LXII Olimpiada Astronomiczna 2018/2019
Zadania z zawodów III stopnia
1.
Współczesne obserwacje są zgodne z modelem Wszechświata, w którym obowiązuje geometria euklidesowa. W tym modelu tempo ekspansji, opisane za pomocą parametru Hubble’a (H), jest określone przez chwilową gęstość materii (ρ) i stałą kosmologiczną (Λ):H2= 8π G
3 ρ + Λ c2 3 , gdzie c jest prędkością światła, a G – stałą grawitacji.
Oblicz przesuniecie ku czerwieni (redshift), dla którego parametr Hubble’a był 10% większyniżobecnie. Przyjmij, żeobecnawartość parametruHubble’a, tj.stałejHubble’a H0 = 67,8 km
/
(s∙Mpc).Zpraktycznychwzględówwartośćstałejkosmologicznejorazobecną gęstość materii (ρ0), definiujemy za pośrednictwem parametrów ΩΛ i Ωm:ΩΛ= Λc
2
3 H02,, Ωm=
8π G ρ0
3 H02 .
Wynoszą one odpowiednio: ΩΛ=0,692 i Ωm= 0,308.
Brakujące dane liczbowe wyszukaj w Wybranych stałych astronomicznych i fizycznych.
2.
Według teorii Milankovicia, na ziemski klimat wpływają długookresowe zmiany parametrów orbitalnych Ziemi oraz położenia w przestrzeni osi obrotu Ziemi :- mimośród e zmienia się od 0,000055 do 0,0670 w okresie ok. 413 000 lat (obecnie e = 0,017),
- nachylenie płaszczyzny ziemskiego równika do płaszczyzny ekliptyki ε zmienia się od 22,1o do 24,5o w czasie 41 000 lat (obecnie ε = 23,437o ),
- okres ruchu precesyjnego osi obrotu Ziemi T = 25880 lat.
Przyjmując, że stała słoneczna wynosi 1361 W/m 2, a w bezchmurny dzień 49% tego promieniowania dociera do powierzchni Ziemi:
- oblicz maksymalną i minimalną ilość energii E, padającą przez sekundę w południe na 1 m2 powierzchni ziemi, w miejscu o szerokości geograficznej φ = 50o N:
- oszacuj ekstremalne wartości czasu trwania lata i zimy (wynik podaj w dniach), - opisz sytuację, w której parametr E wykazuje najmniejsze zmiany roczne i oszacuj jego wartość.
W obliczeniach przyjmij, że długość roku, długość jednostki astronomicznej, moc promieniowania Słońca oraz właściwości ziemskiej atmosfery pozostają stałe, a precesja orbity Ziemi jest pomijalna.
3.
W dniu 6 czerwca 2017 roku o godzinie T=10:53 czasu uniwersalnego, wykonano obserwacje spektralne Słońca w linii widmowej Na D1 o długości fali λ=589,59 nm, w celu wyznaczenia prędkości rotacji plazmy w fotosferze.Efektywna ogniskowa teleskopu oświetlającego szczelinę wejściową spektrografu wynosiła Feff=10 m. Szczelina wejściowa spektrografu była równoległa do widomego południka centralnego Słońca. Spektrograf wyposażony był w siatkę dyfrakcyjną o N=200 nacięciach/mm, światło ze szczeliny padało na siatkę prostopadle. Obserwacje prowadzone były w 3 rzędzie widma. Ogniskowa kamery spektrografu wynosiła Fspec=10 m. Obraz widma rejestrowano za pomocą linijki CCD umieszczonej w płaszczyźnie ogniskowej spektrografu i równoległej do kierunku dyspersji. Linijka miała kwadratowe piksele o boku DX=0.1 μm.
Teleskop ustawiono najpierw tak, że spektrograf rejestrował widmo centrum tarczy Słońca, a minimum profilu linii Na D1 widoczne było (po interpolacji) w pikselu o numerze N0=1000.0. Następnie teleskop ustawiano kolejno w czterech położeniach tak, że rejestrowano widma materii widocznej tuż przy wschodnim brzegu obrazu tarczy Słońca i w odległościach dokładnie: Z1=8 mm, Z2=14 mm, Z3=20 mm i Z4=26 mm nad równikiem obrazu tarczy Słońca tworzonego przez teleskop na szczelinie wejściowej spektrografu. Dla tych położeń szczeliny minimum profilu linii widmowej zarejestrowano (po interpolacji) odpowiednio w pikselach: N1=1255,7; N2=1244,5; N3=1226,6; N4=1201,1.
