BADANIA SYMULACYJNE WPŁYWU DRGAŃ KONTAKTOWYCH STYCZNYCH NA SIŁĘ TARCIA W RUCHU ŚLIZGOWYM

BADANIA SYMULACYJNE WPŁYWU DRGAŃ KONTAKTOWYCH STYCZNYCH NA SIŁĘ TARCIA W RUCHU ŚLIZGOWYM

M

L

, P

G

Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Szczecińska e-mail: mariusz.leus@ps.pl, pawel.gutowski@ps.pl

Streszczenie. W pracy przedstawiono wyniki analizy wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłuŜnych na siłę tarcia w ruchu ślizgowym. Badania symulacyjne przeprowadzono przy wykorzystaniu dwóch modeli tarcia:

klasycznego modelu Coulomba pomijającego spręŜysto-plastyczne charakterystyki styku oraz modelu Dahla uwzględniającego zarówno podatność kontaktową styczną styku, jak i zjawisko tzw. przesunięcia wstępnego. Uzyskane wyniki porównano z danymi doświadczalnymi zawartymi w cytowanej literaturze.

Znacznie lepszą zgodność z tymi danymi uzyskano przy prowadzeniu obliczeń z wykorzystaniem modelu Dahla.

1. WSTĘP

Zagadnienie wpływu drgań kontaktowych na siłę tarcia jest przedmiotem licznych prac teoretycznych i doświadczalnych prowadzonych w okresie ostatnich kilkudziesięciu lat w wielu ośrodkach naukowo-badawczych w kraju i zagranicą.

Z prac tych wynika, Ŝe siła tarcia moŜe zostać w istotny sposób zmniejszona przez wzbudzenie mikrodrgań zarówno w kierunku normalnym [5,6], jak i stycznym do płaszczyzny styku [7-14].

W przypadku drgań w kierunku stycznym liczną grupę stanowią prace badawcze przeprowadzone w zakresie drgań ultradźwiękowych. Drgania te wykorzystywane są między innymi w obróbce skrawaniem w celu zmniejszenia oporów skrawania [8,9,14].

W wielu prowadzonych w ostatnim dziesięcioleciu pracach [7-9] opisujących wpływ mikrodrgań stycznych wzdłuŜnych na siłę tarcia wykorzystywane są jeszcze modele bazujące na klasycznym modelu tarcia Coulomba, który nie uwzględnia mikrodeformacji nierówności powierzchni stykających się ciał, tzn. nie uwzględnia podatności kontaktowej styku. Zgodnie z załoŜeniem tych modeli obniŜenie siły tarcia związane jest z cykliczną, chwilową zmianą znaku wektora tej siły, występującą w kaŜdym okresie drgań pod warunkiem, Ŝe amplituda prędkości drgań jest większa od składowej stałej prędkości ruchu ślizgowego. Zjawisko to, określane z ang. jako friction vector effect, jest powszechnie uwaŜane za jeden z głównych mechanizmów obniŜenia siły tarcia w ruchu ślizgowym przy wymuszonych mikrodrganiach stycznych wzdłuŜnych [7-10,13,14].

Wyniki obliczeń siły tarcia przy wykorzystaniu tych modeli wykazują jednak dość znaczne rozbieŜności w porównaniu z wynikami badań doświadczalnych [7-9]. Znacznie lepszą zgodność moŜna uzyskać, wykorzystując tzw. dynamiczne modele tarcia, uwzględniające

podatność kontaktową styku w kierunku stycznym, takie jak: model Dahla [3], model LuGre [2], czy teŜ model Duponta [4].

W niniejszej pracy przedstawiono wyniki obliczeń symulacyjnych wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłuŜnych na siłę tarcia z zastosowaniem modelu Coulomba oraz modelu Dahla. Otrzymane wyniki porównano z wynikami badań eksperymentalnych przeprowadzonych przez Littmanna i in. [9] w zakresie drgań ultradźwiękowych o częstotliwości f = 60 kHz.

