Si E est une relation d’´ equivalence analytique sur un espace bor´ elien standard Z, on est dans un des deux cas suivants :

165 (2000)

Dichotomies pour les espaces de suites r´ eelles

par

Pierre C a s e v i t z (Caen)

Abstract. There is a general conjecture, the dichotomy (C) about Borel equivalence relations E: (i) E is Borel reducible to the equivalence relation E_G^X where X is a Polish space, and G a Polish group acting continuously on X; or (ii) a canonical relation E1 is Borel reducible to E. (C) is only proved for special cases as in [So].

In this paper we make a contribution to the study of (C): a stronger conjecture is true for hereditary subspaces of the Polish spaceR^ωof real sequences, i.e., subspaces such that [y = (yn)n∈ X and ∀n, |xn| ≤ |yn|] ⇒ x = (xn)n∈ X. If such an X is analytic as a subset ofR^ω, then either X is Polishable as a vector subspace, or X admits a subspace strongly isomorphic to the space c00 of finite sequences, or to the space `∞ of bounded sequences.

When X is Polishable, the metrics have a very simple form as in the case studied in [So], which allows us to study precisely the properties of those X’s.

Il s’agit ici d’´ etudier dans le contexte des sous-espaces de l’espace polo- nais des suites de r´ eels une conjecture qui ´ etait d´ ej` a connue pour d’autres types de groupes, sans structure vectorielle :

Si E est une relation d’´ equivalence analytique sur un espace bor´ elien standard Z, on est dans un des deux cas suivants :

• ou bien E se plonge dans une relation E

induite par une action polonaise sur un espace polonais X,

• ou bien E

se plonge dans E, o` u E

est l’´ egalit´ e dans 2

modulo l’id´ eal I

des parties de ω

contenues dans un nombre fini de verticales {n} × ω.

(Ici une relation E sur X se plonge dans une relation d’´ equivalence F sur Y s’il y a une fonction f : X → Y telle que f (x)F f (x

) ⇔ xEx

, et les plongements sont exig´ es bor´ eliens.)

2000 Mathematics Subject Classification: Primary 03E15, 06F20, 46A45, 54D55, 54H05; Secondary 06F30, 46B40, 54E52, 54D65.

Key words and phrases: Borel complexity, subspaces of real sequences, topology of subspaces of real sequences, Polishable spaces, dichotomy theorems, Borel equivalence relations.

[249]

La justification de cette conjecture est qu’on ne peut pas plonger E

dans une relation induite par une action polonaise [K-L] ; donc, ´ etant donn´ ee une relation E, on ne peut ` a la fois plonger E dans une E

et voir E

se plonger dans E. Les exemples connus ne font pas apparaˆıtre pour l’instant de statut interm´ ediaire qui contredirait la dichotomie.

Ainsi Solecki (dans [So]) a ´ etabli que cette dichotomie ´ etait v´ erifi´ ee pour les relations d’´ egalit´ e modulo un id´ eal de parties de ω. Il a mˆ eme ´ etabli un r´ esultat plus fort :

Tout id´ eal I, analytique comme partie de 2

, v´ erifie l’une des deux as- sertions suivantes :

• I est polonisable (comme groupe (I, 4)) ;

• l’id´eal I

se plonge en I, relation entre id´ eaux qui est plus forte que le simple plongement bor´ elien ou mˆ eme continu des relations d’´ equivalence.

De plus si I est polonisable, il est F

ou alors vrai Π

.

Le pr´ esent travail est effectu´ e en essayant de comparer R

et 2

de la fa¸ con suivante : si on identifie les parties de ω et leurs fonctions ca- ract´ eristiques qui sont les ´ el´ ements de 2

, on peut consid´ erer la relation d’inf´ eriorit´ e composante par composante dans R

comme une extension de la relation d’inclusion entre parties de ω, la somme dans R

comme une extension de la r´ eunion de parties de ω ; l’analogue d’un id´ eal de ω sera donc un sous-espace vectoriel de R

clos quand on r´ eduit en valeur absolue les composantes d’un de ses ´ el´ ements ; on dira qu’un tel espace est h´ er´ editaire.

On montre ici le mˆ eme r´ esultat g´ en´ eral que Solecki [So] :

(A) Si X est un sous-espace h´ er´ editaire de R

, analytique comme partie de R

, alors on est dans un des deux cas suivants :

• E

v

R

/X ;

• X est polonisable (comme espace vectoriel).

Ici aussi on a quelque chose de plus que E

v

R

/X : si X n’est pas polonisable, on a c

≤

X ou `

≤

X, avec les notations usuelles pour l’espace des suites finies et l’espace des suites born´ ees. (Ici E ≤

F signifie qu’il y a une application lin´ eaire continue injective l : R

→ R

telle que l

(F ) = E. Et comme c’est l’usage on note R v

Q entre relations d’´ equivalence sur des espaces topologiques Y , Z s’il y a f : Y → Z continue injective telle que ∀y, y

, f (y)Qf (y

) ⇔ yRy

.)

Enfin, on a la mˆ eme pr´ ecision sur la complexit´ e bor´ elienne possible des sous-espaces polonisables :

(B) Si X est polonisable, alors il est ferm´ e, ou sinon Σ

-complet ou

Π

-complet.

La premi` ere partie est consacr´ ee aux d´ efinitions : on v´ erifie que E

se plonge dans la relation induite par `

(c’est (1.3.1)). On v´ erifie aussi la complexit´ e descriptive de c

, `

, qui serviront. Un plongement de E

dans c

est aussi donn´ e au (1.3.1).

La deuxi` eme partie est consacr´ ee ` a l’´ etude des “´ evaluations”, analogues pour les suites de r´ eels des sous-mesures pour les parties de ω, et qui permet- tent de d´ efinir de mani` ere canonique des sous-espaces h´ er´ editaires poloni- sables ainsi que leur structure m´ etrique compl` ete s´ eparable.

La dichotomie g´ en´ erale (A) est l’objet du paragraphe 3 : apr` es avoir

´

elimin´ e dans l’´ etude un type d’espaces en quelque sorte d´ eg´ en´ er´ es dans le paragraphe 3.1, les espaces n’ayant pas de suites aux composantes toutes non nulles, pour lesquels on trouve toujours un plongement de c

, on refait en fait la mˆ eme ´ etude que Solecki [So] pour les id´ eaux ; on d´ efinit dans le paragraphe 3.2 une notion de petitesse pour les parties de R

(et d’une de ses compactifications), et on introduit la dichotomie selon qu’on a ou non une bonne notion de petitesse :

• Si une r´eunion d´enombrable d’ensembles petits peut ˆ etre grande, ce qui est l’hypoth` ese (3.3.1), on exhibe dans (3.3.3) un plongement de c

ou de `

dans X.