Wyznacz prędkość rotacji plazmy w fotosferze Słońca w kierunku równoleżnikowym dla szerokości heliograficznej φ=20 stopni.
W tabeli podano efemerydy do obserwacji fizycznych Słońca dla początku czerwca 2017: Data P0 (00 UT) B0 (00 UT) R0 (00 UT)
4 czerwca 2017 -14.23 -0.31 15’45.99” 5 czerwca 2017 -13.84 -0.18 15’45.86” 6 czerwca 2017 -13.45 -0.06 15’45.74” 7 czerwca 2017 -13.05 0.06 15’45.62” 8 czerwca 2017 -12.65 0.18 15’45.50” 9 czerwca 2017 -12.24 0.30 15’45.39” 10 czerwca 2017 -11.83 0.42 15’45.28” gdzie:
P0 - kąt pomiędzy kierunkiem północnym w układzie współrzędnych geocentrycznych a rzutem osi
obrotu Słońca na sferę niebieską,
B0 - szerokość heliograficzna środkowego punktu widomej tarczy Słońca,
4b.
Cefeidy to młode, masywne gwiazdy pulsujące, które spełniają zależność między jasnością absolutną a okresem pulsacji. Ich obserwacje pozwalają wyznaczać odległości zarówno w Drodze Mlecznej, jak i w Grupie Lokalnej Galaktyk.W p
oniższej tabeli zestawiono wybrane informacje dotyczące kilkunastu galaktycz-nych cefeid: długość galaktyczną (l w stopniach), odległość od Słońca (D w kiloparsekach), ruch własny w długości galaktycznej (μl w milisekundach łuku na rok), a także prędkość radialną względem Słońca (νrad w kilometrach na sekundę).Opracuj algorytm, który na podstawie danych z tabeli pozwoli sporządzić wykres prędkości orbitalnych cefeid w funkcji ich odległości od centrum Galaktyki oraz zinterpretuj uzyskany wykres (który nazywany jest krzywą rotacji galaktyki spiralnej).
W obliczeniach przyjmij, że Słońce porusza się z prędkością 240 km/s po okręgu o promieniu 8,1 kpc wokół centrum Galaktyki. Przyjmij również, że wymienione w zadaniu gwiazdy znajdują się w płaszczyźnie równika galaktycznego.
Lp. Gwiazda l D μl vrad Lp. Gwiazda l D μl vrad
1 V2475 Cyg 73,15 3,57 -4,68 -9,2 8 AB Cam 143,94 4,90 0,33 -36,1 2 AE Vel 276,10 2,33 -6,45 14,3 9 IW Aur 174,77 8,35 0,90 1,0 3 X Vul 63,86 1,06 -4,19 -17,7 10 V340 Ara 335,18 4,46 -6,76 -60,7 4 V364 Sge 54,31 4,34 -4,74 6,8 11 Y Lac 98,72 2,10 -3,96 -17,4 5 FR Car 291,09 3,18 -4,82 -10,7 12 EU Tau 188,81 1,04 2,78 -3,7 6 VZ Mon 200,10 5,38 0,27 28,3 13 V1206 Cas 115,68 4,27 -2,19 -39,7 7 V637 Aur 174,38 4,29 1,73 18,9 14 IO Cas 129,92 11,64 -0,95 -119,2
5.
Zbadaj skutki centralnego zderzenia z Ziemią niewielkiej czarnej dziury, której masa wynosiła 1020 kg (co odpowiada masie sporej planetoidy). W dużej odległości od Ziemi pręd-kość tej czarnej dziury wynosiła 50 km/s.Ścisłe rozwiązanie takiego problemu wymaga stosowania ogólnej teorii względności i jest bardzo skomplikowane. Dlatego w celu uzyskania prostych oszacowań można rozwa-żyć przybliżony model zderzenia. Ze względu na potężne siły w pobliżu czarnej dziury, siły spójności ziemskiej materii można pominąć i przybliżyć tę materię, zbiorem swobodnych cząstek oddziałujących grawitacyjnie wyłącznie z czarną dziurą.
W związku z tym przyjmij, że pomijamy oddziaływania grawitacyjne innych ciał oraz że wszystkie cząstki, które znajdą się bliżej czarnej dziury niż promień ISCO zostaną przez nią wchłonięte, natomiast wszystkie, które przelecą w większej od niej odległości będą poruszały się po orbitach hiperbolicznych zgodnie z mechaniką newtonowską i wchłonięte nie zostaną. Pomijamy również wszelkie inne oddziaływania takie, jak np. wpływ wydzie-lanego promieniowania oraz tarcie dynamiczne.