2. PODSTAWOWE ZALEśNOŚCI MATEMATYCZNE

Klasyczny model tarcia Coulomba nie uwzględnia podatności kontaktowej styku.

W pracach opisujących wpływ drgań kontaktowych stycznych wzdłuŜnych na siłę tarcia FT

bazujących na tym modelu, siła ta podczas ruchu określana jest zaleŜnością:

( )

C

T F v

F = ⋅sgn (1)

gdzie:

N

C F

F =µ⋅ (2)

Wielkość FC jest siłą tarcia Coulomba, µ współczynnikiem tarcia, a FN reakcją kontaktową normalną do powierzchni styku. Z zaleŜności (1) widać, Ŝe w modelu tym siła tarcia jest stała co do bezwzględnej wartości, a moŜe się zmieniać jedynie jej znak, w zaleŜności od znaku względnej prędkości ślizgania v_r.

W modelu Dahla uwzględniona jest podatność kontaktowa styczna styku i zjawisko przesunięcia wstępnego. Nierówności powierzchni tworzących styk (rys. 1) powstałe w wyniku obróbki mechanicznej modelowane są za pomocą mikrospręŜyn, które pod wpływem obciąŜenia stycznego odkształcają się w kierunku zgodnym z siłą oporu tarcia. Jeśli odkształcenie jest wystarczająco duŜe (siła tarcia osiągnie wartość siły tarcia rozwiniętego), następuje zerwanie więzi i poślizg.

Zgodnie z załoŜeniem modelu Dahla przemieszczenie x sztywnego ciała ma charakter spręŜysto-plastyczny i moŜe być rozłoŜone na dwie składowe – spręŜystą z i plastyczną w (rys. 1):

w z

x= + (3)

Rys. 1. Rzeczywisty styk i model Dahla ukazujący rozłoŜenie całkowitego przemieszczenia x ciała sztywnego na składową spręŜystą z i składową plastyczną w

Składowa spręŜysta związana jest ze spręŜystym odkształceniem nierówności powierzchni styku w kierunku stycznym. Odkształcenie to moŜna opisać równaniem róŜniczkowym [3]:

( )

F v k

dt dz

r C

t

r 

 



 − ⋅ ⋅

⋅

= 1 sgn (4)

Parametr α występujący w tym równaniu określa kształt krzywej zaleŜności przemieszczeń stycznych od siły stycznej. Bliman [1] podaje, Ŝe dla materiałów kruchych wartość tego parametru mieści się w przedziale 0 < α < 1, zaś dla materiałów spręŜysto-plastycznych α ≥ 1.

Siłę tarcia w modelu Dahla wyznacza się z zaleŜności:

z k

F_T = _t ⋅ (5)

gdzie:

kt – współczynnik sztywności kontaktowej stycznej.

3. BADANIA SYMULACYJNE 3.1. Badany obiekt

W obliczeniach symulacyjnych do opisu wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłuŜnych na siłę tarcia przyjęto model, w którym ciało A o masie m porusza się z prędkością względną vr względem podłoŜa B (rys. 2).

Rys. 2. Model przyjęty do obliczeń Prędkość vr jest superpozycją dwóch prędkości składowych vc i vv:

v c

r v v

v = + (6)

gdzie: v_c – oznacza składową stałą (v_c = const), związaną z ruchem w skali makroskopowej (bez drgań), zaś v_v oznacza składową zmienną v_v = v_v(t) wywołaną wzbudzonymi drganiami kontaktowymi (ruch w skali mikroskopowej).

Zakładając, Ŝe drgania wymuszone mają charakter harmoniczny, składową zmienną moŜna wyrazić w postaci:

( )

( )

v_v = _a⋅cosω⋅ (7)

ω

⋅

= _a

a x

v (8)

gdzie:

va – amplituda prędkości drgań wymuszonych, xa – amplituda drgań wymuszonych,

ω – częstość kołowa drgań wymuszonych (ω = 2πf ), t – czas.