• Si au contraire une r´ eunion d´ enombrable d’ensemble petits est un en- semble petit, ce qui est l’hypoth` ese (3.4.1), on peut utiliser les ensembles grands pour construire par des proc´ ed´ es du type th´ eorie de la mesure une

´ evaluation sur R

, et X sera l’espace polonais associ´ e ` a cette ´ evaluation : c’est la proposition (3.4.15).

Cette dichotomie est r´ esum´ ee dans (3.4.17).

Enfin, on tire de cette dichotomie un certain nombre de r´ esultats sur les espaces qui sont polonisables, essentiellement ce que j’ai r´ esum´ e dans (B), au paragraphe 4.

En plus des r´ ef´ erences relatives ` a des r´ esultats pr´ ecis, on se reportera utilement aux ouvrages de A. Kechris [K] et de Moschovakis [M] pour les notions de th´ eories descriptives, ainsi qu’` a celui de Schaefer [Sc] pour les propri´ et´ es g´ en´ erales des espaces vectoriels ordonn´ es.

1. D ´EFINITIONS

1.1. Structure de R

. R

est muni de sa topologie polonaise usuelle, produit de la topologie de R, pour laquelle les W

constituent un syst` eme fondamental de voisinages de 0 = (0, 0, 0, . . .), o` u

W

= {x ∈ R

| ∀n < N, |x(n)| < 1/(N + 1)},

et qui correspond ` a la m´ etrique invariante compl` ete suivante : d

(x, y) = X

n

inf(1, |x(n) − y(n)|)

2

.

On d´ esignera par l’indice ou l’exposant (pour l’adh´ erence par exemple) ω ce qui est relatif ` a la topologie usuelle de R

, not´ ee elle-mˆ eme τ

, ainsi qu’aux topologies induites par τ

sur les parties de R

.

On notera u

l’´ el´ ement de R

dont la (p+1)-` eme composante (c’est-` a-dire u

(p)) est ´ egale ` a 1 et dont les autres composantes sont nulles.

Si A ⊆ ω, on associe ` a tout x ∈ R

les suites suivantes : π

(x) = ((x(k))

, (0)

)

est la suite de R

ayant comme composantes celles de x pour les indices qui sont dans A et 0 pour les autres indices, et

ε

(x) = x − π

(x) = π

(x).

Ces op´ erations sont les analogues dans R

de celles, pour les suites de 0 et de 1 repr´ esentant des parties de ω, consistant ` a prendre l’intersection avec une partie A fixe pour la premi` ere, et ` a prendre le reste de la suite pour la seconde.

En particulier on a

π

(x) = (x(0), x(1), . . . , x(n − 1), 0, 0, 0, . . .), ε

(x) = (0, 0, . . . , 0, x(n), x(n + 1), . . .).

Par ailleurs on identifiera couramment une A-suite de r´ eels, c’est-` a-dire une suite index´ ee par les ´ el´ ements de A, avec la suite de R

obtenue en compl´ etant par des 0 les composantes manquantes.

1.2. Pr´ eordre et espaces h´ er´ editaires. On d´ efinit sur R

le pr´ eordre suivant :

x ≤

y ⇔ ∀n ∈ ω, |x(n)| ≤ |y(n)|.

On notera aussi |x| = (|x(n)|)

la suite des valeurs absolues des composantes de x, et x ∨ y et x ∧ y les suites telles que pour tout k,

(x ∨ y)(k) = sup(|x(k)|, |y(k)|), (x ∧ y)(k) = inf(|x(k)|, |y(k)|)).

Ainsi on a

(x ≤

y et y ≤

x) ⇔ |x| = |y|, x ≤

y ⇔ |x| ≤

|y|.

Notons que ce pr´ eordre devient un ordre quand on le restreint ` a (R

)

et que l’application x 7→ |x| est croissante.

On a enfin

(x ≤

y et x

≤

y

) ⇒ x + x

≤

|y| + |y

|,

(x ≤

y et |λ| ≤ |µ|) ⇒ λx ≤

µy.

D´ efinition (1.2.1). Une partie X de R

est dite h´ er´ editaire si elle est

“close par suites ≤

-plus petites”, c’est-` a-dire si (x ∈ X et y ≤

x) ⇒ y ∈ X.

On va s’int´ eresser dans ce qui suit aux sous-espaces vectoriels de R

qui sont h´ er´ editaires, ce qu’on nomme en g´ en´ eral des id´ eaux de R

(cf. [Sc]).

Pour se borner aux cas significatifs on n’´ etudiera que les espaces libres : D´ efinition (1.2.2). Un sous-espace E de R

est libre s’il n’est nul sur aucune composante, c’est-` a-dire,

∀n ∈ ω, ∃x ∈ E, x(n) 6= 0.

Un espace non libre est soit de dimension finie, auquel cas son ´ etude est triviale pour ce qui nous occupe ici, soit c’est un id´ eal d’un R

avec A infini minimal ; or R

est alors isomorphe, composante par composante, ` a R

, et donc l’espace ´ etudi´ e est isomorphe ` a un espace libre.

D´ esormais, sauf mention expresse, les espaces consid´ er´ es seront suppos´ es libres.

Remarque (1.2.3). Si E est un sous-espace h´ er´ editaire de R

, alors E est libre si et seulement si c

⊆ E.

P r e u v e. On utilise l’h´ er´ edit´ e : si x ∈ E est tel que x(n) 6= 0, comme x(n)u

≤

x, on a x(n)u

∈ E puis Ru

⊆ E.

On pose aussi, d´ efinition qui sera utile dans la suite :

D´ efinition (1.2.4). Si x ∈ R

, on note C[x] l’ensemble des y tels que y ≤

x.

Propri´ et´ e (1.2.5). C[x] est un compact h´ er´ editaire de R

.

Pour comparer les sous-espaces h´ er´ editaires, on va utiliser les notions suivantes :

D´ efinition (1.2.6). Si E et F sont deux sous-espaces h´ er´ editaires de R

, on note E ≤

F s’il existe une application lin´ eaire continue injective f : R

→ R

telle que f

(F ) = E. Si on peut choisir f croissante pour

≤

, on note E ≤

F.

On sait que tout espace h´ er´ editaire E induit sur R

la relation d’´ equi- valence suivante :

x ≡

y ⇔ x − y ∈ E.

On a donc aussi les relations de hi´ erarchies classiques entre relations d’´ equivalence ≡

, ≡

sur des espaces topologiques X, Y soit pour celle qui nous int´ eressent : ≡

v

≡

s’il y a f : X → Y injective continue telle que

x ≡

x

⇔ f (x) ≡

f (x

).

