Olimpiady Astronomiczne

LIX Olimpiada Astronomiczna 2015/2016

Zawody III stopnia – zadania teoretyczne

1. Dwie gwiazdy ciągu głównego o masach M i m tworzyły układ podwójny o orbitach kołowych. W wyniku ewolucji, bardziej masywny składnik o masie M wybuchł i wyrzucił część swojej masy (ΔM) w przestrzeń międzygwiazdową. Przyjmując, że wybuch był izotropowy, a wyrzucona materia szybko opuściła układ nie przekazując pędu drugiemu składnikowi, oblicz, jaką część swej masy mogła utracić ta gwiazda, by nowy układ podwójny złożony z drugiego składnika i pozostałości po pierwszym, nie uległ rozpadowi.

Przedyskutuj, co w świetle otrzymanego wyniku można powiedzieć o ewolucji ukła-du Syriusza, zbudowanego obecnie ze składnika A o masie mA = 2,0 M⊙ oraz składnika B o

masie mB = 1,0 M⊙, jeśli ocenia się, że początkowa masa Syriusza B wynosiła: mB0 ≈ 5 M⊙.

2. Marsjański orbiter porusza się wokół Marsa po orbicie kołowej, nachylonej do płaszczyzny równika pod kątem i = 80o _{na wysokości h = 100 km nad powierzchnią planety. Zaplanuj}

jedno-razowy manewr zmiany orbity na kołową orbitę biegunową (tj. prostopadłą do płaszczyzny równika) o tej samej wysokości. Silniki orbitera pozwalają uzyskać stałe przyspieszenie a = 0,8 m/s2_{. Manewr ten powinien być oszczędny, tzn. czas pracy silników powinien być możliwie}

najkrótszy. W rozwiązaniu opisz proponowany przebieg manewru zmiany płaszczyzny orbity, określ momenty początku i końca manewru, oszacuj czas działania silników oraz podaj kierunek ustawienia dysz.

W rozwiązaniu ogranicz się do przypadku, gdy orbiter podczas manewru pozostaje cały czas na tej samej wysokości nad powierzchnią Marsa oraz przyjmij jako dane liczbowe: masę Marsa

M = 6,42·10 23 _{kg oraz jego promień R = 3390 km.}

6. Współcześnie, energia promieniowania elektromagnetycznego wypełniającego Wszechświat, stanowi niewielką część energii związanej z materią Wszechświata. Wykaż, że nie zawsze tak było. W tym celu:

a) ustal, jak zmienia się gęstość energii promieniowania i materii barionowej wraz ze zmianą rozmiarów Wszechświata,

b) określ, ile współcześnie wynosi gęstość tych energii wiedząc, że temperatura promieniowania wynosi 2,7 K i jest to promieniowanie ciała doskonale czarnego (czyli wspomniana gęstość opisana jest wzorem: 4σ_c⋅T4 ), a materia barionowa stanowi 5% gęstości krytycznej, wynoszącej:

G H  8 3 2 .

c) uwzględniając dane z punktów a) i b), znajdź wartość przesunięcia ku czerwieni, dla której gęstość energii promieniowania i energii związanej z materią będą równe.

Uwagi:

- wzór opisujący związek przesunięcia ku czerwieni z, z rozmiarami Wszechświata (czynnikiem skali) ma postać:

1   e w R R z _{, gdzie} e w R R

jest stosunkiem rozmiarów Wszechświata (czynników skali) w chwili obecnej (Rw) i w chwili emisji fotonu (Re),

- można przyjąć, że w tym przypadku liczba cząstek, w tym fotonów, nie ulega zmianie w trakcie ewolucji Wszechświata.

Wybrane stałe astronomiczne i fizyczne

Jednostka astronomiczna (au) 1,4960 · 1011 m

Rok świetlny (ly) 9,4605 · 1015 m = 63 240 au Parsek (pc) 3,0860 · 1016 m = 206 265 au Angstrem (Å) 10–10 m

Rok gwiazdowy 365,2564 doby słonecznej Rok zwrotnikowy 365,2422 doby słonecznej Miesiąc syderyczny 27d 07h 43m 11s,5 Miesiąc synodyczny 29d 12h 44m 02s,9 Doba gwiazdowa 23h 56m 04s,091 Masa Ziemi (M_) 5,9736 · 1024 kg

Średni promień Ziemi (R_) 6,371 · 106 m Promień równikowy Ziemi (R) 6,378 · 106 m Mimośród orbity Ziemi (e_) 0,01671