W obliczeniach przyjęto wartości parametrów drgań wymuszonych identyczne z tymi, jakie przyjął Littmann i in. [9] w badaniach doświadczalnych wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłuŜnych na siłę tarcia, a więc częstotliwość f = 60 kHz i amplituda x_a = 0.7 µm.

Ponadto przyjęto następujące dane: masa kostki m = 0.02 kg, współczynnik tarcia kinetycznego µ = 0.1, parametr α = 1 oraz współczynnik sztywności kontaktowej stycznej k_t = 0.056 N/µm.

Dla przyjętych wartości częstotliwości f i amplitudy drgań x_a, amplituda prędkości drgań wymuszonych wynosi va = 0.264 m/s. Obliczenia siły tarcia przeprowadzono dla ciągu wartości prędkości względnej vr, w którym składowa stała vc była mniejsza, równa i większa od amplitudy prędkości drgań v_a. W obliczeniach przyjęto następujące wartości składowej stałej v_c: 0.324, 0.264, 0.230, 0.199, 0.146 i 0.095 m/s.

Wartość siły FT w przypadku modelu Coulomba wyznaczano z zaleŜności (1), zaś w przypadku modelu Dahla z zaleŜności (4) i (5).

Obliczenia numeryczne przeprowadzono na modelu sporządzonym w środowisku obliczeniowym MATLAB/SIMULINK.

3.2. Wyniki obliczeń

Przykładowe wyniki obliczeń dla przyjętych wartości parametrów przedstawiono w postaci graficznej na rys. 3 i 4. Na rys. 3 przedstawiono czasowe przebiegi przemieszczenia x, prędkości względnej vr i siły tarcia FT, gdy amplituda prędkości drgań va jest mniejsza lub równa składowej stałej vc, natomiast na rys. 4 przedstawiono przebiegi czasowe tych parametrów, gdy v_a > v_c.

Rys. 3. Czasowe przebiegi x, vr i FT , gdy amplituda prędkości drgań va jest mniejsza lub równa składowej stałej v_c; a-c) v_a = 0.264 m/s < v_c = 0.324 m/s, d-f) v_a = v_c = 0.264 m/s Z wykresów przedstawionych na rys. 3 widać, Ŝe w przypadku ruchu, dla którego amplituda prędkości drgań wymuszonych va jest mniejsza lub równa wartości stałej vc

prędkości ruchu ślizgowego, wyniki obliczeń siły tarcia z wykorzystaniem obydwu modeli są jednakowe (rys. 3c i 3f) – siła ta nie ulega zmianie w czasie ruchu (F_T = const), co oznacza, Ŝe w takim przypadku drgania kontaktowe styczne nie mają wpływu na siłę tarcia.

Odmienna sytuacja występuje w przypadku, gdy amplituda prędkości drgań kontaktowych stycznych va jest większa od składowej stałej prędkości vc. Wtedy wyniki obliczeń siły tarcia zaleŜą wyraźnie od przyjętego modelu (rys. 4c i 4f).

Rys. 4. Czasowe przebiegi x, v_r i F_T, gdy amplituda prędkości drgań v_a = 0.264 m/s jest większa od składowej stałej vc; a-c) vc = 0.230 m/s, d-f) vc = 0.095 m/s

Dla modelu tarcia Coulomba, dla wszystkich przypadków, gdy spełniony jest warunek v_a > v_c, w wyniku zmiany znaku względnej prędkości ślizgania v_r następuje natychmiastowa zmiana znaku siły tarcia FT.

Wyniki obliczeń siły tarcia z wykorzystaniem modelu Dahla pokazują jednak, Ŝe zmiana chwilowej siły tarcia F_T w obecności drgań kontaktowych stycznych, przy spełnionym warunku v_a > v_c, nie następuje w sposób skokowy. Przy małych róŜnicach między v_a i v_c wartość chwilowej siły tarcia ulega obniŜeniu bez zmiany jej znaku (rys. 4c). Przy duŜych róŜnicach między va a vc chwilowa siła tarcia maleje stopniowo do zera, po czym następuje zmiana jej znaku i jej narastanie w kierunku przeciwnym (rys. 4f). Związane jest to ze zmianą kierunku odkształceń spręŜystych występów chropowatości względem toru ruchu ciała sztywnego (rys. 5).