On utilisera ` a l’occasion les notations usuelles o` u l’indice

remplace

si on veut juste une f bor´ elienne, et ≤ remplace v si on n’exige plus f injective.

Citons quelques relations particuli` eres :

• E

est la relation sur 2

= Pow(ω) d’´ egalit´ e modulo les suites (parties) finies.

• E

est la relation sur 2

qui dit que xE

y ⇔ ∀n, x(n, ·)E

y(n, ·) o` u x(n, ·) d´ esigne la suite des x(n, k) quand k parcourt ω.

• E

est la relation entre parties de ω

d’´ egalit´ e modulo l’id´ eal qui a ´ et´ e d´ efini dans l’introduction : xE

y ⇔ ∃n

, ∀n ≥ n

, x(n, ·) = y(n, ·).

On notera aussi (n, k) 7→ hn, ki une bijection ω

→ ω fix´ ee une fois pour toutes, au moyen de laquelle on consid´ erera en g´ en´ eral que E

et E

sont des relations sur 2

.

Enfin pr´ ecisons la notion d´ ej` a ´ evoqu´ ee d’espace polonisable :

D´ efinition (1.2.7). Un groupe topologique (G, τ ) est polonisable s’il existe une topologie polonaise plus fine que τ et toujours compatible avec la structure de groupe. Un sous-espace E de R

est dit polonisable s’il existe une topologie polonaise τ

sur E, plus fine que la restriction de τ

` a E et telle que (E, τ

) soit toujours un espace vectoriel topologique.

1.3. Quelques espaces particuliers. On utilisera quelques sous- espaces h´ er´ editaires classiques de R

:

`

= {x ∈ R

| ∃M > 0, ∀n, |x(n)| ≤ M },

qui est un Banach avec la norme kxk

= sup

|x(n)|, d´ efinition qu’on peut

´

etendre par kxk

= +∞ si x 6∈ `

.

`

est non s´ eparable mais son sous-espace c

= {x | lim

x(n) = 0}

est Banach s´ eparable avec la norme induite.

Une partie d´ enombrable dense pour la topologie de c

est D = L

n

Qu

= S

n

Q

, ´ egalement dense dans R

pour la topologie produit.

Citons enfin l’espace des suites finies c

.

Propri´ et´ e (1.3.1). `

est un vrai Σ

et c

est un vrai Π

; de plus `

n’est pas polonisable en tant qu’espace vectoriel ou mˆ eme que groupe additif et

E

v

≡

, E

v

≡

, E

v ≡

.

P r e u v e. Les d´ efinitions donnent au plus les classes de Borel indiqu´ ees : x ∈ `

⇔ ∃p ∈ ω, ∀n ∈ ω, |x(n)| ≤ p ;

x ∈ c

⇔ ∀p ∈ ω, ∃n

∈ ω, ∀n ≥ n

, |x(n)| ≤ 1/(p + 1).

Par ailleurs la relation ≡

est toujours de la mˆ eme classe que E (c’est

l’image r´ eciproque de E par l’application continue (x, y) 7→ x−y de R

×R

dans R

, donc la classe de ≡

est inf´ erieure ou ´ egale ` a la classe de E, et par ailleurs E est la classe de 0, donc de mˆ eme classe que ≡

∩ {0} × R

).

Donc si on montre les plongements indiqu´ es de relations d’´ equivalence, on obtiendra au moins les classes indiqu´ ees puisqu’il s’agit de plongements continus, et que E

et E

sont de vrais Σ

, et E

un vrai Π

. Tout se ram` ene donc ` a ces plongements.

g : 2

→ R

telle que g(α) = x ⇔ [∀n, k, x(hn, ki) = nα(n, k)] t´ emoigne que E

v

≡

.

Ceci prouve aussi que ≡

n’est plongeable au sens ≤

dans aucune relation induite par une action de groupe polonaise puisque on sait que E

ne l’est pas ; en particulier `

n’est pas polonisable comme groupe additif.

Enfin h : 2

→ R

telle que h(α) = x ⇔ ∀n, k, x(hn, ki) =

α(n, k)  t´ emoigne que E

v

≡

.

Il reste ` a v´ erifier que E

v

≡

; il suffit de prendre par exemple g : 2

→ R

, α 7→ g(α) = X

n

 X

α(n,k)=1

3

 u

pour obtenir le plongement souhait´ e.

2. UNE CONSTRUCTION D’ESPACES H ´ER ´EDITAIRES POLONISABLES

2.1. Evaluations. On va maintenant s’int´ eresser ` a une classe ais´ ement constructible d’espaces h´ er´ editaires polonisables. On construira en mˆ eme temps leurs topologies propres. Les topologies consid´ er´ ees seront toujours plus fines que τ

puisqu’on veut pr´ eserver la structure d’espace de suites, donc d’espace produit. Ainsi une suite convergente dans E convergera vers la mˆ eme limite dans τ

. On va introduire une d´ efinition.

D´ efinition (2.1.1). Une ´ evaluation sur R

est une application ϕ : R

→ R

= [0, +∞] v´ erifiant les conditions suivantes :

Ev

ϕ est positive : ϕ(x) = 0 ⇔ x = 0 ;

Ev

ϕ est sous-additive : ∀x, y, ϕ(x + y) ≤ ϕ(x) + ϕ(y) ; Ev

ϕ est croissante : ∀x, y, x ≤

y ⇒ ϕ(x) ≤ ϕ(y) ;

Ev

ϕ est “sous-homog` ene” : ∀x ∈ R

, α ≥ 1, ϕ(αx) ≤ αϕ(x).

Ev

ϕ est semi-continue inf´ erieurement : si r ≥ 0, ϕ

(]r, +∞]) est un τ

-ouvert.

Ev

ϕ est compatible avec les topologies polonaises des sous-espaces finis R

: sa restriction ` a chacun de ces espaces est continue.

Remarques. (a) Ev

est ´ equivalent ` a l’assertion suivante : Ev

pour toute suite x

qui τ

-converge vers une limite x, on a

lim inf

n

ϕ(x

) ≥ ϕ(x).

(b) ϕ est “libre” : ∀n, ϕ(u

) < +∞, puisque d’apr` es Ev

on a, pour chaque n, un t tel que ϕ(tu

) < 1 et donc ϕ(u

) ≤ (1/t)ϕ(tu

) < +∞.

On dit que ϕ est finie si ϕ(x) < +∞ pour tout x.