Ostatnie przejście Ziemi przez peryhelium 4 stycznia, 6 h 36 mUT

Średnia odległość Ziemia–KsięŜyc 3,844 · 108 m Mimośród (średni) orbity KsięŜyca (e
) 0,0549

Masa KsięŜyca (M
) 7,349 · 10 22 kg Promień KsięŜyca (r
) 1,737 · 10 6 m Masa Słońca (M) 1,9891 · 10 30 kg Promień Słońca (R_) 6,96 · 108 m

Średni kątowy promień Słońca (r) 16,0

´

Nachylenie osi obrotu Słońca do płaszczyzny ekliptyki 82,75° Moc promieniowania Słońca (L) 3,846 · 10

26

W Obserwowana jasność Słońca w filtrze V (m) –26,8

m

Jasność absolutna Słońca w filtrze V (M) 4,75 m

Bolometryczna jasność absolutna Słońca (Mbol ) 4,85 m

Temperatura efektywna powierzchni Słońca (T) 5 780 K

Prędkość światła w próŜni (c) 2,9979 · 108 m · s–1

Stała grawitacji (G) 6,6743 · 10–11 m3 · s–2 · kg –1 Stała Stefana–Boltzmanna (σ) 5,6704 · 10–8 W · m–2 · K–4 Stała Plancka (h) 6,6261 · 10–34 J · s Stała Wiena (b) 2,8978 · 10–3 m · K Stała Avogadra (NA) 6,022 · 10 23 mol–1 Stała Hubble’a (H) 70 km · s–1 · Mpc–1 Masa atomu wodoru (mH) 1,673 · 10

–27

kg

Elektronowolt (eV) 1,6022 · 10 –19 J Aktualne nachylenie ekliptyki do równika (ε) 23

°

_´

Uwagi i wskazówki

Wzory z trygonometrii sferycznej: sin a sin B = sin b sin A,

sin a cos B = cos b sin c – sin b cos c cos A, cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A.

cos A = sin B sin C cos a – cos B cos C.

W centralnym polu grawitacyjnym wytworzonym przez masę M, ciało o masie m porusza się po krzywej stoŜkowej, z prędkością chwilową υ _{wynikającą z tzw. całki energii: υ}2=G (M +m)(2

r  1 a) ,

LIX Olimpiada Astronomiczna 2015/2016

Zawody III stopnia – zadania praktyczne

Zdjęcie 1.

3. Powyższy obraz został zarejestrowany przez teleskop o średnicy obiektywu D=60cm i ogniskowej F=240cm. Teleskop był wyposażony w siatkę dyfrakcyjną (100 linii na mm) umieszczoną w stałej odległości d przed matrycą CCD (1024 x 1024 piksele, rozmiar piksela 13 x 13 mikrometrów).

W takim układzie każde źródło światła wytwarza obraz widma zerowego rzędu oraz obrazy widm wyższych rzędów. Widmo zerowego rzędu mgławicy M57 widać w pobliżu środka zdjęcia. Z uwagi na sposób żłobienia linii siatki, widmo pierwszego rzędu z prawej strony rzędu zerowego jest wzmocnione, natomiast widmo pierwszego rzędu z lewej strony jest niemal niewidoczne.

Widmo mgławicy M57 jest zdominowane przez linie emisyjne OIII (500 nm) oraz HII (657 nm).

Zdjęcie 2

Na zdjęciu 2. przedstawiono widmo gwiazdy typu A0 zarejestrowane przez ten sam układ. Na ciemnym pasku u góry tego zdjęcia widoczny jest obraz bezpośredni (rejestrowany przez matrycę CCD), czyli obraz zerowego rzędu (na skraju po lewej stronie) oraz widmo pierwszego rzędu (po środku). Całą dolną część zdjęcia zajmuje rozkład energii w widmie pierwszego rzędu, w funkcji odległości od obrazu rzędu zerowego (wyrażonej w pikselach).

Polecenia:

1. Oszacuj długości fali linii absorpcyjnych widocznych w widmie gwiazdy i porównaj je z długościami linii, obliczonymi ze wzoru Balmera: λn = (n2 / (n2 – 4))· 364,5 nm, dla

n= 3, 4, 5, … oraz zaznacz na wykresie w dolnej części zdjęcia 2. wartość n odpowiednią dla danej linii.

