9 10 Σ

(1)

9 10 Σ

Nazwisko ⁰

Imię Indeks

ANALIZA 1A, KOLOKWIUM nr

5

^,

8.11.2011

, godz. 10.15-11.00 Wykład: J. Wróblewski

PODCZAS KOLOKWIUM NIE WOLNO UŻYWAĆ KALKULATORÓW Zadanie

9.

(5 punktów)

W każdym z ośmiu poniższych zadań podaj wartość granicy (liczba rzeczywista) lub granicy niewłaściwej (+∞ lub −∞).

Wpisz literkę R, jeśli granica nie istnieje (tzn. gdy ciąg występujący pod znakiem granicy jest rozbieżny, ale nie jest to rozbieżność do +∞ ani do −∞).

Za udzielenie poprawnych odpowiedzi w n zadaniach otrzymasz max(0, n − 3) punk- tów.

9.1 _n→∞

lim 2n

²

+ 3 5n

²

+ 7 =

²

5

9.2 _n→∞

lim 2

ⁿ

+ 3 5

ⁿ

+ 7 =

0

9.3 _n→∞

lim

√ 4n

²

+ 9 25n

²

+ 49 =

0

9.4

lim

n→∞

√ 4 · 9

ⁿ

+ 25 25 · 3

ⁿ

+ 49 =

²

25

9.5

lim

n→∞

4 + 7n 2 + 5n =

⁷

5

9.6

lim

n→∞

4 + 7n 2 + 5n + 1

n

!

=

⁷

5

9.7 _n→∞

lim





4 + 7n

2 + 5n + n

²

+ 1 n





=

+∞

9.8 _n→∞

lim 4 + 7n

2 + 5n + (−1)

ⁿ

!

=

R

(2)

Zadanie

10.

(5 punktów)

Wskazać liczbę naturalną k, dla której granica

n→∞

lim

√ n

¹⁴

+ 9n

⁹

+ 1 − n

⁷

n

^k

istnieje i jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Obliczyć wartość granicy przy tak wybranej liczbie k.

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów przepisujemy występujące pod znakiem granicy wyrażenie w postaci niezawierającej w liczniku różnicy wyrażeń zbliżonej wielkości, a następnie dzielimy licznik i mianownik przez n⁹:

n→∞lim

√n¹⁴+ 9n⁹+ 1 − n⁷

n^k = lim

n→∞

9n⁹+ 1 n^k·√

n¹⁴+ 9n⁹+ 1 + n⁷=

= lim

n→∞

9 + n⁻⁹ n^k−2·√

1 + 9n⁻⁵+ n⁻¹⁴+ 1.

Dla k = 2 otrzymujemy

n→∞lim

9 + n⁻⁹

√1 + 9n⁻⁵+ n⁻¹⁴+ 1= 9 + 0

√1 + 0 + 0 + 1=9 2. Odpowiedź: Przy k = 2 granica jest równa 9/2.

Uwaga: Liczba k = 2 jest jedyną liczbą spełniającą warunki zadania. Jednak zgodnie z poleceniem wystarczyło wskazać k, bez konieczności uzasadnienia, że takie k jest tylko jedno.