On dira que deux ´ evaluations ϕ et ψ sont ´ equivalentes si on a

∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x, ϕ(x) < η ⇒ ψ(x) < ε,

∀ε > 0, ∃η > 0, ∀x, ψ(x) < η ⇒ ϕ(x) < ε.

Alors toute ϕ est clairement ´ equivalente ` a une ´ evaluation finie : inf(1, ϕ).

2.2. Sous-espaces engendr´ es par une ´ evaluation. Soit ϕ une

´ evalua-

tion et posons d

(x, y) = ϕ(x − y) pour x, y dans R

. D’apr` es Ev

, Ev

et Ev

(qui entraˆıne ϕ(−x) = ϕ(x)), d

a les propri´ et´ es d’une distance, mais qui prendrait la valeur +∞. L’´ equivalence entre deux ´ evaluations pr´ eserve visiblement les topologies engendr´ ees par les boules qu’elles d´ efinissent, donc on peut toujours supposer que ϕ est finie. De plus, d’apr` es la d´ efinition de d

on a

∀x, y, z, d

(x + z, y + z) = d

(x, y),

ce qui prouve bien que d

d´ efinit une topologie de groupe m´ etrique sur (R

, +). Mais cette topologie n’est pas forc´ ement compatible avec la struc- ture vectorielle :

Propri´ et´ e (2.2.1). d

d´ efinit une topologie plus fine que τ

sur R

, qui est compatible avec la structure vectorielle d’un sous-espace E de R

si et seulement si

∀x ∈ E, lim

t→0, t∈R

ϕ(tx) = 0, et ceci est v´ erifi´ e pour E = c

. Enfin d

est compl` ete.

P r e u v e. 1) Comme d

est compatible avec l’addition, pour s’assurer que τ

⊇ τ

il suffit de prouver que les W

sont des ϕ-voisinages de 0.

Soit r = inf

(ϕ(u

/(N + 1))). Alors la boule B

(0, r) = {x | ϕ(x)

< r} est contenue dans W

. En effet si ϕ(x) < r on a par croissance (Ev

), ϕ(x(k)u

) ≤ ϕ(x) < r ≤ ϕ

 u

N + 1



si k < N,

donc encore par croissance on a forc´ ement |x(k)| < 1/(N + 1) et x ∈ W

. 2) Si (E, d

) est un espace vectoriel m´ etrique on a bien ´ evidemment pour x ∈ E, lim

tx = 0 dans τ

, c’est-` a-dire lim

ϕ(tx) = 0.

R´ eciproquement, si lim

ϕ(tx) = 0 pour tout x ∈ E, alors l’application

R × R

→ R

, (λ, x) 7→ λx,

est bien continue car

d

(λx, λ

x

) = ϕ(λx − λ

x

) ≤ ϕ(λ(x − x

)) + ϕ((λ − λ

)x

)

≤ sup(1, |λ|)ϕ(x − x

) + ϕ((λ − λ

)x

)

grˆ ace ` a la sous-homog´ en´ eit´ e et ` a la croissance (si |λ| ≤ 1 alors λy ≤

y).

Ceci prouve que si λ → λ

(et donc λ reste born´ e) et si d

(x, x

) → 0 alors d

(λx, λ

x

) → 0.

3) c

v´ erifie la condition pr´ ec´ edente ` a cause de Ev

.

4) Pour montrer la compl´ etude de d

on aura besoin du lemme suivant : Lemme (2.2.2). Soit (p

) une suite d’´ el´ ements de (R

)

et x une suite de r´ eels telle que

∀k, |x(k)| ≤ X

n

p

(k).

Alors on a

ϕ(x) ≤ X

n

ϕ(p

).

P r e u v e. Soit r < ϕ(x) = ϕ(|x|). Par semi-continuit´ e inf´ erieure il y a un λ ∈ ] 0, 1[ et un d´ ebut π

(|x|) = (|x(0)|, . . . , |x(k

− 1)|, 0, 0, . . .) tel que ϕ(λπ

(|x|)) > r. Pour chaque composante k < k

on a un n

tel que P

n<nk

p

(k) ≥ λ|x(k)| ; si N est sup´ erieur ` a tous ces n

et q = P

n<N

p

on aura donc λπ

(|x|) ≤

q, d’o` u

r < ϕ(λπ

(|x|)) ≤ ϕ(q) ≤ X

n<N

ϕ(p

) ≤ X

n

ϕ(p

).

Ceci prouve bien le lemme.

Compl´ etude de d

. Maintenant soit (x

)

une suite d

-Cauchy. On suppose, en prenant au besoin une sous-suite, que d

(x

, x

) < 1/2

. Par croissance

ϕ((x

(k) − x

(k))u

) ≤ ϕ(x

− x

), donc (x

(k)u

)

est aussi d

-Cauchy.

Or on peut remarquer que

∀ε > 0, ∃η > 0, ϕ(tu

) < η ⇒ |t| < ε ;

ceci se v´ erifie par l’absurde : si c’´ etait faux, il y aurait une suite de r´ eels t

et r > 0 tels que |t

| ≥ r et ϕ(t

u

) tend vers 0. On aurait alors par croissance ϕ(ru

) ≤ ϕ(t

u

), donc ϕ(ru

) = 0, ce qui contredirait la positivit´ e de ϕ.

Ceci implique en particulier que la suite de r´ eels (x

(k))

est aussi de Cauchy et converge dans R vers une limite x(k). Posons p

= |x

− x

| dans R

. Pour tout k on a clairement

|x(k) − x

(k)| =   

X

n≥n0

(x

(k) − x

(k))  

 ≤ X

n≥n0

p

(k).

Donc d’apr` es le lemme (2.2.2), ϕ(x − x

) ≤ X

n≥n0

ϕ(p

) < X

n≥n0

2

= 2

→ 0, ce qui prouve bien que x est la d

-limite de (x

)

.

D´ efinition (2.2.3). Fin(ϕ) sera l’ensemble des x tels que lim

ϕ(λx)

= 0. Exh(ϕ) sera l’adh´ erence de c

dans la topologie τ

.

Remarque (2.2.4). (a) Si on n’a pas suppos´ e ϕ finie, elle l’est n´ eanmoins sur Fin(ϕ) : en effet, si x ∈ Fin(ϕ) il y a t tel que ϕ(tx) < 1, donc ϕ(x) ≤ sup(1, 1/t)ϕ(tx) < +∞.

(b) Ces espaces ne changent pas si on remplace ϕ par une ´ evaluation

´

equivalente au sens pr´ ecis´ e plus haut (cette notion signifie pr´ ecis´ ement qu’il est identique de converger vers 0 pour l’une ou l’autre, et que les distances en- gendr´ ees sont ´ equivalentes) ; l’hypoth` ese qu’on travaille avec une ´ evaluation finie n’est donc nullement restrictive.