2. Oblicz prędkość radialną gwiazdy i oszacuj dokładność uzyskanego wyniku. 3. Wyznacz zakres długości fali możliwy do detekcji przez ten układ.

4. Gwiazdom, których widma przedstawiono na rysunkach zamieszczonych poniżej, przyporządkuj właściwy typ widmowy, spośród typów: B, F, G, K, M:

b)

c)

d)

Zadanie 4a poprzedzone jest mini-wykładem:

Na przełomie XVIII i XIX w. Joseph L. Lagrange rozwiązał problem wzajemnego oddziaływania trzech ciał (z których jedno ma niewielką masę) i odkrył, że w takim układzie znajduje się pięć wyróżnionych miejsc (punktów równowagi), stanowiących pewnego rodzaju "pułapki grawitacyjne". Trzy z tych miejsc, nazywane liniowymi punktami libracyjnymi (L1, L2

i L3), znajdują się na linii łączącej dwa masywne ciała, a pozostałe dwa punkty (L4 i L5), leżą w

płaszczyźnie orbit ciał masywnych i nazwane są trójkątnymi punktami libracyjnymi, bo znajdują się one w wierzchołkach trójkątów równobocznych, których wspólny bok jest odcinkiem łączącym dwa masywne ciała. W punktach libracyjnych, oraz w ich pobliżu, mogą znajdować się ciała o mniejszych masach.

Potwierdzeniem teorii Lagrange'a było odkrycie w XIX wieku grup planetoid (nazwanych Grekami i Trojańczykami), które znajdują się w pobliżu trójkątnych punktów libracyjnych układu Słońce – Jowisz i obiegają Słońce z tym samym okresem co Jowisz.

W połowie ub. wieku prof. Józef Witkowski z Poznania zwrócił uwagę, że podobnie jak w układzie Słońce – Jowisz, w pobliżu punktów libracyjnych układu Ziemia – Księżyc również mogą znajdować się drobne ciała niebieskie. Ideę tę rozwinął krakowski uczony Kazimierz Kordylewski, który podjął szeroko zakrojone obserwacje, mające na celu odkrycie skupisk materii na orbicie Księżyca, w pobliżu trójkątnych punktów libracyjnych (L4 i L5). Przeprowadzone przez

Kor-dylewskiego i innych astronomów obserwacje, co prawda nie potwierdziły obecności w tych punktach większych brył materii, ale stwierdzono tam skupiska materii pyłowej (nazwane obłokami libracyjnymi), których jasność powierzchniowa jest niewielka. Okazało się przy tym, że obłoki mają kształt owalny i rozciągają się w pobliżu punktów libracyjnych na odległość kilku stopni.

4a. Dla przedziału dat: 10. III – 30. III. 2016 określ terminy, w których będzie

można podjąć próbę zaobserwowania obłoku w pobliżu trójkątnego punktu

libracyjnego, poprzedzającego Księżyc w ruchu orbitalnym. Ze względu na bardzo

niewielką jasność powierzchniową obłoku oraz konieczność zapewnienia

maksymalnie ciemnego tła nieba załóż, że obserwacje będą prowadzone wysoko w

górach, w miejscu o współrzędnych geograficznych: 49° N i 20° E, a obłok

lib-racyjny może być zaobserwowany dopiero wtedy, gdy znajduje się powyżej 20° nad

horyzontem astronomicznym.

Do dyspozycji masz tabelę z efemerydami Słońca i Księżyca, odpowiedni

fragment „Atlasu nieba gwiaździstego” na epokę 2000,0 oraz „Obrotową mapę

nieba”. Rozwiązując zadanie, przyjmij dokładność dwóch stopni.

