W każdym z poniższych 21 zadań podaj w postaci uproszczonej wartość całki ozna- czonej. Wskazówka: W niektórych zadaniach lepiej nie całkować bezpośrednio, tylko narysować odpowiednią figurę i obliczyć jej pole.
66.
2020Z
2017
7 dx = 21 67.
Z3
0
x2dx = 9 68.
Z2
0
x3dx = 4 69.
Z1
0
x10dx = 1/11
70.
Z4
1
√x dx = 14/3 71.
Z27
1
√3
x dx = 60 72.
Z10
−2
|x| dx = 52 73.
Z3
1
dx
x = ln 3
74.
3 Z
1
dx
x + 1= ln 2 75.
7 Z
1
dx
x + 2= ln 3 76.
1 Z
0
dx x2+ 1=π
4 77.
√ 3 Z
0
dx x2+ 1=π
3
78.
√3 Z
1
dx
x2+ 1= π
12 79.
1/√ 3 Z
0
dx x2+ 1=π
6 80.
Z1
1/√ 3
dx
x2+ 1 = π 12
81.
1 Z
−1
√1 − x2dx =π
2 82.
1 Z
0
√1 − x2dx =π
4 83.
0 Z
−1
√1 − x2dx =π 4
84.
2 Z
−2
√4 − x2dx = 2π 85.
2 Z
0
√4 − x2dx = π 86.
√ 2 Z
−√ 2
√2 − x2dx = π
87. Obliczyć całkę oznaczoną
Z25
1
√ dx x +√
x + 24.
Rozwiązanie:
Po skorzystaniu ze wzoru na różnicę kwadratów otrzymujemy
Z25
1
√ dx x +√
x + 24=
Z25
1
√x + 24 −√ x
24 dx = 1
24· 2
3· (x + 24)3/2−2 3· x3/2
!
25
x=1
=
= 1
36·(x + 24)3/2− x3/2
25
x=1
= 1
36· (343 − 125 − 125 + 1) =94 36=47
18.
88. Udowodnić nierówność
1/2 Z
1/4
x2xdx <1 8.
Rozwiązanie:
Pochodna funkcji podcałkowej f (x) = x2x dana jest wzorem f0(x) = d
dxx2x= d
dxe2x·lnx= e2x·lnx· d
dx(2x · lnx) = x2x· (2 · lnx + 2) = 2 · x2x· (lnx + 1) . Ponieważ f0(x) > 0 dla x > 1/e oraz f0(x) < 0 dla 0 < x < 1/e, funkcja f jest malejąca w przedziale (0, 1/e) i rosnąca w przedziale (1/e, +∞). Zauważmy ponadto, że
f (1/4) = 1/2 oraz
f (1/2) = 1/2 . Wobec tego f (x) < 1/2 dla x ∈ (1/4, 1/2), skąd
1/2 Z
1/4
x2xdx < 1 2−1
4
!
·1 2=1
8.
Uwaga: Obliczenia komputerowe pokazują, że dana w zadaniu całka ma wartość w przybliżeniu 0,1215. Wydaje się to być zbyt bliskie oszacowaniu 1/8 = 0, 125, aby zadziałały inne metody szacowania (zapewne obarczone większym błędem).
89. Niech f1(x) =√
x2− 2x + 1 oraz fn+1(x) = f1(fn(x)). Obliczyć wartość całki ozna- czonej
Z10
0
f5(x) dx .
Rozwiązanie:
Zauważmy, że f1(x) = |x − 1|. W związku z tym wykres funkcji f1◦g powstaje z wykresu funkcji g przez przesunięcie tegoż wykresu w dół o 1 oraz symetryczne odbicie części wykresu, która znalazła się pod osią OX. Wykresy funkcji od f1 do f5 znajdują się odpowiednio na rysunkach od 1 do 5.
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
rys. 1
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7
rys. 2
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6
rys. 3
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6
rys. 4
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5
rys. 5
Szukana wartość całki oznaczonej jest równa polu zielonej figury z rysunku 5. Pole to wyliczamy sumując pola trójkątów, które się na nie składają:
1
2+ 1 + 1 +25 2 = 15 .
90. Udowodnić nierówność
3 Z
1
√3
7x2+ 1 dx > 6 .
Wskazówka: Zbadać wypukłość funkcji podcałkowej lub przynajmniej zastanowić się nad położeniem jej wykresu względem odpowiedniej cięciwy.
Rozwiązanie:
Sposób I:
Pochodna funkcji podcałkowej f (x) =√3
7x2+ 1 dana jest wzorem f0(x) =1
3·7x2+ 1−2/3· 14x =14
3 · x ·7x2+ 1−2/3 , a pochodna drugiego rzędu jest równa
f00(x) =14
3 ·7x2+ 1−2/3+14
3 · x ·−2
3 ·7x2+ 1−5/3· 14x =
=14
3 ·7x2+ 1−2/3−392
9 · x2·7x2+ 1−5/3=
=14
3 ·7x2+ 1−5/3·7x2+ 1−392
9 · x2·7x2+ 1−5/3=
= 14
3 ·7x2+ 1−392 9 · x2
!
·7x2+ 1−5/3=
=3 ·7x2+ 1− 28 · x2·14
9 ·7x2+ 1−5/3=3 − 7 · x2·14
9 ·7x2+ 1−5/3 ,
co jest ujemne dla x 1. Stąd wynika, że funkcja f jest ściśle wklęsła na przedziale [1 , +∞), a więc jej wykres leży nad cięciwą łączącą punkty wykresu odpowiadające x = 1 i x = 3. Ponieważ cięciwa ta ma równanie y = x + 1, otrzymujemy nierówność
√3
7x2+ 1 > x + 1 (1)
spełnioną dla x ∈ (1, 3). Wobec tego
Z3
1
√3
7x2+ 1 dx >
Z3
1
x + 1 dx =x2 2 + x
3
x=1
=9
2+ 3 −1
2− 1 = 6 .
Uwaga:
Wartość całki
Z3
1
x + 1 dx można podać bez całkowania korzystając z następującej reguły: Całka oznaczona z funkcji liniowej jest iloczynem długości przedziału całkowania przez wartość funkcji podcałkowej w środku przedziału całkowania.
Sposób II:
Postępujemy jak w Sposobie I, przy czym nierówność (1) dowodzimy bezpośrednio przekształcając ją do postaci równoważnych:
7x2+ 1 > (x + 1)3, 7x2+ 1 > x3+ 3x2+ 3x + 1 ,
0 > x3− 4x2+ 3x ,
0 > x · (x − 1) · (x − 3) , co jest prawdziwe dla x ∈ (1, 3).
Uwaga:
Wartość szacowanej całki jest mniejsza od 6,1. Oznacza to, że w rozwiązaniu nie możemy sobie pozwolić na zbyt grube oszacowania. Na rysunku 6 przedstawiony jest wykres1 funkcji f wraz z jej cięciwą2 użytą do oszacowania całki.
x y
3 2
1 1
2 3 4
0
rys. 6
1Czarna linia.