Propri´ et´ e (2.2.5). • Fin(ϕ) est un sous-espace h´ er´ editaire et d

est compl` ete sur Fin(ϕ), et compatible avec sa structure vectorielle.

• Exh(ϕ) est un sous-espace h´ er´ editaire de Fin(ϕ) et d

est s´ eparable compl` ete sur Exh(ϕ) ; D est d´enombrable dense dans Exh(ϕ) et

x ∈ Exh(ϕ) ⇔ lim

n

ϕ(ε

(x)) = 0.

P r e u v e. (1) Si α, β sont r´ eels et x, y ∈ R

alors pour tout r´ eel t on a ϕ(t(αx + βy)) ≤ sup(1, |α|)ϕ(tx) + sup(1, |β|)ϕ(ty)

et si x ≤

y alors ϕ(tx) ≤ ϕ(ty). On voit donc ais´ ement que Fin(ϕ) est un sous-espace h´ er´ editaire.

(2) Pour montrer que d

reste compl` ete restreinte ` a Fin(ϕ), il suffit de montrer que cet espace est d

-ferm´ e. Soit donc (x

)

dans Fin(ϕ) con- vergeant pour d

vers x. Montrons que x ∈ Fin(ϕ) :

Soit ε > 0 ; on a un n tel que ϕ(x − x

) < ε/2. Comme x

∈ Fin(ϕ), on peut trouver un η < 1 tel que |t| < η ⇒ ϕ(tx

) < ε/2. Alors si |t| < η on a ϕ(tx) ≤ ϕ(t(x − x

)) + ϕ(tx

) ≤ sup(1, |t|)ϕ(x − x

) + ϕ(tx

) < ε

2 + ε 2 = ε.

(3) c

⊆ Fin(ϕ) donc c

= Exh(ϕ) est un sous-espace d

-ferm´ e de l’espace ferm´ e Fin(ϕ). Ceci prouve que (Exh(ϕ), d

) est un sous-espace complet. C’est un sous-espace vectoriel en tant qu’adh´ erence d’un sous- espace vectoriel.

Si x ∈ Exh(ϕ) et ε > 0, on a y ∈ c

tel que ϕ(x − y) < ε. Il y a n tel que y ∈ R

, donc ε

(y) = 0 et comme ε

(x − y) ≤

x − y, on a

ϕ(ε

(x)) = ϕ(ε

(x − y)) ≤ ϕ(x − y) < ε.

Donc 0 est valeur d’adh´ erence de la suite (ϕ(ε

(x)))

et comme cette suite est d´ ecroissante (car la suite (ε

(x))

est ≤

-d´ ecroissante) on a bien ϕ(ε

(x)) → 0.

R´ eciproquement, si ϕ(ε

(x)) → 0, alors π

(x) → x pour d

; or π

(x) ∈ c

, donc on a bien x ∈ c

.

Ceci prouve que Exh(ϕ) est h´ er´ editaire puisque si y ∈ Exh(ϕ), on a x ≤

y ⇒ ϕ(ε

(x)) ≤ ϕ(ε

(y)) → 0.

Enfin Q

est τ

-dense dans R

. Comme ϕ est continue sur cet espace, pour toute suite x ∈ R

et tout ε > 0, on a un y ∈ Q

tel que ϕ(x − y) < ε, ce qui prouve que Q

est d

-dense dans R

et donc D dans c

. Donc D l’est aussi dans Exh(ϕ) = c

.

La d´ emonstration est donc compl` ete.

On a ainsi un moyen de construire toute une classe d’espaces polonisables h´ er´ editaires. On verra qu’en fait c’est la forme g´ en´ erale de ces espaces.

3. LA DICHOTOMIE G ´EN ´ERALE

Dans cette section, X d´ esignera un espace h´ er´ editaire de R

qu’on sup- pose libre, et analytique comme partie de R

.

3.1. Espaces impropres

D´ efinition (3.1.1). Un espace h´ er´ editaire X est dit propre s’il existe un ´ el´ ement x ∈ X dont les composantes sont toutes non nulles. Sinon il est dit impropre.

Un exemple type d’espaces impropres est c

; il est libre (c’est le plus petit, (1.2.3)) mais n’a aucun ´ el´ ement aux composantes toutes non nulles.

De tels espaces sont non polonisables : si X est polonisable et libre, on a pour tout k un h(k) > 0 tel que d

(0, h(k)u

) < 2

; alors forc´ ement h = P

k

h(k)u

∈ X car d

est compl` ete, et en mˆ eme temps les composantes de h sont non nulles. En fait, de tels X ne sont mˆ eme pas compl` etement m´ etrisables.

On va voir que pour ces espaces, il y a un plongement ais´ e de E

; on se base sur le th´ eor` eme de Talagrand [T] pour les id´ eaux : Si J est un id´ eal sur ω qui est Baire-mesurable comme partie de 2

(en particulier s’il est analytique ou coanalytique), et s’il est libre (∀n, {n} ∈ J ) et non trivial (ω 6∈ J ), alors on peut trouver une partition {F

}

de ω en parties finies telle que

∀A ⊆ ω, [

n∈A

F

∈ J ⇔ A est fini.

Proposition (3.1.2). Si X est impropre, alors c

≤

X et donc E

v

≡

.

P r e u v e. Consid´ erons l’ensemble I ⊆ 2

suivant : A ∈ I ⇔ ∃x ∈ X, ∀k ∈ A, x(k) 6= 0 .

C’est un id´ eal d’apr` es les hypoth` eses sur X. Il ne contient pas ω puisque X est impropre. Enfin I est analytique car X l’est. Le th´ eor` eme de Talagrand [T] fournit une partition de ω en parties finies (F

)

comme d´ ecrites plus haut. Mais alors la fonction

f : R

→ R

, x 7→ f (x) = X

n



x(n) X

k∈Fn

u

 ,

est lin´ eaire continue et ≤

-croissante, envoie c

dans c

⊆ X, et un x 6∈ c

sur un f (x) tel que {k | f (x)(k) 6= 0} = S

x(n)6=0

F

6∈ I, donc f (x) 6∈ X.

On a donc bien c

≤

X.

On a ´ etabli en (1.3.1) que E

v

≡

, la preuve est donc achev´ ee.

La dichotomie est donc v´ erifi´ ee pour les espaces impropres : ils sont non polonisables et E

se plonge dedans.

Dans le reste de la section on supposera donc qu’on consid` ere des espaces propres.