Dla obydwu analizowanych modeli, dla kaŜdej rozpatrywanej wartości prędkości vc przy drganiach wymuszonych stycznych o amplitudzie prędkości va = 0.264 m/s, wyznaczono średnią siłę tarcia F w jednym okresie drgań T = 2π/ω. Siłę tę wyznaczono z zaleŜności: _T

Rys. 5. Wykresy ilustrujące związek siły tarcia FT z odkształceniem spręŜystym z chropowa- tości powierzchni styku; a) va = 0.264 m/s < vc = 0.324 m/s, b) va = 0.264 m/s > vc = 0.095 m/s

( )

∑

∆ ∆

⋅ +

⋅ ⋅

= ⋅ ⁿ

i T

T t F t i t

F

2 π 1

ω (9)

gdzie:

n – liczba kroków czasowych,

∆t – długość kroku czasowego.

Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 1 w formie porównawczej z wynikami badań doświadczalnych przedstawionych przez Littmanna i in. [9].

Tabela 1. Porównanie wyników obliczeń z wynikami badań doświadczalnych przeprowadzonych przez Littmanna i in. [9]

Prędkość v_c , m/s

Średnia siła tarcia F , N _T

Model Coulomba Model Dahla Doświadczenie, na podstawie [9]

0.324 0.264 0.230 0.199 0.146 0.095

0.0196 0.0196 0.0131 0.0107 0.00724 0.00454

0.0196 0.0196 0.0181 0.0156 0.0109 0.00662

0.0197 0.0187 0.0179 0.0168 0.0112 0.00772

Z podanego zestawienia widać, Ŝe znacznie lepszą zgodność obliczeń średniej siły tarcia z wynikami badań doświadczalnych, przy wymuszonych drganiach kontaktowych stycznych wzdłuŜnych, uzyskuje się w przypadku analiz prowadzonych z wykorzystaniem modelu Dahla niŜ w przypadku klasycznego modelu tarcia Coulomba.

Wartość siły tarcia wyznaczona z modelu Dahla jest funkcją sztywności styku w kierunku stycznym. Stąd teŜ ilościowe rozbieŜności między wynikami uzyskanymi z tego modelu a wynikami uzyskanymi z modelu Coulomba zaleŜą w sposób istotny od sztywności styku w tym kierunku i będą malały w miarę jej wzrostu. Problem ten zilustrowano w tabeli 2, w której zestawiono przykładowe wyniki obliczeń średniej siłę tarcia F w jednym okresie _T drgań T dla va = 0.264 m/s i vc = 0.230 m/s, dla styków o róŜnej sztywności stycznej. Wartości pozostałych parametrów, w przedstawionym przykładzie obliczeniowym, przyjęto takie same jak w przykładzie poprzednim.

Tabela 2. Wartości średniej siły tarcia F według modelu Coulomba _T i modelu Dahla w zaleŜności od sztywności styku

Współczynnik sztywności styku

kt , N/µm

Średnia siła tarcia F , N _T Model Dahla Model Coulomba 0.060

0.120 0.250 0.500 1.000 2.000

0.0180 0.0172 0.0160 0.0147 0.0139 0.0135

0.0131

4. PODSUMOWANIE

Z przeprowadzonej analizy widać, Ŝe wyniki obliczeń siły tarcia przy wymuszonych drganiach stycznych wzdłuŜnych wyraźnie zaleŜą od przyjętego modelu tarcia. Znacznie lepszą zgodność z danymi doświadczalnymi uzyskuje się, stosując model Dahla, który, w przeciwieństwie do modelu Coulomba, uwzględnia podatność kontaktową styku w kierunku stycznym.

