Zad.1 Skonstruowa´ c baz e ortogonaln

(1)

Zadania do wyk ladu algebra z geometri a

_,

seria 9

Zad.1 Skonstruowa´ c baz e ortogonaln

_,

a podprzestrzeni przesterzeni R

_, ⁴

rozpinanych przez a) (1, 2, 2, −1)

^T

, (1, 1, −5, 3)

^T

, (3, 2, 8, −7)

^T

, b) (1, 1, −1, −2)

^T

, (5, 8, −2, −3)

^T

, (3, 9, 3, 8)

^T

,

c) (2, 1, 3, −1)

^T

, (7, 4, 3, −3)

^T

, (1, 1, −6, 0)

^T

, (5, 7, 7, 8)

^T

. W przestrzeni R

⁴

okre´slony jest euklidesowy iloczyn skalarny.

Zad.2 Wyznaczy´ c baz e dope lnienia ortogonalnego podprzestrzeni rozpinanych przez wektory a)

_,

(1, 0, 2, 1)

^T

, (2, 1, 2, 3)

^T

, (0, 1, −2, 1)

^T

, b) (1, 1, 1, 1)

^T

, (−1, 1, −1, 1)

^T

, (2, 0, 2, 0)

^T

. W przestrzeni R

⁴

okre´slony jest euklidesowy iloczyn skalarny.

Zad.3 W R

⁴

ze standardowym euklidesowym iloczynem skalarnym znale´ z´ c rzut prostopad ly wek- tora v = (4, 2, 3, 1)

^T

na przestrze´ n W = {(x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

) ∈ R

⁴

: x

₁

+ x

₂

− x

₃

+ 2x

₄

= 0}.

Zad.4 Niech ( , ) b edzie iloczynem skalarnym na przestrzeni V = R

_, ⁴

. Niech V ⊃ W = Span((0, 1, 2, 1)

^T

, (1, 3, 2, 2)

^T

, (2, 1, −6, −1)

^T

). Znajd´ z baz e przestrzeni W

_, ^⊥

• je´sli ( , ) jest standardowym iloczynem skalarnym,

• je´sli ((x

1

, x

2

, x

3

, x

4

)

^T

, (y

1

, y

2

, y

3

, y

4

)

^T

) = x

1

y

1

−x

1

y

2

−x

2

y

1

+4x

2

y

2

+2x

3

y

3

−x

3

y

4

−x

4

y

3

+2x

4

y

4

. Zad.5 W przestrzeni C(2) zespolonych, kwadratowych macierzy stopnia 2 okre´slamy iloczyn skalarny

g(X, Y ) = tr(X

^∗

Y ).

Znale´ z´ c dope lnienie ortogonalne podprzestrzeni a) V

₁

- macierzy o ´sladzie 0, b) macierzy X spe lniaj acych

_,

X = (X

^∗

)

^T

, c) macierzy Y spe lniaj acych Y = −(Y

_, ^∗

)

^T

, d) macierzy g´ ornotr´ ojk atnych, e) macierzy

_,

symetrycznych, f) macierzy antysymetrycznych.

Zad.6 Niech V oznacza rzeczywist a przestrze´

_,

n wektorow a macierzy X stopnia 2 spe lniaj

_,

acych

_,

X = (X

^∗

)

^T

i niech g(X, Y ) = tr(XY ), X, Y ∈ V , b edzie iloczynem skalarnym. Pokaza´

_,

c, ˙ze wektory

E

₁

= 1

√ 2

1 0 0 1

, E

₂

= 1

√ 2

1 0 0 −1

, E

₃

= 1

√ 2

0 −i i 0

, E

₄

= 1

√ 2

0 1 1 0

,

tworz a baz

_,

e ortonormaln

_,

a w V .

_,

Zad.7 W przestrzeni R

2

[t] = h1, t, t

²

i z iloczynem skalarnym (u, v) = R

1

0

u(t)v(t)dt skonstruowa´ c baz e ortonormaln

_,

a.

_,

Zad.8 Zadania 349, 351, 352, 353 ze zbioru zada´ n ”Od liczb zespolonych do kwadryk. Zbi´ or zada´ n

z algebry z rozwi azaniami”, J. Jezierski et al.

_,