Rozważając skutki zderzenia, oszacuj masę ziemskiej materii wchłoniętą przez czarną dziurę oraz oceń, czy czarna dziura utknie w Ziemi?
W obliczeniach przyjmij, że promień ISCO: RISCO=6 GM
c2 , gdzie M jest masą czarnej
LXII Olimpiada Astronomiczna 2018/2019
Zadanie 6. zawodów III stopnia
Problem 1. Podaj nazwę gwiazdozbioru o prezentowanej granicy oraz nazwę jednego
gwiazdozbioru z nim sąsiadującego. Nazwa powinna być pełna w języku polskim bądź łacińskim lub w postaci trzyliterowego skrótu IAU (np. UMa).
Gwiazdozbiór z granicami Jeden z sąsiadujących 1 A.
1 B. 1 C. 1 D. 1 E.
Problem 2. Podaj nazwę zaprezentowanej linii lub punktu na niebie.
2 A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 E.
Problem 3. Podaj numer prezentowanego obiektu w katalogu Messiera oraz jego typ.
Numer z katalogu Messiera Typ obiektu
3 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 E.
Po problemie 3. następuje zmiana obrazu nieba.
Problem 4. Na prezentowanym niebie znajdują się dwie planety. Podaj nazwy
gwiazdozbiorów, w których się znajdują oraz współrzędne horyzontalne planet. Nazwa gwiazdozbioru Współrzędne horyzontalne 4 A.
4 B.
Problem 5. W ciągu 3 minut zostanie odtworzone 16 godzin ruchu dziennego sfery.
Prezentowana na niebie linia to południk lokalny. Wyznacz szerokość geograficzną miejsca obserwacji. Odpowiedź uzasadnij rachunkiem.
Wybrane stałe astronomiczne i fizyczne
Jednostka astronomiczna (au) 1,4960 · 1011 m
Rok świetlny (ly) 9,4605 · 1015 m = 63 240 au Parsek (pc) 3,0860 · 1016 m = 206 265 au Rok gwiazdowy 365,2564 doby słonecznej Rok zwrotnikowy 365,2422 doby słonecznej Miesiąc syderyczny 27d 07h 43m 11s,5 Miesiąc synodyczny 29d 12h 44m 02s,9 Doba gwiazdowa 23h 56m 04s,091 Masa Ziemi (M) 5,9736 · 1024 kg Średni promień Ziemi (R) 6,371 · 106 m Mimośród orbity Ziemi (e) 0,01671 Okres precesji osi ziemskiej ~ 25 880 lat Średnia odległość Ziemia–KsięŜyc 3,844 · 108 m Mimośród (średni) orbity KsięŜyca (e) 0,0549
Masa KsięŜyca (M) 7,349 · 10 22 kg Promień KsięŜyca (r) 1,737 · 10 6 m Masa Słońca (M) 1,9891 · 10 30 kg Promień Słońca (R) 6,96 · 10 8 m Średni kątowy promień Słońca (r) 16,0
´
Nachylenie osi obrotu Słońca do płaszczyzny ekliptyki 82,75° Moc promieniowania Słońca (L) 3,846 · 10
26 W Obserwowana jasność Słońca w filtrze V (m) –26,74
m Bolometryczna jasność absolutna Słońca (Mbol ) 4,74
m Temperatura efektywna powierzchni Słońca (T) 5 780 K
Prędkość światła w próŜni (c) 2,9979 · 108 m · s–1
Stała grawitacji (G) 6,6743 · 10–11 m3 · s–2 · kg –1 Stała Stefana–Boltzmanna (σ) 5,6704 · 10–8 W · m–2 · K–4 Stała Plancka (h) 6,6261 · 10–34 J · s
Stała Wiena (b) 2,8978 · 10–3 m · K Aktualna wartość stałej Hubble’a (H) 67,8 km · s–1 · Mpc–1 Aktualne nachylenie ekliptyki do równika (ε) 23°26,3
´
Nachylenie orbity KsięŜyca do ekliptyki (i) 5° 08,7
´
Współrzędne równikowe północnego biegunaekliptycznego w epoce 2000.0 18h 00m 00s ; + 66
°
33,6´
Współrzędne równikowe północnego biegunagalaktycznego w epoce 2000.0 12h 51m ; + 27
°
08´
Uwagi i wskazówki
W astronomii azymut liczymy od punktu S przez W, N, E. Podstawowe wzory trygonometrii sferycznej:
sin a sin B = sin b sin A,
sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos A, cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A.