3.2. Ensembles petits et grands. On poursuit ici l’analogie entre id´ eaux vectoriels de R

et id´ eaux ensemblistes de 2

. On introduit donc une notion de petitesse semblable ` a celle de Solecki [So] pour les parties de 2

.

D´ efinition (3.2.1). Un ensemble A ⊆ R

est dit petit si on peut trouver une famille d´ enombrable de ferm´ es F

⊆ R

et x ∈ X tels que :

• F

est h´ er´ editaire et S

n

F

⊇ A ;

• pour tout n, F

∩ C[x] est maigre pour la topologie compacte induite par τ

sur C[x].

Si A est h´ er´ editaire et non petit, on dit qu’il est grand .

Quand c’est pr´ ecis´ e, le caract` ere h´ er´ editaire des ensembles est n´ ecessaire, car des ensembles maigres, mˆ eme tr` es r´ eduits, peuvent ˆ etre non petits : ainsi tout ferm´ e h´ er´ editaire F

contenant le singleton {x} contient C[x] ; si par exemple x = (1, 2, 3, 4, . . .), alors {x} n’est pas petit par rapport ` a `

.

Ainsi un tel {x} n’est ni “grand” (il n’est pas h´ er´ editaire) ni petit.

En revanche un ensemble h´ er´ editaire A est soit grand soit petit par d´ efinition.

On va maintenant prouver un certain nombre de propri´ et´ es de cette

notion.

Propri´ et´ e (3.2.2). (i) Si B est h´ er´ editaire et B ∩ C[x] est maigre pour la topologie compacte induite par τ

sur C[x], alors B ∩C[y] est aussi maigre dans C[y] pour tout y tel que x ≤

y.

(ii) Les ensembles petits forment un id´ eal de parties de R

.

P r e u v e. (i) Supposons qu’il y ait y tel que x ≤

y et B ∩ C[y] soit non maigre dans C[y].

Consid´ erons l’ensemble Z ⊆ ω des k tels que x(k) 6= 0 ; alors B ∩C[π

(y)]

est non maigre dans C[π

(y)]. En effet, on peut voir C[y] comme l’espace- produit C[π

(y)] × C[ε

(y)], et B ∩ C[π

(y)] est alors la projection de B sur C[π

(y)] car par h´ er´ edit´ e tout point de cette projection est dans B. Si B ∩C[y] n’est pas maigre, le th´ eor` eme de Kuratowski–Ulam (cf. par exemple [K], §8-K, p. 53) nous donne que B ∩ C[π

(y)] est aussi non maigre dans C[π

(y)].

On a pour n ∈ Z un λ(n) ∈ ]0, 1[ tel que x(n) = λ(n)y(n). Alors l’application

f : C[π

(y)] → C[x] = C[π

(x)], t 7→ f (t) = ((λ(n)t(n))

, (0)

), est un hom´ eomorphisme de C[π

(y)] sur C[x] tel que f (B) ⊆ B par h´ er´ edit´ e, puisque f (t) ≤

t. Donc B ∩ C[x] n’est pas maigre dans C[x].

(ii) Une sous-partie d’une partie petite reste clairement petite.

Soient A, A

deux parties petites et {F

}

, {F

}

des ferm´ es h´ er´ editaires, et x, x

∈ X associ´es par la d´ efinition. Alors si z = x∨x

, on v´ erifie ais´ ement, en appliquant (i) ` a C[z] d’un cˆ ot´ e, et ` a C[x] ou C[x

] de l’autre, que la famille des F

et des F

, et z, t´ emoignent que A ∪ A

est petite.

On va maintenant pr´ eciser des propri´ et´ es propres aux ferm´ es h´ er´ editaires.

Propri´ et´ e (3.2.3). Soit F un ferm´ e h´ er´ editaire de R

. (i) Les assertions suivantes sont ´ equivalentes :

(a) F est petit ;

(b) il existe x ∈ X tel que F ∩ C[x] est rare dans C[x].

(ii) Les assertions suivantes sont ´ equivalentes : (a) F est grand ;

(b) ∀x ∈ X, ∃n > 0, n

π

(x) + ε

(x) ∈ F . (iii) Les assertions suivantes sont ´ equivalentes :

(a) F ∩ C[x] est maigre dans C[x] ;

(b) pour tout n ∈ ω, il y a m > n tel que n

π

(x) + π

(x) 6∈ F ; (c) pour toute suite Λ ∈ (]0, 1])

, et tout n ∈ ω, il y a m > n tel que

π

(Λ) ∗ x + π

(x) 6∈ F ;

(d) pour toute suite Λ ∈ (]0, 1])

, il y a une suite (n

)

strictement

croissante telle que ε

(Λ) ∗ x + π

(x) 6∈ F .

P r e u v e. (i) (a)⇒(b) : Si F est petit, il y a des ferm´ es h´ er´ editaires G

et x ∈ X garantis par (3.2.1) ; alors pour tout n, G

∩ C[x] est rare dans C[x], et S

n

G

⊇ F , donc par le th´ eor` eme de Baire (dans le compact C[x]

par exemple), F ∩ C[x] est rare dans C[x].

(b)⇒(a) : Si F et x ∈ X sont comme dans l’´ enonc´ e, la famille {F

}

telle que pour tout n, F

= F et x t´ emoignent bien que F est petit.

(ii) (a)⇒(b) : Si F est grand, on utilise le (i) : F ∩ C[x] est non rare et contient donc un ouvert relatif, donc aussi un ouvert de base non vide de la forme {t | ∀k < p, |t(k) − a(k)| < r} ∩ C[x] pour des p, (a(0), . . . , a(p − 1)) et r > 0 donn´ es.

Il y a donc un n > p tel que n

|x(k)| < a(k) + r pour tout k < p.

Par h´ er´ edit´ e, n

π

(x) + ε

(x) ´ etant ≤

-major´ e par un ´ el´ ement de l’ouvert {t | ∀k < p, |t(k) − a(k)| < r} ∩ C[x], est dans F .

(b)⇒(a) : Si la deuxi` eme condition est v´ erifi´ ee, pour tout x ∈ X, F ∩C[x]

contient un ensemble C[n

π

(x) + ε

(x)] qui est non rare dans C[x].

(iii) Les trois derni` eres conditions sont facilement ´ equivalentes, on le voit en utilisant l’h´ er´ edit´ e de F et les relations

n

π

(x) + π

(x) ≤

n

π

(x) + π

(x) ≤

Λ ∗ π

(x) + π

(x) pour m et Λ fix´ es, si n > m est assez grand et p > n quelconque.