Słońce

Księżyc

Data

wschód

zachód

wschód

zachód

Data

[ h m ] [ h m ] 2016-Mar-09 23 18 -4 30 05:06 16:37 23 14 -4 35 05:15 17:18 2016-Mar-09 2016-Mar-10 23 22 -4 06 05:04 16:38 0 11 0 04 05:48 18:37 2016-Mar-10 2016-Mar-11 23 26 -3 43 05:02 16:40 1 08 4 43 06:21 19:56 2016-Mar-11 2016-Mar-12 23 29 -3 19 05:00 16:42 2 06 9 03 06:55 21:12 2016-Mar-12 2016-Mar-13 23 33 -2 56 04:58 16:43 3 04 12 45 07:33 22:25 2016-Mar-13 2016-Mar-14 23 37 -2 32 04:55 16:45 4 02 15 35 08:16 23:32 2016-Mar-14 2016-Mar-15 23 40 -2 08 04:53 16:46 5 00 17 25 09:03 --- 2016-Mar-15 2016-Mar-16 23 44 -1 45 04:51 16:48 5 57 18 11 09:56 00:31 2016-Mar-16 2016-Mar-17 23 48 -1 21 04:49 16:49 6 53 17 55 10:53 01:23 2016-Mar-17 2016-Mar-18 23 51 -0 57 04:47 16:51 7 47 16 42 11:53 02:08 2016-Mar-18 2016-Mar-19 23 55 -0 33 04:45 16:52 8 39 14 41 12:55 02:45 2016-Mar-19 2016-Mar-20 23 59 -0 10 04:43 16:54 9 29 12 00 13:58 03:18 2016-Mar-20 2016-Mar-21 0 02 0 14 04:41 16:55 10 17 8 49 15:00 03:47 2016-Mar-21 2016-Mar-22 0 06 0 38 04:39 16:57 11 04 5 19 16:02 04:14 2016-Mar-22 2016-Mar-23 0 09 1 01 04:37 16:58 11 50 1 37 17:03 04:39 2016-Mar-23 2016-Mar-24 0 13 1 25 04:34 17:00 12 36 -2 06 18:04 05:04 2016-Mar-24 2016-Mar-25 0 17 1 49 04:32 17:01 13 21 -5 44 19:04 05:29 2016-Mar-25 2016-Mar-26 0 20 2 12 04:30 17:03 14 07 -9 08 20:04 05:56 2016-Mar-26 2016-Mar-27 0 24 2 36 04:28 17:04 14 53 -12 09 21:03 06:25 2016-Mar-27 2016-Mar-28 0 28 2 59 04:26 17:06 15 41 -14 42 22:01 06:58 2016-Mar-28 2016-Mar-29 0 31 3 22 04:24 17:07 16 30 -16 38 22:56 07:35 2016-Mar-29 2016-Mar-30 0 35 3 46 04:22 17:09 17 21 -17 51 23:48 08:18 2016-Mar-30 2016-Mar-31 0 39 4 09 04:20 17:10 18 13 -18 15 --- 09:08 2016-Mar-31

α

δ

α

δ

Rektascensja α2000,0 i deklinacjaδ2000,0 zamieszczone w tabeli są geocentryczne i podane na godzinę 00:00 UT danej doby. Momenty wschodów i zachodów podane są w czasie uniwersalnym (UT), dla λ=20°E; φ=49°N.

Rozwiązanie tego zadania należy sporządzić na KARCIE ODPOWIEDZI. 5. Za pomocą aparatury planetarium odtworzone zostaną dwie sytuacje.

I. Podczas pierwszej sytuacji, obserwować będziemy ruch Słońca nad horyzontem w ciągu trzech kolejnych dni, z tego samego miejsca na Ziemi. Cały czas widoczny będzie południk lokalny, natomiast w nocy gwiazdy i inne obiekty nie będą widoczne.

Przeprowadź obserwacje, pozwalające oszacować szerokość geograficzną miejsca obserwacji, miesiąc (w którym je prowadzono) oraz podaj wysokość dołowania Słońca. II. Druga sytuacja dotyczyć będzie nieba statycznego, widocznego nocą z innego miejsca na powierzchni Ziemi. Na niebie będą wtedy widoczne cztery planety. Dla każdej z nich określ: wysokość, azymut, gwiazdozbiór na tle którego się znajduje i znak zodiaku, do którego należy.

Podczas drugiej sytuacji, cały czas będzie wyświetlana siatka współrzędnych horyzontalnych. Podaj czas gwiazdowy oraz określ porę doby odtwarzanej sytuacji.

Dla czterech obiektów naszego nieba, kolejno wyświetlanych na zdjęciach, podaj nazwę własną, określ wysokość i azymut oraz podaj nazwę gwiazdozbioru, w którym się znajdują.

KARTA ODPOWIEDZI

(do zadania 5)

KOD:

I. szerokość geograficzna: . . . , miesiąc: . . . , wysokość dołowania Słońca: . . . .

II. szerokość geograficzna: . . . , czas gwiazdowy: . . . , pora doby : . . . ,

nazwa planety wysokość azymut gwiazdozbiór znak zodiaku

Załącznik do zadania 5:

1.

2.

3.

4.

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *