprężystego podparcia pręta ( = ∞ przypadek wspornika, = 0 przypadek przegu- bu).

Zmienną siłę osiową N(x), pochodzącą od masy własnej pręta, można zapisać przy pomocy wyrażenia:

( ) = (14)

gdzie: q = mg oraz g oznacza przyspieszenie ziemskie.

Zagadnienie brzegowe może być opisane za pomocą następujących równań:

+ + + = 0 (15)

(0) = 0, (0) = 0, (1) = 0,

(1) + Ψ (1) = 0 (16)

gdzie: = , = . Podstawiając wyrażenie [7]:

( , ) = ( , ) + ̇ ( , ) + ̈ ( , ) +

+ ( , ) (17)

do (16) otrzymano równanie charakterystyczne w posta- ci:

Δ = + Ψ | _, = 0 (18)

gdzie:

( , ) = ( , ) + ( ) ( , ) ( , ), C₀, C₁, C₂, C₃ -dowolne stałe,

( , ) - funkcja Cauchy^’ego równania Eulera L[y] = 0, - parametr,

= ̈ − ̈ , = ̈ − ̈ .

Powyższe funkcje F02 mogą być przedstawione w postaci szeregów:

= ∑ !( _{, ,} − _{, ,} ) (19)

w których współczynniki _, i _, określa się za pomocą następujących wzorów rekurencyjnych:

, = −( − 3) _, − _,

, = −( − 3) _, − _, (20)

dla wartości początkowych:

, = 1, , = , = , = 0,

, = −1, _, = = _, = 0 (21)

W rezultacie otrzymano równanie charakterystyczne w postaci szeregów potęgowych, których współczynniki wyznaczono w wyniku przekształceń symbolicznych przy użyciu komputerowego oprogramowania.

∆= ( + + + + ⋯ ) +

+ ( + + + + ⋯ ) = 0 (22)

gdzie:

= 1 −1

3! +4

6! −28

9! +280

12! −

−3640

15! +58240

18! −1106560

21! + ⋯

=2 4! −18

7! +200

10! −2760

13! +

45920

16! −897124

19! +20155503

22! + ⋯

= 8

8! −192

11! +4184

14! −96360

17! +

2422115

20! −66832057

23! + ⋯

Współczynniki szeregu charakterystycznego (22) są szybko zbieżnymi szeregami potęgowymi i dlatego do obliczeń inżynierskich wystarczy uwzględnić dwa, trzy człony. Dwa pierwsze miejsca zerowe wyżej wymienione- go równania obliczone metodą iteracyjną dają pierwszą i drugą częstość drgań własnych. Na rys. 2 pokazano wykresy parametrów dwóch pierwszych częstości drgań własnych i w zależności od parametru obciąże-

nia v przy wybranych wartościach parametru sztywno- ści zamocowania.

Rys. 2. Parametry dwóch pierwszych częstości dla elastycznie podpartego pręta, obciążonego liniowo zmienną siłą osiową

3. ANALIZA CZĘSTOŚCI DRGAŃ WŁASNYCH STALOWEGO

KOMINA OBCIĄŻONEGO CIĘŻAREM WŁASNYM

Wykorzystując parametry geometryczne i masowe komina z Elektrociepłowni Białystok S.A., obliczono wartość współczynników A0, A1, A2 oraz ich pochodne wchodzącego do szeregu charakterystycznego (22).

Wyniki przedstawiono w tabeli 2 dla różnych parame- trów obciążenia ∈ 〈0 ÷ 6〉 określającego ściskanie.

Uwzględniając trzy pierwsze człony szeregów potęgo- wych, wyprowadzono ogólne równanie charakterystycz- ne:

∆= + + ( + ) + ( + ) = 0 (23)

Tab. 1. Wartość współczynników A₀, A₁, A₂ i ich pierwszych pochodnych w zależności od obciążenia

 A

₀

A

₁

A

₂

A

₀^I

A

₁^I

A

₂^I

0 1 0.0833 0.00019 1 0.3333 0.00016 1 0.840 0.0790 0.00019 0.5326 0.3089 0.00015 2 0.6883 0.0764 0.00019 0.1278 0.2855 0.00015

Tab. 1. c.d.

3 0.5479 0.0731 0.00018 -0.2188 0.2631 0.00015 4 0.4173 0.0699 0.00018 -0.5111 0.2418 0.00015 5 0.2959 0.0668 0.00018 -0.7535 0.2214 0.00015 6 0.1833 0.0638 0.00018 -0.950 0.2019 0.00015

Przy znajomości trzech współczynników a₀, a₁, a₂ szeregu charakterystycznego (23), można obliczyć esty- mator podstawowej częstości drgań własnych, wykorzy- stując wzory Bernsteina-Kieropiana [8, 14, 15, 16]:

= (24)

= (25)

= (26)

gdzie:

estymator dolny podstawowej częstości drgań;

- estymator górny podstawowej częstości drgań;

- wartość średnia estymatora podstawowej częstości drgań własnych.

Mając obliczone trzy pierwsze współczynniki równa- nia sekularnego a0, a1, a2, można obliczyć estymatory trzech wyższych częstości drgań oraz czwartą, przybliżo- ną. Bernstein i Kieropian opracowali wzory na estyma- tory wyższych częstości oraz zależności występujące między nimi stablicowali [4]. Wykorzystując współczyn- niki równania charakterystycznego, obliczono stosunek

/ z zależności:

= , = − 2 (27)

Znając stosunek liczb / , odczytano z tablicy [4]

wartości , , , , , , a następnie obliczono estymatory górne i dolne wyższych częstości, wykorzy- stując wzory:

( ) = , ( ) = , _≈ (28)

gdzie:

( ) - dolny estymator, ( ) - górny estymator,

=^{( ) ( )} - wartość średnia i-tego estymatora.

W tabeli 2 i tabeli 3 przedstawiono wyniki obliczeń uwzględniające współczynniki a0, a1, a2 równania charak- terystycznego (23) i podstawową częstość drgań wła- snych komina w zależności od obciążenia ściskającego ∈ 〈0 ÷ 6〉.

Tab. 2. Współczynniki równania charakterystycznego i podsta- wowa częstość drgań komina w zależności od obciążenia ściska- jącego (dla zamocowania = 4)

0 5 0.6665 0.00092 2.7533

1 3.8926 0.6249 0.00091 2.5073 2 2.881 0.5911 0.00091 2.216 3 1.972 0.555 0.00087 1.8898 4 1.1581 0.5214 0.00087 1.4931 5 0.4311 0.4886 0.00087 0.9389 6 0.2168 0.4571 0.00087 0.689

Tab. 3. Współczynniki równania charakterystycznego i podsta- wowa częstość drgań komina w zależności od obciążenia ściska- jącego (dla zamocowania = 200)

0 201 16.9933 0.03816 3.4868 1 168.53 16.1089 0.03815 3.2761 2 137.788 15.5655 0.03815 3.008 3 109.361 14.8831 0.03815 2.7355 4 82.9489 14.2218 0.03815 2.4333 5 58.23 13.5619 0.03815 2.0841 6 35.71 12.9619 0.03815 1.6667

Na rysunku 4 przedstawiono wykresy funkcji

= ( ) dla = 4 i = 200.

Rys. 4. Wykresy przebiegu funkcji = ( ) dla dla komina sprężyście zamocowanego = 4 i = 200

4. WNIOSKI

W pracy wykorzystano metodę szeregów charaktery- stycznych oraz funkcję wpływu w analizie sprężyście zamocowanego pionowego pręta, obciążonego ciężarem własnym. Zastosowane metody stanowią alternatywę do powszechnie stosowanych metod rozwiązywania zagad- nienia brzegowego tego typu [14,15]. Człony szeregu charakterystycznego opisane zostały szybko zbieżnymi szeregami potęgowymi. Pokazano, że dokładne wyniki obliczeń (z błędem poniżej 1%) dwóch pierwszych czę- stości własnych można otrzymać przy uwzględnieniu trzech pierwszych członów szeregu. Jakościowo zbadano wpływ parametru obciążenia na dwie pierwsze częstości własne przy wybranych wartościach współczynnika

sprężystości zamocowania. Na wykresach uwzględniono, obok ściskania (v > 0), również rozciąganie (v < 0).