Wyniki obliczeń przeprowadzonych z wykorzystaniem tego modelu wskazują, Ŝe siła tarcia w ruchu ślizgowym przy wymuszonych drganiach kontaktowych stycznych wzdłuŜnych moŜe ulec zmianie bez wystąpienia zmiany znaku wektora tej siły. Na tej podstawie moŜna stwierdzić, Ŝe wynikający z prawa Coulomba i dotychczas jeszcze przyjmowany przez wielu autorów pogląd, Ŝe głównym mechanizmem zmniejszenia siły tarcia w ruchu ślizgowym w obecności drgań kontaktowych stycznych wzdłuŜnych jest zjawisko cyklicznej, chwilowej zmiany znaku tej siły w świetle uzyskanych wyników, nie został potwierdzony.

LITERATURA

1. Bliman P.A.: Mathematical study of the Dahl’s friction model. ”European Journal of Mechanics”. A/Solids, 11, 1992, s. 835-848.

2. Canudas de Wit C., Olsson H., Aström K.: A new model for control of systems with friction.: IEEE Transactions on Automatic Control”, 40, 3, 1995, s. 419-425.

3. Dahl P.R.: Solid friction damping of mechanical vibrations. “AIAA Journal”, 14, 12, 1976, s. 1675-1682.

4. Dupont P., Hayward V., Armstrong B., Altpeter F.: Single state elasto-plastic friction models. IEEE Transactions on Automatic Control, 47, 5, 2002, s. 787-792.

5. Grudziński K., Kostek R.: Influence of normal micro-vibrations in contact on sliding motion of solid body. “Journal of Theoretical and Applied Mechanics”, 43, 1, 2005, s. 37-49.

6. Hess D.P., Soom A.: Normal vibrations and friction under harmonic loads: Part I -hertzian contacts. “Journal of Tribology”, 113, 1991, s. 80-86.

7. Kumar V.C., Hutchings I.M.: Reduction of the sliding friction of metals by the application of longitudinal or transverse ultrasonic vibration. Tribology International, 37, 2004. s. 833-840.

8. Littmann W., Storck H., Wallaschek J.: Sliding friction in the presence of ultrasonic oscillations: superposition of longitudinal oscillations, Archive of Applied Mechanics, 71, 2001, s. 549-554.

9. Littmann W., Storck H., Wallaschek J.: Reduction of friction using piezoelectrically excited ultrasonic vibrations. Proceedings of SPIE’s 8th Annual International Symposium on Smart Structures and Materials, Washington, 2001, s. 302-311.

10. Mitskevich A.M.: Motion of a body over a tangentially vibrating surface, taking into account of friction. Soviet Physics – Acoustics, 13, 1968, s. 348-351.

11. Sase N., Chandy M., Suzuki K., Kumagai T., Fujii H.: Reduction of friction without lubrication. Proceedings of the International Conference AMPT’95, III, 1995, s. 1298-1304.

12. Sase N., Kurahashi T., Furii M., Kutomi H., Fujii H.: Control of friction coefficient between metal surfaces. Proceedings of the International Conference AMPT’97, II, 1997, s. 609-615.

13. Siegert K., Ulmer J.: Reduction of sliding friction by ultrasonic waves. “Production Engineering”, 5, 1998, s. 9-12.

14. Skare T., Stahl J.E.: Static and dynamic friction processes under the influence of external vibrations. “Wear”, 154, 1992, s. 177-192.

SIMULATION ANALYSIS OF THE INFLUENCE OF THE TANGENTIAL CONTACT VIBRATIONS ON FRICTION FORCE

IN SLIDING MOTION

Summary. In the paper the results of the analysis of the influence of the longitudinal tangential vibrations on the friction force in sliding motion are presented. The simulation investigations were carried out with the use of two various models of friction: the classical Coulomb’s model and the Dahl’s model.

The first of them omits the elasto-plastic properties of contact of the interacting surfaces, and the second one takes into account the deformability of the contact and the presliding phenomenon. The obtained results were compared with experimental data which were found in cited literature. A much better consistency with these data was obtained when the calculations had been carried out with the use of Dahl’s model.