On montre (a)⇔(b) :

(a)⇒(b) : m existe ; sinon, F ´ etant ferm´ e, on aurait

lim

(n

π

(x) + π

(x)) = n

π

(x) + ε

(x) ∈ F ;

donc par h´ er´ edit´ e C[n

π

(x) + ε

(x)] ⊆ F or cet ensemble est d’int` erieur non vide dans C[x] ⊆ F .

Non (a) ⇒ Non (b) : Si F n’est pas maigre il contient un ouvert non vide, donc un ensemble du type (a + W

) ∩ C[x] avec a ∈ R

∩ C[x]. Par h´ er´ edit´ e F contient alors W

∩ C[x], ce qui veut dire qu’il y a un n > N assez grand pour que n

π

(x) + ε

(x) ∈ F . On aura alors si m > n,

n

π

(x) + ε

(x) ≤

n

π

(x) + ε

(x) ∈ F, donc on a bien Non (b).

On va voir maintenant, en vue du r´ esultat annonc´ e, que la bonne di- chotomie est : les ensembles h´ er´ editaires grands sont-ils vraiment “con- sistants” ou non : peut-on recouvrir un ensemble grand par une r´ eunion d´ enombrable d’ensembles petits ?

Dans le cas o` u c’est oui, on verra que E

se plonge continˆ ument dans

≡

, et mˆ eme qu’on a une “sous-dichotomie” : c’est c

ou `

qui se plonge

dans X.

Dans le cas contraire, on remontera ` a une famille d´ enombrable “fonda- mentale” {F

}

, puis ` a une ϕ pour laquelle les F

extrapolent les voisinages de 0.

3.3. Le cas non polonisable : plongements de non polonisables canoniques. On se place ici dans le cas o` u il y a une suite de ferm´ es h´ er´ editaires petits dont la r´ eunion est grande, en remarquant qu’une r´ eunion d’ensembles h´ er´ editaires est h´ er´ editaire.

Hypoth` ese (3.3.1). Il y a une famille {A

}

de parties de R

et des x

∈ X tels que :

• A

est ferm´ e h´ er´ editaire ;

• A

∩ C[x

] est maigre dans C[x

] ;

• S

n

A

est un ensemble grand.

Notations (3.3.2). u d´ esignera un ´ el´ ement de X dont toutes les com- posantes sont strictement positives, ce qui est possible car X est propre.

Proposition (3.3.3). Sous l’hypoth` ese (3.3.1) une des deux assertions suivantes est v´ erifi´ ee :

• c

≤

X ;

• `

≤

X.

De plus dans les deux cas on a E

v

≡

.

P r e u v e. Soient donc les {A

}

et les (x

)

donn´ es par (3.3.1). Sans changer les propri´ et´ es de (3.3.1) on peut remplacer chaque x

par u ∨ x

et donc on peut supposer (ce qu’on fera dans la suite) que

∀n, u ≤

x

∈ (R

)

.

Notons tout d’abord que d’apr` es (3.2.3) si on choisit un des x

, un P ∈ ω et un rang N ∈ ω, on aura un M > N tel que P

π

(u) + π

(x

) 6∈ A

.

On peut effectivement appliquer (3.2.3). Comme pour tout k on a 0 < u(k) ≤ x

(k),

on a bien Λ(k) ∈ ]0, 1] tel que P

u(k) = Λ(k)x

(k).

On peut donc construire par r´ ecurrence sur le nombre hn, pi une suite N

d’entiers telle que :

• N

= 0 ;

• hn, pi < hm, qi ⇒ N

< N

;

• ∀n, p, hn, pi + 1 = hn

, p

i ⇒ (N

+ 1)

π

(u) + π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

) 6∈ A

.

Lemme (3.3.4). Soit B ⊆ ω

. Si {p | (n, p) ∈ B} = B

est infini pour tout n, alors

X

(n,p)∈B

π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

) 6∈ X

(o` u on convient d´ esormais que pour chaque (n, p), (n

, p

) est l’unique couple tel que hn, pi + 1 = hn

, p

i).

Si B ∈ I

, c’est-` a-dire B

= ∅ pour n suffisamment grand , alors X

(n,p)∈B

π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

) ∈ X.

P r e u v e. La deuxi` eme assertion est vraie car B ∈ I

⇒ X

(n,p)∈B

π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

) ≤

X

n<n0, p

π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

) ≤

X

n<n0

x

∈ X.

Pour la premi` ere assertion, raisonnons par l’absurde : soit B tel que pour tout n, B

est infini et qu’on ait en mˆ eme temps

S = X

(n,p)∈B

π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

) ∈ X, et posons T = S + u ∈ X.

Soient n fix´ e et N ∈ ω. Comme B

est infini, il y a p ∈ B

tel que N

> N . Alors

1

N

+ 1 π

(u) + π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

) 6∈ A

. Or on a

1

N

+ 1 π

(u) + π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

) ≤

1

N

+ 1 π

(T ) + π

p,N_p0ⁿ⁰[

(T ), donc aussi par h´ er´ edit´ e de A

,

1

N

+ 1 π

(T ) + π

p,N_p0ⁿ⁰[

(T ) 6∈ A

. Si on remarque que pour M = N

> N

> N ,

1

N

+ 1 π

(T ) + π

p,N_p0ⁿ⁰[

(T ) ≤

1

N π

(T ) + π

(T ), on a aussi

1

N π

(T ) + π

(T ) 6∈ A

.

Ainsi pour tout N , il existe M > N tel que N

π

(T ) + π

(T ) 6∈ X,

ce qui d’apr` es (3.2.3) prouve que A

∩ C[T ] est maigre dans C[T ].

Chaque A

∩C[T ] est donc rare dans C[T ], ce qui t´ emoigne par d´ efinition que l’ensemble S

n

A

est petit. Or S

n

A

est grand suivant (3.3.1) : une contradiction.

Preuve de (3.3.3 ) (fin). Posons χ

= P

p

π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

) ; on a χ

≤

x

, donc χ

∈ X, et d’apr` es (3.3.4), P

n

χ

6∈ X (cela correspond ` a B = ω

).

Consid´ erons les parties G ⊆ ω telles qu’il existe t ∈ R

v´ erifiant :

• ∀n ∈ G, t(n) > 0 ;

• P

n

t(n)χ

∈ X.

Ces parties forment visiblement un id´ eal I (grˆ ace ` a l’h´ er´ edit´ e de X notam- ment), et cet id´ eal est analytique :

G ∈ I ⇔ ∃t ∈ R

, (∀n, n 6∈ G ou t(n) > 0) et X

n

t(n)χ

∈ X ; or la fonction t 7→ P

n

t(n)χ

est continue, donc la derni` ere condition est analytique en t et I est Σ

.