Analogicznie do pręta zamodelowano komin z Elektro- ciepłowni Białystok S.A. oraz obliczono na podstawie wyprowadzonych wzorów współczynniki szeregu charak- terystycznego, a następnie estymatory podstawowej częstości drgań własnych. W obu przypadkach (pręt i komin) widać wzrost podstawowej częstości wraz ze wzrostem → ∞ oraz spadek częstości podstawowej drgań wraz ze wzrostem obciążenia → ∞ Zaproponowa- na metoda może być wykorzystywana do rozwiązywania bardziej skomplikowanych przypadków, charakteryzują- cych się nieliniowymi funkcjami opisującymi sztywność, masę i obciążenie belki, a także posiadającymi dyskretne wtrącenia w masę ciągłą oraz w sprężyste podłoże.

Literatura

1. Vladimirov V.S.: Urawnenija matiematičeskoj fiziki. Moskwa: Nauka, 1959.

2. Zoryj L.M.: K razvitju analitičeskich metodov issledovanija zadač dinamiki uprugich i gidrouprugich system, ,,Mat. Metody i Fiz.-Mech. Pola” 1978, vol. 5, s. 93-96.

3. Zoryj L.M.: K primeneniju obobščennych funkcji v analitičeskich metodach issledovanija složnych uprugich sistem. ,,Dokl. AN USSR” 1978, nr 11, s. 991-994.

4. Zoryj L.M.: Rasčoty i ispytanija na pročnost’, Metodičkije rekomendacji. Moskwa: GOSTSTANDART SSSR, 1987.

5. Zoryj L.M.: Pro odnu fundamentalnu vlastyvist’ funkcji vplyvu. ,,Dop. AN USSR” 1978, nr 9, s. 805-808.

6. Stepanov V.V.: Kurs differencialnych uravnenij. Moskwa: GITTL, 1957.

7. Jaroszewicz J., Zoryj L.M.: Izgibnyje kolebanija i dinamičeskaja ustojčivost’ balok s peremennymi parametrami.

„Prikladnaja mechanika” 1994, nr 9, s. 75-81.

8. Bernštein S.A. and Kieropian K.K. : Opredelenije častot kolebanij steržnevych system metodom spektralnoj funkcii. Moskwa: Gosstroiizdat, 1960.

9. Jaroszewicz J. and Zoryj L.: Analysis of the bending curve and critical load of a variable cross-section beam by means of influence method. ,,Journal of Theoretical and Applied Mechanics” 1994, Vol. 2, No. 32, p. 429-437.

10. Jaroszewicz J.and Zoryj L.: Transversal vibrations and stability of beams with variable parameters. ,,Int. Appl.

Mech.-Eng. Tr.” 1996, No. 30, p. 713-720.

11. Jaroszewicz J. and Zoryj L.: Critical Euler load for cantilever tapered beam. ,,Journal of Theoretical and Ap- plied Mechanics” 1996, Vol. 4, No. 34, p. 843-851.

12. Jaroszewicz J., Zoryj L.M.: Metody analizy drgań i stateczności kontynualno-dyskretnych układów mechanicz- nych. Białystok: Ofic. Wyd. Pol. Białostockiej, 1997.

13. Jaroszewicz J., Zoryj L.M.: Metody analizy drgań osiowosymetrycznych płyt kołowych z zastosowaniem funkcji wpływu Cauchy’ego. Białystok: Ofic. Wyd. Pol. Białostockiej, 2005.

14. Szmidla J., Wawszczak A. : Drgania swobodne kolumn o optymalnym kształcie ze względu na wartość obciąże- nia krytycznego poddanych obciążeniu eulerowskiemu. „Modelowanie Inżynierskie” 2009, nr 38, s. 205-212.

15. Szmidla J., Kluba M.: Stateczność i drgania swobodne niepryzmatycznego układu smukłego poddanego obciąże- niu eulerowskiemu. ,,Modelowanie Inżynierskie” 2011, nr 41, s. 385-394.

16. Jaroszewicz J., Żur K.K.: Wpływ pierścieniowej masy skupionej na drgania własne płyt kołowych z typowymi warunkami brzegowymi. „,Biuletyn Wojskowej Akademii Technicznej WAT” 2012, vol. 61, nr 4, s. 103-114.

17. Jaroszewicz J., Żur K.K.: Metoda funkcji wpływu w analizie częstości drgań kuli sprężystej. ,,Biuletyn Wojsko- wej Akademii Technicznej WAT” 2012, vol. 61, nr 4, s. 115-122.