On a maintenant deux cas distincts :

1

cas : ω 6∈ I. Alors d’apr` es le th´ eor` eme de Talagrand [T], on peut trouver une partition de ω en sous-ensembles finis F

tels que H ⊆ ω est fini ⇔ S

n∈H

F

∈ I. L’application

f : R

→ R

, t 7→ f (t) = X

n

t(n)  X

k∈Fn

χ

 , est une injection lin´ eaire continue ≤

-croissante et v´ erifie :

• Si t 6∈ c

, |f (t)| = P

n

|t(n)|( P

k∈Fn

χ

) est une combinaison lin´ eaire des χ

` a coefficients positifs, et non nuls si k ∈ F

pour une infinit´ e de n.

Par d´ efinition de I, f (t) 6∈ X.

• Si t ∈ c

, f (t) ∈ X car c’est une somme finie de termes du type P

k∈Fn

χ

, eux-mˆ emes combinaisons lin´ eaires finies des χ

. Finalement, f prouve bien que c

≤

X.

2

cas. ω ∈ I, c’est-` a-dire qu’il y a une suite e ∈ (R

)

telle que P

n

e(n)χ

∈ X. Consid´ erons l’application f suivante : f : R

→ R

, t 7→ f (t) = X

n



e(n) X

p

t(p)π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

)

 . f est de nouveau lin´ eaire continue ≤

-croissante. Si t ∈ `

, on a f (t) ∈ X car

f (t) = X

n



e(n) X

p

t(p)π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

)



≤

ktk

X

n



e(n) X

p

π

p0[

(x

)



≤

ktk

X

n

e(n)χ

∈ X.

Si t 6∈ `

, soient B = {(n, p) | |e(n)t(p)| ≥ 1} ⊆ ω

. Comme t n’est pas born´ ee, B

est infini pour tout n. Donc par le lemme (3.3.4),

X

(n,p)∈B

π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

) 6∈ X.

Finalement, on a X

(n,p)∈B

π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

) ≤

X

(n,p)∈B

(e(n)t(p)π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

))

≤

X

(n,p)∈ω²

(e(n)t(p)π

p,N_p0ⁿ⁰[

(x

)) = f (t).

Ceci prouve que f (t) 6∈ X. Finalement, f t´ emoigne bien que `

≤

X.

On a d´ ej` a vu que E

se plonge continˆ ument dans ≡

et dans ≡

, donc la preuve est achev´ ee.

3.4. Le cas polonisable : construction d’une ´ evaluation. On va supposer maintenant que (3.3.1) est en d´ efaut : cela signifie que la r´ eunion de toute famille d´ enombrable de ferm´ es h´ er´ editaires petits est un ensemble petit. On est donc sous :

Hypoth` ese (3.4.1). Si la famille {A

}

de parties de R

et les x

∈ X v´ erifient :

• A

est ferm´ e h´ er´ editaire ;

• A

∩ C[x

] est maigre dans C[x

], alors S

n

A

est un ensemble petit.

Propri´ et´ e (3.4.2). L’hypoth` ese (3.4.1) est ´ equivalente ` a l’hypoth` ese (3.4.1

) ci-dessous.

Hypoth` ese (3.4.1

). Une r´ eunion d´ enombrable d’ensembles petits est un ensemble petit.

P r e u v e. (3.4.1

)⇒(3.4.1) est clair.

(3.4.1)⇒(3.4.1

) : Soit {P

}

une famille d’ensembles petits. Pour chaque n il y a une famille {A

}

et x

∈ X t´ emoignant que P

est petit.

On peut appliquer (3.4.1) aux A

, chacun muni de x

, et on obtient que S

n

P

est inclus dans un ensemble petit, donc petit.

On va maintenant se placer dans une compactification de R

, ` a savoir [−∞, +∞]

.

D´ efinition (3.4.3). On notera K le compact [−∞, +∞]

, muni de la topologie produit de celle de [−∞, +∞]. On prolonge ` a K le pr´eordre de R

en convenant que, pour tout t ∈ R, |−∞| = |+∞| = +∞ > |t| ; donc dans K,

x ≤

y ⇔ ∀k, |x(k)| ≤ |y(k)|.

On prolonge ` a K la notion d’h´er´edit´e, et si A ⊆ K, on notera Her(A) la plus petite partie h´ er´ editaire contenant A :

Her(A) = {x | ∃y ∈ A, x ≤

y}.

On notera par l’indice ou l’exposant “K” les notions relatives `a K et `a sa topologie.

On va maintenant ´ etudier bri` evement le rapport entre topologie et pr´ e- ordre dans K.

Propri´ et´ e (3.4.4). (i) Il y a une injection de l’espace F (R

) des ferm´ es de R

dans l’espace K(K) des compacts de K. Cette injection est F 7→ F

, et un inverse ` a gauche est K 7→ K ∩ R

. De plus F ∈ F (R

) est h´ er´ editaire si et seulement si F

l’est.

(ii) Si K ∈ K(K), alors Her(K) ∈ K(K) ; de plus K 7→ Her(K) est continue sur K(K) et l’ensemble des ferm´es h´er´editaires est un compact de K(K).

P r e u v e. (i) Le premier fait (propri´ et´ es de l’injection d´ ecrite) est clas- sique et sert en g´ en´ eral ` a prouver que F (R

) est un bor´ elien standard.

Si F est h´ er´ editaire et x ∈ Her(F

), on a y ∈ F

tel que x ≤

y ; y est limite dans K d’une suite (z

)

de points de F , mais alors on v´ erifie ais´ ement que x ∧ z

tend vers x, et comme x ∧ z

≤

z

∈ F , et que F est h´ er´ editaire, x est limite d’une suite de points de F , donc est dans F

. Par suite F

⊇ Her(F

), d’o` u F

= Her(F

) et F

est bien h´ er´ editaire.

R´ eciproquement, si F

est h´ er´ editaire, F = F

∩ R

l’est aussi, comme intersection de deux h´ er´ editaires.

(ii) Supposons que K ∈ K(K), et montrons que Her(K) est ferm´e dans K.

Soit une suite (z

)

de points de Her(K) convergeant vers z ∈ K. On a donc pour chaque n un point x

dans K tel que z

≤

x

; comme K est compact, il y a une sous-suite convergente (x

)

, avec une limite x ∈ K.

Or on a z

≤

x

et z

tend vers z, donc z ≤

x ∈ K et z ∈ Her(K), ce qui prouve bien que Her(K) est ferm´ e.

Montrons maintenant que l’application K 7→ Her(K) est continue de

K(K) dans lui-mˆeme.